שאלה 2 בפורמט הבגרות · פונקציית ln וחקירתה · כיתה י״ב

שאלה 2 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר: סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על סעיף קודם.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $f(x) = \ln\left(x^2 - 4x + 5\right)$ . א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

$x < 1$ או $x > 5$
$1 < x < 5$
כל $x$
$x > 0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג כל $x$

הפתרון:

x^2 - 4x + 5 > 0

בתוך $\ln$ צריך ביטוי חיובי

\begin{aligned}\Delta &= 16 - 20 \\ &= -4 < 0\end{aligned}

לתלת-האיבר אין שורשים, והמקדם של $x^2$ חיובי

x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1 \ge 1

השלמה לריבוע מראה את אותו הדבר

תחום ההגדרה הוא כל $x$ . מי שפותר $x^2 - 4x + 5 = 0$ ו«מוצא» $1$ ו- $5$ טעה בסימן: השורשים של $x^2 - 4x - 5$ הם $-1$ ו- $5$ , ולתלת-האיבר שבשאלה אין שורשים בכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $f(x) = \ln\left(x^2 - 4x + 5\right)$ . ב. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה. מהו שיעור ה- $x$ של נקודת הקיצון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f'(x) = \frac{2x - 4}{x^2 - 4x + 5}

הנגזרת של $\ln g$ היא $\frac{g'}{g}$

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow 2x - 4 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

המכנה חיובי תמיד

x < 2 : f' < 0 \ ; \ x > 2 : f' > 0

מינימום

מינימום כאשר $x = 2$ . שימו לב שהמכנה של $f'$ הוא בדיוק הביטוי שבתוך $\ln$ , ולכן הוא חיובי: הסימן של $f'$ נקבע רק על ידי $2x - 4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $f(x) = \ln\left(x^2 - 4x + 5\right)$ . ב. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה. מהו שיעור ה- $y$ של נקודת הקיצון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

\begin{aligned}f(2) &= \ln(4 - 8 + 5) \\ &= \ln 1 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים בפונקציה המקורית

נקודת המינימום היא $(2, 0)$ : הגרף נוגע בציר ה- $x$ בנקודה הזאת. טעות נפוצה: לכתוב $f(2) = 1$ , כי $x^2 - 4x + 5 = 1$ . אבל $1$ הוא הערך בתוך $\ln$ , ו- $\ln 1 = 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $f(x) = \ln\left(x^2 - 4x + 5\right)$ . ג. טענה: $f(x) \ge 0$ לכל $x$ . האם הטענה נכונה? (אפשר לענות בלי חישוב נוסף.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1 \ge 1

u \ge 1 \Rightarrow \ln u \ge \ln 1 = 0

$\ln$ היא פונקציה עולה ו- $\ln 1 = 0$

הטענה נכונה. הביטוי שבתוך $\ln$ לא קטן מ- $1$ , ולכן $f$ לא שלילית. זו אותה תוצאה כמו המינימום $(2, 0)$ , מכיוון אחר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $f(x) = \ln\left(x^2 - 4x + 5\right)$ . ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

עולה כאשר $1 < x < 3$
עולה לכל $x$
עולה כאשר $x > 2$ , יורדת כאשר $x < 2$
עולה כאשר $x < 2$ , יורדת כאשר $x > 2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג עולה כאשר $x > 2$ , יורדת כאשר $x < 2$

הפתרון:

x < 2 : f' < 0 \ ; \ x > 2 : f' > 0

יורדת כאשר $x < 2$ ועולה כאשר $x > 2$ . התשובה « $1 < x < 3$ » מבלבלת בין תחום עלייה (הסימן של $f'$ ) לבין תחום קעירות (הסימן של $f''$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפונקציה $f(x) = \ln\left(x^2 - 4x + 5\right)$ . ה. הנגזרת השנייה של הפונקציה היא $f''(x) = \frac{-2(x-1)(x-3)}{\left(x^2 - 4x + 5\right)^2}$ . מצאו את נקודות הפיתול של הפונקציה. מהו שיעור ה- $x$ הגדול מביניהם?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}f''(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1 \ \\ \ x &= 3\end{aligned}

המכנה חיובי

x < 1 : f'' < 0 \ ; \ 1 < x < 3 : f'' > 0 \ ; \ x > 3 : f'' < 0

הסימן מתחלף בשתי הנקודות

יש שתי נקודות פיתול, כאשר $x = 1$ וכאשר $x = 3$ . הגדול הוא $3$ . בודקים החלפת סימן גם כאן: מכפלה של שני גורמים שונים מחליפה סימן בכל אחד מהשורשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה $f(x) = \ln\left(x^2 - 4x + 5\right)$ . ה. לפונקציה יש נקודות פיתול כאשר $x = 1$ וכאשר $x = 3$ . מהו שיעור ה- $y$ של נקודת הפיתול שבה $x = 3$ ? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.693

הפתרון:

\begin{aligned}f(3) &= \ln(9 - 12 + 5) \\ &= \ln 2 \approx 0.693\end{aligned}

נקודת הפיתול היא $(3, \ln 2)$ . גם $f(1) = \ln 2$ : שתי נקודות הפיתול באותו גובה, וזה לא מקרי (ראו סעיף ז).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הפונקציה $f(x) = \ln\left(x^2 - 4x + 5\right)$ . ו. מהי צורת הגרף בתחום $1 < x < 3$ ?

קעירות כלפי מטה
אי אפשר לדעת בלי סקיצה
קו ישר
קעירות כלפי מעלה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד קעירות כלפי מעלה

הפתרון:

1 < x < 3 : (x-1) > 0 \ , \ (x-3) < 0

f''(x) = \frac{-2 \cdot (+) \cdot (-)}{(+)} > 0

$f'' > 0$ : קעירות כלפי מעלה

קעירות כלפי מעלה. המינוס שלפני ה- $2$ מבלבל: צריך לספור את כל הסימנים, והמכפלה של שני מינוסים חיובית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה הפונקציה $f(x) = \ln\left(x^2 - 4x + 5\right)$ . ז. טענה: הגרף של $f$ סימטרי ביחס לישר $x = 2$ . האם הטענה נכונה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f(2 + t) = \ln\left(t^2 + 1\right)

מציבים $x = 2 + t$ בצורה $(x-2)^2 + 1$

\begin{aligned}f(2 - t) &= \ln\left((-t)^2 + 1\right) \\ &= \ln\left(t^2 + 1\right)\end{aligned}

אותו ערך

הטענה נכונה: לכל $t$ , $f(2+t) = f(2-t)$ . לכן נקודות הפיתול $x = 1$ ו- $x = 3$ נמצאות במרחק שווה מ- $x = 2$ , באותו גובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה הפונקציה $f(x) = \ln\left(x^2 - 4x + 5\right)$ . ח. מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודת הפיתול שבה $x = 3$ . מהו שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה- $y$ ? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2.307

הפתרון:

\begin{aligned}f'(3) &= \frac{6 - 4}{9 - 12 + 5} \\ &= \frac{2}{2} \\ &= 1\end{aligned}

שיפוע המשיק

\begin{aligned}y - \ln 2 &= 1 \cdot (x - 3) \Rightarrow y \\ &= x - 3 + \ln 2\end{aligned}

נקודת ההשקה $(3, \ln 2)$

\begin{aligned}x &= 0 : \ y \\ &= \ln 2 - 3 \approx -2.307\end{aligned}

המשיק הוא $y = x - 3 + \ln 2$ , והוא חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0,\ \ln 2 - 3)$ . טעות נפוצה: לקחת את נקודת ההשקה עם $y = 2$ , הערך שבתוך $\ln$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev