תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שנים-עשר תרגילים על כל הפרק: ln⁡\ln כפונקציה הפוכה של exe^x, תחום הגדרה, גזירה, גבולות ואסימפטוטות, קיצון, פרמטרים, גרף של נגזרת, ואינטגרל ושטח. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

חשבו בלי מחשבון: ln⁡(e3)−ln⁡1\ln\left(e^3\right) - \ln 1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

ln⁡(e3)=3\ln\left(e^3\right) = 3

ln⁡\ln ו-exe^x הן פונקציות הפוכות

ln⁡1=0\ln 1 = 0

התוצאה 33. ln⁡1=0\ln 1 = 0, ולא 11: ee בחזקת 00 שווה ל-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)=ln⁡(4−x2)f(x) = \ln\left(4 - x^2\right)?

  1. x<2x < 2
  2. כל xx
  3. x<−2x < -2 או x>2x > 2
  4. −2<x<2-2 < x < 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד −2<x<2-2 < x < 2

הפתרון:

4−x2>0⇒x2<44 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 4
−2<x<2-2 < x < 2

תחום ההגדרה הוא −2<x<2-2 < x < 2. התשובה x<−2x < -2 או x>2x > 2 היא התחום שבו 4−x24 - x^2 שלילי: בדיוק ההפך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=ln⁡(3x+1)f(x) = \ln(3x + 1). חשבו את f′(1)f'(1).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

f′(x)=33x+1f'(x) = \frac{3}{3x + 1}

הנגזרת של ln⁡u\ln u היא u′u\frac{u'}{u}

f′(1)=34=0.75\begin{aligned}f'(1) &= \frac{3}{4} \\ &= 0.75\end{aligned}

f′(1)=0.75f'(1) = 0.75. מי שכותב 13x+1\frac{1}{3x + 1} שוכח לכפול בנגזרת של הביטוי הפנימי, 33.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

טענה: הגרף של y=ln⁡xy = \ln x הוא השיקוף של הגרף של y=exy = e^x ביחס לישר y=xy = x. האם הטענה נכונה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

(a,b)∈ex  ⟺  (b,a)∈ln⁡x(a, b) \in e^x \iff (b, a) \in \ln x

פונקציות הפוכות מחליפות בין xx ל-yy

הטענה נכונה. השיקוף הוא ביחס לישר y=xy = x, ולא ביחס לאחד הצירים: לכן (0,1)(0, 1) על exe^x הופכת ל-(1,0)(1, 0) על ln⁡x\ln x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 5

לגרף של f(x)=ln⁡(2x−6)f(x) = \ln(2x - 6) יש אסימפטוטה אנכית x=cx = c. מצאו את cc.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

2x−6>0⇒x>32x - 6 > 0 \Rightarrow x > 3

תחום ההגדרה

x→3+:ln⁡(2x−6)→−∞x \to 3^+ : \ln(2x - 6) \to -\infty

בקצה התחום

c=3c = 3. האסימפטוטה האנכית של ln⁡\ln נמצאת איפה שהביטוי שבפנים מתאפס, ולא ב-x=0x = 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

לפונקציה f(x)=2x2−ln⁡xf(x) = 2x^2 - \ln x יש נקודת מינימום אחת. מהו שיעור ה-yy שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.193

הפתרון:

f′(x)=4x−1x=0⇒x2=14\begin{aligned}f'(x) &= 4x - \frac{1}{x} \\ &= 0 \Rightarrow x^2 \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}
x=12x = \frac{1}{2}

רק השורש החיובי בתחום x>0x > 0

f(12)=12−ln⁡12=12+ln⁡2≈1.193\begin{aligned}f\left(\tfrac{1}{2}\right) &= \frac{1}{2} - \ln\frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2} + \ln 2 \approx 1.193\end{aligned}

שיעור ה-yy הוא 12+ln⁡2≈1.193\frac{1}{2} + \ln 2 \approx 1.193. שימו לב לסימן: −ln⁡12=+ln⁡2-\ln\frac{1}{2} = +\ln 2. והפתרון x=−12x = -\frac{1}{2} נפסל, כי הוא מחוץ לתחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חשבו: ∫013x2x3+1 dx\int_0^1 \frac{3x^2}{x^3 + 1}\,dx. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.693

הפתרון:

(x3+1)′=3x2\left(x^3 + 1\right)' = 3x^2

המונה הוא הנגזרת של המכנה

[ln⁡(x3+1)]01=ln⁡2−ln⁡1=ln⁡2≈0.693\begin{aligned}\Big[\ln\left(x^3 + 1\right)\Big]_0^1 &= \ln 2 - \ln 1 \\ &= \ln 2 \approx 0.693\end{aligned}

התוצאה ln⁡2≈0.693\ln 2 \approx 0.693. לפני שמחפשים שיטה מסובכת, בודקים אם המונה הוא הנגזרת של המכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מהו הגבול lim⁡x→+∞ln⁡xx\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}?

  1. 11
  2. הגבול לא קיים
  3. +∞+\infty
  4. 00
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 00

הפתרון:

x→+∞: ln⁡x→+∞ , x→+∞x \to +\infty : \ \ln x \to +\infty \ , \ x \to +\infty

שניהם גדלים

ln⁡xx→0\frac{\ln x}{x} \to 0

xx גדל מהר הרבה יותר מ-ln⁡x\ln x

הגבול הוא 00. «אינסוף חלקי אינסוף» הוא לא 11: השאלה היא מי גדל מהר יותר, ו-xx מנצח את ln⁡x\ln x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 9

נתונה הפונקציה f(x)=aln⁡x−xf(x) = a\ln x - x, כאשר aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון כאשר x=3x = 3. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f′(x)=ax−1f'(x) = \frac{a}{x} - 1
f′(3)=0⇒a3=1⇒a=3\begin{aligned}f'(3) &= 0 \Rightarrow \frac{a}{3} \\ &= 1 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

a=3a = 3. מציבים את xx של נקודת הקיצון בנגזרת ומשווים ל-00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=1xy = \frac{1}{x}, ציר ה-xx והישרים x=1x = 1 ו-x=e2x = e^2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

∫1e21x dx=[ln⁡x]1e2\int_1^{e^2} \frac{1}{x}\,dx = \Big[\ln x\Big]_1^{e^2}
ln⁡e2−ln⁡1=2\ln e^2 - \ln 1 = 2

השטח הוא 22. בין 11 ל-ee השטח הוא 11, ובין ee ל-e2e^2 עוד 11: הקטע השני רחב יותר, אבל הגרף נמוך יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

xyy = 0x = 0I
xyy = 1x = 0II
xyy = 1x = 0III
xyy = 0x = 0IV

נתונה הפונקציה f(x)=x−ln⁡xf(x) = x - \ln x, המוגדרת כאשר x>0x > 0. איזה מבין הגרפים מתאר את הנגזרת f′f'?

  1. גרף I
  2. גרף III
  3. גרף II
  4. גרף IV
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף III

הפתרון:

f′(x)=1−1xf'(x) = 1 - \frac{1}{x}
f′(1)=0f'(1) = 0

רק בגרף III הנגזרת חותכת את ציר ה-xx, ב-x=1x = 1

x→+∞:f′→1x \to +\infty : f' \to 1

ומימין היא מתקרבת ל-y=1y = 1

גרף III. ל-ff יש מינימום ב-x=1x = 1, ולכן הגרף של f′f' חייב לחתוך שם את ציר ה-xx: שלושת הגרפים האחרים לא חותכים אותו כלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

טענה: למשוואה ln⁡x=−x\ln x = -x יש פתרון אחד בדיוק. האם הטענה נכונה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

h(x)=ln⁡x+xh(x) = \ln x + x

מעבירים לאגף אחד

h′(x)=1x+1>0h'(x) = \frac{1}{x} + 1 > 0

hh עולה בכל התחום, ולכן מתאפסת לכל היותר פעם אחת

h(e−1)=e−1−1<0 ; h(1)=1>0\begin{aligned}h(e^{-1}) &= e^{-1} - 1 < 0 \ ; \ h(1) \\ &= 1 > 0\end{aligned}

והיא מחליפה סימן: יש פתרון בין 1e\frac{1}{e} ל-11

הטענה נכונה: פונקציה עולה שמחליפה סימן מתאפסת פעם אחת בדיוק. צריך את שני החלקים: «עולה» לבד לא מבטיח שיש פתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת