תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ארבעה-עשר תרגילים על כל הפרק: חשבון עם וקטורים, מכפלה סקלרית, ישרים, מישורים, מרחקים וזוויות. מתחילים בקל ומסיימים ברמת הבגרות.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

השלימו.

(2,−1,3)+2(1,4,−2)=(2, -1, 3) + 2(1, 4, -2) = (____, ____, ____)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (2,−1,3)+2(1,4,−2)=(2, -1, 3) + 2(1, 4, -2) = (4, 7, -1)

הפתרון:

2(1,4,−2)=(2,8,−4)2(1, 4, -2) = (2, 8, -4)

קודם כפל בסקלר

(2+2, −1+8, 3−4)=(4,7,−1)(2 + 2,\ -1 + 8,\ 3 - 4) = (4, 7, -1)

אחר כך חיבור רכיב רכיב

כופלים את כל הרכיבים ב-22, גם את השלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו האורך של הווקטור (2,−3,6)(2, -3, 6)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

4+9+36=49=7\begin{aligned}\sqrt{4 + 9 + 36} &= \sqrt{49} \\ &= 7\end{aligned}

(−3)2=9(-3)^2 = 9: ריבוע תמיד חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הווקטורים (1,2,−1)(1, 2, -1) ו-(3,−1,1)(3, -1, 1) ניצבים זה לזה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

1⋅3+2⋅(−1)+(−1)⋅1=3−2−1=0\begin{aligned}1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 &= 3 - 2 - 1 \\ &= 0\end{aligned}

ניצבים ⇔ המכפלה הסקלרית שווה 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהי נקודת האמצע של הקטע בין A(1,5,−2)A(1, 5, -2) ל-B(3,−1,4)B(3, -1, 4)?

  1. (4,4,2)(4, 4, 2)
  2. (2,3,1)(2, 3, 1)
  3. (1,−3,3)(1, -3, 3)
  4. (2,2,1)(2, 2, 1)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד (2,2,1)(2, 2, 1)

הפתרון:

M=(1+32, 5−12, −2+42)=(2,2,1)\begin{aligned}M &= \left(\tfrac{1 + 3}{2},\ \tfrac{5 - 1}{2},\ \tfrac{-2 + 4}{2}\right) \\ &= (2, 2, 1)\end{aligned}

(1,−3,3)(1, -3, 3) הוא חצי של AB‾\underline{AB}, לא האמצע. האמצע הוא ממוצע השיעורים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABCDABCD מקבילית במרחב, עם A(1,0,2)A(1, 0, 2), B(3,1,0)B(3, 1, 0), C(4,4,1)C(4, 4, 1). מצאו את DD.

DD = (____, ____, ____)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: DD = (2, 3, 3)

הפתרון:

AD‾=BC‾⇒D=A+C−B\begin{aligned}\underline{AD} &= \underline{BC} \Rightarrow D \\ &= A + C - B\end{aligned}

במקבילית צלעות נגדיות הן וקטורים שווים

D=(1+4−3, 0+4−1, 2+1−0)=(2,3,3)\begin{aligned}D &= (1 + 4 - 3,\ 0 + 4 - 1,\ 2 + 1 - 0) \\ &= (2, 3, 3)\end{aligned}

הסדר ABCDABCD קובע ש-AD‾=BC‾\underline{AD} = \underline{BC}, לא AC‾\underline{AC}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 6

לאיזה kk הווקטורים (k,2,1)(k, 2, 1) ו-(3,−1,k)(3, -1, k) ניצבים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

3k−2+k=03k - 2 + k = 0

המכפלה הסקלרית שווה 00

4k=2⇒k=12\begin{aligned}4k &= 2 \Rightarrow k \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

הפרמטר מופיע בשני הווקטורים: אוספים את שני האיברים עם kk.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הנקודה (5,0,7)(5, 0, 7) נמצאת על הישר x‾=(1,2,3)+t(2,−1,2)\underline{x} = (1, 2, 3) + t(2, -1, 2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

1+2t=5⇒t=2\begin{aligned}1 + 2t &= 5 \Rightarrow t \\ &= 2\end{aligned}
2−2=0 3+4=7 ✓\begin{aligned}2 - 2 &= 0 \\ \ 3 + 4 &= 7\ \checkmark\end{aligned}

מוצאים tt מרכיב אחד, ובודקים אותו בשניים האחרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מהי הזווית בין (1,0,1)(1, 0, 1) ל-(0,1,1)(0, 1, 1), במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

cos⁡α=12 2=12\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{1}{\sqrt{2}\,\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}
α=60∘\alpha = 60^\circ

2⋅2=2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2, ולכן הקוסינוס הוא חצי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מהי משוואת המישור שעובר דרך (1,−1,2)(1, -1, 2) וניצב לווקטור (3,0,−1)(3, 0, -1)?

  1. 3x−z−1=03x - z - 1 = 0
  2. 3x−z+1=03x - z + 1 = 0
  3. 3x−y−z=03x - y - z = 0
  4. x−y+2z−1=0x - y + 2z - 1 = 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 3x−z−1=03x - z - 1 = 0

הפתרון:

3x+0y−z+d=03x + 0y - z + d = 0

הווקטור הוא הנורמל

3−2+d=0⇒d=−1\begin{aligned}3 - 2 + d &= 0 \Rightarrow d \\ &= -1\end{aligned}

מציבים את הנקודה

הנקודה נותנת את dd בלבד. המקדמים באים מהנורמל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מה המצב ההדדי של x‾=t(1,2,3)\underline{x} = t(1, 2, 3) ושל x‾=(1,0,0)+s(2,4,6)\underline{x} = (1, 0, 0) + s(2, 4, 6)?

  1. מתלכדים
  2. מקבילים
  3. נחתכים
  4. מצטלבים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מקבילים

הפתרון:

(2,4,6)=2(1,2,3)(2, 4, 6) = 2(1, 2, 3)

הכיוונים פרופורציונליים

(1,0,0)=t(1,2,3) ?t=1⇒(1,2,3)≠(1,0,0)\begin{aligned}(1, 0, 0) &= t(1, 2, 3)\ ?\quad t \\ &= 1 \Rightarrow (1, 2, 3) \neq (1, 0, 0)\end{aligned}

הנקודה לא על הישר הראשון

כיוונים פרופורציונליים נותנים מקבילים או מתלכדים. נקודה משותפת מכריעה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — אתגר

תרגיל 11

מהו המרחק של (3,−2,1)(3, -2, 1) מהמישור x+2y+2z+4=0x + 2y + 2z + 4 = 0? עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.67

הפתרון:

d=∣3−4+2+4∣1+4+4=53≈1.67\begin{aligned}d &= \frac{|3 - 4 + 2 + 4|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \\ &= \frac{5}{3} \approx 1.67\end{aligned}

הערך המוחלט של כל המונה, לא של כל איבר בנפרד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מצאו את נקודת החיתוך של הישר x‾=(1,1,0)+t(1,0,1)\underline{x} = (1, 1, 0) + t(1, 0, 1) עם המישור x+y+z−8=0x + y + z - 8 = 0.

(____, ____, ____)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (4, 1, 3)

הפתרון:

(1+t)+1+t−8=0(1 + t) + 1 + t - 8 = 0

מציבים נקודה כללית של הישר

2t=6⇒t=3\begin{aligned}2t &= 6 \Rightarrow t \\ &= 3\end{aligned}
(4,1,3)(4, 1, 3)

רכיב ה-yy קבוע (11), אבל עדיין מציבים אותו במשוואה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

מה המצב ההדדי של x‾=(1,0,0)+t(0,1,0)\underline{x} = (1, 0, 0) + t(0, 1, 0) ושל x‾=(0,0,1)+s(1,1,0)\underline{x} = (0, 0, 1) + s(1, 1, 0)?

  1. מקבילים
  2. מצטלבים
  3. נחתכים
  4. מתלכדים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מצטלבים

הפתרון:

(0,1,0)≠k(1,1,0)(0, 1, 0) \neq k(1, 1, 0)

לא מקבילים

z: 0=1z:\ 0 = 1

ברכיב zz המערכת סותרת: אין נקודה משותפת

לא מקבילים ולא נפגשים: מצטלבים. ברכיב zz רואים מיד שאין פתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

מהי הזווית בין הישר x‾=t(1,0,1)\underline{x} = t(1, 0, 1) למישור z=0z = 0, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

sin⁡α=∣(1,0,1)⋅(0,0,1)∣2⋅1=12\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{|(1, 0, 1)\cdot(0, 0, 1)|}{\sqrt{2} \cdot 1} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\end{aligned}
α=45∘\alpha = 45^\circ

הנורמל של z=0z = 0 הוא (0,0,1)(0, 0, 1), וזווית עם מישור היא סינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת