שאלה 3: מישור, נקודה וישר · וקטורים וגאומטריה במרחב · כיתה י״ב

שאלה בפורמט הבגרות: מישור אחד ונקודה אחת, ושמונה סעיפים סביבם. הנורמל של המישור הוא המפתח לכמעט כל סעיף.

תרגילים

תרגיל 1

נתון המישור $\pi:\ 2x - y + 2z + 3 = 0$ והנקודה $A(1, 0, 2)$ . א. מהו המרחק של $A$ מהמישור $\pi$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}d &= \frac{|2 \cdot 1 - 0 + 2 \cdot 2 + 3|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} \\ &= \frac{9}{3} \\ &= 3\end{aligned}

המכנה הוא $\sqrt{9} = 3$ , לא $9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון המישור $\pi:\ 2x - y + 2z + 3 = 0$ והנקודה $A(1, 0, 2)$ . ב. מצאו את $H$ , נקודת החיתוך של האנך מ- $A$ עם $\pi$ .

$H$ = (____, ____, ____)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $H$ = (-1, 1, 0)

הפתרון:

\underline{x} = (1, 0, 2) + t(2, -1, 2)

האנך בכיוון הנורמל

\begin{aligned}2(1 + 2t) - (-t) + 2(2 + 2t) + 3 &= 0 \Rightarrow 9 + 9t \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}t &= -1 \Rightarrow H \\ &= (-1, 1, 0)\end{aligned}

שימו לב לסימן: $-(0 - t) = +t$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון המישור $\pi:\ 2x - y + 2z + 3 = 0$ והנקודה $A(1, 0, 2)$ . ג. מהי הנקודה $A'$ , השיקוף של $A$ במישור $\pi$ ?

$(3, -2, 2)$
$(-1, 1, 0)$
$(-3, 2, -2)$
$(-2, 1, -1)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $(-3, 2, -2)$

הפתרון:

\begin{aligned}A' &= A + 2(H - A) \\ &= (1, 0, 2) + 2(-2, 1, -2)\end{aligned}

$H$ הוא אמצע $AA'$

A' = (-3, 2, -2)

$(-1, 1, 0)$ הוא $H$ עצמו: השיקוף ממשיך אותו מרחק מעבר למישור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון המישור $\pi:\ 2x - y + 2z + 3 = 0$ והנקודה $A(1, 0, 2)$ . ד. מהי משוואת המישור שעובר דרך $A$ ומקביל ל- $\pi$ ?

$x + 2z - 5 = 0$
$2x - y + 2z - 6 = 0$
$2x - y + 2z + 6 = 0$
$2x - y + 2z + 3 = 0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $2x - y + 2z - 6 = 0$

הפתרון:

2x - y + 2z + d = 0

מישור מקביל: אותו נורמל

\begin{aligned}2 - 0 + 4 + d &= 0 \Rightarrow d \\ &= -6\end{aligned}

מציבים את $A$

מישורים מקבילים נבדלים רק במספר החופשי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון המישור $\pi:\ 2x - y + 2z + 3 = 0$ והנקודה $A(1, 0, 2)$ . ה. מהו המרחק בין $\pi$ למישור $2x - y + 2z - 6 = 0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}d &= \frac{|3 - (-6)|}{\sqrt{9}} \\ &= 3\end{aligned}

המספרים החופשיים, כשהנורמלים זהים

הבדיקה מסתדרת: $A$ נמצאת על המישור השני, והמרחק שלה מ- $\pi$ הוא $3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון המישור $\pi:\ 2x - y + 2z + 3 = 0$ והנקודה $A(1, 0, 2)$ . ו. הישר $AB$ עובר דרך $A$ ו- $B(0, -1, 1)$ . מצאו את נקודת החיתוך שלו עם $\pi$ .

(____, ____, ____)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (-2, -3, -1)

הפתרון:

\begin{aligned}\underline{AB} &= (-1, -1, -1) \\ \quad \underline{x} &= (1 - t,\ -t,\ 2 - t)\end{aligned}

\begin{aligned}2(1 - t) + t + 2(2 - t) + 3 &= 0 \Rightarrow 9 - 3t \\ &= 0 \Rightarrow t \\ &= 3\end{aligned}

(1 - 3,\ -3,\ 2 - 3) = (-2, -3, -1)

מציבים את כל הרכיבים של הנקודה הכללית, כל אחד במקום שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון המישור $\pi:\ 2x - y + 2z + 3 = 0$ והנקודה $A(1, 0, 2)$ . ז. מהי הזווית בין הישר $AB$ (עם $B(0, -1, 1)$ ) למישור $\pi$ , במעלות? עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 35.26

הפתרון:

\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{|(-1, -1, -1)\cdot(2, -1, 2)|}{\sqrt{3} \cdot 3} \\ &= \frac{3}{3\sqrt{3}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}}\end{aligned}

\alpha \approx 35.26^\circ

בין ישר למישור: סינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתון המישור $\pi:\ 2x - y + 2z + 3 = 0$ והנקודה $A(1, 0, 2)$ . ח. המישור $x + 2y - 4 = 0$ ניצב למישור $\pi$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}(1, 2, 0)\cdot(2, -1, 2) &= 2 - 2 + 0 \\ &= 0\end{aligned}

הנורמלים ניצבים

מישורים ניצבים ⇔ הנורמלים שלהם ניצבים, כלומר המכפלה הסקלרית שלהם $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev