מהו וקטור · וקטורים וגאומטריה במרחב · כיתה י״ב

וקטור הוא חץ. יש לו כיוון, ויש לו אורך (קוראים לו גם גודל).

תזוזה, מהירות, כוח: לא מספיק לומר «5 מטר». צריך לומר גם לאן. בשביל זה יש וקטורים.

מזיזים את הזנב של החץ למקום אחר. האם הווקטור השתנה?

להציג את התשובה והפתרון

לא. הכיוון והאורך נשארו, ולכן זה אותו וקטור. וקטור לא «גר» במקום מסוים: כל חץ באותו כיוון ובאותו אורך הוא אותו וקטור.

הרכיבים: כמה ימינה, כמה למעלה

במישור כותבים וקטור בעזרת שני מספרים: $\underline{u} = (a, b)$ .

$a$ אומר כמה זזים ימינה (בכיוון ציר $x$ ), ו- $b$ אומר כמה זזים למעלה. מספר שלילי: שמאלה, או למטה.

הווקטור מנקודה $A$ לנקודה $B$ נכתב $\underline{AB}$ . מוצאים אותו כך: הסוף פחות ההתחלה.

\begin{aligned}\underline{AB} &= B - A \\ &= (x_B - x_A,\ y_B - y_A)\end{aligned}

הווקטור מ- $A(1, 1)$ אל $B(4, 3)$

מחסרים את $A$ מ- $B$ , רכיב אחרי רכיב.

\underline{AB} = (4 - 1,\ 3 - 1)

הסוף פחות ההתחלה

\underline{AB} = (3, 2)

שלוש ימינה, שתיים למעלה

ומהו $\underline{BA}$ , הווקטור מ- $B$ חזרה אל $A$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$(-3, -2)$ . אותו אורך, כיוון הפוך. זה הוקטור הנגדי: $\underline{BA} = -\underline{AB}$ .

האורך של וקטור

את האורך של $\underline{u} = (a, b)$ מוצאים במשפט פיתגורס: הרכיבים הם הניצבים, והחץ הוא היתר.

|\underline{u}| = \sqrt{a^2 + b^2}

הקווים הישרים מסביב ל- $\underline{u}$ פירושם «האורך של»

האורך של $\underline{u} = (3, -4)$

מעלים כל רכיב בריבוע, גם את השלילי.

|\underline{u}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2}

\begin{aligned}\sqrt{9 + 16} &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned}

ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי

\underline{u} = \underline{v}

וקטורים שווים: אותו כיוון ואותו אורך, כלומר אותם רכיבים

-\underline{u}

הוקטור הנגדי: אותו אורך, כיוון הפוך. הרכיבים מחליפים סימן

\underline{0} = (0, 0)

וקטור האפס: אורך $0$ , ואין לו כיוון

שתי טעויות שחוזרות בבחינות.

\underline{AB} = A - B

\underline{AB} = B - A

תמיד הסוף פחות ההתחלה. $A - B$ נותן את $\underline{BA}$ , החץ ההפוך.

|(3, -4)| = \sqrt{9 - 16}

\begin{aligned}|(3, -4)| &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

מעלים בריבוע את הרכיב עם הסימן: $(-4)^2 = 16$ .

תרגילים

תרגיל 1

נתונות הנקודות $A(2, -1)$ ו- $B(5, 3)$ . מהו הרכיב הראשון (רכיב ה- $x$ ) של $\underline{AB}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

5 - 2 = 3

הסוף פחות ההתחלה, ברכיב $x$

מחסרים את השיעור של $A$ מזה של $B$ , לא להפך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

$A(2, -1)$ , $B(5, 3)$ . מהו הרכיב השני (רכיב ה- $y$ ) של $\underline{AB}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

3 - (-1) = 4

מינוס מינוס הוא פלוס

החיסור $3 - (-1)$ הוא $4$ , לא $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$A(2, -1)$ , $B(5, 3)$ . מהו האורך $|\underline{AB}|$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\underline{AB} = (3, 4)

\begin{aligned}|\underline{AB}| &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

קודם הרכיבים, אחר כך פיתגורס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו הווקטור מ- $A(-1, 4)$ אל $B(2, 0)$ ?

$(1, 4)$
$(3, 4)$
$(-3, 4)$
$(3, -4)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $(3, -4)$

הפתרון:

\begin{aligned}\underline{AB} &= (2 - (-1),\ 0 - 4) \\ &= (3, -4)\end{aligned}

$(-3, 4)$ הוא $\underline{BA}$ : החיסור נעשה הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו האורך של הווקטור $(-5, 12)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

\begin{aligned}\sqrt{(-5)^2 + 12^2} &= \sqrt{25 + 144} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13\end{aligned}

$(-5)^2 = 25$ , לא $-25$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו האורך של הווקטור $(2, 3)$ ? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.61

הפתרון:

\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \approx 3.61

האורך לא חייב לצאת מספר שלם. $\sqrt{13}$ הוא תשובה מדויקת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונות הנקודות $A(0, 0)$ , $B(2, 1)$ , $C(3, 3)$ ו- $D(5, 4)$ . הטענה: הווקטורים $\underline{AB}$ ו- $\underline{CD}$ שווים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\underline{AB} = (2, 1)

\begin{aligned}\underline{CD} &= (5 - 3,\ 4 - 3) \\ &= (2, 1)\end{aligned}

אותם רכיבים

החיצים במקומות שונים, אבל באותו כיוון ובאותו אורך: אלה וקטורים שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הטענה: שני וקטורים שווים חייבים להתחיל באותה נקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\underline{AB} &= \underline{CD} \iff B - A \\ &= D - C\end{aligned}

משווים רכיבים, לא נקודות

וקטור הוא כיוון ואורך. אפשר להזיז את החץ לכל מקום, והוא נשאר אותו וקטור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה הנקודה $A(1, 2)$ , ו- $\underline{AB} = (4, -3)$ . מהם השיעורים של $B$ ?

$(5, -1)$
$(4, -6)$
$(-3, 5)$
$(3, -5)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $(5, -1)$

הפתרון:

B = A + \underline{AB}

מתחילים ב- $A$ והולכים לפי החץ

\begin{aligned}B &= (1 + 4,\ 2 + (-3)) \\ &= (5, -1)\end{aligned}

מ- $\underline{AB} = B - A$ מקבלים $B = A + \underline{AB}$ : מחברים, לא מחסרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

התאימו כל מושג לתיאור שלו.

וקטור נגדי
וקטורים שווים
וקטור האפס
האורך של וקטור

אורך אפס, בלי כיוון
אותו אורך ואותו כיוון
אותו אורך, כיוון הפוך
שורש של סכום ריבועי הרכיבים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: וקטור נגדי — אותו אורך, כיוון הפוך · וקטורים שווים — אותו אורך ואותו כיוון · וקטור האפס — אורך אפס, בלי כיוון · האורך של וקטור — שורש של סכום ריבועי הרכיבים

הפתרון:

\begin{aligned}-\underline{u} \\ \quad \underline{u} &= \underline{v} \\ \quad \underline{0} \\ \quad |\underline{u}|\end{aligned}

וקטור נקבע רק על ידי כיוון ואורך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

השלימו.

נתון $\underline{u} = (6, -8)$ . האורך $|\underline{u}|$ הוא ____, והאורך של הווקטור הנגדי $|-\underline{u}|$ הוא ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נתון $\underline{u} = (6, -8)$ . האורך $|\underline{u}|$ הוא 10, והאורך של הווקטור הנגדי $|-\underline{u}|$ הוא 10.

הפתרון:

\begin{aligned}|\underline{u}| &= \sqrt{36 + 64} \\ &= 10\end{aligned}

\begin{aligned}-\underline{u} &= (-6, 8) \\ \quad |-\underline{u}| &= 10\end{aligned}

רק הכיוון התהפך

וקטור נגדי הוא באותו אורך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

האורך של הווקטור $(k, 4)$ הוא $5$ , ו- $k$ חיובי. מהו $k$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

k^2 + 16 = 25

מעלים בריבוע את שני האגפים

\begin{aligned}k^2 &= 9 \\ \quad k &= 3\end{aligned}

לוקחים את הפתרון החיובי

גם $k = -3$ נותן אורך $5$ . השאלה ביקשה את החיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

דנה חישבה את הווקטור מ- $A(3, 5)$ אל $B(1, 2)$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

\underline{AB} = A - B

= (3 - 1,\ 5 - 2)

= (2, 3)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\underline{AB} = A - B$ → $\underline{AB} = B - A = (1 - 3,\ 2 - 5) = (-2, -3)$

הפתרון:

\begin{aligned}\underline{AB} &= B - A \\ &= (-2, -3)\end{aligned}

הסוף פחות ההתחלה

החיסור הפוך נותן את $\underline{BA}$ . הטעות בשורה הראשונה, והשאר רק ממשיך אותה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

הרכיבים: כמה ימינה, כמה למעלה

האורך של וקטור

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev