פעולות עם וקטורים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

הולכים לפי החץ u‾\underline{u}, ומהסוף שלו ממשיכים לפי החץ v‾\underline{v}. הדרך כולה היא הסכום u‾+v‾\underline{u} + \underline{v}.

מחליפים את הסדר: קודם v‾\underline{v}, ואחר כך u‾\underline{u}. האם הסכום משתנה?

להציג את התשובה והפתרון

לא. שתי הדרכים הן שתי הצלעות של מקבילית, והסכום הוא האלכסון שלה. לכן u‾+v‾=v‾+u‾\underline{u} + \underline{v} = \underline{v} + \underline{u}.

AB‾+BC‾=AC‾\underline{AB} + \underline{BC} = \underline{AC}

כלל המשולש: הסוף של החץ הראשון הוא ההתחלה של השני

OA‾+OC‾=OB‾\underline{OA} + \underline{OC} = \underline{OB}

כלל המקבילית: שני חצים מאותה נקודה, והסכום הוא האלכסון

חיבור וחיסור ברכיבים

ברכיבים החיבור פשוט: מחברים רכיב עם רכיב.

(a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2, b1+b2)(a_1, b_1) + (a_2, b_2) = (a_1 + a_2,\ b_1 + b_2)

הסכום של u‾=(3,−1)\underline{u} = (3, -1) ו-v‾=(−2,4)\underline{v} = (-2, 4)

רכיב ה-xx עם רכיב ה-xx, ורכיב ה-yy עם רכיב ה-yy.

u‾+v‾=(3+(−2), −1+4)\underline{u} + \underline{v} = (3 + (-2),\ -1 + 4)
=(1,3)= (1, 3)

חיסור הוא חיבור של הנגדי: u‾−v‾=u‾+(−v‾)\underline{u} - \underline{v} = \underline{u} + (-\underline{v}). ברכיבים מחסרים רכיב מרכיב.

מנקודה OO יוצאים החצים OA‾\underline{OA} ו-OB‾\underline{OB}. איזה וקטור הוא OB‾−OA‾\underline{OB} - \underline{OA}?

להציג את התשובה והפתרון

AB‾\underline{AB}. מ-AA חוזרים אל OO, ומשם הולכים אל BB. לכן AB‾=OB‾−OA‾\underline{AB} = \underline{OB} - \underline{OA}, הסוף פחות ההתחלה.

כפל וקטור במספר

סקלר הוא מספר רגיל. כופלים וקטור במספר kk: כל רכיב מוכפל ב-kk.

k(a,b)=(ka, kb)∣ku‾∣=∣k∣⋅∣u‾∣\begin{aligned}k(a, b) &= (ka,\ kb) \\ \qquad |k\underline{u}| &= |k| \cdot |\underline{u}|\end{aligned}
k>1k > 1

אותו כיוון, ארוך יותר

0<k<10 < k < 1

אותו כיוון, קצר יותר

k<0k < 0

כיוון הפוך, והאורך מוכפל ב-∣k∣|k|

נתונים u‾=(1,2)\underline{u} = (1, 2) ו-v‾=(2,−1)\underline{v} = (2, -1). מחשבים את 2u‾−3v‾2\underline{u} - 3\underline{v}

קודם כופלים, אחר כך מחסרים.

2u‾=(2,4)3v‾=(6,−3)\begin{aligned}2\underline{u} &= (2, 4) \\ \quad 3\underline{v} &= (6, -3)\end{aligned}
2u‾−3v‾=(2−6, 4−(−3))=(−4,7)\begin{aligned}2\underline{u} - 3\underline{v} &= (2 - 6,\ 4 - (-3)) \\ &= (-4, 7)\end{aligned}

מינוס מינוס הוא פלוס

שלוש טעויות של סימנים.

(3,−1)−(−2,4)=(1,3)(3, -1) - (-2, 4) = (1, 3)
(3,−1)−(−2,4)=(5,−5)(3, -1) - (-2, 4) = (5, -5)

בחיסור מחסרים כל רכיב: 3−(−2)=53 - (-2) = 5 ו-−1−4=−5-1 - 4 = -5.

−3(1,−2)=(−3,−6)-3(1, -2) = (-3, -6)
−3(1,−2)=(−3,6)-3(1, -2) = (-3, 6)

מינוס כפול מינוס הוא פלוס, גם ברכיב השני.

∣−2u‾∣=−2∣u‾∣|-2\underline{u}| = -2|\underline{u}|
∣−2u‾∣=2∣u‾∣|-2\underline{u}| = 2|\underline{u}|

אורך הוא אף פעם לא שלילי. הסימן רק הופך את הכיוון.

תרגילים

תרגיל 1

נתונים u‾=(3,−1)\underline{u} = (3, -1) ו-v‾=(2,5)\underline{v} = (2, 5). מהו רכיב ה-xx של u‾+v‾\underline{u} + \underline{v}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

3+2=53 + 2 = 5

רכיב xx עם רכיב xx

מחברים רכיב עם הרכיב שלו, לא את כל המספרים יחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו u‾+v‾\underline{u} + \underline{v} כאשר u‾=(−1,4)\underline{u} = (-1, 4) ו-v‾=(3,−6)\underline{v} = (3, -6)?

  1. (2,10)(2, 10)
  2. (2,−2)(2, -2)
  3. (−4,10)(-4, 10)
  4. (−3,−24)(-3, -24)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב (2,−2)(2, -2)

הפתרון:

(−1+3, 4+(−6))=(2,−2)(-1 + 3,\ 4 + (-6)) = (2, -2)

(−4,10)(-4, 10) הוא u‾−v‾\underline{u} - \underline{v}, ו-(−3,−24)(-3, -24) הוא כפל של רכיבים: לא חיבור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו u‾−v‾\underline{u} - \underline{v} כאשר u‾=(2,3)\underline{u} = (2, 3) ו-v‾=(5,−1)\underline{v} = (5, -1)?

  1. (7,2)(7, 2)
  2. (−3,4)(-3, 4)
  3. (−3,2)(-3, 2)
  4. (3,−4)(3, -4)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב (−3,4)(-3, 4)

הפתרון:

(2−5, 3−(−1))=(−3,4)(2 - 5,\ 3 - (-1)) = (-3, 4)

(3,−4)(3, -4) הוא v‾−u‾\underline{v} - \underline{u}: הסדר בחיסור קובע את הכיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונים u‾=(1,2)\underline{u} = (1, 2) ו-v‾=(2,2)\underline{v} = (2, 2). מהו האורך ∣u‾+v‾∣|\underline{u} + \underline{v}|?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

u‾+v‾=(3,4)\underline{u} + \underline{v} = (3, 4)

קודם מחברים

∣(3,4)∣=9+16=5\begin{aligned}|(3, 4)| &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

אחר כך האורך

קודם מחברים את הווקטורים, ורק אחר כך מחשבים אורך. ∣u‾∣+∣v‾∣|\underline{u}| + |\underline{v}| נותן מספר אחר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונים u‾=(2,−1)\underline{u} = (2, -1) ו-v‾=(1,3)\underline{v} = (1, 3). מהו 3u‾−2v‾3\underline{u} - 2\underline{v}?

  1. (4,−9)(4, -9)
  2. (8,−9)(8, -9)
  3. (4,3)(4, 3)
  4. (5,−6)(5, -6)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א (4,−9)(4, -9)

הפתרון:

3u‾=(6,−3)2v‾=(2,6)\begin{aligned}3\underline{u} &= (6, -3) \\ \quad 2\underline{v} &= (2, 6)\end{aligned}
(6−2, −3−6)=(4,−9)(6 - 2,\ -3 - 6) = (4, -9)

כופלים כל רכיב במספר שלפניו, גם את השלילי: 3⋅(−1)=−33 \cdot (-1) = -3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

השלימו.

הכפל −2⋅(3,−4)-2 \cdot (3, -4) שווה לווקטור שרכיב ה-xx שלו הוא ____, ורכיב ה-yy שלו הוא ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הכפל −2⋅(3,−4)-2 \cdot (3, -4) שווה לווקטור שרכיב ה-xx שלו הוא -6, ורכיב ה-yy שלו הוא 8.

הפתרון:

−2⋅(3,−4)=(−6,8)-2 \cdot (3, -4) = (-6, 8)

כל רכיב כפול −2-2

הכפל בשלילי הופך את הסימן של שני הרכיבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

האורך של u‾\underline{u} הוא 44. מהו האורך של −3u‾-3\underline{u}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

∣−3u‾∣=∣−3∣⋅∣u‾∣=3⋅4=12\begin{aligned}|-3\underline{u}| &= |-3| \cdot |\underline{u}| \\ &= 3 \cdot 4 \\ &= 12\end{aligned}

אורך לא יוצא שלילי: התשובה 1212, לא −12-12.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הטענה: לכל שני וקטורים מתקיים ∣u‾+v‾∣=∣u‾∣+∣v‾∣|\underline{u} + \underline{v}| = |\underline{u}| + |\underline{v}|.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

u‾=(1,0) v‾=(0,1):∣u‾+v‾∣=2\begin{aligned}\underline{u} &= (1, 0) \\ \ \underline{v} &= (0, 1):\quad |\underline{u} + \underline{v}| \\ &= \sqrt{2}\end{aligned}
∣u‾∣+∣v‾∣=2≠2|\underline{u}| + |\underline{v}| = 2 \ne \sqrt{2}

דוגמה נגדית אחת מספיקה

במשולש צלע אחת קצרה מסכום שתי האחרות. השוויון נכון רק כשהווקטורים באותו כיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הטענה: לכל שלוש נקודות AA, BB, CC מתקיים AB‾+BC‾=AC‾\underline{AB} + \underline{BC} = \underline{AC}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

AB‾+BC‾=(B−A)+(C−B)=C−A=AC‾\begin{aligned}\underline{AB} + \underline{BC} &= (B - A) + (C - B) \\ &= C - A \\ &= \underline{AC}\end{aligned}

BB מצטמצם

זה כלל המשולש. הוא נכון גם כשהנקודות על ישר אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון OA‾=(2,5)\underline{OA} = (2, 5) ו-OB‾=(6,2)\underline{OB} = (6, 2). מהו האורך ∣AB‾∣|\underline{AB}|?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

AB‾=OB‾−OA‾=(4,−3)\begin{aligned}\underline{AB} &= \underline{OB} - \underline{OA} \\ &= (4, -3)\end{aligned}

הסוף פחות ההתחלה

∣AB‾∣=16+9=5\begin{aligned}|\underline{AB}| &= \sqrt{16 + 9} \\ &= 5\end{aligned}

AB‾\underline{AB} הוא OB‾−OA‾\underline{OB} - \underline{OA}, לא הסכום שלהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מיינו: באיזה כיוון יוצא ku‾k\underline{u}, ביחס ל-u‾\underline{u}?

  • אותו כיוון
  • כיוון הפוך
  • k=−14k = -\frac{1}{4}
  • k=−1k = -1
  • k=−3k = -3
  • k=12k = \frac{1}{2}
  • k=0.1k = 0.1
  • k=2k = 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: k=2k = 2 — אותו כיוון · k=12k = \frac{1}{2} — אותו כיוון · k=−1k = -1 — כיוון הפוך · k=−3k = -3 — כיוון הפוך · k=0.1k = 0.1 — אותו כיוון · k=−14k = -\frac{1}{4} — כיוון הפוך

הפתרון:

k>0: ↑↑,k<0: ↑↓k > 0:\ \uparrow\uparrow, \qquad k < 0:\ \uparrow\downarrow

רק הסימן של kk קובע

הגודל של kk קובע את האורך, והסימן שלו קובע את הכיוון. k=0.1k = 0.1 מקצר, אבל לא הופך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

נתונים u‾=(1,3)\underline{u} = (1, 3) ו-v‾=(4,−2)\underline{v} = (4, -2). יוסי חישב את 2u‾−v‾2\underline{u} - \underline{v}. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

2u‾=(2,6)2\underline{u} = (2, 6)
2u‾−v‾=(2−4, 6−2)2\underline{u} - \underline{v} = (2 - 4,\ 6 - 2)
=(−2,4)= (-2, 4)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2u‾−v‾=(2−4, 6−2)2\underline{u} - \underline{v} = (2 - 4,\ 6 - 2) → 2u‾−v‾=(2−4, 6−(−2))=(−2,8)2\underline{u} - \underline{v} = (2 - 4,\ 6 - (-2)) = (-2, 8)

הפתרון:

6−(−2)=86 - (-2) = 8

מחסרים את הרכיב עם הסימן שלו

ברכיב השני של v‾\underline{v} יש −2-2, ולכן מחסרים −2-2: זה פלוס 22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

נתונים u‾=(2,−3)\underline{u} = (2, -3) ו-w‾=(1,9)\underline{w} = (1, 9). לאיזה ערך של kk הווקטור ku‾+w‾k\underline{u} + \underline{w} מונח על ציר ה-xx (רכיב ה-yy שלו 00)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

ku‾+w‾=(2k+1, −3k+9)k\underline{u} + \underline{w} = (2k + 1,\ -3k + 9)
−3k+9=0⇒k=3\begin{aligned}-3k + 9 &= 0 \Rightarrow k \\ &= 3\end{aligned}

רק רכיב ה-yy צריך להתאפס. רכיב ה-xx יכול להיות כל מספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת