מקבילים, צירופים ובסיס

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שני וקטורים הם קולינאריים, כלומר מקבילים, כשאחד מהם הוא כפולה של השני: u‾=kv‾\underline{u} = k\underline{v}.

בודקים כך: מחלקים רכיב ברכיב. אם יוצא אותו מספר בכל הרכיבים, הווקטורים מקבילים.

האם (2,−6)(2, -6) ו-(−1,3)(-1, 3) מקבילים?

מחפשים מספר kk אחד שמתאים לשני הרכיבים.

2−1=−2−63=−2\begin{aligned}\frac{2}{-1} &= -2 \\ \quad \frac{-6}{3} &= -2\end{aligned}

אותו יחס בשני הרכיבים

(2,−6)=−2⋅(−1,3)(2, -6) = -2 \cdot (-1, 3)

מקבילים, בכיוון הפוך כי k<0k < 0

האם הנקודות A(1,1)A(1, 1), B(3,2)B(3, 2) ו-C(7,4)C(7, 4) נמצאות על ישר אחד?

להציג את התשובה והפתרון

כן. AB‾=(2,1)\underline{AB} = (2, 1) ו-AC‾=(6,3)=3AB‾\underline{AC} = (6, 3) = 3\underline{AB}. שני וקטורים מקבילים עם נקודה משותפת AA: שלוש הנקודות על ישר אחד.

צירוף ליניארי ובסיס

צירוף ליניארי של u‾\underline{u} ושל v‾\underline{v} הוא וקטור מהצורה αu‾+βv‾\alpha\underline{u} + \beta\underline{v}. כאן α\alpha ו-β\beta הם מספרים.

כששני הווקטורים לא מקבילים, מגיעים בעזרתם לכל נקודה במישור, ובדרך אחת בלבד. זוג כזה נקרא בסיס.

מבטאים את w‾=(1,3)\underline{w} = (1, 3) בעזרת u‾=(1,1)\underline{u} = (1, 1) ו-v‾=(1,−1)\underline{v} = (1, -1)

כותבים w‾=αu‾+βv‾\underline{w} = \alpha\underline{u} + \beta\underline{v} ומשווים רכיבים.

(1,3)=(α+β, α−β)(1, 3) = (\alpha + \beta,\ \alpha - \beta)
α+β=1α−β=3\begin{aligned}\alpha + \beta &= 1 \\ \quad \alpha - \beta &= 3\end{aligned}

מערכת של שתי משוואות

α=2β=−1\begin{aligned}\alpha &= 2 \\ \quad \beta &= -1\end{aligned}

מחברים את המשוואות: 2α=42\alpha = 4

w‾=2u‾−v‾\underline{w} = 2\underline{u} - \underline{v}

ואם u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} מקבילים, מגיעים בעזרתם לכל נקודה?

להציג את התשובה והפתרון

לא. כל הצירופים שלהם נשארים על ישר אחד, בכיוון של u‾\underline{u}. בשביל בסיס צריך שני כיוונים שונים.

וקטורים בתוך צורה

בבחינה הצורה מופיעה לרוב בלי מערכת צירים. בוחרים שני וקטורים כבסיס, ומבטאים בעזרתם את כל השאר.

מבטאים את AM‾\underline{AM} בעזרת u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v}

הולכים מ-AA אל MM בדרך שמכירים: דרך BB.

AM‾=AB‾+BM‾\underline{AM} = \underline{AB} + \underline{BM}

כלל המשולש

BM‾=12BC‾=12AD‾=12v‾\begin{aligned}\underline{BM} &= \frac{1}{2}\underline{BC} \\ &= \frac{1}{2}\underline{AD} \\ &= \frac{1}{2}\underline{v}\end{aligned}

צלעות נגדיות במקבילית הן וקטורים שווים

AM‾=u‾+12v‾\underline{AM} = \underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}
M=A+B2=(xA+xB2, yA+yB2)\begin{aligned}M &= \frac{A + B}{2} \\ &= \left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)\end{aligned}

האמצע של ABAB הוא הממוצע של השיעורים

נקודה PP על הקטע ABAB, כך ש-AP:PB=m:nAP : PB = m : n, מקיימת AP‾=mm+nAB‾\underline{AP} = \frac{m}{m + n}\underline{AB}.

שתי טעויות שחוזרות בהבעה.

BM‾=12u‾\underline{BM} = \frac{1}{2}\underline{u}
BM‾=12v‾\underline{BM} = \frac{1}{2}\underline{v}

הצלע BCBC מקבילה ל-ADAD, לא ל-ABAB. צלעות נגדיות במקבילית הן וקטורים שווים.

AP:PB=1:2⇒AP‾=12AB‾\begin{aligned}AP : PB &= 1 : 2 \Rightarrow \underline{AP} \\ &= \frac{1}{2}\underline{AB}\end{aligned}
AP‾=13AB‾\underline{AP} = \frac{1}{3}\underline{AB}

היחס 1:21 : 2 מחלק את הקטע ל-שלושה חלקים שווים.

תרגילים

תרגיל 1

הטענה: הווקטורים (3,−6)(3, -6) ו-(−1,2)(-1, 2) מקבילים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

3−1=−3−62=−3\begin{aligned}\frac{3}{-1} &= -3 \\ \quad \frac{-6}{2} &= -3\end{aligned}
(3,−6)=−3⋅(−1,2)(3, -6) = -3 \cdot (-1, 2)

הם מקבילים בכיוון הפוך: kk שלילי. גם זה נחשב מקביל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הטענה: הווקטורים (2,3)(2, 3) ו-(4,5)(4, 5) מקבילים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

42=253≠2\begin{aligned}\frac{4}{2} &= 2 \\ \quad \frac{5}{3} \ne 2\end{aligned}

היחס לא אותו מספר

הרכיב הראשון הוכפל ב-22, אבל השני לא. לא מספיק שהרכיבים «גדלים».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

לאיזה ערך של kk הווקטור (k,6)(k, 6) מקביל לווקטור (2,3)(2, 3)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

63=2\frac{6}{3} = 2

היחס ברכיב השני

k=2⋅2=4\begin{aligned}k &= 2 \cdot 2 \\ &= 4\end{aligned}

אותו יחס ברכיב הראשון

מוצאים את היחס מהרכיב הידוע, ורק אז את kk.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הנקודות A(0,1)A(0, 1) ו-B(2,2)B(2, 2) נתונות. איזו נקודה CC נמצאת על הישר ABAB?

  1. (6,5)(6, 5)
  2. (4,4)(4, 4)
  3. (6,4)(6, 4)
  4. (3,2)(3, 2)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג (6,4)(6, 4)

הפתרון:

AB‾=(2,1)\underline{AB} = (2, 1)
C(6,4): AC‾=(6,3)=3AB‾\begin{aligned}C(6, 4):\ \underline{AC} &= (6, 3) \\ &= 3\underline{AB}\end{aligned}

מקבילים, ויש נקודה משותפת

בודקים את AC‾\underline{AC}, לא את CC עצמה: (6,4)(6, 4) אינו כפולה של (2,2)(2, 2), אבל (6,3)(6, 3) כן כפולה של (2,1)(2, 1).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

השלימו.

האמצע של הקטע שבין A(2,−3)A(2, -3) ל-B(6,7)B(6, 7) הוא הנקודה MM. שיעור ה-xx שלה ____, ושיעור ה-yy שלה ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: האמצע של הקטע שבין A(2,−3)A(2, -3) ל-B(6,7)B(6, 7) הוא הנקודה MM. שיעור ה-xx שלה 4, ושיעור ה-yy שלה 2.

הפתרון:

M=(2+62, −3+72)=(4,2)\begin{aligned}M &= \left(\frac{2 + 6}{2},\ \frac{-3 + 7}{2}\right) \\ &= (4, 2)\end{aligned}

ממוצע: מחברים ומחלקים ב-22. מחיסור יוצא חצי מהווקטור, לא האמצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

השלימו.

כותבים (4,2)=α(1,1)+β(1,−1)(4, 2) = \alpha(1, 1) + \beta(1, -1). אז α\alpha = ____, ו-β\beta = ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: כותבים (4,2)=α(1,1)+β(1,−1)(4, 2) = \alpha(1, 1) + \beta(1, -1). אז α\alpha = 3, ו-β\beta = 1.

הפתרון:

α+β=4α−β=2\begin{aligned}\alpha + \beta &= 4 \\ \quad \alpha - \beta &= 2\end{aligned}

משווים רכיבים

α=3β=1\begin{aligned}\alpha &= 3 \\ \quad \beta &= 1\end{aligned}

משווים רכיב xx לרכיב xx ורכיב yy לרכיב yy: יוצאת מערכת של שתי משוואות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הנקודה PP על הקטע שבין A(1,2)A(1, 2) ל-B(7,11)B(7, 11), ו-AP:PB=1:2AP : PB = 1 : 2. מהו שיעור ה-yy של PP?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

AB‾=(6,9)\underline{AB} = (6, 9)
AP‾=13AB‾=(2,3)\begin{aligned}\underline{AP} &= \frac{1}{3}\underline{AB} \\ &= (2, 3)\end{aligned}

שלושה חלקים, לוקחים אחד

P=A+AP‾=(3,5)\begin{aligned}P &= A + \underline{AP} \\ &= (3, 5)\end{aligned}

1:21 : 2 זה שליש מהדרך מ-AA, לא חצי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במקבילית ABCDABCD נתון AB‾=u‾\underline{AB} = \underline{u} ו-AD‾=v‾\underline{AD} = \underline{v}. איזה וקטור הוא AC‾\underline{AC}?

  1. v‾−u‾\underline{v} - \underline{u}
  2. u‾+v‾\underline{u} + \underline{v}
  3. 12(u‾+v‾)\frac{1}{2}(\underline{u} + \underline{v})
  4. u‾−v‾\underline{u} - \underline{v}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב u‾+v‾\underline{u} + \underline{v}

הפתרון:

AC‾=AB‾+BC‾=u‾+v‾\begin{aligned}\underline{AC} &= \underline{AB} + \underline{BC} \\ &= \underline{u} + \underline{v}\end{aligned}

BC‾=AD‾\underline{BC} = \underline{AD}

האלכסון שיוצא מ-AA הוא הסכום (כלל המקבילית). חצי מהסכום מגיע רק עד אמצע האלכסון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

באותה מקבילית (AB‾=u‾\underline{AB} = \underline{u}, AD‾=v‾\underline{AD} = \underline{v}), איזה וקטור הוא BD‾\underline{BD}?

  1. u‾+v‾\underline{u} + \underline{v}
  2. u‾−v‾\underline{u} - \underline{v}
  3. v‾−u‾\underline{v} - \underline{u}
  4. −u‾−v‾-\underline{u} - \underline{v}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג v‾−u‾\underline{v} - \underline{u}

הפתרון:

BD‾=BA‾+AD‾=−u‾+v‾\begin{aligned}\underline{BD} &= \underline{BA} + \underline{AD} \\ &= -\underline{u} + \underline{v}\end{aligned}

חוזרים מ-BB אל AA, ואז אל DD

u‾−v‾\underline{u} - \underline{v} הוא DB‾\underline{DB}: האלכסון באותו קו, אבל בכיוון ההפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במקבילית ABCDABCD (AB‾=u‾\underline{AB} = \underline{u}, AD‾=v‾\underline{AD} = \underline{v}), הנקודה NN היא אמצע CDCD. איזה וקטור הוא AN‾\underline{AN}?

  1. 12(u‾+v‾)\frac{1}{2}(\underline{u} + \underline{v})
  2. u‾+12v‾\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}
  3. v‾−12u‾\underline{v} - \frac{1}{2}\underline{u}
  4. v‾+12u‾\underline{v} + \frac{1}{2}\underline{u}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד v‾+12u‾\underline{v} + \frac{1}{2}\underline{u}

הפתרון:

AN‾=AD‾+DN‾\underline{AN} = \underline{AD} + \underline{DN}

דרך DD

DN‾=12DC‾=12u‾\begin{aligned}\underline{DN} &= \frac{1}{2}\underline{DC} \\ &= \frac{1}{2}\underline{u}\end{aligned}

DC‾=AB‾\underline{DC} = \underline{AB}

הצלע DCDC שווה ל-ABAB, ולכן חצי ממנה הוא 12u‾\frac{1}{2}\underline{u} ולא 12v‾\frac{1}{2}\underline{v}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

במשולש ABCABC נתון AB‾=u‾\underline{AB} = \underline{u} ו-AC‾=v‾\underline{AC} = \underline{v}. הנקודה MM היא אמצע BCBC. איזה וקטור הוא AM‾\underline{AM}?

  1. u‾+v‾\underline{u} + \underline{v}
  2. 12v‾−12u‾\frac{1}{2}\underline{v} - \frac{1}{2}\underline{u}
  3. u‾+12v‾\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}
  4. 12u‾+12v‾\frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 12u‾+12v‾\frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}

הפתרון:

AM‾=AB‾+12BC‾\underline{AM} = \underline{AB} + \frac{1}{2}\underline{BC}
=u‾+12(v‾−u‾)=12u‾+12v‾= \underline{u} + \frac{1}{2}(\underline{v} - \underline{u}) = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}

BC‾=v‾−u‾\underline{BC} = \underline{v} - \underline{u}

במשולש BC‾\underline{BC} הוא v‾−u‾\underline{v} - \underline{u}, לא v‾\underline{v}: אין כאן מקבילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

במשולש ABCABC נתון AB‾=u‾\underline{AB} = \underline{u} ו-AC‾=v‾\underline{AC} = \underline{v}, ו-MM אמצע BCBC. סדרו את שלבי ההבעה של AM‾\underline{AM}, מהראשון לאחרון.

  • AM‾=12u‾+12v‾\underline{AM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}
  • AM‾=AB‾+BM‾\underline{AM} = \underline{AB} + \underline{BM}
  • BC‾=v‾−u‾\underline{BC} = \underline{v} - \underline{u}
  • BM‾=12BC‾\underline{BM} = \frac{1}{2}\underline{BC}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AM‾=AB‾+BM‾\underline{AM} = \underline{AB} + \underline{BM} · BM‾=12BC‾\underline{BM} = \frac{1}{2}\underline{BC} · BC‾=v‾−u‾\underline{BC} = \underline{v} - \underline{u} · AM‾=12u‾+12v‾\underline{AM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}

הפתרון:

AM‾=u‾+12(v‾−u‾)\underline{AM} = \underline{u} + \frac{1}{2}(\underline{v} - \underline{u})

מציבים ומכנסים

קודם בוחרים דרך (כלל המשולש), ורק אז מבטאים כל חלק שלה בעזרת הבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

במקבילית ABCDABCD, הנקודה MM היא אמצע ABAB והנקודה NN היא אמצע DCDC. הוכיחו בעזרת וקטורים: AMCNAMCN מקבילית.

  • ABCDABCD מקבילית
  • MM אמצע ABAB
  • NN אמצע DCDC

AMCNAMCN מקבילית

להציג את התשובה והפתרון
  1. AM‾=12AB‾\underline{AM} = \frac{1}{2}\underline{AB} — MM אמצע ABAB
  2. NC‾=12DC‾\underline{NC} = \frac{1}{2}\underline{DC} — NN אמצע DCDC
  3. DC‾=AB‾\underline{DC} = \underline{AB} — צלעות נגדיות במקבילית הן וקטורים שווים
  4. AM‾=NC‾\underline{AM} = \underline{NC} — מציבים את השוויון השלישי בשני
  5. AMCNAMCN מקבילית — מרובע שבו זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

מיינו את זוגות הווקטורים.

  • מקבילים
  • לא מקבילים
  • (0,3)(0, 3) ו-(0,−5)(0, -5)
  • (1,2)(1, 2) ו-(2,1)(2, 1)
  • (1,2)(1, 2) ו-(3,6)(3, 6)
  • (2,−1)(2, -1) ו-(−4,2)(-4, 2)
  • (3,4)(3, 4) ו-(4,3)(4, 3)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (1,2)(1, 2) ו-(3,6)(3, 6) — מקבילים · (2,−1)(2, -1) ו-(−4,2)(-4, 2) — מקבילים · (1,2)(1, 2) ו-(2,1)(2, 1) — לא מקבילים · (0,3)(0, 3) ו-(0,−5)(0, -5) — מקבילים · (3,4)(3, 4) ו-(4,3)(4, 3) — לא מקבילים

הפתרון:

(0,3)=−35(0,−5)(0, 3) = -\frac{3}{5}(0, -5)

גם עם רכיב אפס זה עובד

(3,4)(3, 4) ו-(4,3)(4, 3) נראים דומים, אבל היחס לא קבוע: 43≠34\frac{4}{3} \ne \frac{3}{4}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת