נקודות ווקטורים במרחב · וקטורים וגאומטריה במרחב · כיתה י״ב

במישור יש שני צירים. במרחב מוסיפים ציר שלישי, הציר z, והוא ניצב לשניים האחרים.

בציור: ציר $x$ יוצא אלינו, ציר $y$ הולך ימינה, וציר $z$ עולה למעלה. לכל נקודה יש שלושה שיעורים: $P(x, y, z)$ .

מתחילים בראשית והולכים $2$ לאורך $x$ , אחר כך $3$ במקביל ל- $y$ , ובסוף $2$ למעלה. לאיזו נקודה מגיעים?

להציג את התשובה והפתרון

$P(2, 3, 2)$ . כל צעד נותן שיעור אחד, לפי הסדר $x$ , $y$ , $z$ .

נקודות על הצירים ועל מישורי הצירים

נקודה על ציר נתון: שני השיעורים האחרים הם אפס. נקודה על מישור של שני צירים: השיעור השלישי הוא אפס.

(a, 0, 0)

על ציר $x$

(0, 0, c)

על ציר $z$

(a, b, 0)

על המישור $xy$ , «הרצפה»: $z = 0$

(0, b, c)

על המישור $yz$ , כי $x = 0$

באיזה מישור נמצאת הנקודה $(3, 0, -2)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

במישור $xz$ . השיעור $y$ שלה הוא $0$ .

וקטורים במרחב

הכול כמו במישור, רק עם שלושה רכיבים: $\underline{u} = (a, b, c)$ .

הווקטור מ- $A$ אל $B$ הוא שוב הסוף פחות ההתחלה.

\begin{aligned}\underline{AB} &= B - A \\ &= (x_B - x_A,\ y_B - y_A,\ z_B - z_A)\end{aligned}

הווקטור מ- $A(1, 2, -1)$ אל $B(4, 0, 3)$

מחסרים רכיב אחרי רכיב.

\underline{AB} = (4 - 1,\ 0 - 2,\ 3 - (-1))

הסוף פחות ההתחלה

\underline{AB} = (3, -2, 4)

אורך, מרחק ואמצע

גם האורך עובר למרחב: מוסיפים את הרכיב השלישי מתחת לשורש. זה פיתגורס פעמיים, כמו באלכסון התיבה.

|\underline{u}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

המרחק בין שתי נקודות הוא האורך של $\underline{AB}$

המרחק בין $A(1, 2, -1)$ ל- $B(4, 0, 3)$

קודם הווקטור, אחר כך האורך.

\underline{AB} = (3, -2, 4)

\begin{aligned}|\underline{AB}| &= \sqrt{9 + 4 + 16} \\ &= \sqrt{29} \approx 5.39\end{aligned}

כל רכיב בריבוע, גם השלילי

האמצע של קטע הוא הממוצע של שיעורי הקצוות, בכל אחד משלושת הרכיבים.

M = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2},\ \frac{z_A + z_B}{2}\right)

שתי טעויות שכיחות במרחב.

|(1, 1, 1)| = 3

|(1, 1, 1)| = \sqrt{3}

האורך הוא שורש סכום הריבועים, לא סכום הרכיבים.

M = \left(\frac{x_B - x_A}{2},\ \ldots\right)

M = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \ldots\right)

באמצע מחברים את השיעורים. חיסור שייך לווקטור.

תרגילים

תרגיל 1

איזו נקודה נמצאת על ציר $z$ ?

$(5, 0, 0)$
$(5, 5, 0)$
$(0, 5, 0)$
$(0, 0, 5)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $(0, 0, 5)$

הפתרון:

(0, 0, 5)

השיעורים $x$ ו- $y$ הם אפס

על ציר $z$ רק השיעור השלישי יכול להיות שונה מאפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

אילו נקודות נמצאות על המישור $xy$ (המישור $z = 0$ )?

על המישור $xy$
לא על המישור $xy$

$(0, 2, 0)$
$(1, 0, 4)$
$(2, 2, 2)$
$(3, -1, 0)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(3, -1, 0)$ — על המישור $xy$ · $(0, 2, 0)$ — על המישור $xy$ · $(1, 0, 4)$ — לא על המישור $xy$ · $(2, 2, 2)$ — לא על המישור $xy$

הפתרון:

z = 0

בודקים רק את השיעור השלישי

הנקודה $(1, 0, 4)$ היא על המישור $xz$ , לא על $xy$ . אפס ב- $y$ לא מספיק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונות הנקודות $A(1, 2, -1)$ ו- $B(4, 0, 3)$ . מהו רכיב ה- $z$ של $\underline{AB}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

3 - (-1) = 4

הסוף פחות ההתחלה

חיסור של מספר שלילי הוא חיבור: $3 - (-1) = 4$ , לא $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

$A(1, 2, -1)$ , $B(4, 0, 3)$ . מהו $\underline{AB}$ ?

$(-3, 2, -4)$
$(3, -2, 4)$
$(5, 2, 2)$
$(3, 2, 4)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $(3, -2, 4)$

הפתרון:

\begin{aligned}\underline{AB} &= (4 - 1,\ 0 - 2,\ 3 + 1) \\ &= (3, -2, 4)\end{aligned}

$(5, 2, 2)$ הוא הסכום $A + B$ , ו- $(-3, 2, -4)$ הוא $\underline{BA}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו האורך של הווקטור $(2, -1, 2)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}\sqrt{4 + 1 + 4} &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

הריבוע תמיד חיובי, כי $(-1)^2 = 1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו המרחק בין $A(1, 2, -1)$ ל- $B(4, 0, 3)$ ? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.39

הפתרון:

\underline{AB} = (3, -2, 4)

\sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29} \approx 5.39

שוכחים לפעמים את הרכיב השלישי, ומקבלים $\sqrt{13}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

השלימו את שיעורי האמצע.

האמצע של הקטע בין $A(2, -4, 6)$ ל- $B(0, 8, 2)$ הוא $M$ (____, ____, ____).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: האמצע של הקטע בין $A(2, -4, 6)$ ל- $B(0, 8, 2)$ הוא $M$ (1, 2, 4).

הפתרון:

\begin{aligned}M &= \left(\frac{2 + 0}{2},\ \frac{-4 + 8}{2},\ \frac{6 + 2}{2}\right) \\ &= (1, 2, 4)\end{aligned}

ממוצע של כל רכיב בנפרד. שימו לב לסימן: $-4 + 8 = 4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הנקודה $A(1, 0, 2)$ , ו- $\underline{AB} = (2, 3, -1)$ . מהם השיעורים של $B$ ?

$(1, 3, -3)$
$(2, 0, -2)$
$(-1, -3, 3)$
$(3, 3, 1)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $(3, 3, 1)$

הפתרון:

\begin{aligned}B &= A + \underline{AB} \\ &= (1 + 2,\ 0 + 3,\ 2 - 1) \\ &= (3, 3, 1)\end{aligned}

$(-1, -3, 3)$ יוצא מחיסור: $A - \underline{AB}$ . יוצאים מ- $A$ והולכים לפי החץ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הטענה: האורך של הווקטור $(1, 1, 1)$ הוא $3$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}|(1, 1, 1)| &= \sqrt{1 + 1 + 1} \\ &= \sqrt{3} \approx 1.73\end{aligned}

סכום הרכיבים הוא $3$ , אבל האורך הוא שורש סכום הריבועים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

$ABCD$ הוא מקבילית במרחב, עם $A(1, 0, 2)$ , $B(3, 1, 0)$ , $C(4, 3, 1)$ . מהם השיעורים של $D$ ?

$(6, 4, -1)$
$(2, 2, 3)$
$(2, 2, 1)$
$(0, -2, 1)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $(2, 2, 3)$

הפתרון:

\begin{aligned}\underline{AD} &= \underline{BC} \\ &= C - B \\ &= (1, 2, 1)\end{aligned}

במקבילית צלעות נגדיות הן וקטורים שווים

\begin{aligned}D &= A + \underline{BC} \\ &= (2, 2, 3)\end{aligned}

הסדר $ABCD$ קובע: $D$ מול $B$ . $(6, 4, -1)$ היא הנקודה $B + C - A$ , שאינה הקודקוד הרביעי בסדר הזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

האורך של הווקטור $(k, 2, 4)$ הוא $6$ , ו- $k$ חיובי. מהו $k$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

k^2 + 4 + 16 = 36

מעלים בריבוע

\begin{aligned}k^2 &= 16 \\ \quad k &= 4\end{aligned}

גם $k = -4$ מקיים את המשוואה. השאלה ביקשה את החיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

התאימו כל נקודה למקום שלה.

$(0, 0, 3)$
$(2, 5, 0)$
$(4, 0, 0)$
$(0, 1, 6)$

על המישור $xy$
על המישור $yz$
על ציר $x$
על ציר $z$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(0, 0, 3)$ — על ציר $z$ · $(2, 5, 0)$ — על המישור $xy$ · $(4, 0, 0)$ — על ציר $x$ · $(0, 1, 6)$ — על המישור $yz$

הפתרון:

(a, 0, 0) \quad (a, b, 0)

כמה שיעורים הם אפס, ואילו

שני אפסים: על ציר. אפס אחד: על מישור של שני צירים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

יוסי חישב את המרחק בין $A(1, 2, 3)$ ל- $B(4, 6, 3)$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

\underline{AB} = (3, 4, 0)

|\underline{AB}| = 3 + 4 + 0

= 7

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $|\underline{AB}| = 3 + 4 + 0$ → $|\underline{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = 5$

הפתרון:

\begin{aligned}|\underline{AB}| &= \sqrt{9 + 16 + 0} \\ &= 5\end{aligned}

אורך הוא לא סכום הרכיבים. צריך לרבע, לחבר, ולהוציא שורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

הנקודה $P$ נמצאת על ציר $x$ , והמרחק שלה מ- $A(0, 2, 1)$ שווה למרחק שלה מ- $B(4, 0, 1)$ . מהו שיעור ה- $x$ של $P$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

P = (x, 0, 0)

נקודה על ציר $x$

x^2 + 4 + 1 = (x - 4)^2 + 0 + 1

$|PA|^2 = |PB|^2$

\begin{aligned}x^2 + 5 &= x^2 - 8x + 17 \;\Rightarrow\; 8x \\ &= 12 \;\Rightarrow\; x \\ &= 1.5\end{aligned}

$x^2$ מתבטל

משווים את ריבועי המרחקים: כך נעלמים השורשים, וגם $x^2$ מתבטל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

נקודות על הצירים ועל מישורי הצירים

וקטורים במרחב

אורך, מרחק ואמצע

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev