המכפלה הסקלרית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

כבר כפלנו וקטור במספר. עכשיו כופלים וקטור בווקטור, והתוצאה היא מספר. קוראים לה המכפלה הסקלרית.

u‾⋅v‾=x1x2+y1y2\underline{u} \cdot \underline{v} = x_1x_2 + y_1y_2

במישור: כופלים רכיב ברכיב, ומחברים

u‾⋅v‾=x1x2+y1y2+z1z2\underline{u} \cdot \underline{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2

במרחב: אותו דבר, עם רכיב שלישי

המכפלה של u‾=(2,1)\underline{u} = (2, 1) ו-v‾=(3,−4)\underline{v} = (3, -4)

כופלים את רכיבי ה-xx, כופלים את רכיבי ה-yy, ומחברים.

u‾⋅v‾=2⋅3+1⋅(−4)\underline{u} \cdot \underline{v} = 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-4)
=6−4=2= 6 - 4 = 2

מספר, לא וקטור

מה המספר הזה אומר

למכפלה הסקלרית יש גם משמעות של זווית. אם α\alpha היא הזווית בין הווקטורים, אז:

u‾⋅v‾=∣u‾∣⋅∣v‾∣⋅cos⁡α\underline{u} \cdot \underline{v} = |\underline{u}| \cdot |\underline{v}| \cdot \cos\alpha

מתי המכפלה הסקלרית שווה 00?

להציג את התשובה והפתרון

כשהזווית היא 90∘90^\circ, כי cos⁡90∘=0\cos 90^\circ = 0. זה המבחן לניצבות: u‾⋅v‾=0\underline{u} \cdot \underline{v} = 0 בדיוק כשהווקטורים ניצבים.

u‾⋅v‾>0\underline{u} \cdot \underline{v} > 0

הזווית חדה

u‾⋅v‾=0\underline{u} \cdot \underline{v} = 0

הווקטורים ניצבים

u‾⋅v‾<0\underline{u} \cdot \underline{v} < 0

הזווית קהה

שאלה עם פרמטר, כמו «לאיזה kk הווקטורים ניצבים?»: כותבים u‾⋅v‾=0\underline{u} \cdot \underline{v} = 0, ופותרים את המשוואה.

הזווית בין שני וקטורים

מהנוסחה מבודדים את הקוסינוס. מחשבים מכפלה ושני אורכים, ומחלקים.

cos⁡α=u‾⋅v‾∣u‾∣⋅∣v‾∣\cos\alpha = \frac{\underline{u} \cdot \underline{v}}{|\underline{u}| \cdot |\underline{v}|}

הזווית בין u‾=(3,1)\underline{u} = (3, 1) ל-v‾=(1,2)\underline{v} = (1, 2)

שלושה חישובים קטנים, ואז מחלקים.

u‾⋅v‾=3+2=5\begin{aligned}\underline{u} \cdot \underline{v} &= 3 + 2 \\ &= 5\end{aligned}
∣u‾∣=10∣v‾∣=5\begin{aligned}|\underline{u}| &= \sqrt{10} \\ \quad |\underline{v}| &= \sqrt{5}\end{aligned}
cos⁡α=510⋅5=550=12\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{5}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} \\ &= \frac{5}{\sqrt{50}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\end{aligned}
α=45∘\alpha = 45^\circ

וקטור כפול עצמו נותן את ריבוע האורך. מזה יוצא פיתוח כמו בנוסחאות הכפל המקוצר.

u‾⋅u‾=∣u‾∣2∣u‾+v‾∣2=∣u‾∣2+2 u‾⋅v‾+∣v‾∣2\begin{aligned}\underline{u} \cdot \underline{u} &= |\underline{u}|^2 \\ \qquad |\underline{u} + \underline{v}|^2 &= |\underline{u}|^2 + 2\,\underline{u} \cdot \underline{v} + |\underline{v}|^2\end{aligned}

נתון ∣u‾∣=3|\underline{u}| = 3, ∣v‾∣=2|\underline{v}| = 2, והזווית ביניהם 60∘60^\circ. מוצאים את ∣u‾+v‾∣|\underline{u} + \underline{v}|

אין רכיבים, ולכן עובדים עם הפיתוח.

u‾⋅v‾=3⋅2⋅cos⁡60∘=3\begin{aligned}\underline{u} \cdot \underline{v} &= 3 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ \\ &= 3\end{aligned}
∣u‾+v‾∣2=9+2⋅3+4=19\begin{aligned}|\underline{u} + \underline{v}|^2 &= 9 + 2 \cdot 3 + 4 \\ &= 19\end{aligned}
∣u‾+v‾∣=19|\underline{u} + \underline{v}| = \sqrt{19}

שתי טעויות בחישוב.

(2,1)⋅(3,−4)=(6,−4)(2, 1) \cdot (3, -4) = (6, -4)
(2,1)⋅(3,−4)=6−4=2\begin{aligned}(2, 1) \cdot (3, -4) &= 6 - 4 \\ &= 2\end{aligned}

התוצאה היא מספר: מחברים את המכפלות.

∣u‾+v‾∣2=∣u‾∣2+∣v‾∣2|\underline{u} + \underline{v}|^2 = |\underline{u}|^2 + |\underline{v}|^2
∣u‾+v‾∣2=∣u‾∣2+2 u‾⋅v‾+∣v‾∣2|\underline{u} + \underline{v}|^2 = |\underline{u}|^2 + 2\,\underline{u} \cdot \underline{v} + |\underline{v}|^2

כמו (a+b)2(a + b)^2: אסור לשכוח את האיבר האמצעי.

תרגילים

תרגיל 1

חשבו את המכפלה הסקלרית (3,−2)⋅(4,5)(3, -2) \cdot (4, 5).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

3⋅4+(−2)⋅5=12−10=2\begin{aligned}3 \cdot 4 + (-2) \cdot 5 &= 12 - 10 \\ &= 2\end{aligned}

התוצאה היא מספר אחד: מחברים את שתי המכפלות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו את המכפלה הסקלרית (1,2,−3)⋅(4,0,2)(1, 2, -3) \cdot (4, 0, 2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

1⋅4+2⋅0+(−3)⋅2=4+0−6=−2\begin{aligned}1 \cdot 4 + 2 \cdot 0 + (-3) \cdot 2 &= 4 + 0 - 6 \\ &= -2\end{aligned}

המכפלה יכולה להיות שלילית: הזווית קהה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הטענה: הווקטורים (2,−3)(2, -3) ו-(6,4)(6, 4) ניצבים זה לזה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

2⋅6+(−3)⋅4=12−12=0\begin{aligned}2 \cdot 6 + (-3) \cdot 4 &= 12 - 12 \\ &= 0\end{aligned}

מכפלה סקלרית אפס פירושה ניצבות. לא צריך לחשב אורכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לאיזה ערך של kk הווקטורים (k,3)(k, 3) ו-(2,−4)(2, -4) ניצבים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

2k+3⋅(−4)=02k + 3 \cdot (-4) = 0

מכפלה סקלרית שווה אפס

2k=12⇒k=6\begin{aligned}2k &= 12 \Rightarrow k \\ &= 6\end{aligned}

ניצבים פירושו מכפלה אפס, לא רכיבים שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהי הזווית בין u‾=(4,2)\underline{u} = (4, 2) ל-v‾=(−1,3)\underline{v} = (-1, 3)? עגלו לעשירית מעלה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 81.9

הפתרון:

u‾⋅v‾=−4+6=2\begin{aligned}\underline{u} \cdot \underline{v} &= -4 + 6 \\ &= 2\end{aligned}
cos⁡α=220⋅10=2200≈0.141\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{2}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{10}} \\ &= \frac{2}{\sqrt{200}} \approx 0.141\end{aligned}
α≈81.9∘\alpha \approx 81.9^\circ

מחלקים במכפלת שני האורכים. ב-cos⁡−1\cos^{-1} המחשבון במצב מעלות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון u‾⋅v‾=−5\underline{u} \cdot \underline{v} = -5. מה אפשר לומר על הזווית בין הווקטורים?

  1. היא ישרה
  2. היא חדה
  3. היא קהה
  4. אי אפשר לדעת בלי האורכים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג היא קהה

הפתרון:

cos⁡α=−5∣u‾∣⋅∣v‾∣<0\cos\alpha = \frac{-5}{|\underline{u}| \cdot |\underline{v}|} < 0

האורכים חיוביים, ולכן הסימן נקבע על ידי המונה

בשביל הסוג של הזווית מספיק הסימן. את הגודל המדויק אי אפשר לדעת בלי האורכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון ∣u‾∣=4|\underline{u}| = 4, ∣v‾∣=5|\underline{v}| = 5, והזווית ביניהם 60∘60^\circ. מהי המכפלה u‾⋅v‾\underline{u} \cdot \underline{v}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

4⋅5⋅cos⁡60∘=20⋅12=10\begin{aligned}4 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ &= 20 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 10\end{aligned}

cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, ולא sin⁡60∘\sin 60^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתון u‾=(2,−1,2)\underline{u} = (2, -1, 2). מהי המכפלה u‾⋅u‾\underline{u} \cdot \underline{u}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

4+1+4=94 + 1 + 4 = 9
u‾⋅u‾=∣u‾∣2=32\begin{aligned}\underline{u} \cdot \underline{u} &= |\underline{u}|^2 \\ &= 3^2\end{aligned}

בדיקה

(−1)⋅(−1)=+1(-1) \cdot (-1) = +1. ומכאן ∣u‾∣=3|\underline{u}| = 3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון ∣u‾∣=3|\underline{u}| = 3, ∣v‾∣=2|\underline{v}| = 2 ו-u‾⋅v‾=−3\underline{u} \cdot \underline{v} = -3. מהו האורך ∣u‾−v‾∣|\underline{u} - \underline{v}|? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.36

הפתרון:

∣u‾−v‾∣2=9−2⋅(−3)+4=19\begin{aligned}|\underline{u} - \underline{v}|^2 &= 9 - 2 \cdot (-3) + 4 \\ &= 19\end{aligned}

כמו (a−b)2(a - b)^2

∣u‾−v‾∣=19≈4.36|\underline{u} - \underline{v}| = \sqrt{19} \approx 4.36

בחיסור האיבר האמצעי הוא −2 u‾⋅v‾-2\,\underline{u} \cdot \underline{v}. כאן המכפלה שלילית, ולכן הוא מוסיף 66.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

התאימו כל מכפלה סקלרית לזווית שהיא מתארת.

  • המכפלה חיובית
  • המכפלה אפס
  • המכפלה שלילית
  • המכפלה שווה למכפלת האורכים
  • אותו כיוון, זווית אפס
  • זווית חדה
  • זווית ישרה
  • זווית קהה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המכפלה חיובית — זווית חדה · המכפלה אפס — זווית ישרה · המכפלה שלילית — זווית קהה · המכפלה שווה למכפלת האורכים — אותו כיוון, זווית אפס

הפתרון:

cos⁡0∘=1 cos⁡90∘=0\begin{aligned}\cos 0^\circ &= 1 \\ \ \cos 90^\circ &= 0\end{aligned}

הסימן של המכפלה הוא הסימן של cos⁡α\cos\alpha, כי האורכים תמיד חיוביים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

שירה חישבה את הזווית בין (3,4)(3, 4) ל-(4,3)(4, 3). שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

u‾⋅v‾=12+12=24\begin{aligned}\underline{u} \cdot \underline{v} &= 12 + 12 \\ &= 24\end{aligned}
∣u‾∣=9+16=5\begin{aligned}|\underline{u}| &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}
∣v‾∣=16+9=5\begin{aligned}|\underline{v}| &= \sqrt{16 + 9} \\ &= 5\end{aligned}
cos⁡α=245\cos\alpha = \frac{24}{5}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: cos⁡α=245\cos\alpha = \frac{24}{5} → cos⁡α=245⋅5=2425\cos\alpha = \frac{24}{5 \cdot 5} = \frac{24}{25}

הפתרון:

cos⁡α=2425=0.96\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{24}{25} \\ &= 0.96\end{aligned}

מחלקים במכפלת שני האורכים

סימן אזהרה: קוסינוס גדול מ-11 לא קיים. היא חילקה רק באורך אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

השלימו.

במשולש ABCABC: A(1,1)A(1, 1), B(4,2)B(4, 2), C(0,4)C(0, 4). המכפלה AB‾⋅AC‾\underline{AB} \cdot \underline{AC} שווה ____, ולכן הזווית AA בת ____ מעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: במשולש ABCABC: A(1,1)A(1, 1), B(4,2)B(4, 2), C(0,4)C(0, 4). המכפלה AB‾⋅AC‾\underline{AB} \cdot \underline{AC} שווה 0, ולכן הזווית AA בת 90 מעלות.

הפתרון:

AB‾=(3,1)AC‾=(−1,3)\begin{aligned}\underline{AB} &= (3, 1) \\ \quad \underline{AC} &= (-1, 3)\end{aligned}

שני הווקטורים יוצאים מ-AA

AB‾⋅AC‾=−3+3=0\begin{aligned}\underline{AB} \cdot \underline{AC} &= -3 + 3 \\ &= 0\end{aligned}

הזווית AA היא בין וקטורים שיוצאים מ-AA. עם BA‾\underline{BA} במקום AB‾\underline{AB} הסימן היה מתהפך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

הטענה: לכל שני וקטורים מתקיים (u‾+v‾)⋅(u‾−v‾)=∣u‾∣2−∣v‾∣2(\underline{u} + \underline{v}) \cdot (\underline{u} - \underline{v}) = |\underline{u}|^2 - |\underline{v}|^2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

u‾⋅u‾−u‾⋅v‾+v‾⋅u‾−v‾⋅v‾\underline{u} \cdot \underline{u} - \underline{u} \cdot \underline{v} + \underline{v} \cdot \underline{u} - \underline{v} \cdot \underline{v}

פותחים סוגריים

=∣u‾∣2−∣v‾∣2= |\underline{u}|^2 - |\underline{v}|^2

האיברים האמצעיים מצטמצמים

זה הפרש ריבועים. הוא עובד כי u‾⋅v‾=v‾⋅u‾\underline{u} \cdot \underline{v} = \underline{v} \cdot \underline{u}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

איזה ביטוי שווה ל-∣2u‾−v‾∣2|2\underline{u} - \underline{v}|^2?

  1. 4∣u‾∣2−4 u‾⋅v‾+∣v‾∣24|\underline{u}|^2 - 4\,\underline{u} \cdot \underline{v} + |\underline{v}|^2
  2. 4∣u‾∣2+∣v‾∣24|\underline{u}|^2 + |\underline{v}|^2
  3. 4∣u‾∣2−2 u‾⋅v‾+∣v‾∣24|\underline{u}|^2 - 2\,\underline{u} \cdot \underline{v} + |\underline{v}|^2
  4. 2∣u‾∣2−4 u‾⋅v‾+∣v‾∣22|\underline{u}|^2 - 4\,\underline{u} \cdot \underline{v} + |\underline{v}|^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 4∣u‾∣2−4 u‾⋅v‾+∣v‾∣24|\underline{u}|^2 - 4\,\underline{u} \cdot \underline{v} + |\underline{v}|^2

הפתרון:

(2u‾−v‾)⋅(2u‾−v‾)=4 u‾⋅u‾−2 u‾⋅v‾−2 v‾⋅u‾+v‾⋅v‾(2\underline{u} - \underline{v}) \cdot (2\underline{u} - \underline{v}) = 4\,\underline{u} \cdot \underline{u} - 2\,\underline{u} \cdot \underline{v} - 2\,\underline{v} \cdot \underline{u} + \underline{v} \cdot \underline{v}

האיבר האמצעי הוא 2⋅(2u‾)⋅v‾2 \cdot (2\underline{u}) \cdot \underline{v}, כלומר 4 u‾⋅v‾4\,\underline{u} \cdot \underline{v}. וגם 22 עולה בריבוע: 44.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

לאיזה ערך של kk הווקטורים (k,2,1)(k, 2, 1) ו-(3,k,−4)(3, k, -4) ניצבים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.8

הפתרון:

3k+2k−4=03k + 2k - 4 = 0

מכפלה סקלרית שווה אפס

5k=4⇒k=0.8\begin{aligned}5k &= 4 \Rightarrow k \\ &= 0.8\end{aligned}

kk מופיע בשני הווקטורים: יש שני איברים עם kk.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת