וקטורים בגופים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בשאלות על גופים (תיבה, פירמידה) לרוב אין מערכת צירים. במקום שיעורים, בוחרים שלושה וקטורים שיוצאים מקודקוד אחד.

שלושת הווקטורים האלה הם בסיס: כל וקטור אחר בגוף נכתב בעזרתם, בדרך אחת בלבד.

הכלל: הולכים מההתחלה אל הסוף לאורך המקצועות, וכל מקצוע הוא אחד מוקטורי הבסיס (או הנגדי שלו).

האלכסון AC′‾\underline{AC'}

הולכים קדימה לאורך ABAB, הצידה לאורך BCBC, ולמעלה לאורך CC′CC'. כך מגיעים מ-AA אל C′C'.

AC′‾=AB‾+BC‾+CC′‾\underline{AC'} = \underline{AB} + \underline{BC} + \underline{CC'}

מסלול לאורך המקצועות

BC‾=AD‾=v‾CC′‾=AA′‾=w‾\begin{aligned}\underline{BC} &= \underline{AD} \\ &= \underline{v} \\ \quad \underline{CC'} &= \underline{AA'} \\ &= \underline{w}\end{aligned}

מקצועות מקבילים ושווים בתיבה

AC′‾=u‾+v‾+w‾\underline{AC'} = \underline{u} + \underline{v} + \underline{w}

בטאו את BD′‾\underline{BD'} בעזרת u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w}.

להציג את התשובה והפתרון

−u‾+v‾+w‾-\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}. מ-BB חוזרים אל AA (זה −u‾-\underline{u}), ממשיכים אל DD ועולים אל D′D'.

אמצע של מקצוע

אמצע של מקצוע הוא חצי הדרך לאורכו: חצי מהווקטור של המקצוע.

MM הוא אמצע המקצוע C′D′C'D'. בטאו את AM‾\underline{AM}.

הולכים אל D′D', ומשם חצי מ-D′C′‾\underline{D'C'}.

AM‾=AD‾+DD′‾+12D′C′‾\underline{AM} = \underline{AD} + \underline{DD'} + \frac{1}{2}\underline{D'C'}
D′C′‾=DC‾=AB‾=u‾\begin{aligned}\underline{D'C'} &= \underline{DC} \\ &= \underline{AB} \\ &= \underline{u}\end{aligned}
AM‾=v‾+w‾+12u‾\underline{AM} = \underline{v} + \underline{w} + \frac{1}{2}\underline{u}

מכפלה סקלרית בתוך גוף

כשמכירים את האורכים של וקטורי הבסיס ואת הזוויות ביניהם, יודעים לחשב כל מכפלה סקלרית בגוף.

u‾⋅u‾=∣u‾∣2\underline{u} \cdot \underline{u} = |\underline{u}|^2

וקטור עם עצמו: ריבוע האורך

u‾⋅v‾=∣u‾∣∣v‾∣cos⁡α\underline{u} \cdot \underline{v} = |\underline{u}||\underline{v}|\cos\alpha

שני וקטורים: האורכים והזווית

u‾⋅v‾=0\underline{u} \cdot \underline{v} = 0

בתיבה כל שני מקצועות מקודקוד אחד ניצבים

כדי למצוא אורך של וקטור, מעלים אותו בריבוע ופותחים סוגריים, כמו בכפל מקוצר.

∣au‾+bv‾∣2=a2∣u‾∣2+2ab (u‾⋅v‾)+b2∣v‾∣2|a\underline{u} + b\underline{v}|^2 = a^2|\underline{u}|^2 + 2ab\,(\underline{u} \cdot \underline{v}) + b^2|\underline{v}|^2

תיבה עם AB=3AB = 3, AD=2AD = 2, AA′=2AA' = 2. מהו אורך האלכסון AC′AC'?

בתיבה כל המכפלות המעורבות הן אפס.

∣AC′‾∣2=(u‾+v‾+w‾)2|\underline{AC'}|^2 = (\underline{u} + \underline{v} + \underline{w})^2
=∣u‾∣2+∣v‾∣2+∣w‾∣2+2(u‾⋅v‾+u‾⋅w‾+v‾⋅w‾)= |\underline{u}|^2 + |\underline{v}|^2 + |\underline{w}|^2 + 2(\underline{u}\cdot\underline{v} + \underline{u}\cdot\underline{w} + \underline{v}\cdot\underline{w})
=9+4+4+0=17= 9 + 4 + 4 + 0 = 17

המכפלות המעורבות מתאפסות

∣AC′‾∣=17|\underline{AC'}| = \sqrt{17}

כשהזוויות אינן ישרות

בארבעון המשוכלל הזוויות הן 60∘60^\circ, ולכן המכפלות המעורבות אינן אפס.

MM הוא אמצע BCBC. מהו האורך של AMAM?

קודם המכפלות, אחר כך הפיתוח.

u‾⋅v‾=2⋅2⋅cos⁡60∘=2\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ \\ &= 2\end{aligned}

וכך גם u‾⋅w‾\underline{u}\cdot\underline{w} ו-v‾⋅w‾\underline{v}\cdot\underline{w}

AM‾=AB‾+12BC‾=u‾+12(v‾−u‾)=12(u‾+v‾)\begin{aligned}\underline{AM} &= \underline{AB} + \frac{1}{2}\underline{BC} \\ &= \underline{u} + \frac{1}{2}(\underline{v} - \underline{u}) \\ &= \frac{1}{2}(\underline{u} + \underline{v})\end{aligned}

BC‾=v‾−u‾\underline{BC} = \underline{v} - \underline{u}

∣AM‾∣2=14(4+2⋅2+4)=3\begin{aligned}|\underline{AM}|^2 &= \frac{1}{4}\left(4 + 2 \cdot 2 + 4\right) \\ &= 3\end{aligned}
∣AM‾∣=3|\underline{AM}| = \sqrt{3}

התיכון במשולש שווה צלעות שצלעו 22

הטעות הנפוצה ביותר בפיתוח.

∣u‾+v‾∣2=∣u‾∣2+∣v‾∣2|\underline{u} + \underline{v}|^2 = |\underline{u}|^2 + |\underline{v}|^2
∣u‾+v‾∣2=∣u‾∣2+2 u‾⋅v‾+∣v‾∣2|\underline{u} + \underline{v}|^2 = |\underline{u}|^2 + 2\,\underline{u}\cdot\underline{v} + |\underline{v}|^2

שוכחים את האיבר האמצעי. הוא מתאפס רק כשהווקטורים ניצבים.

הדרך בכל שאלה כזו: בוחרים בסיס מקודקוד אחד, כותבים את הווקטור כמסלול, מעלים בריבוע, מציבים את המכפלות, ומוציאים שורש.

תרגילים

תרגיל 1

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' נתון: AB‾=u‾\underline{AB} = \underline{u}, AD‾=v‾\underline{AD} = \underline{v}, AA′‾=w‾\underline{AA'} = \underline{w}. בטאו את AC′‾\underline{AC'}.

  1. −u‾+v‾+w‾-\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
  2. u‾+v‾+w‾\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
  3. u‾+v‾−w‾\underline{u} + \underline{v} - \underline{w}
  4. u‾−v‾+w‾\underline{u} - \underline{v} + \underline{w}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב u‾+v‾+w‾\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}

הפתרון:

AC′‾=AB‾+BC‾+CC′‾=u‾+v‾+w‾\begin{aligned}\underline{AC'} &= \underline{AB} + \underline{BC} + \underline{CC'} \\ &= \underline{u} + \underline{v} + \underline{w}\end{aligned}

כל מקצוע במסלול מוחלף בווקטור הבסיס המקביל לו, באותו כיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותה תיבה, בטאו את DB′‾\underline{DB'}.

  1. u‾−v‾+w‾\underline{u} - \underline{v} + \underline{w}
  2. −u‾+v‾+w‾-\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
  3. u‾+v‾+w‾\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
  4. u‾+v‾−w‾\underline{u} + \underline{v} - \underline{w}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א u‾−v‾+w‾\underline{u} - \underline{v} + \underline{w}

הפתרון:

DB′‾=DA‾+AB‾+BB′‾\underline{DB'} = \underline{DA} + \underline{AB} + \underline{BB'}
=−v‾+u‾+w‾= -\underline{v} + \underline{u} + \underline{w}

DA‾\underline{DA} הפוך ל-AD‾\underline{AD}

מ-DD אל AA הולכים נגד v‾\underline{v}, ולכן הסימן מינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

MM הוא אמצע המקצוע B′C′B'C' בתיבה. בטאו את AM‾\underline{AM}.

  1. u‾+v‾+12w‾\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{2}\underline{w}
  2. 12(u‾+v‾+w‾)\frac{1}{2}(\underline{u} + \underline{v} + \underline{w})
  3. u‾+12v‾+w‾\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} + \underline{w}
  4. 12u‾+v‾+w‾\frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג u‾+12v‾+w‾\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} + \underline{w}

הפתרון:

AM‾=AB‾+BB′‾+12B′C′‾\underline{AM} = \underline{AB} + \underline{BB'} + \frac{1}{2}\underline{B'C'}
B′C′‾=AD‾=v‾\begin{aligned}\underline{B'C'} &= \underline{AD} \\ &= \underline{v}\end{aligned}
AM‾=u‾+w‾+12v‾\underline{AM} = \underline{u} + \underline{w} + \frac{1}{2}\underline{v}

רק המקצוע שעליו יושב האמצע מקבל חצי. ABAB ו-BB′BB' עוברים במלואם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' עם u‾=AB‾\underline{u} = \underline{AB} ו-w‾=AA′‾\underline{w} = \underline{AA'}, הטענה: u‾⋅w‾=0\underline{u} \cdot \underline{w} = 0.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

AB⊥AA′  ⇒  u‾⋅w‾=∣u‾∣∣w‾∣cos⁡90∘=0\begin{aligned}AB \perp AA' \;\Rightarrow\; \underline{u}\cdot\underline{w} &= |\underline{u}||\underline{w}|\cos 90^\circ \\ &= 0\end{aligned}

בתיבה כל הפאות מלבנים: מקצועות שיוצאים מאותו קודקוד ניצבים זה לזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בתיבה נתון: AB=4AB = 4, AD=3AD = 3, AA′=12AA' = 12. מהו אורך האלכסון AC′AC'?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

AC′‾=u‾+v‾+w‾\underline{AC'} = \underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
∣AC′‾∣2=16+9+144+0=169\begin{aligned}|\underline{AC'}|^2 &= 16 + 9 + 144 + 0 \\ &= 169\end{aligned}

בתיבה המכפלות המעורבות הן אפס

∣AC′‾∣=13|\underline{AC'}| = 13

שוכחים להוציא שורש בסוף, ועונים 169169.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בתיבה נתון: AB=3AB = 3, AD=4AD = 4, AA′=5AA' = 5. מהו האורך של BD′BD'? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.07

הפתרון:

BD′‾=−u‾+v‾+w‾\underline{BD'} = -\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
∣BD′‾∣2=9+16+25=50\begin{aligned}|\underline{BD'}|^2 &= 9 + 16 + 25 \\ &= 50\end{aligned}

גם המינוס מתאפס בריבוע

∣BD′‾∣=50=52≈7.07\begin{aligned}|\underline{BD'}| &= \sqrt{50} \\ &= 5\sqrt{2} \approx 7.07\end{aligned}

הסימן מינוס לפני u‾\underline{u} לא משנה את הריבוע: (−1)2∣u‾∣2=9(-1)^2 |\underline{u}|^2 = 9.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בתיבה נתון: AB=2AB = 2, AD=2AD = 2, AA′=3AA' = 3. חשבו את המכפלה הסקלרית AC′‾⋅AB‾\underline{AC'} \cdot \underline{AB}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

(u‾+v‾+w‾)⋅u‾=u‾⋅u‾+v‾⋅u‾+w‾⋅u‾(\underline{u} + \underline{v} + \underline{w})\cdot\underline{u} = \underline{u}\cdot\underline{u} + \underline{v}\cdot\underline{u} + \underline{w}\cdot\underline{u}

פילוג

=4+0+0=4= 4 + 0 + 0 = 4

רק u‾⋅u‾=∣u‾∣2\underline{u}\cdot\underline{u} = |\underline{u}|^2 נשאר. שאר המכפלות ניצבות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בתיבה נתון: AB=2AB = 2, AD=3AD = 3, AA′=6AA' = 6. מהי הזווית בין האלכסון AC′AC' למקצוע ABAB, במעלות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 73.4

הפתרון:

AC′‾⋅AB‾=∣u‾∣2=4\begin{aligned}\underline{AC'}\cdot\underline{AB} &= |\underline{u}|^2 \\ &= 4\end{aligned}
∣AC′‾∣=4+9+36=7\begin{aligned}|\underline{AC'}| &= \sqrt{4 + 9 + 36} \\ &= 7\end{aligned}
cos⁡α=47⋅2=27  ⇒  α≈73.4∘\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{4}{7 \cdot 2} \\ &= \frac{2}{7} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 73.4^\circ\end{aligned}

במכנה כופלים את שני האורכים: ∣AC′‾∣=7|\underline{AC'}| = 7 וגם ∣AB‾∣=2|\underline{AB}| = 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בארבעון משוכלל ABCDABCD כל המקצועות באורך 44. נתון u‾=AB‾\underline{u} = \underline{AB}, v‾=AC‾\underline{v} = \underline{AC}. חשבו את u‾⋅v‾\underline{u} \cdot \underline{v}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

u‾⋅v‾=4⋅4⋅cos⁡60∘=16⋅12=8\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 4 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ \\ &= 16 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 8\end{aligned}

כל פאה היא משולש שווה צלעות

הזווית בין המקצועות היא 60∘60^\circ ולא 90∘90^\circ, ולכן המכפלה אינה אפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בארבעון משוכלל שמקצועו 22, NN הוא אמצע המקצוע CDCD, ו-u‾=AB‾\underline{u} = \underline{AB}, v‾=AC‾\underline{v} = \underline{AC}, w‾=AD‾\underline{w} = \underline{AD}. מהו האורך של ANAN? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.73

הפתרון:

AN‾=12(v‾+w‾)\underline{AN} = \frac{1}{2}(\underline{v} + \underline{w})

האמצע של CDCD

∣AN‾∣2=14(4+2⋅2+4)=3\begin{aligned}|\underline{AN}|^2 &= \frac{1}{4}(4 + 2 \cdot 2 + 4) \\ &= 3\end{aligned}

v‾⋅w‾=2\underline{v}\cdot\underline{w} = 2

∣AN‾∣=3≈1.73|\underline{AN}| = \sqrt{3} \approx 1.73

בלי האיבר 2 v‾⋅w‾2\,\underline{v}\cdot\underline{w} מקבלים 2\sqrt{2}, וזו טעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

בארבעון משוכלל ABCDABCD שמקצועו 22 נתון: u‾=AB‾\underline{u} = \underline{AB}, v‾=AC‾\underline{v} = \underline{AC}, w‾=AD‾\underline{w} = \underline{AD}. הוכיחו: המקצועות הנגדיים BCBC ו-ADAD ניצבים.

  • כל מקצועות הארבעון באורך 22
  • כל הזוויות בין u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w} הן 60∘60^\circ

BC⊥ADBC \perp AD

להציג את התשובה והפתרון
  1. BC‾=v‾−u‾\underline{BC} = \underline{v} - \underline{u} — מסלול: BC‾=BA‾+AC‾\underline{BC} = \underline{BA} + \underline{AC}
  2. u‾⋅w‾=2\underline{u}\cdot\underline{w} = 2 וגם v‾⋅w‾=2\underline{v}\cdot\underline{w} = 2 — 2⋅2⋅cos⁡60∘=22 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 2
  3. BC‾⋅AD‾=v‾⋅w‾−u‾⋅w‾=0\underline{BC}\cdot\underline{AD} = \underline{v}\cdot\underline{w} - \underline{u}\cdot\underline{w} = 0 — פילוג, והצבת המכפלות
  4. BC⊥ADBC \perp AD — מכפלה סקלרית אפס פירושה ניצבות
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

בפירמידה ישרה SABCDSABCD הבסיס ABCDABCD הוא ריבוע. נתון u‾=AB‾\underline{u} = \underline{AB}, v‾=AD‾\underline{v} = \underline{AD}, w‾=AS‾\underline{w} = \underline{AS}. בטאו את SC‾\underline{SC}.

  1. u‾+v‾+w‾\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
  2. w‾−u‾−v‾\underline{w} - \underline{u} - \underline{v}
  3. u‾−v‾−w‾\underline{u} - \underline{v} - \underline{w}
  4. u‾+v‾−w‾\underline{u} + \underline{v} - \underline{w}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד u‾+v‾−w‾\underline{u} + \underline{v} - \underline{w}

הפתרון:

SC‾=SA‾+AC‾\underline{SC} = \underline{SA} + \underline{AC}
=−w‾+(u‾+v‾)= -\underline{w} + (\underline{u} + \underline{v})

AC‾\underline{AC} הוא אלכסון הריבוע

יורדים מ-SS אל AA, וזה −w‾-\underline{w}. w‾−u‾−v‾\underline{w} - \underline{u} - \underline{v} הוא CS‾\underline{CS}, החץ ההפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

באותה פירמידה: צלע הבסיס 22, כל מקצוע צדדי 33, ולכן u‾⋅w‾=v‾⋅w‾=2\underline{u}\cdot\underline{w} = \underline{v}\cdot\underline{w} = 2. חשבו את האורך של SCSC בעזרת הווקטורים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

∣SC‾∣2=∣u‾∣2+∣v‾∣2+∣w‾∣2+2(u‾⋅v‾−u‾⋅w‾−v‾⋅w‾)|\underline{SC}|^2 = |\underline{u}|^2 + |\underline{v}|^2 + |\underline{w}|^2 + 2(\underline{u}\cdot\underline{v} - \underline{u}\cdot\underline{w} - \underline{v}\cdot\underline{w})
4+4+9+2(0−2−2)=17−8=9\begin{aligned}4 + 4 + 9 + 2(0 - 2 - 2) &= 17 - 8 \\ &= 9\end{aligned}
∣SC‾∣=3|\underline{SC}| = 3

וזה אכן מקצוע צדדי

הסימנים של המכפלות המעורבות באים מהמקדמים: (+1)(−1)(+1)(-1) נותן מינוס. בלי המכפלות יוצא 17\sqrt{17}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

באותה פירמידה, MM הוא אמצע SCSC. מהו האורך של AMAM?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.5

הפתרון:

AM‾=AS‾+12SC‾=w‾+12(u‾+v‾−w‾)=12(u‾+v‾+w‾)\begin{aligned}\underline{AM} &= \underline{AS} + \frac{1}{2}\underline{SC} \\ &= \underline{w} + \frac{1}{2}(\underline{u} + \underline{v} - \underline{w}) \\ &= \frac{1}{2}(\underline{u} + \underline{v} + \underline{w})\end{aligned}
∣AM‾∣2=14(4+4+9+2(0+2+2))=254\begin{aligned}|\underline{AM}|^2 &= \frac{1}{4}\left(4 + 4 + 9 + 2(0 + 2 + 2)\right) \\ &= \frac{25}{4}\end{aligned}
∣AM‾∣=52|\underline{AM}| = \frac{5}{2}

הגורם 12\frac{1}{2} יוצא מהריבוע כ-14\frac{1}{4}, לא כ-12\frac{1}{2}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

סדרו את שלבי הפתרון של שאלת אורך בגוף.

  • בוחרים שלושה וקטורי בסיס מקודקוד אחד
  • כותבים את הווקטור המבוקש כמסלול לאורך המקצועות
  • מוציאים שורש
  • מעלים את הביטוי בריבוע ופותחים סוגריים
  • מציבים את האורכים ואת המכפלות הסקלריות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בוחרים שלושה וקטורי בסיס מקודקוד אחד · כותבים את הווקטור המבוקש כמסלול לאורך המקצועות · מעלים את הביטוי בריבוע ופותחים סוגריים · מציבים את האורכים ואת המכפלות הסקלריות · מוציאים שורש

הפתרון:

∣x‾∣=x‾⋅x‾|\underline{x}| = \sqrt{\underline{x}\cdot\underline{x}}

השורש הוא הצעד האחרון: לפניו מחשבים את ∣x‾∣2|\underline{x}|^2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

מיכל חישבה את ∣u‾+v‾∣|\underline{u} + \underline{v}| כאשר ∣u‾∣=3|\underline{u}| = 3, ∣v‾∣=5|\underline{v}| = 5, והזווית ביניהם 60∘60^\circ. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

u‾⋅v‾=3⋅5⋅12=7.5\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 7.5\end{aligned}
∣u‾+v‾∣2=9+25=34\begin{aligned}|\underline{u} + \underline{v}|^2 &= 9 + 25 \\ &= 34\end{aligned}
∣u‾+v‾∣=34|\underline{u} + \underline{v}| = \sqrt{34}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∣u‾+v‾∣2=9+25=34|\underline{u} + \underline{v}|^2 = 9 + 25 = 34 → ∣u‾+v‾∣2=9+2⋅7.5+25=49|\underline{u} + \underline{v}|^2 = 9 + 2 \cdot 7.5 + 25 = 49

הפתרון:

∣u‾+v‾∣2=9+15+25=49\begin{aligned}|\underline{u} + \underline{v}|^2 &= 9 + 15 + 25 \\ &= 49\end{aligned}
∣u‾+v‾∣=7|\underline{u} + \underline{v}| = 7

היא חישבה את המכפלה ולא השתמשה בה. האיבר האמצעי 2 u‾⋅v‾2\,\underline{u}\cdot\underline{v} נשמט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת