הישר במרחב

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ישר במרחב נקבע על ידי נקודה אחת וכיוון אחד.

מתחילים בנקודה AA, והולכים בכיוון של וקטור הכיוון d‾\underline{d}. כל נקודה שמגיעים אליה, קדימה או אחורה, נמצאת על הישר.

ℓ: x‾=A+td‾\ell:\ \underline{x} = A + t\underline{d}

tt הוא הפרמטר. כל מספר ממשי tt נותן נקודה אחת על הישר

איזו נקודה מתקבלת כש-t=0t = 0?

להציג את התשובה והפתרון

הנקודה PP עצמה. t=0t = 0 פירושו אפס צעדים: נשארים בנקודת ההתחלה.

נקודות על הישר ℓ: x‾=(1,0,2)+t(1,2,−1)\ell:\ \underline{x} = (1, 0, 2) + t(1, 2, -1)

מציבים ערך של tt ומחשבים רכיב אחרי רכיב.

t=1:(1+1, 0+2, 2−1)=(2,2,1)\begin{aligned}t &= 1:\quad (1 + 1,\ 0 + 2,\ 2 - 1) \\ &= (2, 2, 1)\end{aligned}

צעד אחד קדימה

t=−1:(1−1, 0−2, 2+1)=(0,−2,3)\begin{aligned}t &= -1:\quad (1 - 1,\ 0 - 2,\ 2 + 1) \\ &= (0, -2, 3)\end{aligned}

צעד אחד אחורה

ישר דרך שתי נקודות

כדי לכתוב ישר צריך נקודה וכיוון. דרך שתי נקודות AA ו-BB: הנקודה היא AA, והכיוון הוא AB‾=B−A\underline{AB} = B - A.

הישר דרך A(2,−1,3)A(2, -1, 3) ו-B(4,0,1)B(4, 0, 1)

קודם וקטור הכיוון, אחר כך ההצגה.

AB‾=(4−2, 0−(−1), 1−3)=(2,1,−2)\begin{aligned}\underline{AB} &= (4 - 2,\ 0 - (-1),\ 1 - 3) \\ &= (2, 1, -2)\end{aligned}

הסוף פחות ההתחלה

ℓ: x‾=(2,−1,3)+t(2,1,−2)\ell:\ \underline{x} = (2, -1, 3) + t(2, 1, -2)

נקודה ועוד tt פעמים הכיוון

האם x‾=(4,0,1)+s(−2,−1,2)\underline{x} = (4, 0, 1) + s(-2, -1, 2) הוא אותו ישר?

להציג את התשובה והפתרון

כן. זו נקודה אחרת של הישר (BB), וכיוון נגדי. לאותו ישר יש הרבה הצגות פרמטריות.

האם נקודה PP נמצאת על הישר? משווים את ההצגה ל-PP, רכיב אחרי רכיב, ומחפשים tt אחד שמתאים לשלוש המשוואות.

האם P(6,1,−1)P(6, 1, -1) על הישר x‾=(2,−1,3)+t(2,1,−2)\underline{x} = (2, -1, 3) + t(2, 1, -2)?

שלוש משוואות, נעלם אחד.

2+2t=6  ⇒  t=2\begin{aligned}2 + 2t &= 6 \;\Rightarrow\; t \\ &= 2\end{aligned}

רכיב xx

−1+t=1  ⇒  t=2\begin{aligned}-1 + t &= 1 \;\Rightarrow\; t \\ &= 2\end{aligned}

רכיב yy

3−2t=−1  ⇒  t=2\begin{aligned}3 - 2t &= -1 \;\Rightarrow\; t \\ &= 2\end{aligned}

רכיב zz: אותו tt, ולכן PP על הישר

שני ישרים במרחב

במישור, שני ישרים נחתכים או מקבילים. במרחב יש אפשרות שלישית: ישרים מצטלבים. הם לא נפגשים, וגם לא מקבילים.

d‾1=kd‾2  ?\underline{d}_1 = k\underline{d}_2 \;?

שאלה 1: הכיוונים פרופורציונליים? אם כן, הישרים מתלכדים או מקבילים. בודקים אם נקודה של ישר אחד נמצאת על השני

A+td‾1=B+sd‾2A + t\underline{d}_1 = B + s\underline{d}_2

שאלה 2: אם לא, פותרים את המערכת. יש פתרון: נחתכים. אין פתרון: מצטלבים

נקודת החיתוך של ℓ1: x‾=(1,0,0)+t(1,1,1)\ell_1:\ \underline{x} = (1, 0, 0) + t(1, 1, 1) ו-ℓ2: x‾=(0,3,1)+s(1,−1,0)\ell_2:\ \underline{x} = (0, 3, 1) + s(1, -1, 0)

הכיוונים לא פרופורציונליים. משווים רכיב אחרי רכיב.

1+t=st=3−st=1\begin{aligned}1 + t &= s \\ \quad t &= 3 - s \\ \quad t &= 1\end{aligned}

שלוש משוואות, שני נעלמים

t=1  ⇒  s=2\begin{aligned}t &= 1 \;\Rightarrow\; s \\ &= 2\end{aligned}

משתי המשוואות הראשונות

1+1=2 ✓1 + 1 = 2\ \checkmark

בודקים במשוואה שלא השתמשנו בה

S=(1,0,0)+1⋅(1,1,1)=(2,1,1)\begin{aligned}S &= (1, 0, 0) + 1\cdot(1, 1, 1) \\ &= (2, 1, 1)\end{aligned}

מציבים בחזרה

שתי טעויות בישרים.

x‾=A+t⋅B\underline{x} = A + t\cdot B
x‾=A+t(B−A)\underline{x} = A + t(B - A)

הכיוון הוא הווקטור AB‾\underline{AB}, לא הנקודה BB.

t=2 t=2  ⇒  P∈ℓ\begin{aligned}t &= 2 \\ \ t &= 2 \;\Rightarrow\; P \in \ell\end{aligned}
t=2 t=2 t=2  ⇒  P∈ℓ\begin{aligned}t &= 2 \\ \ t &= 2 \\ \ t &= 2 \;\Rightarrow\; P \in \ell\end{aligned}

צריך שהמשוואה השלישית תתאים גם היא. שתיים לא מספיקות.

מצטלבים אינו נחתכים. ישרים מצטלבים לא נפגשים אף פעם. במרחב, «לא נחתכים» לא אומר «מקבילים».

תרגילים

תרגיל 1

נתון הישר ℓ: x‾=(1,0,2)+t(1,2,−1)\ell:\ \underline{x} = (1, 0, 2) + t(1, 2, -1). מהו שיעור ה-xx של הנקודה שמתקבלת כש-t=3t = 3?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x=1+3⋅1=4\begin{aligned}x &= 1 + 3\cdot 1 \\ &= 4\end{aligned}

רכיב xx בלבד

מכפילים את וקטור הכיוון ב-tt, ורק אז מוסיפים את הנקודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

איזו נקודה של ℓ: x‾=(1,0,2)+t(1,2,−1)\ell:\ \underline{x} = (1, 0, 2) + t(1, 2, -1) מתקבלת כש-t=−2t = -2?

  1. (−1,−4,0)(-1, -4, 0)
  2. (3,4,0)(3, 4, 0)
  3. (−1,−4,4)(-1, -4, 4)
  4. (−2,−4,2)(-2, -4, 2)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג (−1,−4,4)(-1, -4, 4)

הפתרון:

(1,0,2)+(−2)(1,2,−1)=(1−2, 0−4, 2+2)=(−1,−4,4)\begin{aligned}(1, 0, 2) + (-2)(1, 2, -1) &= (1 - 2,\ 0 - 4,\ 2 + 2) \\ &= (-1, -4, 4)\end{aligned}

(−2)⋅(−1)=+2(-2)\cdot(-1) = +2: הרכיב השלישי גדל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו וקטור כיוון של הישר דרך A(1,2,0)A(1, 2, 0) ו-B(3,−1,4)B(3, -1, 4)?

  1. (4,1,4)(4, 1, 4)
  2. (2,3,4)(2, 3, 4)
  3. (2,−3,4)(2, -3, 4)
  4. (1,2,0)(1, 2, 0)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג (2,−3,4)(2, -3, 4)

הפתרון:

AB‾=(3−1, −1−2, 4−0)=(2,−3,4)\begin{aligned}\underline{AB} &= (3 - 1,\ -1 - 2,\ 4 - 0) \\ &= (2, -3, 4)\end{aligned}

(4,1,4)(4, 1, 4) הוא A+BA + B, לא B−AB - A. ו-(1,2,0)(1, 2, 0) היא נקודה, לא כיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הטענה: הנקודה P(6,1,−1)P(6, 1, -1) נמצאת על הישר x‾=(2,−1,3)+t(2,1,−2)\underline{x} = (2, -1, 3) + t(2, 1, -2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

2+2t=6−1+t=13−2t=−1\begin{aligned}2 + 2t &= 6 \\ \quad -1 + t &= 1 \\ \quad 3 - 2t &= -1\end{aligned}
t=2t = 2

אותו tt בשלוש המשוואות

אותו tt בשלוש המשוואות: הנקודה על הישר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הטענה: הנקודה Q(4,0,2)Q(4, 0, 2) נמצאת על הישר x‾=(2,−1,3)+t(2,1,−2)\underline{x} = (2, -1, 3) + t(2, 1, -2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

2+2t=4  ⇒  t=1\begin{aligned}2 + 2t &= 4 \;\Rightarrow\; t \\ &= 1\end{aligned}
−1+t=0  ⇒  t=1\begin{aligned}-1 + t &= 0 \;\Rightarrow\; t \\ &= 1\end{aligned}
3−2⋅1=1≠23 - 2\cdot 1 = 1 \neq 2

המשוואה השלישית נכשלת

שתי משוואות הסכימו, והשלישית לא. לכן QQ לא על הישר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הישר x‾=(1,2,3)+t(2,−1,1)\underline{x} = (1, 2, 3) + t(2, -1, 1) חותך את המישור z=0z = 0 (מישור xyxy). מהו שיעור ה-xx של נקודת החיתוך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -5

הפתרון:

3+t=0  ⇒  t=−3\begin{aligned}3 + t &= 0 \;\Rightarrow\; t \\ &= -3\end{aligned}

על המישור z=0z = 0 הרכיב השלישי הוא אפס

x=1+2⋅(−3)=−5\begin{aligned}x &= 1 + 2\cdot(-3) \\ &= -5\end{aligned}

קודם מוצאים tt מהתנאי z=0z = 0, ורק אז מחשבים את xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הנקודה P(k,4,−1)P(k, 4, -1) נמצאת על הישר x‾=(1,2,3)+t(2,1,−2)\underline{x} = (1, 2, 3) + t(2, 1, -2). מהו kk?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

2+t=4  ⇒  t=2\begin{aligned}2 + t &= 4 \;\Rightarrow\; t \\ &= 2\end{aligned}

מוצאים tt מרכיב ידוע

3−2⋅2=−1 ✓3 - 2\cdot 2 = -1\ \checkmark

בודקים ברכיב zz

k=1+2⋅2=5\begin{aligned}k &= 1 + 2\cdot 2 \\ &= 5\end{aligned}

את tt מוצאים מרכיב שבו הכול ידוע, לא מהרכיב עם kk.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מהו המצב ההדדי של ℓ1: x‾=(1,2,0)+t(2,−1,3)\ell_1:\ \underline{x} = (1, 2, 0) + t(2, -1, 3) ו-ℓ2: x‾=(0,0,1)+s(−4,2,−6)\ell_2:\ \underline{x} = (0, 0, 1) + s(-4, 2, -6)?

  1. מתלכדים
  2. נחתכים
  3. מצטלבים
  4. מקבילים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מקבילים

הפתרון:

(−4,2,−6)=−2⋅(2,−1,3)(-4, 2, -6) = -2\cdot(2, -1, 3)

הכיוונים פרופורציונליים

1+2t=0  ⇒  t=−12\begin{aligned}1 + 2t &= 0 \;\Rightarrow\; t \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

האם (0,0,1)(0, 0, 1) על ℓ1\ell_1?

2−t=2+12≠02 - t = 2 + \frac{1}{2} \neq 0

רכיב yy לא מתאים: אין נקודה משותפת

כיוונים פרופורציונליים בלי נקודה משותפת: מקבילים, לא מתלכדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מהו המצב ההדדי של ℓ1: x‾=(1,1,0)+t(1,0,1)\ell_1:\ \underline{x} = (1, 1, 0) + t(1, 0, 1) ו-ℓ2: x‾=(0,2,1)+s(0,1,1)\ell_2:\ \underline{x} = (0, 2, 1) + s(0, 1, 1)?

  1. מצטלבים
  2. מתלכדים
  3. נחתכים
  4. מקבילים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מצטלבים

הפתרון:

(1,0,1)≠k(0,1,1)(1, 0, 1) \neq k(0, 1, 1)

הכיוונים לא פרופורציונליים

1+t=01=2+s\begin{aligned}1 + t &= 0 \\ \quad 1 &= 2 + s\end{aligned}

שתי המשוואות הראשונות

t=−1 s=−1\begin{aligned}t &= -1 \\ \ s &= -1\end{aligned}
z:t=1+s  ⇒  −1≠0z:\quad t = 1 + s \;\Rightarrow\; -1 \neq 0

המשוואה השלישית סותרת

אין פתרון וגם אין כיוונים פרופורציונליים: מצטלבים. אל תעצרו אחרי שתי משוואות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הישרים ℓ1: x‾=(1,2,0)+t(1,−1,2)\ell_1:\ \underline{x} = (1, 2, 0) + t(1, -1, 2) ו-ℓ2: x‾=(2,−2,5)+s(1,2,−1)\ell_2:\ \underline{x} = (2, -2, 5) + s(1, 2, -1) נחתכים. מהו שיעור ה-zz של נקודת החיתוך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

1+t=2+s2−t=−2+2s\begin{aligned}1 + t &= 2 + s \\ \quad 2 - t &= -2 + 2s\end{aligned}

רכיבים xx ו-yy

t=1+s  ⇒  2−1−s=−2+2s  ⇒  s=1 t=2\begin{aligned}t &= 1 + s \;\Rightarrow\; 2 - 1 - s \\ &= -2 + 2s \;\Rightarrow\; s \\ &= 1 \\ \ t &= 2\end{aligned}
z:2t=5−s  ⇒  4=4 ✓\begin{aligned}z:\quad 2t &= 5 - s \;\Rightarrow\; 4 \\ &= 4\ \checkmark\end{aligned}

בדיקה ברכיב השלישי

S=(1,2,0)+2(1,−1,2)=(3,0,4)\begin{aligned}S &= (1, 2, 0) + 2(1, -1, 2) \\ &= (3, 0, 4)\end{aligned}

אחרי שמוצאים tt ו-ss, בודקים את המשוואה השלישית ורק אז מציבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

התאימו כל מצב הדדי לתנאי שלו.

  • מתלכדים
  • מקבילים
  • נחתכים
  • מצטלבים
  • כיוונים לא פרופורציונליים, ואין נקודה משותפת
  • כיוונים לא פרופורציונליים, ויש נקודה משותפת
  • כיוונים פרופורציונליים, ואין נקודה משותפת
  • כיוונים פרופורציונליים, ויש נקודה משותפת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מתלכדים — כיוונים פרופורציונליים, ויש נקודה משותפת · מקבילים — כיוונים פרופורציונליים, ואין נקודה משותפת · נחתכים — כיוונים לא פרופורציונליים, ויש נקודה משותפת · מצטלבים — כיוונים לא פרופורציונליים, ואין נקודה משותפת

הפתרון:

d‾1=kd‾2  ?A+td‾1=B+sd‾2  ?\begin{aligned}\underline{d}_1 &= k\underline{d}_2 \;?\quad A + t\underline{d}_1 \\ &= B + s\underline{d}_2 \;?\end{aligned}

שתי שאלות, ארבע תשובות

שתי שאלות: האם הכיוונים פרופורציונליים, והאם יש נקודה משותפת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

סדרו את שלבי הבדיקה של המצב ההדדי בין שני ישרים.

  • אם לא: משווים את שתי ההצגות, רכיב אחרי רכיב
  • בודקים אם וקטורי הכיוון פרופורציונליים
  • מציבים tt בהצגה ומוצאים את נקודת החיתוך
  • מציבים בשלישית: אם היא מתקיימת, הישרים נחתכים
  • פותרים שתיים מהמשוואות ומוצאים tt ו-ss
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בודקים אם וקטורי הכיוון פרופורציונליים · אם לא: משווים את שתי ההצגות, רכיב אחרי רכיב · פותרים שתיים מהמשוואות ומוצאים tt ו-ss · מציבים בשלישית: אם היא מתקיימת, הישרים נחתכים · מציבים tt בהצגה ומוצאים את נקודת החיתוך

הפתרון:

d‾1∦d‾2  ⇒  t,s  ⇒  ✓  ⇒  S\underline{d}_1 \nparallel \underline{d}_2 \;\Rightarrow\; t, s \;\Rightarrow\; \checkmark \;\Rightarrow\; S

הבדיקה במשוואה השלישית באה לפני שמחשבים את נקודת החיתוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

יוסי כתב את הישר דרך A(1,0,2)A(1, 0, 2) ו-B(3,1,5)B(3, 1, 5). שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

d‾=B−A\underline{d} = B - A
=(3,1,5)−(1,0,2)= (3, 1, 5) - (1, 0, 2)
=(4,1,7)= (4, 1, 7)
ℓ: x‾=(1,0,2)+t(4,1,7)\ell:\ \underline{x} = (1, 0, 2) + t(4, 1, 7)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: =(4,1,7)= (4, 1, 7) → =(2,1,3)= (2, 1, 3)

הפתרון:

(3−1, 1−0, 5−2)=(2,1,3)(3 - 1,\ 1 - 0,\ 5 - 2) = (2, 1, 3)

בשורה השלישית יוסי חיבר במקום לחסר. השורה האחרונה רק ממשיכה את הטעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

השלימו.

הישר x‾=(2,−1,0)+t(1,3,−2)\underline{x} = (2, -1, 0) + t(1, 3, -2) חותך את המישור x=0x = 0 בנקודה (0,y,z)(0, y, z), כאשר y=y = ____ ו-z=z = ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הישר x‾=(2,−1,0)+t(1,3,−2)\underline{x} = (2, -1, 0) + t(1, 3, -2) חותך את המישור x=0x = 0 בנקודה (0,y,z)(0, y, z), כאשר y=y = -7 ו-z=z = 4.

הפתרון:

2+t=0  ⇒  t=−2\begin{aligned}2 + t &= 0 \;\Rightarrow\; t \\ &= -2\end{aligned}
y=−1+3(−2)=−7z=0−2(−2)=4\begin{aligned}y &= -1 + 3(-2) \\ &= -7 \\ \quad z &= 0 - 2(-2) \\ &= 4\end{aligned}

על המישור x=0x = 0 הרכיב הראשון מתאפס: משם מוצאים את tt.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

הטענה: שני ישרים במרחב שאין להם נקודה משותפת הם בהכרח מקבילים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

ℓ1∩ℓ2=∅  ⇏  ℓ1∥ℓ2\ell_1 \cap \ell_2 = \varnothing \;\not\Rightarrow\; \ell_1 \parallel \ell_2

אין נקודה משותפת, ועדיין לא בהכרח מקבילים

הם יכולים להיות גם מצטלבים: לא נפגשים ולא מקבילים. זה קורה רק במרחב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת