המישור במרחב · וקטורים וגאומטריה במרחב · כיתה י״ב

מישור במרחב נקבע על ידי נקודה אחת וכיוון ניצב אליו.

וקטור שניצב למישור נקרא וקטור נורמל, $\underline{n}$ . הוא ניצב לכל וקטור שנמצא במישור.

נקודה $X(x, y, z)$ נמצאת במישור בדיוק כש- $\underline{AX}$ ניצב ל- $\underline{n}$ , כלומר $\underline{n} \cdot \underline{AX} = 0$ . כשפותחים את המכפלה, מקבלים משוואה.

ax + by + cz + d = 0

זו משוואת המישור. המקדמים של $x$ , $y$ , $z$ הם וקטור הנורמל $\underline{n} = (a, b, c)$

מה הקשר בין המישורים $x + 2y + 2z - 4 = 0$ ו- $x + 2y + 2z + 6 = 0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

הם מקבילים. לשניהם אותו נורמל, $(1, 2, 2)$ , ורק המספר החופשי שונה. בדיוק כמו במחוון: המישור זז, הנטייה נשארת.

המישור דרך $A(1, -2, 3)$ שהנורמל שלו $\underline{n} = (2, 1, -1)$

כותבים את המקדמים מהנורמל, ומוצאים את $d$ מהנקודה.

2x + y - z + d = 0

המקדמים הם הנורמל

\begin{aligned}2\cdot 1 + (-2) - 3 + d &= 0 \;\Rightarrow\; d \\ &= 3\end{aligned}

מציבים את $A$ , כי היא במישור

2x + y - z + 3 = 0

מישור דרך שלוש נקודות

נתונות שלוש נקודות $A$ , $B$ , $C$ שאינן על ישר אחד. בונים שני וקטורים במישור: $\underline{AB}$ ו- $\underline{AC}$ .

הנורמל ניצב לשניהם. לכן פותרים שתי משוואות: $\underline{n} \cdot \underline{AB} = 0$ ו- $\underline{n} \cdot \underline{AC} = 0$ .

המישור דרך $A(1, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 3)$

נורמל $\underline{n} = (a, b, c)$ , שני תנאים.

\begin{aligned}\underline{AB} &= (-1, 2, 0) \\ \quad \underline{AC} &= (-1, 0, 3)\end{aligned}

\begin{aligned}-a + 2b &= 0 \\ \quad -a + 3c &= 0\end{aligned}

שתי המכפלות הסקלריות שוות אפס

\begin{aligned}a &= 6 \;\Rightarrow\; b \\ &= 3 \\ \ c &= 2\end{aligned}

בוחרים $a$ נוח

\begin{aligned}6x + 3y + 2z + d &= 0 \\ \quad 6 + d &= 0 \;\Rightarrow\; d \\ &= -6\end{aligned}

מציבים את $A$

6x + 3y + 2z - 6 = 0

בודקים: גם $B$ וגם $C$ מקיימות

שתי משוואות ושלושה נעלמים: יש אינסוף פתרונות. כל כפולה של נורמל היא נורמל, ולכן בוחרים ערך נוח לנעלם אחד, ומחשבים את השניים האחרים.

מישור אפשר לכתוב גם בהצגה פרמטרית: נקודה, ועוד שני וקטורים שבמישור ואינם מקבילים.

\underline{x} = A + t\underline{u} + s\underline{v}

שני פרמטרים, $t$ ו- $s$ : מישור הוא «דו-ממדי»

ישר ומישור, מישור ומישור

האם ישר פוגש מישור? מציבים את ההצגה של הישר במשוואת המישור, ומקבלים משוואה בנעלם אחד, $t$ .

\begin{aligned}at + b &= 0 \\ \ a \neq 0\end{aligned}

פתרון אחד: הישר חותך את המישור בנקודה אחת

\begin{aligned}0 \cdot t + b &= 0 \\ \ b \neq 0\end{aligned}

אין פתרון: הישר מקביל למישור

0 \cdot t + 0 = 0

כל $t$ פתרון: הישר מוכל במישור

החיתוך של $\underline{x} = (1, 2, 0) + t(1, -1, 2)$ עם $2x + y + z - 7 = 0$

מציבים $x = 1 + t$ , $y = 2 - t$ , $z = 2t$ .

2(1 + t) + (2 - t) + 2t - 7 = 0

הצבה

\begin{aligned}3t - 3 &= 0 \;\Rightarrow\; t \\ &= 1\end{aligned}

\begin{aligned}S &= (1, 2, 0) + 1\cdot(1, -1, 2) \\ &= (2, 1, 2)\end{aligned}

מציבים את $t$ בחזרה בישר

אם $\underline{d} \cdot \underline{n} = 0$ , מה אפשר לומר על הישר והמישור?

להציג את התשובה והפתרון

הכיוון של הישר ניצב לנורמל, כלומר הישר «שוכב» לאורך המישור. אז הוא מקביל למישור, או מוכל בו. כדי להכריע, בודקים נקודה אחת של הישר.

שני מישורים: אם הנורמלים פרופורציונליים, המישורים מקבילים (או מתלכדים). אחרת הם נחתכים, והחיתוך הוא ישר.

שתי טעויות במישורים.

\begin{aligned}2x + y - z + 3 &= 0 \;\Rightarrow\; \underline{n} \\ &= (2, 1, 3)\end{aligned}

\underline{n} = (2, 1, -1)

הנורמל הוא המקדמים של $x$ , $y$ , $z$ בלבד, עם הסימן. המספר החופשי לא שייך לו.

\underline{d} \cdot \underline{n} = 0 \;\Rightarrow\; \ell \parallel \pi

\underline{d} \cdot \underline{n} = 0 \;\Rightarrow\; \ell \parallel \pi \;\lor\; \ell \subset \pi

בלי לבדוק נקודה של הישר, אי אפשר לדעת אם הוא מקביל או מוכל.

תרגילים

תרגיל 1

מהו וקטור נורמל של המישור $3x - y + 2z - 5 = 0$ ?

$(3, -1, -5)$
$(3, -1, 2)$
$(3, 1, 2)$
$(-5, 3, -1)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $(3, -1, 2)$

הפתרון:

\begin{aligned}\underline{n} &= (a, b, c) \\ &= (3, -1, 2)\end{aligned}

המקדמים של $x$ , $y$ , $z$

המספר החופשי $-5$ לא חלק מהנורמל, והסימן של $-y$ נשמר.

מישור דרך שלוש נקודות

ישר ומישור, מישור ומישור

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev