זוויות במרחב

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

במרחב יש שלושה סוגים של זוויות: בין שני ישרים, בין ישר למישור, ובין שני מישורים. את שלושתם מחשבים בעזרת וקטורים.

זווית בין שני ישרים

הזווית בין שני ישרים היא הזווית בין וקטורי הכיוון שלהם.

אבל זווית בין ישרים היא תמיד חדה (או ישרה). לכן במונה לוקחים ערך מוחלט.

cos⁡α=∣d1‾⋅d2‾∣∣d1‾∣⋅∣d2‾∣\cos\alpha = \frac{|\underline{d_1}\cdot\underline{d_2}|}{|\underline{d_1}|\cdot|\underline{d_2}|}

אותה נוסחה כמו זווית בין וקטורים, עם ערך מוחלט במונה

הזווית בין ישר בכיוון (1,1,0)(1, 1, 0) לישר בכיוון (1,0,1)(1, 0, 1)

מכפלה סקלרית, שני אורכים, ואז cos⁡\cos.

d1‾⋅d2‾=1⋅1+1⋅0+0⋅1=1\begin{aligned}\underline{d_1}\cdot\underline{d_2} &= 1\cdot1 + 1\cdot0 + 0\cdot1 \\ &= 1\end{aligned}

המכפלה הסקלרית

∣d1‾∣=2∣d2‾∣=2\begin{aligned}|\underline{d_1}| &= \sqrt{2} \\ \quad |\underline{d_2}| &= \sqrt{2}\end{aligned}

האורכים

cos⁡α=∣1∣2⋅2=12\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{|1|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}
α=60∘\alpha = 60^\circ

ומה עושים אם המכפלה הסקלרית יוצאת שלילית?

להציג את התשובה והפתרון

לוקחים ערך מוחלט. בלעדיו היינו מקבלים 120∘120^\circ, אבל בין שני ישרים יש שתי זוויות, 60∘60^\circ ו-120∘120^\circ, והזווית בין הישרים היא החדה.

שני ישרים מאונכים כשהמכפלה הסקלרית של וקטורי הכיוון היא 00. זה נכון גם כשהישרים מצטלבים ולא נפגשים.

זווית בין ישר למישור

הזווית בין ישר למישור היא הזווית בין הישר לבין ההיטל שלו על המישור.

וקטור הנורמל n‾\underline{n} ניצב למישור. לכן הזווית בין d‾\underline{d} ל-n‾\underline{n} משלימה את α\alpha ל-90∘90^\circ, ובמקום cos⁡\cos מקבלים sin⁡\sin.

sin⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣⋅∣n‾∣\sin\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}|\cdot|\underline{n}|}

d‾\underline{d} וקטור הכיוון של הישר, n‾\underline{n} הנורמל של המישור

הזווית בין ישר בכיוון (1,1,0)(1, 1, 0) למישור y+z−4=0y + z - 4 = 0

הנורמל נקרא מהמקדמים של המשוואה.

n‾=(0,1,1)\underline{n} = (0, 1, 1)

המקדמים של xx, yy ו-zz

d‾⋅n‾=0+1+0=1\begin{aligned}\underline{d}\cdot\underline{n} &= 0 + 1 + 0 \\ &= 1\end{aligned}
sin⁡α=12⋅2=12\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

סינוס, לא קוסינוס

α=30∘\alpha = 30^\circ
d‾⋅n‾=0\underline{d}\cdot\underline{n} = 0

הישר מקביל למישור (או מוכל בו): הזווית 0∘0^\circ

d‾=k n‾\underline{d} = k\,\underline{n}

הישר ניצב למישור: הזווית 90∘90^\circ

זווית בין שני מישורים

הזווית בין שני מישורים היא הזווית בין וקטורי הנורמל שלהם. גם היא חדה, ולכן שוב ערך מוחלט.

cos⁡α=∣n1‾⋅n2‾∣∣n1‾∣⋅∣n2‾∣\cos\alpha = \frac{|\underline{n_1}\cdot\underline{n_2}|}{|\underline{n_1}|\cdot|\underline{n_2}|}

הזווית בין המישורים x+y−1=0x + y - 1 = 0 ו-y+z+2=0y + z + 2 = 0

שני נורמלים, ואותו חישוב כמו בין ישרים.

n1‾=(1,1,0)n2‾=(0,1,1)\begin{aligned}\underline{n_1} &= (1, 1, 0) \\ \quad \underline{n_2} &= (0, 1, 1)\end{aligned}
cos⁡α=∣0+1+0∣2⋅2=12\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{|0 + 1 + 0|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}
α=60∘\alpha = 60^\circ

שני מישורים מאונכים כש-n1‾⋅n2‾=0\underline{n_1}\cdot\underline{n_2} = 0.

שתי טעויות שעולות נקודות בבחינה. הראשונה: זווית בין ישר למישור.

cos⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣∣n‾∣\cos\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}||\underline{n}|}
sin⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣∣n‾∣\sin\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}||\underline{n}|}

בין ישר למישור משתמשים בסינוס: n‾\underline{n} ניצב למישור, לא שוכב עליו.

cos⁡α=−12⇒α=120∘\begin{aligned}\cos\alpha &= -\frac{1}{2} \Rightarrow \alpha \\ &= 120^\circ\end{aligned}
cos⁡α=∣−12∣⇒α=60∘\begin{aligned}\cos\alpha &= \left|-\frac{1}{2}\right| \Rightarrow \alpha \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זווית בין ישרים או בין מישורים היא חדה. שוכחים ערך מוחלט, ומקבלים את הזווית המשלימה ל-180∘180^\circ.

איך זוכרים? ישר וישר, מישור ומישור: cos⁡\cos. ישר ומישור: sin⁡\sin, כי הנורמל «מסובב» את הזווית ב-90∘90^\circ.

תרגילים

תרגיל 1

מהי הזווית (במעלות) בין ישר בכיוון (1,0,0)(1, 0, 0) לישר בכיוון (1,1,0)(1, 1, 0)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

cos⁡α=∣1∣1⋅2=12\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{|1|}{1\cdot\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\end{aligned}
α=45∘\alpha = 45^\circ

המונה הוא המכפלה הסקלרית, והמכנה הוא מכפלת האורכים, לא מכפלת הרכיבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהי הזווית בין הישרים ℓ1: x‾=(1,0,3)+t(2,−1,2)\ell_1: \ \underline{x} = (1, 0, 3) + t(2, -1, 2) ו-ℓ2: x‾=(0,4,−1)+s(1,2,2)\ell_2: \ \underline{x} = (0, 4, -1) + s(1, 2, 2)? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 63.61

הפתרון:

d1‾⋅d2‾=2−2+4=4\begin{aligned}\underline{d_1}\cdot\underline{d_2} &= 2 - 2 + 4 \\ &= 4\end{aligned}
∣d1‾∣=3∣d2‾∣=3\begin{aligned}|\underline{d_1}| &= 3 \\ \quad |\underline{d_2}| &= 3\end{aligned}
cos⁡α=49⇒α≈63.61∘\cos\alpha = \frac{4}{9} \Rightarrow \alpha \approx 63.61^\circ

הזווית תלויה רק בוקטורי הכיוון. הנקודות (1,0,3)(1, 0, 3) ו-(0,4,−1)(0, 4, -1) לא נכנסות לחישוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

וקטורי הכיוון של שני ישרים הם (1,−1,0)(1, -1, 0) ו-(−1,0,1)(-1, 0, 1). מהי הזווית בין הישרים?

  1. 120∘120^\circ
  2. 90∘90^\circ
  3. 60∘60^\circ
  4. 30∘30^\circ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 60∘60^\circ

הפתרון:

d1‾⋅d2‾=−1\underline{d_1}\cdot\underline{d_2} = -1

שלילי

cos⁡α=∣−1∣2⋅2=12⇒α=60∘\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{|-1|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha \\ &= 60^\circ\end{aligned}

120∘120^\circ היא הזווית בין הווקטורים. בין הישרים לוקחים את הזווית החדה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונים הישרים ℓ1: x‾=(1,0,2)+t(2,1,−1)\ell_1: \ \underline{x} = (1, 0, 2) + t(2, 1, -1) ו-ℓ2: x‾=(0,3,0)+s(1,−1,1)\ell_2: \ \underline{x} = (0, 3, 0) + s(1, -1, 1). הטענה: הישרים מאונכים זה לזה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

(2,1,−1)⋅(1,−1,1)=2−1−1=0\begin{aligned}(2, 1, -1)\cdot(1, -1, 1) &= 2 - 1 - 1 \\ &= 0\end{aligned}

המכפלה הסקלרית של וקטורי הכיוון

ישרים מאונכים לא חייבים להיפגש: גם ישרים מצטלבים יכולים להיות מאונכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

וקטורי הכיוון של שני ישרים הם (1,k,2)(1, k, 2) ו-(3,1,−1)(3, 1, -1). לאיזה ערך של kk הישרים מאונכים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

3+k−2=03 + k - 2 = 0

מכפלה סקלרית שווה לאפס

k=−1k = -1

מאונכים פירושו מכפלה סקלרית אפס, לא וקטורים פרופורציונליים (זה מקבילים).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהי הזווית (במעלות) בין הישר ℓ: x‾=t(1,0,1)\ell: \ \underline{x} = t(1, 0, 1) למישור z=0z = 0?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

n‾=(0,0,1)\underline{n} = (0, 0, 1)

הנורמל של המישור z=0z = 0

sin⁡α=∣1∣2⋅1=12⇒α=45∘\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{|1|}{\sqrt{2}\cdot 1} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \alpha \\ &= 45^\circ\end{aligned}

הנורמל של z=0z = 0 הוא (0,0,1)(0, 0, 1): המקדמים של xx ו-yy הם אפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהי הזווית בין הישר ℓ: x‾=(0,1,0)+t(1,2,2)\ell: \ \underline{x} = (0, 1, 0) + t(1, 2, 2) למישור 2x−y+2z+5=02x - y + 2z + 5 = 0? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 26.39

הפתרון:

d‾⋅n‾=2−2+4=4\begin{aligned}\underline{d}\cdot\underline{n} &= 2 - 2 + 4 \\ &= 4\end{aligned}
sin⁡α=43⋅3=49\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{4}{3\cdot 3} \\ &= \frac{4}{9}\end{aligned}
α≈26.39∘\alpha \approx 26.39^\circ

עם cos⁡\cos היינו מקבלים 63.61∘63.61^\circ, הזווית המשלימה. בין ישר למישור: sin⁡\sin.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

איזו נוסחה נותנת את הזווית α\alpha בין ישר שווקטור הכיוון שלו d‾\underline{d} למישור שהנורמל שלו n‾\underline{n}?

  1. sin⁡α=d‾⋅n‾\sin\alpha = \underline{d}\cdot\underline{n}
  2. cos⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣⋅∣n‾∣\cos\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}|\cdot|\underline{n}|}
  3. tan⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣⋅∣n‾∣\tan\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}|\cdot|\underline{n}|}
  4. sin⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣⋅∣n‾∣\sin\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}|\cdot|\underline{n}|}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד sin⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣⋅∣n‾∣\sin\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}|\cdot|\underline{n}|}

הפתרון:

β=90∘−α\beta = 90^\circ - \alpha

β\beta הזווית בין d‾\underline{d} ל-n‾\underline{n}

cos⁡β=sin⁡α\cos\beta = \sin\alpha

הנוסחה עם cos⁡\cos נותנת את הזווית בין הישר לנורמל, לא למישור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מהי הזווית (במעלות) בין המישורים x−z+1=0x - z + 1 = 0 ו-y−z=0y - z = 0?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

n1‾=(1,0,−1)n2‾=(0,1,−1)\begin{aligned}\underline{n_1} &= (1, 0, -1) \\ \quad \underline{n_2} &= (0, 1, -1)\end{aligned}
cos⁡α=∣0+0+1∣2⋅2=12⇒α=60∘\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{|0 + 0 + 1|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha \\ &= 60^\circ\end{aligned}

במישור x−z+1=0x - z + 1 = 0 אין yy: הרכיב השני של הנורמל הוא אפס, לא חסר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הטענה: המישורים 2x+y−z=32x + y - z = 3 ו-x−y+z=7x - y + z = 7 מאונכים זה לזה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

(2,1,−1)⋅(1,−1,1)=2−1−1=0\begin{aligned}(2, 1, -1)\cdot(1, -1, 1) &= 2 - 1 - 1 \\ &= 0\end{aligned}

מכפלת הנורמלים

בודקים את הנורמלים. המספרים 33 ו-77 קובעים איפה המישור, לא לאן הוא נוטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

הטענה: הישר ℓ: x‾=(0,0,1)+t(1,2,−1)\ell: \ \underline{x} = (0, 0, 1) + t(1, 2, -1) ניצב למישור 2x+4y+z−6=02x + 4y + z - 6 = 0.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

n‾=(2,4,1)\underline{n} = (2, 4, 1)
21=42≠1−1\frac{2}{1} = \frac{4}{2} \neq \frac{1}{-1}

הרכיבים לא באותו יחס

ישר ניצב למישור כשוקטור הכיוון מקביל לנורמל. שני רכיבים באותו יחס לא מספיקים: צריך את שלושתם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

באיזו פונקציה מחשבים כל זווית?

  • cos⁡\cos
  • sin⁡\sin
  • זווית בין ישר למישור
  • זווית בין ישר למישור z=0z = 0
  • זווית בין ישר לציר zz
  • זווית בין שני ישרים
  • זווית בין שני מישורים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: זווית בין שני ישרים — cos⁡\cos · זווית בין ישר למישור — sin⁡\sin · זווית בין שני מישורים — cos⁡\cos · זווית בין ישר לציר zz — cos⁡\cos · זווית בין ישר למישור z=0z = 0 — sin⁡\sin

הפתרון:

cos⁡\cos

בין שני ישרים, ובין שני מישורים

sin⁡\sin

בין ישר למישור

ציר zz הוא ישר, ו-z=0z = 0 הוא מישור. השם דומה, החישוב שונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

יואב חישב את הזווית בין ישר בכיוון (1,1,0)(1, 1, 0) למישור y+z−4=0y + z - 4 = 0. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

n‾=(0,1,1)\underline{n} = (0, 1, 1)
cos⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣⋅∣n‾∣=12\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}|\cdot|\underline{n}|} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}
α=60∘\alpha = 60^\circ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: cos⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣⋅∣n‾∣=12\cos\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}|\cdot|\underline{n}|} = \frac{1}{2} → sin⁡α=12⇒α=30∘\sin\alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^\circ

הפתרון:

sin⁡α=12α=30∘\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{1}{2} \\ \quad \alpha &= 30^\circ\end{aligned}

בין ישר למישור: סינוס

החישוב של המכפלה נכון, הטעות בבחירת cos⁡\cos. השורה השלישית רק ממשיכה את הטעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

השלימו.

המישורים kx+y+2z=1kx + y + 2z = 1 ו-x−3y+z=4x - 3y + z = 4 מאונכים כאשר k=k = ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המישורים kx+y+2z=1kx + y + 2z = 1 ו-x−3y+z=4x - 3y + z = 4 מאונכים כאשר k=k = 1.

הפתרון:

(k,1,2)⋅(1,−3,1)=k−3+2=0\begin{aligned}(k, 1, 2)\cdot(1, -3, 1) &= k - 3 + 2 \\ &= 0\end{aligned}
k=1k = 1

מאונכים: מכפלת הנורמלים אפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

נתונות הנקודות A(1,0,0)A(1, 0, 0) ו-B(0,2,2)B(0, 2, 2). מהי הזווית בין הישר ABAB למישור z=0z = 0? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 41.81

הפתרון:

AB‾=(−1,2,2)∣AB‾∣=3\begin{aligned}\underline{AB} &= (-1, 2, 2) \\ \quad |\underline{AB}| &= 3\end{aligned}

וקטור כיוון לישר

sin⁡α=∣2∣3⋅1=23\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{|2|}{3\cdot 1} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

n‾=(0,0,1)\underline{n} = (0, 0, 1)

α≈41.81∘\alpha \approx 41.81^\circ

וקטור הכיוון של הישר ABAB הוא AB‾\underline{AB} עצמו. אין צורך במשוואת הישר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת