מרחקים במרחב · וקטורים וגאומטריה במרחב · כיתה י״ב

מרחק בין שתי נקודות כבר מוכר: זה האורך של הווקטור ביניהן.

|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}

ביחידה הזאת מוסיפים מרחק של נקודה ממישור, בין שני מישורים מקבילים, ומרחק של נקודה מישר.

מרחק של נקודה ממישור

המרחק של נקודה $P$ ממישור הוא האורך של האנך מ- $P$ אל המישור. זו הדרך הקצרה ביותר.

d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

המישור $ax + by + cz + d = 0$ , והנקודה $P(x_0, y_0, z_0)$

המרחק של $P(1, 2, 3)$ מהמישור $2x - y + 2z - 3 = 0$

מציבים את $P$ באגף שמאל, ומחלקים באורך הנורמל.

\begin{aligned}|2\cdot 1 - 2 + 2\cdot 3 - 3| &= |3| \\ &= 3\end{aligned}

הצבה במשוואה

\begin{aligned}\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

האורך של $\underline{n} = (2, -1, 2)$

\begin{aligned}d &= \frac{3}{3} \\ &= 1\end{aligned}

מה יוצא בנוסחה כשהנקודה נמצאת על המישור?

להציג את התשובה והפתרון

$0$ . שיעורי הנקודה מקיימים את משוואת המישור, ולכן המונה מתאפס.

לפני ההצבה, המשוואה חייבת להיות בצורה ששווה לאפס.

\begin{aligned}2x - y + 2z &= 3:\quad d \\ &= \frac{|2 - 2 + 6|}{3} \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}d &= \frac{|2 - 2 + 6 - 3|}{3} \\ &= 1\end{aligned}

שכחו את $-3$ . מעבירים קודם את כל האיברים לאגף אחד: $2x - y + 2z - 3 = 0$ .

למישורים מקבילים יש אותו נורמל, או נורמלים פרופורציונליים. המרחק ביניהם קבוע בכל מקום.

לכן בוחרים נקודה כלשהי על מישור אחד, ומחשבים את המרחק שלה מהמישור השני.

המרחק בין $x + 2y + 2z - 3 = 0$ ל- $x + 2y + 2z + 6 = 0$

נקודה נוחה על המישור הראשון: $y = z = 0$ , ואז $x = 3$ .

A(3, 0, 0)

נקודה על המישור הראשון

\begin{aligned}d &= \frac{|3 + 0 + 0 + 6|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \\ &= \frac{9}{3} \\ &= 3\end{aligned}

המרחק שלה מהמישור השני

קיצור: כשהנורמלים זהים, המרחק הוא $\frac{|d_1 - d_2|}{|\underline{n}|}$ . אם הם רק פרופורציונליים, קודם כופלים משוואה אחת כדי שיהיו זהים.

הנקודה במישור הקרובה ביותר ל- $P$ היא עקב האנך $H$ . כדי למצוא אותה, יוצאים מ- $P$ בכיוון הנורמל.

עקב האנך מ- $P(3, 1, 4)$ אל המישור $x + y + z - 2 = 0$

ישר דרך $P$ בכיוון $\underline{n}$ , וחיתוך שלו עם המישור.

\underline{x} = (3, 1, 4) + t(1, 1, 1)

האנך: וקטור הכיוון הוא הנורמל

(3 + t) + (1 + t) + (4 + t) - 2 = 0

מציבים נקודה כללית של הישר במשוואה

\begin{aligned}6 + 3t &= 0 \Rightarrow t \\ &= -2\end{aligned}

\begin{aligned}H &= (3 - 2,\ 1 - 2,\ 4 - 2) \\ &= (1, -1, 2)\end{aligned}

\begin{aligned}|PH| &= |(-2, -2, -2)| \\ &= 2\sqrt{3}\end{aligned}

בדיוק מה שהנוסחה נותנת: $\frac{6}{\sqrt{3}}$

שיקוף של $P$ במישור: ממשיכים מעבר ל- $H$ עוד אותו מרחק. כלומר $P' = 2H - P$ , וכאן $P' = (-1, -3, 0)$ .

גם כאן מחפשים עקב אנך $H$ , הפעם על הישר. התנאי: $\underline{PH}$ ניצב לוקטור הכיוון של הישר.

המרחק של $P(3, 1, 2)$ מהישר $\underline{x} = t(1, 1, 0)$

נקודה כללית על הישר, ומכפלה סקלרית שווה לאפס.

\begin{aligned}H &= (t, t, 0) \\ \quad \underline{PH} &= (t - 3,\ t - 1,\ -2)\end{aligned}

\begin{aligned}\underline{PH}\cdot(1, 1, 0) &= 2t - 4 \\ &= 0 \Rightarrow t \\ &= 2\end{aligned}

ניצבות לוקטור הכיוון

\begin{aligned}H &= (2, 2, 0) \\ \quad \underline{PH} &= (-1, 1, -2)\end{aligned}

\begin{aligned}d &= \sqrt{1 + 1 + 4} \\ &= \sqrt{6}\end{aligned}

תרגיל 1

מהו המרחק בין הנקודות $A(1, 2, -1)$ ו- $B(3, -4, 2)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

\underline{AB} = (2, -6, 3)

\begin{aligned}|\underline{AB}| &= \sqrt{4 + 36 + 9} \\ &= \sqrt{49} \\ &= 7\end{aligned}

$-4 - 2 = -6$ , ו- $(-6)^2 = 36$ : הריבוע של רכיב שלילי חיובי.