איך ניגשים לשאלה בבגרות · וקטורים וגאומטריה במרחב · כיתה י״ב

בבחינה, שאלת הווקטורים בנויה כמעט תמיד באחת משתי דרכים: שאלה אלגברית (נקודות עם שיעורים, ישרים ומישורים), או שאלה גאומטרית (גוף, וקטורי בסיס, בלי שיעורים).

לכל אחת יש סדר עבודה קבוע. כאן פותרים שאלה מכל סוג, צעד אחרי צעד.

שאלה אלגברית

פעילות אינטראקטיבית

שאלה לדוגמה: מישור, מרחק ואנך

A(3, 0, 0),\ B(0, 6, 0),\ C(0, 0, 3),\ P(4, 3, 2)

לחצו «להתחיל». א. מצאו את משוואת המישור $ABC$ . ב. חשבו את המרחק של $P$ מהמישור. ג. מצאו את נקודת החיתוך $H$ של האנך מ- $P$ עם המישור. ד. חשבו את הזווית בין המישור $ABC$ למישור $xy$ .

א. שני וקטורים במישור

\begin{aligned}\underline{AB} &= (-3, 6, 0) \\ \quad \underline{AC} &= (-3, 0, 3)\end{aligned}

שני וקטורים שיושבים במישור ואינם מקבילים.

א. הנורמל

\begin{cases} -3a + 6b = 0 \\ -3a + 3c = 0 \end{cases} \Rightarrow \underline{n} = (2, 1, 2)

הנורמל ניצב לשניהם: המכפלות הסקלריות שוות $0$ . בוחרים $b = 1$ .

א. המשוואה

\begin{aligned}2x + y + 2z + d &= 0 \\ \quad A:\ 6 + d &= 0 \Rightarrow 2x + y + 2z - 6 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים נקודה אחת כדי למצוא את $d$ . בדיקה: $B$ ו- $C$ מקיימות גם הן.

ב. המרחק

\begin{aligned}d &= \frac{|2 \cdot 4 + 3 + 2 \cdot 2 - 6|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} \\ &= \frac{9}{3} \\ &= 3\end{aligned}

מציבים את $P$ במשוואה, בערך מוחלט, ומחלקים באורך הנורמל.

ג. האנך

\underline{x} = (4, 3, 2) + t(2, 1, 2)

האנך יוצא מ- $P$ בכיוון של $\underline{n}$ .

ג. החיתוך

\begin{aligned}2(4 + 2t) + (3 + t) + 2(2 + 2t) - 6 &= 0 \Rightarrow 9 + 9t \\ &= 0 \Rightarrow t \\ &= -1\end{aligned}

מציבים נקודה כללית של האנך במשוואת המישור.

ג. הנקודה

\begin{aligned}H &= (4, 3, 2) - (2, 1, 2) \\ &= (2, 2, 0)\end{aligned}

בדיקה: $|PH| = |(2, 1, 2)| = 3$ , בדיוק המרחק מסעיף ב.

ד. הזווית

\begin{aligned}\cos\beta &= \frac{|(2, 1, 2) \cdot (0, 0, 1)|}{3 \cdot 1} \\ &= \frac{2}{3} \Rightarrow \beta \approx 48.19^\circ\end{aligned}

הזווית בין מישורים היא הזווית בין הנורמלים. הנורמל של מישור $xy$ הוא $(0, 0, 1)$ .

הסדר חוזר כמעט בכל שאלה: שני וקטורים במישור, נורמל, משוואה, ורק אז מרחקים וזוויות.

לעשות את הפעילות ב-elev

שאלה גאומטרית

פעילות אינטראקטיבית

שאלה לדוגמה: תיבה בלי מערכת צירים

\begin{aligned}|\underline{u}| &= 4 \\ \ |\underline{v}| &= 2 \\ \ |\underline{w}| &= 2\end{aligned}

לחצו «להתחיל». בתיבה $ABCDA'B'C'D'$ נתון $\underline{AB} = \underline{u}$ , $\underline{AD} = \underline{v}$ , $\underline{AA'} = \underline{w}$ . $M$ אמצע $B'C'$ . א. הביעו את $\underline{AC'}$ ואת $\underline{AM}$ . ב. חשבו את האורכים. ג. חשבו את הזווית בין $\underline{AC'}$ ל- $\underline{AM}$ .

נתונים

\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= \underline{u}\cdot\underline{w} \\ &= \underline{v}\cdot\underline{w} \\ &= 0\end{aligned}

בתיבה כל המקצועות שיוצאים מקדקוד ניצבים זה לזה.

א. האלכסון

\underline{AC'} = \underline{u} + \underline{v} + \underline{w}

הולכים לאורך המקצועות: $AB$ , אחר כך $BC$ (שווה ל- $AD$ ), ואז למעלה.

א. הנקודה M

\underline{AM} = \underline{u} + \underline{w} + \tfrac{1}{2}\underline{v}

מ- $A$ ל- $B'$ ( $\underline{u} + \underline{w}$ ), ואז חצי מ- $B'C'$ , שהוא $\underline{v}$ .

ב. אורך האלכסון

\begin{aligned}|\underline{AC'}|^2 &= 16 + 4 + 4 \\ &= 24 \Rightarrow |\underline{AC'}| \\ &= 2\sqrt{6}\end{aligned}

מעלים בריבוע. כל המכפלות המעורבות מתאפסות.

ב. אורך AM

\begin{aligned}|\underline{AM}|^2 &= 16 + \tfrac{1}{4} \cdot 4 + 4 \\ &= 21 \Rightarrow |\underline{AM}| \\ &= \sqrt{21}\end{aligned}

שימו לב: $\left(\tfrac{1}{2}\underline{v}\right)^2 = \tfrac{1}{4}|\underline{v}|^2$ .

ג. המכפלה

\begin{aligned}\underline{AC'} \cdot \underline{AM} &= 16 + \tfrac{1}{2} \cdot 4 + 4 \\ &= 22\end{aligned}

מכפילים איבר באיבר. נשארים רק $\underline{u}^2$ , $\underline{v}^2$ ו- $\underline{w}^2$ .

ג. הזווית

\cos\alpha = \frac{22}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{21}} \Rightarrow \alpha \approx 11.49^\circ

הנוסחה של הזווית, עם האורכים מסעיף ב.

בשאלה גאומטרית אין שיעורים: מביעים כל וקטור בעזרת וקטורי הבסיס, ומחשבים עם המכפלות שלהם.

לעשות את הפעילות ב-elev

הנוסחאות שחוזרות

\cos\alpha = \frac{|\underline{d_1}\cdot\underline{d_2}|}{|\underline{d_1}|\,|\underline{d_2}|}

זווית בין שני ישרים: וקטורי הכיוון, עם ערך מוחלט (זווית חדה)

\sin\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}|\,|\underline{n}|}

זווית בין ישר למישור: הכיוון והנורמל, סינוס

\cos\alpha = \frac{|\underline{n_1}\cdot\underline{n_2}|}{|\underline{n_1}|\,|\underline{n_2}|}

זווית בין שני מישורים: שני הנורמלים

d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

מרחק של נקודה $(x_0, y_0, z_0)$ ממישור

איך כותבים בבחינה. כותבים כל וקטור שמחשבים, עם השם שלו ( $\underline{AB} = \ldots$ ). אחרי שמוצאים משוואת מישור, מציבים בה את שלוש הנקודות: זו בדיקה של חצי דקה שמצילה סעיף שלם.

שלוש טעויות שעולות נקודות.

\cos\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}||\underline{n}|}

\sin\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}||\underline{n}|}

בין ישר למישור הנורמל ניצב למישור, ולכן סינוס, לא קוסינוס.

|\underline{u} + \underline{v}|^2 = |\underline{u}|^2 + |\underline{v}|^2

|\underline{u} + \underline{v}|^2 = |\underline{u}|^2 + 2\underline{u}\cdot\underline{v} + |\underline{v}|^2

האיבר האמצעי נעלם רק כשהווקטורים ניצבים.

d = \frac{2x_0 + y_0 + 2z_0 - 6}{9}

d = \frac{|2x_0 + y_0 + 2z_0 - 6|}{\sqrt{9}}

מחלקים בשורש, ושמים ערך מוחלט.

תרגילים

תרגיל 1

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . א. איזה וקטור ניצב למישור $ABC$ ?

$(4, 2, 0)$
$(1, 2, 1)$
$(1, -2, 1)$
$(2, 1, 2)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $(1, 2, 1)$

הפתרון:

\begin{aligned}\underline{AB} &= (-4, 2, 0) \\ \ \underline{AC} &= (-4, 0, 4)\end{aligned}

\begin{aligned}-4a + 2b &= 0 \\ \ -4a + 4c &= 0 \Rightarrow (1, 2, 1)\end{aligned}

בוחרים $a = 1$

בודקים ששתי המכפלות הסקלריות מתאפסות: $(2, 1, 2)$ ניצב ל- $\underline{AC}$ אבל לא ל- $\underline{AB}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . ב. מהי משוואת המישור $ABC$ ?

$4x + 2y + 4z - 16 = 0$
$x + 2y + z + 4 = 0$
$x + 2y + z - 4 = 0$
$x + 2y + z = 0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x + 2y + z - 4 = 0$

הפתרון:

\begin{aligned}x + 2y + z + d &= 0 \\ \ A:\ 4 + d &= 0\end{aligned}

d = -4

בדיקה: $B$ נותנת $4 - 4 = 0$

הסימן של $d$ : מציבים ומעבירים אגף, לא מנחשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . ג. הנקודה $(2, 1, 0)$ נמצאת במישור $ABC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

2 + 2 \cdot 1 + 0 - 4 = 0

מציבים במשוואה

נקודה במישור מאפסת את המשוואה. אין צורך לצייר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . ד. מהו המרחק של $P$ מהמישור $ABC$ ? עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.45

הפתרון:

\begin{aligned}d &= \frac{|2 + 6 + 2 - 4|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} \\ &= \frac{6}{\sqrt{6}} \\ &= \sqrt{6}\end{aligned}

\sqrt{6} \approx 2.45

הערך המוחלט במונה, והשורש במכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . ה. מהי הצגה פרמטרית של האנך מ- $P$ למישור?

$\underline{x} = (2, 3, 2) + t(4, 0, 0)$
$\underline{x} = (2, 3, 2) + t(1, 2, 1)$
$\underline{x} = (2, 3, 2) + t(-4, 2, 0)$
$\underline{x} = (1, 2, 1) + t(2, 3, 2)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\underline{x} = (2, 3, 2) + t(1, 2, 1)$

הפתרון:

\underline{x} = P + t\underline{n}

האנך יוצא מ- $P$ בכיוון הנורמל

הנקודה היא $P$ והכיוון הוא $\underline{n}$ , לא להפך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . ו. מציבים את האנך $\underline{x} = (2, 3, 2) + t(1, 2, 1)$ במשוואת המישור. איזה ערך של $t$ מתקבל?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

(2 + t) + 2(3 + 2t) + (2 + t) - 4 = 0

\begin{aligned}6 + 6t &= 0 \Rightarrow t \\ &= -1\end{aligned}

$t$ שלילי: הולכים מ- $P$ נגד הנורמל כדי להגיע למישור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

השלימו.

האנך מ- $P(2, 3, 2)$ פוגע במישור $x + 2y + z - 4 = 0$ בנקודה $H$ ששיעוריה (____, ____, ____).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: האנך מ- $P(2, 3, 2)$ פוגע במישור $x + 2y + z - 4 = 0$ בנקודה $H$ ששיעוריה (1, 1, 1).

הפתרון:

\begin{aligned}H &= (2, 3, 2) + (-1)(1, 2, 1) \\ &= (1, 1, 1)\end{aligned}

מציבים $t = -1$

בדיקה: $1 + 2 + 1 - 4 = 0$ , ו- $|PH| = \sqrt{6}$ כמו המרחק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . ח. $P'$ היא השיקוף של $P$ במישור $ABC$ . מהו שיעור ה- $y$ של $P'$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

\begin{aligned}P' &= P + 2(H - P) \\ &= (2, 3, 2) + 2(-1, -2, -1)\end{aligned}

$H$ הוא אמצע הקטע $PP'$

P' = (0, -1, 0)

ממשיכים מ- $H$ אותו מרחק, לצד השני: $t = -2$ , לא $t = -1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . ט. מהי הזווית בין המישור $ABC$ למישור $xy$ , במעלות? עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 65.91

הפתרון:

\begin{aligned}\cos\beta &= \frac{|(1, 2, 1)\cdot(0, 0, 1)|}{\sqrt{6} \cdot 1} \\ &= \frac{1}{\sqrt{6}}\end{aligned}

\beta \approx 65.91^\circ

בין מישורים: קוסינוס של הנורמלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . י. מהו המרחק של ראשית הצירים מהמישור $ABC$ ? עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.63

הפתרון:

\begin{aligned}d &= \frac{|0 + 0 + 0 - 4|}{\sqrt{6}} \\ &= \frac{4}{\sqrt{6}} \approx 1.63\end{aligned}

מציבים $(0, 0, 0)$ : נשאר רק $|d|$ של המשוואה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

סדרו את שלבי החישוב של נקודת החיתוך של האנך מנקודה $P$ עם מישור.

כותבים את האנך: $P + t\underline{n}$
מוצאים וקטור נורמל למישור
מציבים את $t$ בישר ומקבלים את הנקודה
מציבים נקודה כללית של האנך במשוואת המישור
פותרים ומוצאים את $t$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מוצאים וקטור נורמל למישור · כותבים את האנך: $P + t\underline{n}$ · מציבים נקודה כללית של האנך במשוואת המישור · פותרים ומוצאים את $t$ · מציבים את $t$ בישר ומקבלים את הנקודה

הפתרון:

P + t\underline{n} \to t \to H

בלי נורמל אין כיוון לאנך: זה תמיד הצעד הראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

נועם מצא את משוואת המישור דרך $A(4, 0, 0)$ עם הנורמל $(1, 2, 1)$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

x + 2y + z + d = 0

4 + 0 + 0 + d = 0

d = 4

x + 2y + z + 4 = 0

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $d = 4$ → $d = -4$

הפתרון:

\begin{aligned}4 + d &= 0 \Rightarrow d \\ &= -4\end{aligned}

מעבירים את $4$ לאגף השני, והסימן מתהפך. שורה 4 רק ממשיכה את הטעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה אלגברית

שאלה גאומטרית

הנוסחאות שחוזרות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev