שאלה 1: שני ישרים והמישור שלהם

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שאלה בפורמט הבגרות: שני ישרים במרחב. כל סעיף חוזר על הנתונים, אבל כדאי לעבוד לפי הסדר: סעיף מאוחר נשען על התוצאה של סעיף קודם.

תרגילים

תרגיל 1

נתונים הישרים ℓ1: x‾=(1,2,0)+t(1,−1,2)\ell_1:\ \underline{x} = (1, 2, 0) + t(1, -1, 2) ו-ℓ2: x‾=(3,0,4)+s(2,1,0)\ell_2:\ \underline{x} = (3, 0, 4) + s(2, 1, 0). א. מה המצב ההדדי של שני הישרים?

  1. מצטלבים
  2. מתלכדים
  3. נחתכים
  4. מקבילים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג נחתכים

הפתרון:

(1,−1,2)≠k(2,1,0)(1, -1, 2) \neq k(2, 1, 0)

הכיוונים לא פרופורציונליים: לא מקבילים ולא מתלכדים

1+t=3+2s 2−t=s 2t=4\begin{aligned}1 + t &= 3 + 2s \\ \ 2 - t &= s \\ \ 2t &= 4\end{aligned}

משווים רכיב רכיב

t=2 s=0\begin{aligned}t &= 2 \\ \ s &= 0\end{aligned}

מהמשוואה השלישית t=2t = 2, ואז s=0s = 0, ובדיקה במשוואה הראשונה: 3=33 = 3

שתי בדיקות, בסדר הזה: קודם הכיוונים, אחר כך המערכת. מערכת שיש לה פתרון: נחתכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונים הישרים ℓ1: x‾=(1,2,0)+t(1,−1,2)\ell_1:\ \underline{x} = (1, 2, 0) + t(1, -1, 2) ו-ℓ2: x‾=(3,0,4)+s(2,1,0)\ell_2:\ \underline{x} = (3, 0, 4) + s(2, 1, 0). ב. מצאו את נקודת החיתוך SS.

SS = (____, ____, ____)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: SS = (3, 0, 4)

הפתרון:

S=(1,2,0)+2(1,−1,2)=(3,0,4)\begin{aligned}S &= (1, 2, 0) + 2(1, -1, 2) \\ &= (3, 0, 4)\end{aligned}

מציבים t=2t = 2 ב-ℓ1\ell_1

(3,0,4)+0⋅(2,1,0)=(3,0,4) ✓(3, 0, 4) + 0 \cdot (2, 1, 0) = (3, 0, 4)\ \checkmark

ובדיקה ב-ℓ2\ell_2

מציבים את הפרמטר בישר שלו: tt ב-ℓ1\ell_1, ss ב-ℓ2\ell_2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונים הישרים ℓ1: x‾=(1,2,0)+t(1,−1,2)\ell_1:\ \underline{x} = (1, 2, 0) + t(1, -1, 2) ו-ℓ2: x‾=(3,0,4)+s(2,1,0)\ell_2:\ \underline{x} = (3, 0, 4) + s(2, 1, 0). ג. מהי משוואת המישור שמכיל את שני הישרים?

  1. 2x+y−6=02x + y - 6 = 0
  2. x−y+2z−11=0x - y + 2z - 11 = 0
  3. 2x−4y−3z+6=02x - 4y - 3z + 6 = 0
  4. 2x−4y−3z−6=02x - 4y - 3z - 6 = 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 2x−4y−3z+6=02x - 4y - 3z + 6 = 0

הפתרון:

n‾⋅(1,−1,2)=0 n‾⋅(2,1,0)=0\begin{aligned}\underline{n}\cdot(1, -1, 2) &= 0 \\ \ \underline{n}\cdot(2, 1, 0) &= 0\end{aligned}

הנורמל ניצב לשני הכיוונים

a−b+2c=0 2a+b=0⇒n‾=(2,−4,−3)\begin{aligned}a - b + 2c &= 0 \\ \ 2a + b &= 0 \Rightarrow \underline{n} \\ &= (2, -4, -3)\end{aligned}

בוחרים a=2a = 2

2⋅3−0−3⋅4+d=0⇒d=6\begin{aligned}2 \cdot 3 - 0 - 3 \cdot 4 + d &= 0 \Rightarrow d \\ &= 6\end{aligned}

מציבים את SS

שני ישרים נחתכים קובעים מישור. הנורמל ניצב לשני וקטורי הכיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונים הישרים ℓ1: x‾=(1,2,0)+t(1,−1,2)\ell_1:\ \underline{x} = (1, 2, 0) + t(1, -1, 2) ו-ℓ2: x‾=(3,0,4)+s(2,1,0)\ell_2:\ \underline{x} = (3, 0, 4) + s(2, 1, 0). ד. מהו המרחק של ראשית הצירים מהמישור שמכיל את הישרים? עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.11

הפתרון:

2x−4y−3z+6=02x - 4y - 3z + 6 = 0
d=∣6∣4+16+9=629≈1.11\begin{aligned}d &= \frac{|6|}{\sqrt{4 + 16 + 9}} \\ &= \frac{6}{\sqrt{29}} \approx 1.11\end{aligned}

בראשית נשאר רק המספר החופשי, בערך מוחלט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונים הישרים ℓ1: x‾=(1,2,0)+t(1,−1,2)\ell_1:\ \underline{x} = (1, 2, 0) + t(1, -1, 2) ו-ℓ2: x‾=(3,0,4)+s(2,1,0)\ell_2:\ \underline{x} = (3, 0, 4) + s(2, 1, 0). ה. מהי הזווית החדה בין הישרים, במעלות? עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 79.48

הפתרון:

cos⁡α=∣1⋅2+(−1)⋅1+2⋅0∣6 5=130\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{|1 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 0|}{\sqrt{6}\,\sqrt{5}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{30}}\end{aligned}
α≈79.48∘\alpha \approx 79.48^\circ

הערך המוחלט מבטיח זווית חדה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונים הישרים ℓ1: x‾=(1,2,0)+t(1,−1,2)\ell_1:\ \underline{x} = (1, 2, 0) + t(1, -1, 2) ו-ℓ2: x‾=(3,0,4)+s(2,1,0)\ell_2:\ \underline{x} = (3, 0, 4) + s(2, 1, 0). ו. הנקודה Q(4,−1,6)Q(4, -1, 6) נמצאת על ℓ1\ell_1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

1+t=4⇒t=3\begin{aligned}1 + t &= 4 \Rightarrow t \\ &= 3\end{aligned}
2−3=−1 2⋅3=6 ✓\begin{aligned}2 - 3 &= -1 \\ \ 2 \cdot 3 &= 6\ \checkmark\end{aligned}

אותו tt בכל הרכיבים

נקודה על ישר: אותו tt צריך לעבוד בשלושת הרכיבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונים הישרים ℓ1: x‾=(1,2,0)+t(1,−1,2)\ell_1:\ \underline{x} = (1, 2, 0) + t(1, -1, 2) ו-ℓ2: x‾=(3,0,4)+s(2,1,0)\ell_2:\ \underline{x} = (3, 0, 4) + s(2, 1, 0). ז. מהו המרחק ∣SQ∣|SQ|, כאשר Q(4,−1,6)Q(4, -1, 6)? עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.45

הפתרון:

SQ‾=(1,−1,2)\underline{SQ} = (1, -1, 2)

זה בדיוק וקטור הכיוון של ℓ1\ell_1

∣SQ‾∣=6≈2.45|\underline{SQ}| = \sqrt{6} \approx 2.45

QQ רחוקה מ-SS צעד אחד של tt: המרחק הוא אורך וקטור הכיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת