מבחן לדוגמא — שליש ראשון

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבחן לדוגמא — שליש ראשון. 5 שאלות עם סעיפים, 18 סעיפים בסך הכול, 75 דקות. החומר: גאומטריה אנליטית, דמיון משולשים, טריגונומטריה במשולש ישר זווית, טכניקה אלגברית, הפונקציה הריבועית וסטטיסטיקה תיאורית.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בגאומטריה כתבו משפט לכל שורה, ובסטטיסטיקה ספרו תלמידים, לא עמודות.

תרגילים

שאלה 1 — גאומטריה אנליטית

תרגיל 1

המרובע $ABCD$ הוא מקבילית. נתונים שלושה מקודקודיה: $A(-1, 1)$ , $B(3, -1)$ ו- $C(5, 3)$ . א. מצאו את שיעורי הקודקוד $D$ .

$D$ ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D =$ ( 1 , 5 )

הפתרון:

\begin{aligned}M_{AC} &= \left(\frac{-1+5}{2}, \frac{1+3}{2}\right) \\ &= (2, 2)\end{aligned}

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן $M$ הוא גם אמצע $BD$

\begin{aligned}\frac{3 + x_D}{2} &= 2 \\ \quad \frac{-1 + y_D}{2} &= 2\end{aligned}

נוסחת אמצע קטע, עם $B$ ו- $D$

D = (1, 5)

פותרים כל משוואה

$D(1, 5)$ . המלכודת: לחשב את אמצע $AB$ או את אמצע $BC$ . הנקודה המשותפת לשני האלכסונים היא אמצע $AC$ , ו- $D$ נמצא בקצה השני של האלכסון $D$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המרובע $ABCD$ הוא מקבילית. נתונים שלושה מקודקודיה: $A(-1, 1)$ , $B(3, -1)$ ו- $C(5, 3)$ . הקודקוד הרביעי הוא $D(1, 5)$ . ב. איזה מרובע הוא $ABCD$ ? היעזרו בשיפועים ובאורכי הצלעות.

ריבוע
מלבן שאינו ריבוע
מעוין שאינו ריבוע
מקבילית שאינה מלבן ואינה מעוין

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א ריבוע

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{-1-1}{3-(-1)} \\ &= -\frac{1}{2} \\ \quad m_{BC} &= \frac{3-(-1)}{5-3} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע: הפרש ה- $y$ חלקי הפרש ה- $x$

-\frac{1}{2} \cdot 2 = -1 \Rightarrow AB \perp BC

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים $-1$ . מקבילית עם זווית ישרה היא מלבן

\begin{aligned}AB &= \sqrt{4^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{20} \\ \quad BC &= \sqrt{2^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

נוסחת המרחק בין שתי נקודות

AB = BC

מלבן ששתי צלעות סמוכות בו שוות הוא ריבוע

$ABCD$ ריבוע. המלכודת: לעצור אחרי הזווית הישרה ולענות «מלבן». צריך לבדוק גם את אורכי הצלעות הסמוכות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

המרובע $ABCD$ הוא מקבילית. נתונים שלושה מקודקודיה: $A(-1, 1)$ , $B(3, -1)$ ו- $C(5, 3)$ . הקודקוד הרביעי הוא $D(1, 5)$ , ו- $ABCD$ ריבוע. ג. חשבו את שטח $ABCD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

AB = \sqrt{20}

אורך הצלע, מסעיף ב

\begin{aligned}S &= AB^2 \\ &= (\sqrt{20})^2 \\ &= 20\end{aligned}

שטח ריבוע: צלע בריבוע

\begin{aligned}AC &= BD \\ &= \sqrt{40} \Rightarrow S \\ &= \frac{AC \cdot BD}{2} \\ &= \frac{40}{2} \\ &= 20\end{aligned}

בדיקה: שטח ריבוע הוא חצי מכפלת האלכסונים

השטח $20$ . המלכודת: לכתוב $20$ — זה אורך הצלע, לא השטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — דמיון משולשים וטריגונומטריה

תרגיל 4

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 8$ ו- $BC = 6$ . הנקודה $D$ היא אמצע $D$ . דרך $D$ העבירו ישר המקביל ל- $D$ , והוא חותך את $AB$ בנקודה $E$ . א. הוכיחו כי $\triangle ADE \sim \triangle ACB$ , וחשבו את $DE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\angle A = \angle A

זווית משותפת לשני המשולשים

\begin{aligned}\angle ADE &= \angle ACB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים $DE \parallel CB$

\triangle ADE \sim \triangle ACB

משולשים דומים לפי ז.ז

\begin{aligned}\frac{DE}{CB} &= \frac{AD}{AC} \\ &= \frac{4}{8} \Rightarrow DE \\ &= 3\end{aligned}

במשולשים דומים הצלעות המתאימות פרופורציוניות

$DE = 3$ : יחס הדמיון $\frac{1}{2}$ . המלכודת: להתאים צלעות לפי המיקום בשרטוט במקום לפי הזוויות — $DE$ מול $\angle A$ מתאימה ל- $CB$ מול $\angle A$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 8$ ו- $BC = 6$ . הנקודה $D$ היא אמצע $D$ . דרך $D$ העבירו ישר המקביל ל- $D$ , והוא חותך את $AB$ בנקודה $E$ . המשולשים $E$ ו- $ACB$ דומים ביחס $\frac{1}{2}$ . ב. חשבו את שטח הטרפז $DCBE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

\begin{aligned}S_{ACB} &= \frac{8 \cdot 6}{2} \\ &= 24\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: חצי מכפלת הניצבים

\begin{aligned}\frac{S_{ADE}}{S_{ACB}} &= \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ &= \frac{1}{4} \Rightarrow S_{ADE} \\ &= 6\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון

\begin{aligned}S_{DCBE} &= 24 - 6 \\ &= 18\end{aligned}

שטח הטרפז: המשולש הגדול פחות הקטן

שטח הטרפז $18$ . המלכודת: לקחת את יחס השטחים $18$ כמו יחס הצלעות, ולקבל $12$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 8$ ו- $BC = 6$ . הנקודה $D$ היא אמצע $D$ . דרך $D$ העבירו ישר המקביל ל- $D$ , והוא חותך את $AB$ בנקודה $E$ . מסעיף א: $DE = 3$ . ג. חשבו את הזווית $\angle AED$ . עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 53.1

הפתרון:

\angle ADE = 90^\circ

זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים: $\angle ADE = \angle ACB$

\begin{aligned}\tan \angle AED &= \frac{AD}{DE} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

במשולש ישר זווית: טנגנס = ניצב מול הזווית חלקי ניצב ליד הזווית

\angle AED = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.1^\circ

במחשבון

$\angle AED \approx 53.1^\circ$ . המלכודת: לחשב $\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \approx 36.9^\circ$ — זו הזווית $A$ . הניצב שמול $A$ הוא $AD$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — טכניקה אלגברית ומשוואות

תרגיל 7

א. צמצמו את השבר $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6}$ .

$\dfrac{x+3}{x-2}$
$\dfrac{x-3}{x+2}$
$\dfrac{x-3}{x-2}$
$\dfrac{-9}{x-6}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $\dfrac{x-3}{x-2}$

הפתרון:

x^2 - 9 = (x-3)(x+3)

הפרש ריבועים

x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)

טרינום: מכפלה $-6$ , סכום $1$

\begin{aligned}\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)(x-2)} &= \frac{x-3}{x-2} \\ \quad x \neq -3 \\ \ x \neq 2\end{aligned}

מצמצמים את הגורם המשותף, ותחום ההצבה נשאר של השבר המקורי

המלכודת: «לצמצם» את $x^2$ עם $x^2$ ולקבל $\frac{-9}{x-6}$ . מצמצמים רק גורמים של מכפלה, אחרי פירוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ב. פתרו את המשוואה $\dfrac{x}{x-2} - \dfrac{3}{x+2} = 1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

x \neq 2 ,\quad x \neq -2

תחום ההצבה: המכנים שונים מאפס

x(x+2) - 3(x-2) = (x-2)(x+2)

כופלים במכנה המשותף $(x-2)(x+2)$

\begin{aligned}x^2 + 2x - 3x + 6 &= x^2 - 4 \Rightarrow -x \\ &= -10\end{aligned}

פותחים סוגריים; $x^2$ מתבטל

x = 10

בתחום ההצבה. בדיקה: $\frac{10}{8} - \frac{3}{12} = 1.25 - 0.25 = 1$ ✓

$x = 10$ . המלכודת: לכפול רק את השברים במכנה המשותף ולשכוח את אגף ימין — גם ה- $1$ נכפל ב- $1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ג. בשרטוט הגרפים של $y = x^2 - 2x - 3$ ושל $y = x + 1$ . מצאו את נקודות החיתוך שלהם בדרך אלגברית.

הנקודה עם $x$ הקטן: ( ____ , ____ ) ; הנקודה עם $x$ הגדול: ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הנקודה עם $x$ הקטן: ( -1 , 0 ) ; הנקודה עם $x$ הגדול: ( 4 , 5 )

הפתרון:

x^2 - 2x - 3 = x + 1

בנקודת חיתוך שני ה- $y$ שווים

\begin{aligned}x^2 - 3x - 4 &= 0 \Rightarrow (x-4)(x+1) \\ &= 0\end{aligned}

מעבירים אגף ומפרקים

\begin{aligned}x &= -1 \Rightarrow y \\ &= 0 \\ \quad x &= 4 \Rightarrow y \\ &= 5\end{aligned}

מציבים במשוואת הישר, שהיא הפשוטה

$(-1, 0)$ ו- $(4, 5)$ . שני פתרונות למערכת: הישר חותך את הפרבולה פעמיים. המלכודת: לעצור אחרי ה- $x$ ולא למצוא את ה- $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — הפונקציה הריבועית

תרגיל 10

נתונה הפונקציה $f(x) = -x^2 + 2x + 8$ . א. מצאו את קודקוד הפרבולה.

הקודקוד: ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הקודקוד: ( 1 , 9 )

הפתרון:

\begin{aligned}x &= -\frac{b}{2a} \\ &= -\frac{2}{2 \cdot (-1)} \\ &= 1\end{aligned}

שיעור ה- $x$ של הקודקוד

\begin{aligned}f(1) &= -1 + 2 + 8 \\ &= 9\end{aligned}

מציבים בפונקציה

f(x) = -(x-1)^2 + 9

בדיקה בצורת הקודקוד

הקודקוד $(1, 9)$ , והוא נקודת מקסימום כי $a = -1 < 0$ . המלכודת: לשכוח את המינוס של $a$ ולקבל $a$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונה הפונקציה $f(x) = -x^2 + 2x + 8$ . הקודקוד הוא $(1, 9)$ . ב. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה- $x$ .

$x$ ____ (הקטן) ו- $x =$ ____ (הגדול)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x =$ -2 (הקטן) ו- $x =$ 4 (הגדול)

הפתרון:

\begin{aligned}-x^2 + 2x + 8 &= 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 \\ &= 0\end{aligned}

על ציר ה- $x$ : $f(x) = 0$ ; כופלים ב- $-1$

\begin{aligned}(x-4)(x+2) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4 \\ \ x &= -2\end{aligned}

טרינום: מכפלה $-8$ , סכום $-2$

\frac{-2 + 4}{2} = 1

בדיקה: הקודקוד באמצע בין נקודות האפס ✓

$x = -2$ ו- $x = 4$ . המלכודת: לקחת את המספרים שבתוך הסוגריים עם הסימן שלהם, ולקבל $-4$ ו- $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

נתונה הפונקציה $f(x) = -x^2 + 2x + 8$ . נקודות האפס שלה $x = -2$ ו- $x = 4$ . ג. פתרו את אי-השוויון $f(x) > 0$ .

$x < -2$ או $x > 4$
$-2 \le x \le 4$
$-2 < x < 4$
$x > 4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $-2 < x < 4$

הפתרון:

a = -1 < 0

הפרבולה פתוחה כלפי מטה

f(x) > 0 \iff -2 < x < 4

פרבולת מקסימום חיובית בין נקודות האפס

f(0) = 8 > 0

בדיקה בנקודה $x = 0$ שבקטע ✓

הפתרון $-2 < x < 4$ . המלכודת: להעתיק את התבנית של פרבולה פתוחה כלפי מעלה — «מחוץ לשורשים». כאן $a < 0$ , ולכן להפך. ואי-שוויון חזק: הקצוות לא בפנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

נתונה הפונקציה $f(x) = -x^2 + 2x + 8$ . הקודקוד שלה הוא $(1, 9)$ . ד. לאילו ערכים של $k$ יש למשוואה $f(x) = k$ בדיוק שני פתרונות?

$k = 9$
$k < 8$
$k < 9$
$k > 9$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $k < 9$

הפתרון:

y = k

פתרונות המשוואה הם נקודות החיתוך של הפרבולה עם הישר האופקי $y = k$

k < 9

מתחת לקודקוד הישר חותך את פרבולת המקסימום בשתי נקודות

\begin{aligned}k &= 9 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

בגובה הקודקוד — פתרון אחד; מעליו — אין פתרון

$k < 9$ . המלכודת: לענות $k < 8$ כי $f(0) = 8$ . חיתוך עם ציר ה- $y$ לא משנה כאן — רק הגובה של הקודקוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 — סטטיסטיקה תיאורית

תרגיל 14

מספר התשובות הנכונות בבוחן — 20 תלמידים

בבוחן של $10$ שאלות השתתפו $20$ תלמידים. בדיאגרמה: כמה תלמידים ענו נכון על כל מספר של שאלות. א. חשבו את הממוצע של מספר התשובות הנכונות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.65

הפתרון:

5 \cdot 1 + 6 \cdot 3 + 7 \cdot 5 + 8 \cdot 6 + 9 \cdot 3 + 10 \cdot 2 = 153

ערך כפול שכיחות, לכל עמודה

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{153}{20} \\ &= 7.65\end{aligned}

מחלקים במספר התלמידים

הממוצע $7.65$ . המלכודת: לחלק ב- $7.65$ — מספר העמודות. מחלקים במספר התלמידים, $6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

מספר התשובות הנכונות בבוחן — 20 תלמידים

בבוחן של $10$ שאלות השתתפו $20$ תלמידים. בדיאגרמה: כמה תלמידים ענו נכון על כל מספר של שאלות. ב. מצאו את החציון של מספר התשובות הנכונות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

n = 20

מספר זוגי של נתונים: החציון הוא ממוצע הנתון ה- $10$ והנתון ה- $11$

1,\ 4,\ 9,\ 15,\ 18,\ 20

שכיחויות מצטברות

\begin{aligned}x_{10} &= x_{11} \\ &= 8 \Rightarrow \text{Me} \\ &= 8\end{aligned}

הנתונים $10$ עד $15$ שווים ל- $8$

החציון $8$ . המלכודת: לבחור את העמודה האמצעית בדיאגרמה ( $8$ או $7$ ) בלי לספור תלמידים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

מספר התשובות הנכונות בבוחן — 20 תלמידים

בבוחן של $10$ שאלות השתתפו $20$ תלמידים. בדיאגרמה: כמה תלמידים ענו נכון על כל מספר של שאלות. ג. כמה אחוזים מהתלמידים ענו נכון על $9$ שאלות לפחות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

3 + 2 = 5

«לפחות $9$ »: $9$ או $10$ תשובות נכונות

\frac{5}{20} \cdot 100 = 25\%

שכיחות יחסית באחוזים

$25\%$ . המלכודת: לספור רק את מי שענו על $9$ בדיוק ( $9$ ). «לפחות $9$ » כולל גם את ה- $10$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

מספר התשובות הנכונות בבוחן — 20 תלמידים

בבוחן של $10$ שאלות השתתפו $20$ תלמידים. בדיאגרמה: כמה תלמידים ענו נכון על כל מספר של שאלות. הממוצע של מספר התשובות הנכונות הוא $20$ . הציון בבוחן מחושב כך: $7.65$ נקודות לכל תשובה נכונה, ועוד $20$ נקודות לכל תלמיד. ד. מהו ממוצע הציונים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 81.2

הפתרון:

y = 8x + 20

כל ציון מתקבל ממספר התשובות: כפל ב- $8$ , ואחר כך חיבור $8$

\begin{aligned}\bar{y} &= 8 \cdot 7.65 + 20 \\ &= 81.2\end{aligned}

הממוצע עובר את אותן פעולות

\begin{aligned}8 \cdot 5 + 20 &= 60 \\ \quad 8 \cdot 10 + 20 &= 100\end{aligned}

בדיקה: הציונים בין $60$ ל- $100$ ✓

ממוצע הציונים $81.2$ . המלכודת: לחבר את $81.2$ ואז לכפול ב- $20$ . סדר הפעולות על הממוצע הוא סדר הפעולות על כל ציון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

מספר התשובות הנכונות בבוחן — 20 תלמידים

בבוחן של $10$ שאלות השתתפו $20$ תלמידים. בדיאגרמה: כמה תלמידים ענו נכון על כל מספר של שאלות. הציון: $8$ נקודות לכל תשובה נכונה ועוד $8$ . ה. הוכיחו או הפריכו: הטווח של הציונים שווה לטווח של מספר התשובות הנכונות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

10 - 5 = 5

טווח מספר התשובות: הגדול פחות הקטן

\begin{aligned}100 - 60 &= 40 \\ &= 8 \cdot 5\end{aligned}

טווח הציונים

+20

חיבור קבוע לא משנה את הטווח; כפל ב- $8$ מכפיל אותו ב- $8$

לא נכון: הטווח גדל מ- $8$ ל- $5$ . המלכודת: לחשוב שמדד פיזור לא משתנה בכלל. רק ה- $40$ לא משנה אותו; ה- $\times 8$ כן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת