מבחן לדוגמא — שליש שני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבחן לדוגמא — שליש שני. 6 שאלות עם סעיפים, 20 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. החומר: גאומטריה אנליטית, תיכונים וחוצי זוויות, טריגונומטריה, טרנספורמציות וזוגיות, חקירת פולינום, הסתברות מותנית וסטטיסטיקה תיאורית.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בגאומטריה כתבו משפט לכל שורה, ובחקירה בנו טבלת סימנים לפני שקובעים סוג קיצון.

תרגילים

שאלה 1 — גאומטריה אנליטית ותיכונים

תרגיל 1

נתון המשולש $ABC$ : $A(0, 8)$ , $B(-4, -2)$ , $C(10, 0)$ . $AM$ הוא התיכון לצלע $BC$ . א. מצאו את משוואת הישר $AM$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -3 $x +$ 8

הפתרון:

\begin{aligned}M &= \left(\frac{-4+10}{2}, \frac{-2+0}{2}\right) \\ &= (3, -1)\end{aligned}

תיכון יוצא מקודקוד אל אמצע הצלע שמולו: נוסחת אמצע קטע

\begin{aligned}m_{AM} &= \frac{-1-8}{3-0} \\ &= -3\end{aligned}

שיפוע דרך שתי נקודות

y = -3x + 8

הנקודה $A(0, 8)$ היא נקודת החיתוך עם ציר ה- $y$

$y$ . המלכודת: להעביר את הישר דרך $A$ ודרך $B$ או $C$ — זו צלע, לא תיכון. התיכון עובר באמצע הצלע שמול $C$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון המשולש $ABC$ : $A(0, 8)$ , $B(-4, -2)$ , $C(10, 0)$ . $AM$ הוא התיכון לצלע $BC$ . משוואת $AM$ היא $y = -3x + 8$ . ב. מצאו את נקודת מפגש התיכונים $G$ של המשולש.

$G$ ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $G =$ ( 2 , 2 )

הפתרון:

AG : GM = 2 : 1

שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת, המחלקת כל תיכון ביחס $2:1$ מהקודקוד

\begin{aligned}G &= \left(\frac{0 - 4 + 10}{3}, \frac{8 - 2 + 0}{3}\right) \\ &= (2, 2)\end{aligned}

לכן $G$ הוא ממוצע שלושת הקודקודים

-3 \cdot 2 + 8 = 2

בדיקה: $G$ על הישר $AM$ ✓

$G(2, 2)$ . המלכודת: לקחת את אמצע $AM$ , $(1.5, 3.5)$ . נקודת המפגש קרובה יותר לצלע מאשר לקודקוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון המשולש $ABC$ : $A(0, 8)$ , $B(-4, -2)$ , $C(10, 0)$ . $AM$ הוא התיכון לצלע $BC$ . נקודת מפגש התיכונים היא $G(2, 2)$ . ג. מהו אורך הקטע $AG$ ?

$2\sqrt{10}$
$6$
$3\sqrt{10}$
$\sqrt{10}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $2\sqrt{10}$

הפתרון:

\begin{aligned}AM &= \sqrt{3^2 + 9^2} \\ &= \sqrt{90} \\ &= 3\sqrt{10}\end{aligned}

נוסחת המרחק בין $A$ ל- $M$

\begin{aligned}AG &= \frac{2}{3} AM \\ &= 2\sqrt{10}\end{aligned}

מפגש התיכונים מחלק את התיכון ביחס $2:1$

\begin{aligned}AG &= \sqrt{2^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{40} \\ &= 2\sqrt{10}\end{aligned}

בדיקה בנוסחת המרחק ✓

$AG = 2\sqrt{10}$ . המלכודת: $3\sqrt{10}$ הוא אורך התיכון כולו, ו- $\sqrt{10}$ הוא $GM$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — חוצה זווית וטריגונומטריה

תרגיל 4

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 6$ ו- $BC = 8$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ , והנקודה $A$ על הצלע $D$ . א. חשבו את $BD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABC$

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{6}{10}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית: חוצה הזווית מחלק את הצלע שמולה ביחס הצלעות הכולאות

\begin{aligned}BD &= 8 \cdot \frac{6}{16} \\ &= 3\end{aligned}

מחלקים את $BC = 8$ ביחס $6:10$

$BD = 3$ , $DC = 5$ . המלכודת: להניח שחוצה הזווית מחלק את הצלע לשני חלקים שווים — זה התיכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 6$ ו- $BC = 8$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ , והנקודה $A$ על הצלע $D$ . מסעיף א: $BD = 3$ . ב. מהו אורך חוצה הזווית $AD$ ?

$5$
$3\sqrt{5}$
$4\sqrt{2}$
$3\sqrt{3}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $3\sqrt{5}$

הפתרון:

\begin{aligned}AD^2 &= AB^2 + BD^2 \\ &= 36 + 9 \\ &= 45\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש ישר הזווית $ABD$

\begin{aligned}AD &= \sqrt{45} \\ &= \sqrt{9 \cdot 5} \\ &= 3\sqrt{5}\end{aligned}

מוציאים גורם מהשורש

$AD = 3\sqrt{5}$ . המלכודת: $5$ הוא $5$ , לא $AD$ — אורך חוצה הזווית מחשבים במשולש ישר הזווית $ABD$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 6$ ו- $BC = 8$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ , והנקודה $A$ על הצלע $D$ . מסעיף א: $BD = 3$ . ג. חשבו את הזווית $\angle BAD$ . עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 26.6

הפתרון:

\begin{aligned}\tan \angle BAD &= \frac{BD}{AB} \\ &= \frac{3}{6} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

במשולש ישר הזווית $ABD$ : ניצב מול חלקי ניצב ליד

\angle BAD = \tan^{-1}(0.5) \approx 26.6^\circ

במחשבון

\begin{aligned}\tan \angle BAC &= \frac{8}{6} \Rightarrow \angle BAC \approx 53.1^\circ \\ &= 2 \cdot 26.6^\circ\end{aligned}

בדיקה: חוצה הזווית נותן חצי מהזווית $A$ ✓

$\angle BAD \approx 26.6^\circ$ . המלכודת: לחשב $\tan^{-1}(2)$ — ההופכי — ולקבל $63.4^\circ$ , שהיא הזווית $\angle ADB$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — טרנספורמציות וזוגיות

תרגיל 7

נתונה הפונקציה $f(x) = x^2 - 4x$ , שקודקודה $(2, -4)$ . א. מצאו את הקודקוד של $g(x) = f(x - 1) + 2$ .

הקודקוד: ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הקודקוד: ( 3 , -2 )

הפתרון:

f(x-1)

הזזה ימינה ב- $1$ : הקודקוד עובר ל- $1$

f(x-1) + 2

הזזה למעלה ב- $2$ : הקודקוד עובר ל- $2$

\begin{aligned}g(x) &= (x-1)^2 - 4(x-1) + 2 \\ &= x^2 - 6x + 7 \\ \quad g(3) &= -2\end{aligned}

בדיקה אלגברית ✓

$(3, -2)$ . המלכודת: להזיז את $f(x-1)$ שמאלה. מינוס בתוך הסוגריים מזיז ימינה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הגרף של

h(x) = |f(x)|

נתונה הפונקציה $f(x) = x^2 - 4x$ , שקודקודה $(2, -4)$ . בשרטוט הגרף של $h(x) = |f(x)|$ . ב. כמה פתרונות יש למשוואה $h(x) = 3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

h(x) = |f(x)|

החלק של $f$ שמתחת לציר ה- $x$ משתקף אל מעליו: הקודקוד $(2, -4)$ הופך ל- $(2, 4)$

\begin{aligned}x^2 - 4x &= 3 \Rightarrow x \\ &= 2 \pm \sqrt{7}\end{aligned}

$f(x) = 3$ : שני פתרונות, מחוץ לקטע $0 < x < 4$

\begin{aligned}x^2 - 4x &= -3 \Rightarrow x \\ &= 1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

$f(x) = -3$ : שני פתרונות, בתוך הקטע

2 + 2 = 4

הישר $y = 3$ חותך את הגרף של $h$ ארבע פעמים, כי $0 < 3 < 4$

ארבעה פתרונות. המלכודת: לפתור רק $f(x) = 3$ ולקבל שניים. הערך המוחלט מוסיף גם את $f(x) = -3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה הפונקציה $f(x) = x^2 - 4x$ , שקודקודה $(2, -4)$ . ג. איזו מהפונקציות הבאות היא פונקציה זוגית?

$-f(x)$
$f(x - 2)$
$f(x) + 4$
$f(x + 2)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $f(x + 2)$

הפתרון:

\begin{aligned}f(x+2) &= (x+2)^2 - 4(x+2) \\ &= x^2 - 4\end{aligned}

פותחים סוגריים

(-x)^2 - 4 = x^2 - 4

$p(-x) = p(x)$ לכל $x$ : פונקציה זוגית

(2, -4) \to (0, -4)

בגרף: הזזה שמאלה ב- $2$ מביאה את ציר הסימטריה $x = 2$ אל ציר ה- $y$

$f(x+2)$ זוגית. המלכודת: לבחור $f(x) + 4$ — הזזה אנכית לא מזיזה את ציר הסימטריה $x = 2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — חקירת פולינום

תרגיל 10

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ . א. מהי הנגזרת $f'(x)$ ?

$3x^2 - 6x - 9$
$3x^2 - 3x - 9$
$x^2 - 3x - 9$
$3x^2 - 6x - 9 + 5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $3x^2 - 6x - 9$

הפתרון:

\begin{aligned}(x^3)' &= 3x^2 \\ \quad (-3x^2)' &= -6x \\ \quad (-9x)' &= -9\end{aligned}

$(x^n)' = nx^{n-1}$ , ונגזרת של סכום היא סכום הנגזרות

(5)' = 0

נגזרת של קבוע היא אפס

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$ . המלכודת: להשאיר את ה- $5$ — קבוע נעלם בגזירה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ . הנגזרת: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$ . ב. מצאו את נקודות הקיצון של $f$ וקבעו את סוגן.

מקסימום: ( ____ , ____ ) ; מינימום: ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקסימום: ( -1 , 10 ) ; מינימום: ( 3 , -22 )

הפתרון:

\begin{aligned}3x^2 - 6x - 9 &= 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

בקיצון $f'(x) = 0$

\begin{aligned}f'(-2) &= 15 > 0 \\ \quad f'(0) &= -9 < 0 \\ \quad f'(4) &= 15 > 0\end{aligned}

טבלת סימנים של $f'$

\begin{aligned}f(-1) &= -1 - 3 + 9 + 5 \\ &= 10 \\ \quad f(3) &= 27 - 27 - 27 + 5 \\ &= -22\end{aligned}

מציבים ב- $f$ , לא ב- $f$

מקסימום $(-1, 10)$ ומינימום $(3, -22)$ : $f'$ עוברת מ- $+$ ל- $-$ ב- $-$ , ומ- $-$ ל- $+$ ב- $+$ . המלכודת: להציב את ה- $x$ בנגזרת ולקבל $0$ בתור ה- $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ . נקודות הקיצון: מקסימום $(-1, 10)$ ומינימום $(3, -22)$ . ג. באילו תחומים $f$ עולה?

$x < 10$
$x > 3$ בלבד
$x < -1$ או $x > 3$
$-1 < x < 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x < -1$ או $x > 3$

הפתרון:

f'(x) = 3(x+1)(x-3)

הנגזרת מפורקת

f'(x) > 0 \iff x < -1 \ \text{או} \ x > 3

פרבולה פתוחה כלפי מעלה: חיובית מחוץ לשורשים

f'(x) > 0 \Rightarrow f \ \text{עולה}

הקשר בין סימן הנגזרת לעלייה

$f$ עולה ב- $x < -1$ וב- $x > 3$ . המלכודת: לכתוב את התחומים בערכי $y$ של נקודות הקיצון ( $10$ או $10$ ). תחום עלייה נכתב ב- $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ . הנגזרת: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$ . ד. מצאו את משוואת המשיק לגרף של $f$ בנקודה שבה $f$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -12 $x +$ 6

הפתרון:

\begin{aligned}f(1) &= 1 - 3 - 9 + 5 \\ &= -6\end{aligned}

נקודת ההשקה $(1, -6)$

\begin{aligned}m &= f'(1) \\ &= 3 - 6 - 9 \\ &= -12\end{aligned}

שיפוע המשיק הוא הנגזרת בנקודת ההשקה

\begin{aligned}y - (-6) &= -12(x - 1) \Rightarrow y \\ &= -12x + 6\end{aligned}

ישר דרך נקודה בשיפוע נתון

$y = -12x + 6$ . המלכודת: לקחת את $f(1)$ בתור השיפוע. השיפוע בא מ- $f'$ , והנקודה מ- $f$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ . נקודות הקיצון: מקסימום $(-1, 10)$ ומינימום $(3, -22)$ . ה. לאילו ערכים של $k$ יש למשוואה $f(x) = k$ שלושה פתרונות?

$-22 < k < 10$
$k = -22$ או $k = 10$
$k < -22$ או $k > 10$
$-1 < k < 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $-22 < k < 10$

הפתרון:

y = k

מספר הפתרונות הוא מספר נקודות החיתוך של הגרף עם הישר האופקי $y = k$

-22 < k < 10

בין ערך המינימום לערך המקסימום הישר חותך את שלושת ענפי הגרף

\begin{aligned}k &= 10 \ \text{או} \ k \\ &= -22\end{aligned}

בגובה נקודת קיצון — שני פתרונות; מחוץ לתחום — פתרון אחד

$-22 < k < 10$ . המלכודת: לכתוב $-1 < k < 3$ — אלה ערכי ה- $x$ של נקודות הקיצון, ו- $k$ הוא ערך $k$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 — הסתברות מותנית

תרגיל 15

	בחוג ספורט	לא בחוג ספורט	סה״כ
באוטובוס	54	66	120
ברגל	26	54	80
סה״כ	80	120	200

בסקר השתתפו $200$ תלמידי שכבת י. כל תלמיד ענה אם הוא מגיע לבית הספר באוטובוס או ברגל, ואם הוא משתתף בחוג ספורט. בוחרים באקראי תלמיד אחד. א. מה ההסתברות שהתלמיד מגיע ברגל וגם משתתף בחוג ספורט?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.13

הפתרון:

26

התא של «ברגל» ו«בחוג ספורט»: חיתוך של שני המאורעות

\begin{aligned}P &= \frac{26}{200} \\ &= 0.13\end{aligned}

מחלקים בכל התלמידים

$0.13$ . המלכודת: לחלק ב- $0.13$ — סך השורה או סך העמודה. «וגם» הוא חיתוך, והמכנה הוא כל $200$ התלמידים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

	בחוג ספורט	לא בחוג ספורט	סה״כ
באוטובוס	54	66	120
ברגל	26	54	80
סה״כ	80	120	200

בסקר השתתפו $200$ תלמידי שכבת י. כל תלמיד ענה אם הוא מגיע לבית הספר באוטובוס או ברגל, ואם הוא משתתף בחוג ספורט. בוחרים באקראי תלמיד אחד. ב. ידוע שהתלמיד שנבחר מגיע באוטובוס. מה ההסתברות שהוא משתתף בחוג ספורט?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.45

הפתרון:

P(S \mid B) = \frac{P(S \cap B)}{P(B)}

הסתברות מותנית: המידע מצמצם את מרחב המדגם לשורה «באוטובוס»

= \frac{54}{120} = 0.45

התא חלקי סך השורה

$0.45$ . המלכודת: לחלק ב- $0.45$ ולקבל $0.27$ — זו ההסתברות של החיתוך, לא ההסתברות המותנית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

	בחוג ספורט	לא בחוג ספורט	סה״כ
באוטובוס	54	66	120
ברגל	26	54	80
סה״כ	80	120	200

בסקר השתתפו $200$ תלמידי שכבת י. כל תלמיד ענה אם הוא מגיע לבית הספר באוטובוס או ברגל, ואם הוא משתתף בחוג ספורט. בוחרים באקראי תלמיד אחד. ג. ידוע שהתלמיד שנבחר משתתף בחוג ספורט. מה ההסתברות שהוא מגיע באוטובוס?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.675

הפתרון:

P(B \mid S) = \frac{P(B \cap S)}{P(S)}

עכשיו התנאי הוא «בחוג ספורט»: מרחב המדגם הוא העמודה

= \frac{54}{80} = 0.675

התא חלקי סך העמודה

$0.675$ , ולא $0.45$ : $P(B \mid S) \neq P(S \mid B)$ . המלכודת: להחליף בין המאורע לבין התנאי — המונה זהה, המכנה שונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

	בחוג ספורט	לא בחוג ספורט	סה״כ
באוטובוס	54	66	120
ברגל	26	54	80
סה״כ	80	120	200

בסקר השתתפו $200$ תלמידי שכבת י. כל תלמיד ענה אם הוא מגיע לבית הספר באוטובוס או ברגל, ואם הוא משתתף בחוג ספורט. בוחרים באקראי תלמיד אחד. ד. הוכיחו או הפריכו: המאורעות «מגיע באוטובוס» ו«משתתף בחוג ספורט» בלתי תלויים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}P(S) &= \frac{80}{200} \\ &= 0.4\end{aligned}

ההסתברות להשתתף בחוג, בלי תנאי

P(S \mid B) = 0.45

מסעיף ב

P(S \mid B) \neq P(S)

מאורעות בלתי תלויים אם ורק אם $P(S \mid B) = P(S)$

לא נכון: המאורעות תלויים, כי $0.45 \neq 0.4$ . אפשר לבדוק גם $P(S \cap B) = 0.27 \neq 0.4 \cdot 0.6 = 0.24$ . המלכודת: לבלבל «בלתי תלויים» עם «זרים» — כאן יש $54$ תלמידים בחיתוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 6 — סטטיסטיקה תיאורית

תרגיל 19

זמן ההגעה לבית הספר — 30 תלמידים

בדיאגרמה: זמן ההגעה לבית הספר של $30$ תלמידים, בקבוצות של $10$ דקות. א. הערכו את זמן ההגעה הממוצע בעזרת מרכזי הקבוצות. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 19.67

הפתרון:

5,\ 15,\ 25,\ 35

מרכז כל קבוצה: ממוצע שני הגבולות

5 \cdot 6 + 15 \cdot 10 + 25 \cdot 8 + 35 \cdot 6 = 590

מרכז כפול שכיחות

\bar{x} = \frac{590}{30} \approx 19.67

מחלקים במספר התלמידים

בערך $19.67$ דקות. זו הערכה: בתוך כל קבוצה לא יודעים את הנתונים המדויקים. המלכודת: לכפול את השכיחות בגבול העליון ( $19.67$ ) במקום במרכז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

זמן ההגעה לבית הספר — 30 תלמידים

בדיאגרמה: זמן ההגעה לבית הספר של $30$ תלמידים, בקבוצות של $10$ דקות. ב. באיזו קבוצה נמצא החציון?

30–40
10–20
0–10
20–30

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 10–20

הפתרון:

n = 30

החציון הוא ממוצע הנתון ה- $15$ והנתון ה- $16$

6,\ 16,\ 24,\ 30

שכיחויות מצטברות

7 \le 15,\ 16 \le 16

הנתונים ה- $7$ עד ה- $16$ נמצאים בקבוצה $10$ – $20$

החציון בקבוצה $20$ – $10$ . המלכודת: לבחור את הקבוצה האמצעית בציר ( $20$ – $20$ ) — החציון נקבע לפי השכיחויות, לא לפי הציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת