מבחן לדוגמא — סוף שנה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבחן לדוגמא — סוף שנה. 7 שאלות עם סעיפים, 24 סעיפים בסך הכול, 120 דקות. החומר: כל החומר של השנה — גאומטריה אנליטית, דמיון וטריגונומטריה, פונקציית השורש, בעיית ערך קיצון, משוואות, עץ הסתברויות וסטיית תקן.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בגאומטריה כתבו משפט לכל שורה, ובחקירה בנו טבלת סימנים לפני שקובעים סוג קיצון.

תרגילים

שאלה 1 — גאומטריה אנליטית

תרגיל 1

נתון המשולש $ABC$ : $A(1, 5)$ , $B(5, 1)$ , $C(-1, 1)$ . $CH$ הוא הגובה לצלע $AB$ . א. מצאו את משוואת הישר $AB$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -1 $x +$ 6

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{1-5}{5-1} \\ &= -1\end{aligned}

שיפוע דרך שתי נקודות

\begin{aligned}y - 5 &= -1(x - 1) \Rightarrow y \\ &= -x + 6\end{aligned}

ישר דרך נקודה בשיפוע נתון

-5 + 6 = 1

בדיקה עם $B$ ✓

$y = -x + 6$ . השיפוע $-1$ : הישר יורד בזווית של $45^\circ$ עם ציר ה- $x$ . המלכודת: להחליף מונה ומכנה בשיפוע — כאן זה לא משנה, ולכן בודקים עם נקודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון המשולש $ABC$ : $A(1, 5)$ , $B(5, 1)$ , $C(-1, 1)$ . $CH$ הוא הגובה לצלע $AB$ . משוואת $AB$ היא $y = -x + 6$ . ב. מצאו את שיעורי הנקודה $H$ .

$H$ ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $H =$ ( 2 , 4 )

הפתרון:

\begin{aligned}m_{CH} \cdot (-1) &= -1 \Rightarrow m_{CH} \\ &= 1\end{aligned}

הגובה מאונך לצלע: מכפלת השיפועים $-1$

\begin{aligned}y - 1 &= 1 \cdot (x + 1) \Rightarrow y \\ &= x + 2\end{aligned}

ישר דרך $C$ בשיפוע $1$

\begin{aligned}-x + 6 &= x + 2 \Rightarrow x \\ &= 2 \\ \ y &= 4\end{aligned}

$H$ היא נקודת החיתוך של $CH$ עם $AB$

$H(2, 4)$ . המלכודת: לקחת את אמצע $AB$ , $(3, 3)$ — זה עקב התיכון, לא עקב הגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון המשולש $ABC$ : $A(1, 5)$ , $B(5, 1)$ , $C(-1, 1)$ . $CH$ הוא הגובה לצלע $AB$ . עקב הגובה הוא $H(2, 4)$ . ג. חשבו את שטח המשולש $ABC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{4^2 + 4^2} \\ &= 4\sqrt{2}\end{aligned}

אורך הבסיס, בנוסחת המרחק

\begin{aligned}CH &= \sqrt{3^2 + 3^2} \\ &= 3\sqrt{2}\end{aligned}

אורך הגובה, בנוסחת המרחק

\begin{aligned}S &= \frac{4\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{24}{2} \\ &= 12\end{aligned}

חצי בסיס כפול גובה; $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$

השטח $12$ . בדיקה: הצלע $12$ אופקית באורך $6$ , והגובה אליה $4$ , ו- $4$ ✓. המלכודת: לכפול את $AB$ ב- $CA$ — גובה חייב להיות מאונך לבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — דמיון וטריגונומטריה במשולש ישר זווית

תרגיל 4

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 6$ ו- $BC = 8$ . $CD$ הוא הגובה ליתר, ו- $CM$ הוא התיכון ליתר. א. מדוע $\triangle ACD \sim \triangle ABC$ ?

צ.ז.צ — $AC$ משותפת, והזווית $A$ משותפת
המשולשים חופפים, ולכן גם דומים
צ.צ.צ — שלוש הצלעות פרופורציוניות, לפי הנתונים
ז.ז — הזווית $A$ משותפת, ו- $\angle ADC = \angle ACB = 90^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד ז.ז — הזווית $A$ משותפת, ו- $\angle ADC = \angle ACB = 90^\circ$

הפתרון:

\angle A = \angle A

זווית משותפת לשני המשולשים

\begin{aligned}\angle ADC &= \angle ACB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

$CD$ גובה, ו- $C$ זווית ישרה בנתון

\triangle ACD \sim \triangle ABC

משולשים דומים לפי ז.ז

ז.ז. המלכודת: צ.ז.צ דורש יחס שווה בין שני זוגות צלעות, ו- $AC$ אינה «משותפת» באותו תפקיד בשני המשולשים: בגדול היא ניצב, בקטן היא יתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 6$ ו- $BC = 8$ . $CD$ הוא הגובה ליתר, ו- $CM$ הוא התיכון ליתר. $\triangle ACD \sim \triangle ABC$ . ב. חשבו את $AD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.6

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABC$

\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}

משולשים דומים: $AD$ מול $\angle ACD$ מתאימה ל- $AC$ מול $\angle B$

\begin{aligned}AD &= \frac{6^2}{10} \\ &= 3.6\end{aligned}

פותרים

$AD = 3.6$ . המלכודת: $\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{BC}$ , כלומר $4.5$ — התאמה לפי מיקום ולא לפי הזוויות. היתר של הקטן ( $4.5$ ) מתאים ליתר של הגדול ( $AB$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 6$ ו- $BC = 8$ . $CD$ הוא הגובה ליתר, ו- $CM$ הוא התיכון ליתר. מסעיף ב: $AB = 10$ . ג. חשבו את $CM$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

CM = \frac{1}{2} AB

במשולש ישר זווית, התיכון ליתר שווה למחצית היתר

\begin{aligned}CM &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

מציבים

$CM = 5$ , ולכן גם $MA = MB = MC = 5$ . המלכודת: לחשב את $CM$ בפיתגורס בלי ניצב מתאים — המשפט נותן אותו מיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 6$ ו- $BC = 8$ . $CD$ הוא הגובה ליתר, ו- $CM$ הוא התיכון ליתר. $\triangle ACD \sim \triangle ABC$ , ויחס הדמיון $\frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}$ . ד. חשבו את שטח המשולש $ACD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.64

הפתרון:

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}

חצי מכפלת הניצבים

\begin{aligned}\frac{S_{ACD}}{S_{ABC}} &= \left(\frac{3}{5}\right)^2 \\ &= \frac{9}{25}\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון

\begin{aligned}S_{ACD} &= 24 \cdot \frac{9}{25} \\ &= 8.64\end{aligned}

מציבים

\begin{aligned}CD &= \frac{6 \cdot 8}{10} \\ &= 4.8 \\ \quad \frac{3.6 \cdot 4.8}{2} &= 8.64\end{aligned}

בדיקה: הגובה ליתר, ואז חצי בסיס כפול גובה ✓

$S_{ACD} = 8.64$ . המלכודת: לכפול ב- $\frac{3}{5}$ ולקבל $14.4$ — יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 6$ ו- $BC = 8$ . $CD$ הוא הגובה ליתר, ו- $CM$ הוא התיכון ליתר. מהסעיפים הקודמים: $AD = 3.6$ ו- $AM = 5$ . נתון גם: $CD = 4.8$ . ה. חשבו את הזווית $\angle DCM$ . עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16.3

הפתרון:

\begin{aligned}DM &= AM - AD \\ &= 5 - 3.6 \\ &= 1.4\end{aligned}

$D$ בין $A$ ל- $M$

\begin{aligned}\tan \angle DCM &= \frac{DM}{CD} \\ &= \frac{1.4}{4.8}\end{aligned}

במשולש ישר הזווית $CDM$ : ניצב מול חלקי ניצב ליד

\angle DCM = \tan^{-1}\left(\frac{1.4}{4.8}\right) \approx 16.3^\circ

במחשבון

\begin{aligned}\angle MCA &= \angle A \approx 53.1^\circ \\ \quad \angle ACD &= 90^\circ - 53.1^\circ \\ &= 36.9^\circ\end{aligned}

בדיקה: $MA = MC$ (משולש שווה שוקיים) — וההפרש $53.1^\circ - 36.9^\circ \approx 16.3^\circ$ ✓

$\angle DCM \approx 16.3^\circ$ . המלכודת: לחשב $\tan^{-1}\left(\frac{4.8}{1.4}\right)$ — זו הזווית $\angle CMD$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — פונקציית השורש

תרגיל 9

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = x\sqrt{12 - x}$ . א. מהו תחום ההגדרה של $f$ ?

$x < 12$
$x \ge 0$
$x \ge 12$
$x \le 12$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x \le 12$

הפתרון:

12 - x \ge 0

ביטוי בתוך שורש ריבועי חייב להיות אי-שלילי

x \le 12

פותרים

\begin{aligned}f(12) &= 12 \cdot 0 \\ &= 0\end{aligned}

הקצה $x = 12$ בתחום: שורש של אפס מוגדר

$x \le 12$ . המלכודת: לכתוב $x < 12$ — השורש של $0$ מוגדר. ו- $x \ge 0$ שגוי: ה- $x$ שמחוץ לשורש יכול להיות שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = x\sqrt{12 - x}$ . ב. מהי הנגזרת $f'(x)$ , בתחום $x < 12$ ?

$\dfrac{1}{2\sqrt{12 - x}}$
$\dfrac{-x}{2\sqrt{12 - x}}$
$\sqrt{12 - x} + \dfrac{x}{2\sqrt{12 - x}}$
$\dfrac{24 - 3x}{2\sqrt{12 - x}}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\dfrac{24 - 3x}{2\sqrt{12 - x}}$

הפתרון:

(\sqrt{12 - x})' = \frac{-1}{2\sqrt{12 - x}}

נגזרת של $\sqrt{g(x)}$ היא $\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$ , ו- $g'(x) = -1$

f'(x) = 1 \cdot \sqrt{12 - x} + x \cdot \frac{-1}{2\sqrt{12 - x}}

נגזרת של מכפלה

= \frac{2(12 - x) - x}{2\sqrt{12 - x}} = \frac{24 - 3x}{2\sqrt{12 - x}}

מכנה משותף

המלכודת: לשכוח את נגזרת הפנים, $-1$ , ולקבל סימן $+$ באיבר השני. ובקצה $x = 12$ הנגזרת לא מוגדרת — מכנה אפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = x\sqrt{12 - x}$ . הנגזרת: $f'(x) = \dfrac{24 - 3x}{2\sqrt{12 - x}}$ . ג. מצאו את נקודת הקיצון הפנימית של $f$ . (בקצה התחום, $(12, 0)$ , יש נקודת קיצון נוספת.)

נקודת מקסימום: ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נקודת מקסימום: ( 8 , 16 )

הפתרון:

\begin{aligned}24 - 3x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 8\end{aligned}

$f'(x) = 0$ : המונה אפס

f'(7) > 0 ,\quad f'(10) < 0

טבלת סימנים: המכנה חיובי, והסימן הוא סימן המונה

\begin{aligned}f(8) &= 8\sqrt{4} \\ &= 16\end{aligned}

מציבים ב- $f$

מקסימום $(8, 16)$ ; בקצה $(12, 0)$ יש מינימום מקומי, כי $f$ יורדת אליו. המלכודת: להציב $x = 8$ בנגזרת או לשכוח שהשורש של $4$ הוא $4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = x\sqrt{12 - x}$ . הנגזרת: $f'(x) = \dfrac{24 - 3x}{2\sqrt{12 - x}}$ . ד. מצאו את משוואת המשיק לגרף של $f$ בנקודה שבה $f$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 2.5 $x +$ 1.5

הפתרון:

\begin{aligned}f(3) &= 3\sqrt{9} \\ &= 9\end{aligned}

נקודת ההשקה $(3, 9)$

\begin{aligned}f'(3) &= \frac{24 - 9}{2 \cdot 3} \\ &= \frac{15}{6} \\ &= 2.5\end{aligned}

שיפוע המשיק

\begin{aligned}y - 9 &= 2.5(x - 3) \Rightarrow y \\ &= 2.5x + 1.5\end{aligned}

ישר דרך נקודה בשיפוע נתון

$y = 2.5x + 1.5$ . המלכודת: לחשב $\sqrt{12 - 3}$ כ- $\sqrt{12} - \sqrt{3}$ . מחשבים קודם את מה שבתוך השורש: $\sqrt{9} = 3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — בעיית ערך קיצון

תרגיל 13

הקודקודים $A$ ו- $B$ של המלבן $ABCD$ נמצאים על ציר ה- $x$ , והקודקודים $x$ ו- $D$ על הפרבולה $D$ . המלבן סימטרי ביחס לציר ה- $y$ , ו- $y$ הוא שיעור ה- $x$ של $B$ ( $B$ ). א. הביעו את שטח המלבן בעזרת $x$ .

$S(x) = 2x + 2(12 - x^2)$
$S(x) = 2x^2(12 - x)$
$S(x) = 12x - x^3$
$S(x) = 24x - 2x^3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $S(x) = 24x - 2x^3$

הפתרון:

AB = 2x

המלבן סימטרי: $A(-x, 0)$ ו- $B(x, 0)$

BC = 12 - x^2

הגובה הוא ה- $y$ של $C$ על הפרבולה

\begin{aligned}S(x) &= 2x(12 - x^2) \\ &= 24x - 2x^3\end{aligned}

שטח: אורך כפול רוחב

המלכודת: לקחת $x$ בתור הבסיס כולו ולקבל $12x - x^3$ — זה רק חצי המלבן. $x$ הוא חצי הבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

הקודקודים $A$ ו- $B$ של המלבן $ABCD$ נמצאים על ציר ה- $x$ , והקודקודים $x$ ו- $D$ על הפרבולה $D$ . המלבן סימטרי ביחס לציר ה- $y$ , ו- $y$ הוא שיעור ה- $x$ של $B$ ( $B$ ). שטח המלבן: $S(x) = 24x - 2x^3$ . ב. לאיזה ערך של $x$ השטח מקסימלי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

S'(x) = 24 - 6x^2

גוזרים

\begin{aligned}24 - 6x^2 &= 0 \Rightarrow x^2 \\ &= 4 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

$x = -2$ מחוץ לתחום $0 < x < \sqrt{12}$

\begin{aligned}S'(1) &= 18 > 0 \\ \quad S'(3) &= -30 < 0\end{aligned}

טבלת סימנים: עולה ואחר כך יורדת — מקסימום

$x = 2$ . המלכודת: לא לבדוק את סוג הקיצון. בבעיית קיצון צריך להראות שזה מקסימום, בטבלה או בקצוות התחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

הקודקודים $A$ ו- $B$ של המלבן $ABCD$ נמצאים על ציר ה- $x$ , והקודקודים $x$ ו- $D$ על הפרבולה $D$ . המלבן סימטרי ביחס לציר ה- $y$ , ו- $y$ הוא שיעור ה- $x$ של $B$ ( $B$ ). השטח מקסימלי כאשר $x = 2$ . ג. מהו השטח המקסימלי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 2 \cdot 2 \\ &= 4 \\ \quad BC &= 12 - 2^2 \\ &= 8\end{aligned}

מציבים $x = 2$ בצלעות

\begin{aligned}S &= 4 \cdot 8 \\ &= 32\end{aligned}

אורך כפול רוחב

\begin{aligned}S(2) &= 48 - 16 \\ &= 32\end{aligned}

בדיקה בפונקציית השטח ✓

השטח המקסימלי $32$ . המלכודת: לענות $32$ — זה ה- $x$ שבו מתקבל המקסימום, לא ערך המקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 — משוואות

תרגיל 16

א. פתרו את המשוואה $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ . היעזרו בהצבה $t = x^2$ .

הפתרונות, מהקטן לגדול: ____ , ____ , ____ , ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הפתרונות, מהקטן לגדול: -2 , -1 , 1 , 2

הפתרון:

\begin{aligned}t &= x^2 \Rightarrow t^2 - 5t + 4 \\ &= 0\end{aligned}

הצבה: משוואה ממעלה שנייה ב- $t$

\begin{aligned}(t - 1)(t - 4) &= 0 \Rightarrow t \\ &= 1 \\ \ t &= 4\end{aligned}

מפרקים

\begin{aligned}x^2 &= 1 \Rightarrow x \\ &= \pm 1 \\ \quad x^2 &= 4 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

חוזרים ל- $x$ : לכל $x$ שני פתרונות

ארבעה פתרונות: $-2, -1, 1, 2$ . המלכודת: לעצור ב- $t = 1$ ו- $t = 4$ — אלה ערכי $t$ , ומכל אחד יוצאים שני ערכי $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

ב. פתרו את המשוואה $\sqrt{x + 7} = x + 1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}x + 7 &= (x + 1)^2 \\ &= x^2 + 2x + 1\end{aligned}

מעלים את שני האגפים בריבוע

\begin{aligned}x^2 + x - 6 &= 0 \Rightarrow (x + 3)(x - 2) \\ &= 0\end{aligned}

מעבירים אגף ומפרקים

\begin{aligned}x &= 2: \ \sqrt{9} \\ &= 3 \\ &= 2 + 1\end{aligned}

בדיקה במשוואה המקורית: מתקיים

\begin{aligned}x &= -3: \ \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2\end{aligned}

פתרון זר: שורש ריבועי אינו שלילי

$x = 2$ בלבד. המלכודת: להשאיר את $x = -3$ . העלאה בריבוע מוסיפה פתרונות, ולכן בודקים כל פתרון במשוואה המקורית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 6 — עץ הסתברויות

תרגיל 18

בחירת קופסה ואחר כך כדור

בקופסה לבנה $3$ כדורים אדומים ו- $2$ כחולים; בקופסה שחורה כדור אדום אחד ו- $3$ כחולים. מטילים קובייה: אם יוצא $1$ או $2$ בוחרים בקופסה הלבנה, אחרת בשחורה. מוציאים מהקופסה שנבחרה כדור אחד. א. מה ההסתברות שהכדור אדום?

$\dfrac{11}{30}$
$\dfrac{2}{5}$
$\dfrac{1}{5}$
$\dfrac{17}{20}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\dfrac{11}{30}$

הפתרון:

\begin{aligned}P(W) &= \frac{2}{6} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

$W$ — בוחרים בקופסה הלבנה: שתי תוצאות מתוך שש בקובייה

\begin{aligned}\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} &= \frac{1}{5} \\ \quad \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} &= \frac{1}{6}\end{aligned}

כופלים לאורך כל מסלול שמסתיים באדום

\begin{aligned}P(R) &= \frac{1}{5} + \frac{1}{6} \\ &= \frac{11}{30}\end{aligned}

נוסחת ההסתברות השלמה: מחברים את המסלולים

$\frac{11}{30}$ . המלכודת: לחבר $\frac{3}{5} + \frac{1}{4} = \frac{17}{20}$ בלי לכפול בהסתברות לבחור כל קופסה. לאורך מסלול כופלים; בין מסלולים מחברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

בחירת קופסה ואחר כך כדור

בקופסה לבנה $3$ כדורים אדומים ו- $2$ כחולים; בקופסה שחורה כדור אדום אחד ו- $3$ כחולים. מטילים קובייה: אם יוצא $1$ או $2$ בוחרים בקופסה הלבנה, אחרת בשחורה. מוציאים מהקופסה שנבחרה כדור אחד. ההסתברות שהכדור אדום היא $2$ . ב. הכדור שהוצא אדום. מה ההסתברות שהוא בא מהקופסה הלבנה?

$\dfrac{3}{5}$
$\dfrac{5}{11}$
$\dfrac{1}{5}$
$\dfrac{6}{11}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\dfrac{6}{11}$

הפתרון:

P(W \mid R) = \frac{P(W \cap R)}{P(R)}

$W$ — הקופסה הלבנה, $R$ — כדור אדום. הסתברות מותנית (נוסחת בייס)

\begin{aligned}\frac{1/5}{11/30} &= \frac{1}{5} \cdot \frac{30}{11} \\ &= \frac{6}{11}\end{aligned}

המונה: המסלול לבנה-אדום מסעיף א

$\frac{6}{11}$ . המלכודת: לענות $\frac{3}{5}$ — זו $P(R \mid W)$ , ההסתברות ההפוכה. ו- $\frac{1}{5}$ היא החיתוך, בלי לחלק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

שני כדורים מהקופסה הלבנה, בלי החזרה

בקופסה לבנה $3$ כדורים אדומים ו- $2$ כחולים. מוציאים ממנה שני כדורים, בזה אחר זה, בלי החזרה. $R_1$ — הראשון אדום, $R_2$ — השני אדום, $B_1$ ו- $B_2$ — כחול. ג. מה ההסתברות ששני הכדורים בצבעים שונים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.6

הפתרון:

\begin{aligned}P(R_1 \cap B_2) &= \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \\ &= \frac{3}{10}\end{aligned}

אדום ואחר כך כחול. בלי החזרה: בהוצאה השנייה נשארו $4$ כדורים

\begin{aligned}P(B_1 \cap R_2) &= \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} \\ &= \frac{3}{10}\end{aligned}

כחול ואחר כך אדום: המסלול השני

\frac{3}{10} + \frac{3}{10} = 0.6

שני מסלולים זרים: מחברים

$0.6$ . המלכודת: לחשב רק «אדום ואחר כך כחול». «צבעים שונים» הם שני מסלולים בעץ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

שני כדורים מהקופסה הלבנה, בלי החזרה

בקופסה לבנה $3$ כדורים אדומים ו- $2$ כחולים. מוציאים ממנה שני כדורים, בזה אחר זה, בלי החזרה. $R_1$ — הראשון אדום, $R_2$ — השני אדום, $B_1$ ו- $B_2$ — כחול. ד. הוכיחו או הפריכו: המאורעות «הכדור הראשון אדום» ו«הכדור השני אדום» בלתי תלויים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}P(R_2) &= \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

ההסתברות שהשני אדום, בשני המסלולים

\begin{aligned}P(R_2 \mid R_1) &= \frac{2}{4} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

אחרי אדום נשארו $2$ אדומים מתוך $4$

\frac{1}{2} \neq \frac{3}{5}

בלתי תלויים אם ורק אם $P(R_2 \mid R_1) = P(R_2)$

לא נכון: המאורעות תלויים — ההוצאה הראשונה משנה את תוכן הקופסה. עם החזרה הם היו בלתי תלויים. המלכודת: להסיק מ- $P(R_2) = P(R_1) = \frac{3}{5}$ שאין תלות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 7 — פיזור וסטיית תקן

תרגיל 22

הטמפרטורה בצהריים בחמישה ימים

בדיאגרמה: הטמפרטורה בצהריים בירושלים בחמישה ימים של חורף, במעלות צלזיוס: $14, 16, 17, 18, 20$ . א. חשבו את הטמפרטורה הממוצעת.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 17

הפתרון:

14 + 16 + 17 + 18 + 20 = 85

סכום הנתונים

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{85}{5} \\ &= 17\end{aligned}

מחלקים במספר הימים

הממוצע $17^\circ$ . כאן הוא שווה גם לחציון — הנתונים סימטריים סביב $17$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

הטמפרטורה בצהריים בחמישה ימים

בדיאגרמה: הטמפרטורה בצהריים בירושלים בחמישה ימים של חורף, במעלות צלזיוס: $14, 16, 17, 18, 20$ . הממוצע $17$ . ב. חשבו את סטיית התקן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

-3,\ -1,\ 0,\ 1,\ 3

הסטייה של כל נתון מהממוצע

\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{9 + 1 + 0 + 1 + 9}{5} \\ &= 4\end{aligned}

השונות: ממוצע ריבועי הסטיות

\begin{aligned}\sigma &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

סטיית התקן: שורש השונות

סטיית התקן $2^\circ$ . המלכודת: לעצור בשונות, $4$ . ומי שמחבר את הסטיות בלי ריבוע מקבל $4$ תמיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

הטמפרטורה בצהריים בחמישה ימים

בדיאגרמה: הטמפרטורה בצהריים בירושלים בחמישה ימים של חורף, במעלות צלזיוס: $14, 16, 17, 18, 20$ . הממוצע $17$ וסטיית התקן $17$ . ממירים כל נתון למעלות פרנהייט לפי $F = 1.8C + 32$ . ג. מהי סטיית התקן של הטמפרטורות בפרנהייט?

$2$
$34$
$35.6$
$3.6$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $3.6$

הפתרון:

+32

הוספת קבוע מזיזה את כל הנתונים יחד: הפיזור לא משתנה

\times 1.8

כפל בקבוע חיובי מכפיל את סטיית התקן באותו קבוע

\begin{aligned}\sigma_F &= 1.8 \cdot 2 \\ &= 3.6 \\ \quad \bar{x}_F &= 1.8 \cdot 17 + 32 \\ &= 62.6\end{aligned}

והממוצע עובר את שתי הפעולות

$3.6$ . המלכודת: להפעיל על סטיית התקן את הנוסחה כולה ולקבל $35.6$ . ה- $35.6$ משנה את הממוצע בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת