מבחן סוף שנה — חזרה 1

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבחן סוף שנה — חזרה 1. 5 שאלות עם סעיפים, 26 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. שאלה אחת לכל נושא: הסתברות (טבלה דו-ממדית והסתברות מותנית), סטטיסטיקה, גאומטריה אנליטית משולבת, חקירת פונקציה עם שורש, ובעיית ערך קיצון.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בהסתברות מותנית שאלו קודם מהו התנאי: הוא המכנה. בחקירה בנו טבלת סימנים לפני שקובעים סוג קיצון.

תרגילים

שאלה 1 — הסתברות

תרגיל 1

במכון כושר גדול $40\%$ מהמנויים הם גברים והשאר נשים. כל מנוי מתאמן רק בבוקר או רק בערב. $70\%$ מהגברים מתאמנים בערב, ו- $32\%$ מכלל המנויים הן נשים שמתאמנות בערב. בוחרים באקראי מנוי אחד. נסמן: $M$ — גבר, $W$ — אישה, $E$ — מתאמן בערב. א. השלימו את טבלת ההסתברויות, באחוזים מכלל המנויים.

	בוקר	ערב	סה״כ
גברים	____	____	$40$
נשים	____	$32$	$60$
סה״כ	____	____	$100$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: גברים: 12, 28 · נשים: 28 · סה״כ: 40, 60

הפתרון:

0.4 \cdot 0.7 = 0.28

גברים שמתאמנים בערב: $70\%$ מהגברים, לא מכלל המנויים

\begin{aligned}40 - 28 &= 12 \\ \quad 60 - 32 &= 28\end{aligned}

כל שורה מסתכמת בסך הכול שלה

\begin{aligned}12 + 28 &= 40 \\ \quad 28 + 32 &= 60\end{aligned}

וכל עמודה בסך הכול שלה; בדיקה: $40 + 60 = 100$ ✓

בוקר: $12\%$ גברים ו- $28\%$ נשים; ערב: $28\%$ גברים ו- $32\%$ נשים. המלכודת: לכתוב $70$ בתא «גברים–ערב». $70\%$ הוא אחוז מתוך הגברים, וצריך להכפיל אותו ב- $0.4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במכון כושר גדול $40\%$ מהמנויים הם גברים והשאר נשים. כל מנוי מתאמן רק בבוקר או רק בערב. $70\%$ מהגברים מתאמנים בערב, ו- $32\%$ מכלל המנויים הן נשים שמתאמנות בערב. בוחרים באקראי מנוי אחד. נסמן: $M$ — גבר, $W$ — אישה, $E$ — מתאמן בערב. בטבלה (באחוזים מכלל המנויים): גברים — בוקר $E$ , ערב $28$ ; נשים — בוקר $28$ , ערב $32$ . ב. ידוע שהמנוי שנבחר מתאמן בערב. מה ההסתברות שזו אישה? (אפשר לענות בשבר.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5333333333333333

הפתרון:

\begin{aligned}P(E) &= 0.28 + 0.32 \\ &= 0.6\end{aligned}

$E$ — מתאמן בערב: סכום עמודת הערב

\begin{aligned}P(W \mid E) &= \frac{P(W \cap E)}{P(E)} \\ &= \frac{0.32}{0.6}\end{aligned}

הסתברות מותנית: מצמצמים את המרחב לעמודת הערב

\frac{0.32}{0.6} = \frac{8}{15} \approx 0.533

מצמצמים

$\frac{8}{15} \approx 0.533$ . המלכודת: לענות $0.32$ — זו ההסתברות ל«אישה וגם ערב» מתוך כל המנויים, לא מתוך המתאמנים בערב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במכון כושר גדול $40\%$ מהמנויים הם גברים והשאר נשים. כל מנוי מתאמן רק בבוקר או רק בערב. $70\%$ מהגברים מתאמנים בערב, ו- $32\%$ מכלל המנויים הן נשים שמתאמנות בערב. בוחרים באקראי מנוי אחד. נסמן: $M$ — גבר, $W$ — אישה, $E$ — מתאמן בערב. בטבלה (באחוזים מכלל המנויים): גברים — בוקר $E$ , ערב $28$ ; נשים — בוקר $28$ , ערב $32$ . ג. ידוע שנבחרה אישה. מה ההסתברות שהיא מתאמנת בבוקר? (אפשר לענות בשבר.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4666666666666666

הפתרון:

P(W) = 0.6

שורת הנשים כולה

\begin{aligned}P(\overline{E} \mid W) &= \frac{0.28}{0.6} \\ &= \frac{7}{15}\end{aligned}

«בוקר» הוא המאורע המשלים $\overline{E}$ ; מצמצמים את המרחב לשורת הנשים

\frac{7}{15} \approx 0.467

$\frac{7}{15} \approx 0.467$ . שימו לב: התנאי הפעם הוא שורה («אישה»), ובסעיף ב הוא היה עמודה («ערב»). המכנה הוא תמיד ההסתברות של התנאי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במכון כושר גדול $40\%$ מהמנויים הם גברים והשאר נשים. כל מנוי מתאמן רק בבוקר או רק בערב. $70\%$ מהגברים מתאמנים בערב, ו- $32\%$ מכלל המנויים הן נשים שמתאמנות בערב. בוחרים באקראי מנוי אחד. נסמן: $M$ — גבר, $W$ — אישה, $E$ — מתאמן בערב. בטבלה (באחוזים מכלל המנויים): גברים — בוקר $E$ , ערב $28$ ; נשים — בוקר $28$ , ערב $32$ . ד. הוכיחו או הפריכו: המאורעות «המנוי גבר» ו«המנוי מתאמן בערב» בלתי תלויים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}P(M) \cdot P(E) &= 0.4 \cdot 0.6 \\ &= 0.24\end{aligned}

מכפלת ההסתברויות

P(M \cap E) = 0.28

מהטבלה

0.28 \neq 0.24

בלתי תלויים אם ורק אם $P(M \cap E) = P(M) \cdot P(E)$

לא נכון: המאורעות תלויים. דרך שקולה: $P(E \mid M) = 0.7$ , אבל $P(E) = 0.6$ — הידיעה שהמנוי גבר משנה את הסיכוי שהוא מתאמן בערב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — סטטיסטיקה

תרגיל 5

בדיאגרמה: מספר הספרים שקרא כל אחד מתלמידי כיתה י׳ בחופשת הקיץ. א. כמה תלמידים בכיתה, ומהו השכיח?

בכיתה ____ תלמידים, והשכיח הוא ____ ספרים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בכיתה 20 תלמידים, והשכיח הוא 3 ספרים.

הפתרון:

2 + 4 + 6 + 5 + 2 + 1 = 20

מספר התלמידים: סכום גובהי העמודות

\begin{aligned}\max f &= 6 \Rightarrow Mo \\ &= 3\end{aligned}

השכיח: הערך שהעמודה שלו הגבוהה ביותר

$20$ תלמידים, השכיח $3$ ספרים. המלכודת: לענות $6$ — זו השכיחות של השכיח (גובה העמודה), לא השכיח עצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בדיאגרמה: מספר הספרים שקרא כל אחד מתלמידי כיתה י׳ בחופשת הקיץ. בכיתה $20$ תלמידים. ב. חשבו את מספר הספרים הממוצע לתלמיד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.2

הפתרון:

1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 1 = 64

סכום כל הנתונים: כל ערך כפול השכיחות שלו

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{64}{20} \\ &= 3.2\end{aligned}

מחלקים במספר התלמידים

$3.2$ ספרים. המלכודת: לחשב את ממוצע הערכים $1, 2, \ldots, 6$ בלי שכיחויות ולקבל $3.5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בדיאגרמה: מספר הספרים שקרא כל אחד מתלמידי כיתה י׳ בחופשת הקיץ. בכיתה $20$ תלמידים. ג. מצאו את החציון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\frac{20}{2} = 10

מספר הנתונים זוגי: החציון הוא ממוצע הנתון ה- $10$ והנתון ה- $10$ , בסדר עולה

2 ,\ 6 ,\ 12

שכיחויות מצטברות: הנתונים $7$ עד $12$ שווים $3$

\begin{aligned}Me &= \frac{3 + 3}{2} \\ &= 3\end{aligned}

הנתון ה- $10$ וה- $11$ שניהם $3$

החציון $3$ . המלכודת: לקחת את הערך האמצעי על הציר ( $3.5$ ) — החציון נקבע לפי התלמידים, לא לפי הערכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בדיאגרמה: מספר הספרים שקרא כל אחד מתלמידי כיתה י׳ בחופשת הקיץ. בכיתה $20$ תלמידים, והממוצע $3.2$ ספרים. לכיתה הצטרף תלמיד חדש, שקרא בקיץ $6$ ספרים. ד. חשבו את הממוצע החדש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.3333333333333335

הפתרון:

3.2 \cdot 20 = 64

הסכום המקורי: ממוצע כפול מספר הנתונים

64 + 6 = 70

הסכום החדש

\bar{x}' = \frac{70}{21} \approx 3.33

עכשיו יש $21$ תלמידים

$21$ בקירוב. הממוצע עלה, כי הנתון שנוסף, $3.33$ , גדול מהממוצע הקודם. המלכודת: לחלק שוב ב- $20$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בדיאגרמה: מספר הספרים שקרא כל אחד מתלמידי כיתה י׳ בחופשת הקיץ. בכיתה $20$ תלמידים, והחציון $20$ . לכיתה הצטרף תלמיד חדש, שקרא בקיץ $3$ ספרים. ה. מה קרה לחציון?

הוא עלה ל- $3.5$
הוא לא השתנה: גם עכשיו הוא $3$
הוא עלה ל- $4$
הוא עלה, כי הממוצע עלה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב הוא לא השתנה: גם עכשיו הוא $3$

הפתרון:

\begin{aligned}n &= 21 \Rightarrow Me \\ &= x_{(11)}\end{aligned}

מספר הנתונים אי-זוגי: החציון הוא הנתון ה- $11$ בסדר עולה

2 ,\ 6 ,\ 12

השכיחויות המצטברות לא השתנו עד הערך $3$ : הנתון ה- $3$ הוא $3$

החציון נשאר $3$ . נתון קיצוני משפיע על הממוצע, אבל כמעט לא על החציון: הוא רק מזיז את מקום האמצע בחצי מקום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — גאומטריה אנליטית משולבת

תרגיל 10

במערכת צירים נתון המשולש $ABC$ : $A(0, 6)$ , $B(-3, 0)$ , $C(12, 0)$ . $O$ היא ראשית הצירים. א. מדוע הזווית $BAC$ ישרה?

$m_{AB} = 2$ ו- $m_{AC} = -\frac{1}{2}$ , ומכפלת השיפועים היא $-1$
$AB = AC$ , ולכן המשולש שווה שוקיים וישר זווית
$m_{AB} = 2$ ו- $m_{AC} = -2$ , והשיפועים נגדיים
$AO \perp BC$ , ולכן גם $AB \perp AC$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $m_{AB} = 2$ ו- $m_{AC} = -\frac{1}{2}$ , ומכפלת השיפועים היא $-1$

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{6 - 0}{0 - (-3)} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע דרך שתי נקודות

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{6 - 0}{0 - 12} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 \Rightarrow AB \perp AC

ישרים מאונכים אם ורק אם מכפלת השיפועים $-1$

$\angle BAC = 90^\circ$ . המלכודת: שיפועים נגדיים ( $2$ ו- $2$ ) אינם מאונכים; צריך שיפוע נגדי והפכי. ו- $AB = \sqrt{45}$ אבל $AC = \sqrt{180}$ — המשולש לא שווה שוקיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

במערכת צירים נתון המשולש $ABC$ : $A(0, 6)$ , $B(-3, 0)$ , $C(12, 0)$ . $O$ היא ראשית הצירים. ב. מצאו את משוואת הישר $AC$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -0.5 $x +$ 6

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{0 - 6}{12 - 0} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

שיפוע דרך שתי נקודות

n = 6

$A(0, 6)$ על ציר ה- $y$ : זו נקודת החיתוך עם הציר

y = -\frac{1}{2}x + 6

בדיקה עם $C$ : $C$ ✓

$y = -\frac{1}{2}x + 6$ . כאשר אחת הנקודות על ציר ה- $y$ , המספר החופשי נקרא ישר ממנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

במערכת צירים נתון המשולש $ABC$ : $A(0, 6)$ , $B(-3, 0)$ , $C(12, 0)$ . $O$ היא ראשית הצירים. נתון: $O$ , ו- $AO$ הוא הגובה ליתר $BC$ . ג. מדוע $\triangle AOB \sim \triangle COA$ ?

צ.ז.צ — $BO = CO$ , והזוויות ב- $O$ שוות
ז.ז — $\angle AOB = \angle COA = 90^\circ$ , ו- $\angle BAO = \angle ACO$ , כי כל אחת מהן משלימה את $\angle B$ ל- $90^\circ$
צ.צ.צ — $AO$ צלע משותפת לשני המשולשים
ז.ז — הזווית $A$ משותפת לשני המשולשים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ז.ז — $\angle AOB = \angle COA = 90^\circ$ , ו- $\angle BAO = \angle ACO$ , כי כל אחת מהן משלימה את $\angle B$ ל- $90^\circ$

הפתרון:

\begin{aligned}\angle AOB &= \angle COA \\ &= 90^\circ\end{aligned}

$AO$ על ציר ה- $y$ ו- $BC$ על ציר ה- $x$

\angle BAO = 90^\circ - \angle B

במשולש $AOB$ : סכום הזוויות $180^\circ$

\angle ACO = 90^\circ - \angle B

במשולש $ABC$ , שבו $\angle A = 90^\circ$

\triangle AOB \sim \triangle COA

ז.ז — שתי זוויות שוות בהתאמה

ז.ז. ההתאמה: $A \leftrightarrow C$ , $O \leftrightarrow O$ , $B \leftrightarrow A$ . המלכודת: «זווית משותפת» — לשני המשולשים אין זווית $A$ משותפת, כי $AO$ חוצה את הזווית $A$ לשני חלקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

במערכת צירים נתון המשולש $ABC$ : $A(0, 6)$ , $B(-3, 0)$ , $C(12, 0)$ . $O$ היא ראשית הצירים. נתון: $\triangle AOB \sim \triangle COA$ (בהתאמה $A \leftrightarrow C$ , $O \leftrightarrow O$ , $B \leftrightarrow A$ ). ד. חשבו את יחס השטחים $\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle COA}}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{AO}{CO} \\ &= \frac{6}{12} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

יחס הדמיון: צלעות מתאימות

\begin{aligned}\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle COA}} &= k^2 \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון

\begin{aligned}\frac{\frac{3 \cdot 6}{2}}{\frac{12 \cdot 6}{2}} &= \frac{9}{36} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

בדיקה ישירה: שני המשולשים ישרי זווית ב- $O$

$O$ . המלכודת: לענות $\frac{1}{2}$ — זה יחס הצלעות. יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

במערכת צירים נתון המשולש $ABC$ : $A(0, 6)$ , $B(-3, 0)$ , $C(12, 0)$ . $O$ היא ראשית הצירים. נתון: $O$ . ה. חשבו את הזווית $\angle ACB$ . עגלו לעשירית מעלה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 26.56505117707799

הפתרון:

\begin{aligned}\tan \angle ACO &= \frac{AO}{OC} \\ &= \frac{6}{12} \\ &= 0.5\end{aligned}

במשולש ישר הזווית $AOC$ : ניצב מול חלקי ניצב ליד

\angle ACB = \tan^{-1}(0.5) \approx 26.6^\circ

$\angle ACB \approx 26.6^\circ$ . בדיקה: $\angle ABC = \tan^{-1}(2) \approx 63.4^\circ$ , ו- $26.6^\circ + 63.4^\circ = 90^\circ$ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

במערכת צירים נתון המשולש $ABC$ : $A(0, 6)$ , $B(-3, 0)$ , $C(12, 0)$ . $O$ היא ראשית הצירים. נתון: $O$ . $M$ היא אמצע הצלע $M$ . ו. חשבו את אורך התיכון $AM$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.5

הפתרון:

\begin{aligned}M &= \left(\frac{-3 + 12}{2}, 0\right) \\ &= (4.5, 0)\end{aligned}

אמצע קטע

\begin{aligned}AM &= \sqrt{4.5^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{56.25} \\ &= 7.5\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}\frac{BC}{2} &= \frac{15}{2} \\ &= 7.5\end{aligned}

בדיקה: במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר

$AM = 7.5$ . המשפט «התיכון ליתר שווה למחצית היתר» נותן את התשובה בלי נוסחת המרחק — שימו לב לזה כשרואים זווית ישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — חקירת פונקציה

תרגיל 16

נתונה הפונקציה $f(x) = (x - 3)\sqrt{x}$ . א. מהו תחום ההגדרה של $f$ ?

$x > 0$
$x \ge 0$
כל $x$
$x \ge 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x \ge 0$

הפתרון:

x \ge 0

הביטוי שבתוך השורש אי-שלילי

\begin{aligned}f(0) &= (0 - 3) \cdot 0 \\ &= 0\end{aligned}

הקצה $x = 0$ בתחום

$x \ge 0$ . המלכודת: $x \ge 3$ — הגורם $x - 3$ יכול להיות שלילי; רק מה שבתוך השורש חייב להיות אי-שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

נתונה הפונקציה $f(x) = (x - 3)\sqrt{x}$ . ב. מהי הנגזרת $f'(x)$ , בתחום $x > 0$ ?

$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$f'(x) = \dfrac{3x - 6}{2\sqrt{x}}$
$f'(x) = \dfrac{3x - 3}{2\sqrt{x}}$
$f'(x) = \sqrt{x} + \dfrac{x - 3}{\sqrt{x}}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $f'(x) = \dfrac{3x - 3}{2\sqrt{x}}$

הפתרון:

(uv)' = u'v + uv'

נגזרת של מכפלה: $u = x - 3$ , $v = \sqrt{x}$

f'(x) = 1 \cdot \sqrt{x} + (x - 3) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}

$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

= \frac{2x + x - 3}{2\sqrt{x}} = \frac{3x - 3}{2\sqrt{x}}

מכנה משותף: $\sqrt{x} = \frac{2x}{2\sqrt{x}}$

$f'(x) = \frac{3x - 3}{2\sqrt{x}}$ . המלכודת: לגזור כל גורם לבד ולכפול, $1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$ — נגזרת של מכפלה היא לא מכפלת הנגזרות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

נתונה הפונקציה $f(x) = (x - 3)\sqrt{x}$ . הנגזרת: $f'(x) = \dfrac{3x - 3}{2\sqrt{x}}$ . ג. מצאו את נקודת הקיצון הפנימית של $f$ . (בקצה התחום, $(0, 0)$ , יש נקודת קיצון נוספת.)

נקודת מינימום: ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נקודת מינימום: ( 1 , -2 )

הפתרון:

\begin{aligned}3x - 3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

מאפסים את המונה; המכנה חיובי בתחום

f'(0.25) < 0 ,\quad f'(4) > 0

טבלת סימנים: יורדת ואחר כך עולה — מינימום

\begin{aligned}f(1) &= (1 - 3) \cdot 1 \\ &= -2\end{aligned}

מינימום ב- $(1, -2)$ . ובקצה, $(0, 0)$ , יש מקסימום קצה: הפונקציה יורדת מיד אחריו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

נתונה הפונקציה $f(x) = (x - 3)\sqrt{x}$ . הנגזרת: $f'(x) = \dfrac{3x - 3}{2\sqrt{x}}$ . ד. מהם תחומי העלייה והירידה של $f$ ?

יורדת ב- $0 < x < 1$ , ועולה ב- $x > 1$
יורדת ב- $0 < x < 3$ , ועולה ב- $x > 3$
עולה בכל תחום ההגדרה
עולה ב- $0 < x < 1$ , ויורדת ב- $x > 1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א יורדת ב- $0 < x < 1$ , ועולה ב- $x > 1$

הפתרון:

2\sqrt{x} > 0

סימן הנגזרת הוא סימן המונה $3x - 3$

0 < x < 1 \Rightarrow f'(x) < 0

יורדת

x > 1 \Rightarrow f'(x) > 0

עולה

יורדת ב- $0 < x < 1$ ועולה ב- $x > 1$ . המלכודת: לבלבל בין נקודת אפס של הפונקציה, $x = 3$ , ובין נקודת אפס של הנגזרת, $x = 1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

נתונה הפונקציה $f(x) = (x - 3)\sqrt{x}$ . ה. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה- $x$ .

$x$ ____ , $x_2 =$ ____ (כאשר $x_1 < x_2$ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x_1 =$ 0 , $x_2 =$ 3 (כאשר $x_1 < x_2$ )

הפתרון:

(x - 3)\sqrt{x} = 0

מכפלה שווה לאפס אם ורק אם אחד הגורמים אפס

\begin{aligned}x - 3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3 \\ \quad \sqrt{x} &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

שני הפתרונות בתחום

$(0, 0)$ ו- $(3, 0)$ . בין שתי הנקודות הגרף שלילי, ושם נמצא המינימום $(1, -2)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

נתונה הפונקציה $f(x) = (x - 3)\sqrt{x}$ . הנגזרת: $f'(x) = \dfrac{3x - 3}{2\sqrt{x}}$ . ו. מצאו את משוואת המשיק לגרף של $f$ בנקודה שבה $f$ . (מספר שלילי כתבו עם סימן מינוס.)

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 2.25 $x +$ -7

הפתרון:

\begin{aligned}f(4) &= (4 - 3) \cdot 2 \\ &= 2\end{aligned}

נקודת ההשקה: $(4, 2)$

\begin{aligned}f'(4) &= \frac{12 - 3}{2 \cdot 2} \\ &= \frac{9}{4} \\ &= 2.25\end{aligned}

שיפוע המשיק

\begin{aligned}y - 2 &= 2.25(x - 4) \Rightarrow y \\ &= 2.25x - 7\end{aligned}

ישר דרך נקודה בשיפוע נתון

$y = 2.25x - 7$ . המלכודת: להציב $x = 4$ בפונקציה במקום בנגזרת כדי למצוא את השיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 — בעיית ערך קיצון

תרגיל 22

חקלאי מגדר חלקה מלבנית $ABCD$ הצמודה לקיר ארוך: הצלע $AB$ היא הקיר, ולאורכה אין צורך בגדר. גדר נוספת, $EF$ , מקבילה ל- $AD$ ומחלקת את החלקה לשתי חלקות. אורך הגדר כולה ( $AD$ , $DC$ , $CB$ ו- $EF$ ) הוא $120$ מטר. נסמן ב- $x$ את האורך של כל אחת מהגדרות $x$ , $EF$ ו- $BC$ , במטרים. א. הביעו בעזרת $x$ את אורך הצלע $x$ .

$DC = \frac{120 - 3x}{2}$
$DC = 120 - 3x$
$DC = 60 - x$
$DC = 120 - 2x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $DC = 120 - 3x$

הפתרון:

3x + DC = 120

שלוש גדרות באורך $x$ ועוד הצלע $DC$

DC = 120 - 3x

$DC = 120 - 3x$ . המלכודת: לשכוח את הגדר $EF$ ולקבל $120 - 2x$ . ו- $\frac{120 - 3x}{2}$ שייך למלבן שמגודר משני צדדיו — כאן צד אחד הוא קיר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

חקלאי מגדר חלקה מלבנית $ABCD$ הצמודה לקיר ארוך: הצלע $AB$ היא הקיר, ולאורכה אין צורך בגדר. גדר נוספת, $EF$ , מקבילה ל- $AD$ ומחלקת את החלקה לשתי חלקות. אורך הגדר כולה ( $AD$ , $DC$ , $CB$ ו- $EF$ ) הוא $120$ מטר. נסמן ב- $x$ את האורך של כל אחת מהגדרות $x$ , $EF$ ו- $BC$ , במטרים. $DC = 120 - 3x$ . ב. הביעו בעזרת $x$ את שטח החלקה כולה, $x$ .

$S(x) = 2x + (120 - 3x)$
$S(x) = 3x(120 - x)$
$S(x) = 120x - 3x^2$
$S(x) = 120x - 2x^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $S(x) = 120x - 3x^2$

הפתרון:

S = AD \cdot DC

שטח מלבן: אורך כפול רוחב

\begin{aligned}S(x) &= x(120 - 3x) \\ &= 120x - 3x^2\end{aligned}

0 < x < 40

האורכים חיוביים: $x > 0$ ו- $120 - 3x > 0$

$S(x) = 120x - 3x^2$ , בתחום $0 < x < 40$ . הגדר $EF$ לא משנה את השטח — היא רק נכנסת לחשבון האורך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

חקלאי מגדר חלקה מלבנית $ABCD$ הצמודה לקיר ארוך: הצלע $AB$ היא הקיר, ולאורכה אין צורך בגדר. גדר נוספת, $EF$ , מקבילה ל- $AD$ ומחלקת את החלקה לשתי חלקות. אורך הגדר כולה ( $AD$ , $DC$ , $CB$ ו- $EF$ ) הוא $120$ מטר. נסמן ב- $x$ את האורך של כל אחת מהגדרות $x$ , $EF$ ו- $BC$ , במטרים. שטח החלקה: $S(x) = 120x - 3x^2$ , בתחום $0 < x < 40$ . ג. עבור איזה ערך של $x$ השטח מקסימלי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

S'(x) = 120 - 6x

גוזרים

\begin{aligned}120 - 6x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 20\end{aligned}

מאפסים את הנגזרת

\begin{aligned}S'(10) &= 60 > 0 \\ \quad S'(30) &= -60 < 0\end{aligned}

טבלת סימנים: עולה ואחר כך יורדת — מקסימום

$x = 20$ מטר. תמיד מוודאים שהנקודה בתחום ( $0 < 20 < 40$ ✓) ושהיא אכן מקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

חקלאי מגדר חלקה מלבנית $ABCD$ הצמודה לקיר ארוך: הצלע $AB$ היא הקיר, ולאורכה אין צורך בגדר. גדר נוספת, $EF$ , מקבילה ל- $AD$ ומחלקת את החלקה לשתי חלקות. אורך הגדר כולה ( $AD$ , $DC$ , $CB$ ו- $EF$ ) הוא $120$ מטר. נסמן ב- $x$ את האורך של כל אחת מהגדרות $x$ , $EF$ ו- $BC$ , במטרים. שטח החלקה: $S(x) = 120x - 3x^2$ , והוא מקסימלי כאשר $x = 20$ . ד. מהו השטח המקסימלי, במ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1200

הפתרון:

\begin{aligned}DC &= 120 - 3 \cdot 20 \\ &= 60\end{aligned}

הצלע לאורך הקיר

\begin{aligned}S(20) &= 20 \cdot 60 \\ &= 1200\end{aligned}

$1200$ מ״ר. בדיקה: $120 \cdot 20 - 3 \cdot 400 = 2400 - 1200 = 1200$ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

חקלאי מגדר חלקה מלבנית $ABCD$ הצמודה לקיר ארוך: הצלע $AB$ היא הקיר, ולאורכה אין צורך בגדר. גדר נוספת, $EF$ , מקבילה ל- $AD$ ומחלקת את החלקה לשתי חלקות. אורך הגדר כולה ( $AD$ , $DC$ , $CB$ ו- $EF$ ) הוא $120$ מטר. נסמן ב- $x$ את האורך של כל אחת מהגדרות $x$ , $EF$ ו- $BC$ , במטרים. השטח מקסימלי כאשר $x = 20$ ו- $DC = 60$ . הגדר $EF$ עומדת באמצע $DC$ . ה. הוכיחו או הפריכו: בשטח המקסימלי, כל אחת משתי החלקות הקטנות היא ריבוע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\frac{60}{2} = 30

כל חלקה קטנה: רוחב $30$ לאורך הקיר

20 \neq 30

והצלע האחרת $x = 20$

לא נכון: כל חלקה היא מלבן $20 \times 30$ מטר. האינטואיציה «הכי טוב זה ריבוע» נכונה למלבן שמגודר מכל הצדדים, לא כשיש קיר וגדר פנימית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת