מבחן סוף שנה — חזרה 2

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבחן סוף שנה — חזרה 2. 5 שאלות עם סעיפים, 26 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. שאלה אחת לכל נושא: הסתברות (טבלה דו-ממדית והסתברות מותנית), סטטיסטיקה, גאומטריה אנליטית משולבת, חקירת פולינום, ובעיית ערך קיצון.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בגאומטריה אנליטית כתבו את התכונה שאתם משתמשים בה (אלכסונים מאונכים, חוצים זה את זה), ובחקירה בנו טבלת סימנים לפני שקובעים סוג קיצון.

תרגילים

שאלה 1 — הסתברות

תרגיל 1

בבית ספר למוזיקה כל תלמיד לומד לנגן על כלי אחד בלבד: פסנתר או גיטרה. $40\%$ מהתלמידים לומדים פסנתר. $\frac{1}{3}$ מתלמידי הגיטרה מתאמנים בבית כל יום. ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי לומד פסנתר ומתאמן כל יום גדולה פי $3$ מההסתברות שהוא לומד פסנתר ואינו מתאמן כל יום. נסמן: $P$ — לומד פסנתר, $G$ — לומד גיטרה, $D$ — מתאמן כל יום. א. מה ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי לומד פסנתר ומתאמן כל יום?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3

הפתרון:

\begin{aligned}P(P \cap \overline{D}) &= t \\ \quad P(P \cap D) &= 3t\end{aligned}

נסמן את ההסתברות הקטנה ב- $t$

\begin{aligned}3t + t &= 0.4 \Rightarrow t \\ &= 0.1\end{aligned}

שני התאים יחד הם כל תלמידי הפסנתר

\begin{aligned}P(P \cap D) &= 3 \cdot 0.1 \\ &= 0.3\end{aligned}

$0.3$ . המלכודת: להבין «פי $3$ » כאילו $3$ מכלל התלמידים מתאמנים — היחס הוא רק בתוך שורת הפסנתר, שסכומה $0.4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בבית ספר למוזיקה כל תלמיד לומד לנגן על כלי אחד בלבד: פסנתר או גיטרה. $40\%$ מהתלמידים לומדים פסנתר. $\frac{1}{3}$ מתלמידי הגיטרה מתאמנים בבית כל יום. ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי לומד פסנתר ומתאמן כל יום גדולה פי $3$ מההסתברות שהוא לומד פסנתר ואינו מתאמן כל יום. נסמן: $P$ — לומד פסנתר, $G$ — לומד גיטרה, $D$ — מתאמן כל יום. מסעיף א: $D$ . ב. מה ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי מתאמן כל יום?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

\begin{aligned}P(G) &= 1 - 0.4 \\ &= 0.6\end{aligned}

המשלים של פסנתר

\begin{aligned}P(G \cap D) &= 0.6 \cdot \frac{1}{3} \\ &= 0.2\end{aligned}

$\frac{1}{3}$ מתלמידי הגיטרה: כופלים בהסתברות לגיטרה

\begin{aligned}P(D) &= 0.3 + 0.2 \\ &= 0.5\end{aligned}

מחברים את שני התאים של עמודת $D$

$D$ . המלכודת: לחבר $0.5$ — ה- $\frac{1}{3}$ הוא הסתברות מותנית, ויש לכפול אותו ב- $P(G)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בבית ספר למוזיקה כל תלמיד לומד לנגן על כלי אחד בלבד: פסנתר או גיטרה. $40\%$ מהתלמידים לומדים פסנתר. $\frac{1}{3}$ מתלמידי הגיטרה מתאמנים בבית כל יום. ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי לומד פסנתר ומתאמן כל יום גדולה פי $3$ מההסתברות שהוא לומד פסנתר ואינו מתאמן כל יום. נסמן: $P$ — לומד פסנתר, $G$ — לומד גיטרה, $D$ — מתאמן כל יום. מסעיף א: $P(P \cap D) = 0.3$ ו- $P(G \cap D) = 0.2$ . ג. ידוע שהתלמיד שנבחר מתאמן כל יום. מה ההסתברות שהוא לומד פסנתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.6

הפתרון:

\begin{aligned}P(D) &= 0.3 + 0.2 \\ &= 0.5\end{aligned}

המכנה: הסתברות התנאי

\begin{aligned}P(P \mid D) &= \frac{P(P \cap D)}{P(D)} \\ &= \frac{0.3}{0.5} \\ &= 0.6\end{aligned}

הסתברות מותנית

$0.6$ . שימו לב: רק $0.6$ מכלל התלמידים לומדים פסנתר, אבל בין המתאמנים כל יום הם $60\%$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בבית ספר למוזיקה כל תלמיד לומד לנגן על כלי אחד בלבד: פסנתר או גיטרה. $40\%$ מהתלמידים לומדים פסנתר. $\frac{1}{3}$ מתלמידי הגיטרה מתאמנים בבית כל יום. ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי לומד פסנתר ומתאמן כל יום גדולה פי $3$ מההסתברות שהוא לומד פסנתר ואינו מתאמן כל יום. נסמן: $P$ — לומד פסנתר, $G$ — לומד גיטרה, $D$ — מתאמן כל יום. מסעיף א: $P(P \cap D) = 0.3$ ו- $P(G \cap D) = 0.2$ . ד. הוכיחו או הפריכו: המאורעות «התלמיד לומד פסנתר» ו«התלמיד מתאמן כל יום» בלתי תלויים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}P(D \mid P) &= \frac{0.3}{0.4} \\ &= 0.75\end{aligned}

הסיכוי להתאמן כל יום בקרב תלמידי הפסנתר

P(D) = 0.5

הסיכוי להתאמן כל יום בקרב כלל התלמידים

0.75 \neq 0.5

בלתי תלויים אם ורק אם $P(D \mid P) = P(D)$

לא נכון: המאורעות תלויים. תלמידי פסנתר מתאמנים כל יום יותר מהממוצע. אותה מסקנה מהמכפלה: $0.4 \cdot 0.5 = 0.2 \neq 0.3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בבית ספר למוזיקה כל תלמיד לומד לנגן על כלי אחד בלבד: פסנתר או גיטרה. $40\%$ מהתלמידים לומדים פסנתר. $\frac{1}{3}$ מתלמידי הגיטרה מתאמנים בבית כל יום. ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי לומד פסנתר ומתאמן כל יום גדולה פי $3$ מההסתברות שהוא לומד פסנתר ואינו מתאמן כל יום. נסמן: $P$ — לומד פסנתר, $G$ — לומד גיטרה, $D$ — מתאמן כל יום. בוחרים באקראי שני תלמידים. בבית הספר תלמידים רבים מאוד, ולכן ההסתברויות לא משתנות בין הבחירות. ה. מה ההסתברות שבדיוק אחד מהשניים לומד גיטרה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.48

הפתרון:

\begin{aligned}P(G) &= 0.6 \\ \quad P(P) &= 0.4\end{aligned}

P(G, P) + P(P, G) = 0.6 \cdot 0.4 + 0.4 \cdot 0.6

שני סדרים אפשריים: הגיטריסט ראשון או שני

= 0.24 + 0.24 = 0.48

$0.48$ . המלכודת: לחשב רק סדר אחד ולקבל $0.24$ . «בדיוק אחד» לא אומר מי מהשניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — סטטיסטיקה

תרגיל 6

האיחורים בחודש

מספר איחורים	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
מספר תלמידים	$9$	$12$	$x$	$6$	$3$

בטבלה: מספר הפעמים שכל תלמיד בשכבה איחר לשיעור הראשון במשך חודש. בשכבה $3$ תלמידים. א. מצאו את $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

9 + 12 + x + 6 + 3 = 40

סכום השכיחויות הוא מספר התלמידים

\begin{aligned}30 + x &= 40 \Rightarrow x \\ &= 10\end{aligned}

$x = 10$ : עשרה תלמידים איחרו פעמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

האיחורים בחודש

מספר איחורים	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
מספר תלמידים	$9$	$12$	$10$	$6$	$3$

בטבלה: מספר הפעמים שכל תלמיד בשכבה איחר לשיעור הראשון במשך חודש. בשכבה $3$ תלמידים. ב. חשבו את מספר האיחורים הממוצע לתלמיד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.55

הפתרון:

0 \cdot 9 + 1 \cdot 12 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 3 = 62

סכום כל האיחורים

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{62}{40} \\ &= 1.55\end{aligned}

$1.55$ איחורים. המלכודת: להשמיט את $9$ התלמידים שלא איחרו — הם תורמים $0$ לסכום, אבל הם נספרים במכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

האיחורים בחודש

מספר איחורים	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
מספר תלמידים	$9$	$12$	$10$	$6$	$3$

בטבלה: מספר הפעמים שכל תלמיד בשכבה איחר לשיעור הראשון במשך חודש. בשכבה $3$ תלמידים. ג. מצאו את החציון ואת השכיח.

החציון ____ , והשכיח ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: החציון 1 , והשכיח 1

הפתרון:

\begin{aligned}n &= 40 \Rightarrow Me \\ &= \frac{x_{(20)} + x_{(21)}}{2}\end{aligned}

מספר זוגי של נתונים

9 ,\ 21 ,\ 31 ,\ 37 ,\ 40

שכיחויות מצטברות: הנתונים $10$ עד $21$ שווים $1$

\begin{aligned}Me &= \frac{1 + 1}{2} \\ &= 1 \\ \quad Mo &= 1\end{aligned}

השכיח: הערך עם השכיחות הגבוהה ביותר, $12$

החציון $12$ והשכיח $1$ . המלכודת: לענות שהחציון $2$ , הערך האמצעי בשורה העליונה של הטבלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

האיחורים בחודש

מספר איחורים	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
מספר תלמידים	$9$	$12$	$10$	$6$	$3$

בטבלה: מספר הפעמים שכל תלמיד בשכבה איחר לשיעור הראשון במשך חודש. בשכבה $3$ תלמידים. הממוצע $1.55$ איחורים. ד. כמה אחוזים מהתלמידים איחרו יותר פעמים מהממוצע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 47.5

הפתרון:

x > 1.55 \Rightarrow x \in \{2, 3, 4\}

הערכים שגדולים מהממוצע

10 + 6 + 3 = 19

מספר התלמידים

\frac{19}{40} \cdot 100 = 47.5

$47.5\%$ — $19$ תלמידים מתוך $19$ . המלכודת: לספור גם את מי שאיחר פעם אחת. $1 < 1.55$ , ולכן הם מתחת לממוצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

האיחורים בחודש

מספר איחורים	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
מספר תלמידים	$9$	$12$	$10$	$6$	$3$

בטבלה: מספר הפעמים שכל תלמיד בשכבה איחר לשיעור הראשון במשך חודש. בשכבה $3$ תלמידים. הממוצע $40$ , החציון $1.55$ והשכיח $1$ . לשכבה הצטרף תלמיד חדש, שלא איחר אף פעם בחודש הזה. ה. מה נכון?

הממוצע ירד, והחציון והשכיח לא השתנו
הממוצע, החציון והשכיח לא השתנו
הממוצע ירד, והשכיח עכשיו $0$
הממוצע והחציון ירדו, והשכיח לא השתנה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א הממוצע ירד, והחציון והשכיח לא השתנו

הפתרון:

\bar{x}' = \frac{62 + 0}{41} \approx 1.51 < 1.55

הסכום לא השתנה, ומספר התלמידים גדל

\begin{aligned}n &= 41 \Rightarrow Me \\ &= x_{(21)} \\ &= 1\end{aligned}

שכיחויות מצטברות: $10 ,\ 22$ — הנתון ה- $21$ עדיין $1$

\begin{aligned}f(0) &= 10 < f(1) \\ &= 12 \Rightarrow Mo \\ &= 1\end{aligned}

השכיח לא השתנה

הממוצע ירד, החציון והשכיח נשארו $1$ . נתון חדש שקטן מהממוצע מוריד אותו תמיד; החציון והשכיח זזים רק אם הנתון החדש «מזיז את האמצע» או את העמודה הגבוהה ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — גאומטריה אנליטית משולבת

תרגיל 11

$ABCD$ הוא מעוין. נתון: $A(-1, 1)$ ו- $C(11, 5)$ . הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $B$ . $x$ היא נקודת המפגש של האלכסונים. א. מצאו את שיעורי הנקודה $M$ .

$M$ ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $M =$ ( 5 , 3 )

הפתרון:

\begin{aligned}M &= \left(\frac{-1 + 11}{2}, \frac{1 + 5}{2}\right) \\ &= (5, 3)\end{aligned}

במעוין, כמו בכל מקבילית, האלכסונים חוצים זה את זה: $M$ אמצע $AC$

$M(5, 3)$ . אין צורך לדעת את $B$ ואת $B$ : אמצע האלכסון האחד הוא גם אמצע השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

$ABCD$ הוא מעוין. נתון: $A(-1, 1)$ ו- $C(11, 5)$ . הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $B$ . $x$ היא נקודת המפגש של האלכסונים. $M$ . ב. מצאו את משוואת האלכסון $BD$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -3 $x +$ 18

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{5 - 1}{11 - (-1)} \\ &= \frac{4}{12} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע האלכסון $AC$

m_{BD} = -3

במעוין האלכסונים מאונכים: שיפוע נגדי והפכי

\begin{aligned}y - 3 &= -3(x - 5) \Rightarrow y \\ &= -3x + 18\end{aligned}

$BD$ עובר דרך $M$

$M$ . שתי תכונות של המעוין עבדו כאן: האלכסונים מאונכים (השיפוע) וחוצים זה את זה (הנקודה $M$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

$ABCD$ הוא מעוין. נתון: $A(-1, 1)$ ו- $C(11, 5)$ . הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $B$ . $x$ היא נקודת המפגש של האלכסונים. $M$ , ומשוואת $BD$ : $y = -3x + 18$ . ג. מצאו את שיעורי הקודקודים $B$ ו- $B$ .

$D$ ( ____ , ____ ) , $D =$ ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $B =$ ( 6 , 0 ) , $D =$ ( 4 , 6 )

הפתרון:

\begin{aligned}0 &= -3x + 18 \Rightarrow x \\ &= 6\end{aligned}

$B$ על ציר ה- $B$ : מציבים $x$

\begin{aligned}D &= (2 \cdot 5 - 6 ,\ 2 \cdot 3 - 0) \\ &= (4, 6)\end{aligned}

$M$ אמצע $BD$

-3 \cdot 4 + 18 = 6

בדיקה: $D$ על הישר $BD$ ✓

$B(6, 0)$ ו- $D(4, 6)$ . בדיקה: $AB = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{50}$ ו- $AD = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50}$ ✓ — הצלעות שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

$ABCD$ הוא מעוין. נתון: $A(-1, 1)$ ו- $C(11, 5)$ . הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $B$ . $x$ היא נקודת המפגש של האלכסונים. הקודקודים: $M$ , $B(6, 0)$ , $C(11, 5)$ , $D(4, 6)$ . ד. חשבו את שטח המעוין.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{12^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{160}\end{aligned}

אורך אלכסון בנוסחת המרחק

\begin{aligned}BD &= \sqrt{2^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{40}\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot BD}{2} \\ &= \frac{\sqrt{160 \cdot 40}}{2} \\ &= \frac{80}{2} \\ &= 40\end{aligned}

שטח מעוין: מחצית מכפלת האלכסונים

השטח $40$ . המלכודת: לכפול צלע בצלע, $40$ — זה שטח של ריבוע, והמעוין הזה אינו ריבוע (האלכסונים שלו לא שווים).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

$ABCD$ הוא מעוין. נתון: $A(-1, 1)$ ו- $C(11, 5)$ . הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $B$ . $x$ היא נקודת המפגש של האלכסונים. נתון: $MA = \sqrt{40}$ ו- $MB = \sqrt{10}$ . ה. חשבו את הזווית $\angle DAB$ של המעוין. עגלו לעשירית מעלה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 53.130102354155994

הפתרון:

\angle AMB = 90^\circ

האלכסונים מאונכים: המשולש $AMB$ ישר זווית

\begin{aligned}\tan \angle MAB &= \frac{MB}{MA} \\ &= \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{40}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

ניצב מול חלקי ניצב ליד

\angle MAB \approx 26.57^\circ \Rightarrow \angle DAB = 2 \cdot 26.57^\circ \approx 53.1^\circ

במעוין האלכסון חוצה את הזווית

$\angle DAB \approx 53.1^\circ$ . המלכודת: לעצור ב- $26.6^\circ$ — זו רק מחצית הזווית. ( $\angle ABC = 180^\circ - 53.1^\circ = 126.9^\circ$ .)

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — חקירת פונקציה

תרגיל 16

נתונה הפונקציה $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ . א. מהי הנגזרת $f'(x)$ ?

$f'(x) = x^2 - 6x - 9$
$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$
$f'(x) = 3x^2 - 3x - 9$
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$

הפתרון:

(x^n)' = nx^{n-1}

גוזרים כל איבר בנפרד

3x^2 - 6x - 9 + 0

הנגזרת של קבוע היא $0$

$0$ . המלכודת: להשאיר את ה- $+5$ — הקבוע נעלם בגזירה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

נתונה הפונקציה $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ . הנגזרת: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$ . ב. מצאו את נקודות הקיצון של $f$ . (מספר שלילי כתבו עם סימן מינוס.)

מקסימום: ( ____ , ____ ) , מינימום: ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקסימום: ( -1 , 10 ) , מינימום: ( 3 , -22 )

הפתרון:

\begin{aligned}3x^2 - 6x - 9 &= 3(x^2 - 2x - 3) \\ &= 3(x - 3)(x + 1) \\ &= 0\end{aligned}

מאפסים את הנגזרת

\begin{aligned}x &= -1 \\ \quad x &= 3\end{aligned}

\begin{aligned}f'(-2) &= 15 > 0 \\ \ f'(0) &= -9 < 0 \\ \ f'(4) &= 15 > 0\end{aligned}

טבלת סימנים: עולה, יורדת, עולה

\begin{aligned}f(-1) &= -1 - 3 + 9 + 5 \\ &= 10 \\ \quad f(3) &= 27 - 27 - 27 + 5 \\ &= -22\end{aligned}

מקסימום ב- $(-1, 10)$ ומינימום ב- $(3, -22)$ . המלכודת: לקבוע את הסוג לפי הסדר — הנקודה השמאלית אינה תמיד מקסימום; רק טבלת הסימנים (או סימן המקדם של $x^3$ ) אומרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

נתונה הפונקציה $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ . נקודות הקיצון: מקסימום ב- $(-1, 10)$ ומינימום ב- $(3, -22)$ . ג. מהם תחומי העלייה והירידה של $f$ ?

עולה ב- $x < -1$ וב- $x > 3$ , ויורדת ב- $-1 < x < 3$
עולה ב- $x < 3$ , ויורדת ב- $x > 3$
יורדת ב- $x < -1$ וב- $x > 3$ , ועולה ב- $-1 < x < 3$
עולה ב- $x > -1$ , ויורדת ב- $x < -1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א עולה ב- $x < -1$ וב- $x > 3$ , ויורדת ב- $-1 < x < 3$

הפתרון:

f'(x) = 3(x - 3)(x + 1)

פרבולה «מחייכת» שאפסיה $-1$ ו- $3$

f'(x) > 0 \iff x < -1 \ \lor \ x > 3

הנגזרת חיובית מחוץ לשורשים

עולה ב- $x < -1$ וב- $x > 3$ , יורדת ב- $-1 < x < 3$ . בין מקסימום למינימום הפונקציה תמיד יורדת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

נתונה הפונקציה $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ . הנגזרת: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$ . ד. מצאו את משוואת המשיק לגרף של $f$ בנקודה שבה $f$ . (מספר שלילי כתבו עם סימן מינוס.)

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -9 $x +$ 5

הפתרון:

f(0) = 5

נקודת ההשקה $(0, 5)$

f'(0) = -9

שיפוע המשיק

y = -9x + 5

הנקודה על ציר ה- $y$ , ולכן $y$

$y = -9x + 5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

נתונה הפונקציה $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ . הנגזרת: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$ . המשיק בנקודה שבה $x = 0$ הוא $y = -9x + 5$ . בנקודה נוספת על הגרף המשיק מקביל למשיק הזה. ה. מצאו את שיעור ה- $x$ של הנקודה, ואת משוואת המשיק בה.

$x$ ____ , והמשיק: $y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x =$ 2 , והמשיק: $y =$ -9 $x +$ 1

הפתרון:

3x^2 - 6x - 9 = -9

ישרים מקבילים: אותו שיפוע

\begin{aligned}3x(x - 2) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \ \lor \ x \\ &= 2\end{aligned}

$x = 0$ היא הנקודה שכבר ידועה

\begin{aligned}f(2) &= 8 - 12 - 18 + 5 \\ &= -17\end{aligned}

נקודת ההשקה $(2, -17)$

\begin{aligned}y + 17 &= -9(x - 2) \Rightarrow y \\ &= -9x + 1\end{aligned}

$x = 2$ , והמשיק $y = -9x + 1$ . המלכודת: לפתור $f(x) = -9$ — השיפוע הוא ערך של הנגזרת, לא של הפונקציה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

נתונה הפונקציה $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ . נקודות הקיצון: מקסימום ב- $(-1, 10)$ ומינימום ב- $(3, -22)$ . ו. כמה פתרונות יש למשוואה $f(x) = 0$ ?

$3$
$0$
$2$
$1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $3$

הפתרון:

x \to -\infty \Rightarrow f(x) \to -\infty

משמאל הגרף עולה מלמטה עד המקסימום

f(-1) = 10 > 0

חיתוך ראשון עם ציר ה- $x$ , משמאל ל- $x$

f(3) = -22 < 0

חיתוך שני, בין $-1$ ל- $3$

x \to \infty \Rightarrow f(x) \to \infty

חיתוך שלישי, מימין ל- $3$

$3$ פתרונות. המקסימום מעל ציר ה- $x$ והמינימום מתחתיו: הגרף חוצה את הציר בכל אחד משלושת תחומי המונוטוניות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 — בעיית ערך קיצון

תרגיל 22

במשולש ישר הזווית $ABC$ ( $\angle B = 90^\circ$ ) הניצבים הם $AB = 6$ ס״מ ו- $BC = 8$ ס״מ. חוסמים במשולש מלבן $GBEF$ : הקודקוד $E$ על $E$ , הקודקוד $G$ על $G$ , והקודקוד $F$ על היתר $F$ . נסמן $BE = x$ ס״מ ( $0 < x < 8$ ). א. הביעו בעזרת $x$ את אורך הצלע $x$ .

$EF = 8 - \frac{4}{3}x$ , כי $\triangle FEC \sim \triangle ABC$ ו- $\frac{EF}{BC} = \frac{EC}{AB}$
$EF = 6 - x$ , כי $AG = BE$
$EF = \frac{3}{4}x$ , כי $\frac{EF}{BE} = \frac{AB}{BC}$
$EF = 6 - \frac{3}{4}x$ , כי $\triangle FEC \sim \triangle ABC$ ו- $\frac{EF}{AB} = \frac{EC}{BC}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $EF = 6 - \frac{3}{4}x$ , כי $\triangle FEC \sim \triangle ABC$ ו- $\frac{EF}{AB} = \frac{EC}{BC}$

הפתרון:

EF \parallel AB

שניהם מאונכים ל- $BC$

\triangle FEC \sim \triangle ABC

ז.ז — הזווית $C$ משותפת, ו- $\angle FEC = \angle ABC = 90^\circ$

\begin{aligned}\frac{EF}{6} &= \frac{8 - x}{8} \Rightarrow EF \\ &= 6 - \frac{3}{4}x\end{aligned}

צלעות מתאימות: $EF \leftrightarrow AB$ , $EC \leftrightarrow BC$

$EF = 6 - \frac{3}{4}x$ . בדיקה: ב- $x = 0$ המלבן «נמחץ» אל $AB$ ו- $EF = 6$ ; ב- $x = 8$ הוא נעלם, $EF = 0$ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

במשולש ישר הזווית $ABC$ ( $\angle B = 90^\circ$ ) הניצבים הם $AB = 6$ ס״מ ו- $BC = 8$ ס״מ. חוסמים במשולש מלבן $GBEF$ : הקודקוד $E$ על $E$ , הקודקוד $G$ על $G$ , והקודקוד $F$ על היתר $F$ . נסמן $BE = x$ ס״מ ( $0 < x < 8$ ). $EF = 6 - \frac{3}{4}x$ . ב. הביעו את שטח המלבן, $S(x)$ .

$S(x) = 2x + 2\left(6 - \frac{3}{4}x\right)$
$S(x) = 6x - \frac{3}{4}x^2$
$S(x) = 6 - \frac{3}{4}x^2$
$S(x) = 6x - \frac{4}{3}x^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $S(x) = 6x - \frac{3}{4}x^2$

הפתרון:

S = BE \cdot EF

שטח מלבן

\begin{aligned}S(x) &= x\left(6 - \frac{3}{4}x\right) \\ &= 6x - \frac{3}{4}x^2\end{aligned}

$S(x) = 6x - \frac{3}{4}x^2$ . האפשרות $2x + 2(\ldots)$ היא ההיקף, לא השטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

במשולש ישר הזווית $ABC$ ( $\angle B = 90^\circ$ ) הניצבים הם $AB = 6$ ס״מ ו- $BC = 8$ ס״מ. חוסמים במשולש מלבן $GBEF$ : הקודקוד $E$ על $E$ , הקודקוד $G$ על $G$ , והקודקוד $F$ על היתר $F$ . נסמן $BE = x$ ס״מ ( $0 < x < 8$ ). שטח המלבן: $S(x) = 6x - \frac{3}{4}x^2$ . ג. עבור איזה ערך של $x$ שטח המלבן מקסימלי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

S'(x) = 6 - \frac{3}{2}x

גוזרים

\begin{aligned}6 - 1.5x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}S'(2) &= 3 > 0 \\ \quad S'(6) &= -3 < 0\end{aligned}

טבלת סימנים: מקסימום

$x = 4$ ס״מ: $E$ היא אמצע $E$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

במשולש ישר הזווית $ABC$ ( $\angle B = 90^\circ$ ) הניצבים הם $AB = 6$ ס״מ ו- $BC = 8$ ס״מ. חוסמים במשולש מלבן $GBEF$ : הקודקוד $E$ על $E$ , הקודקוד $G$ על $G$ , והקודקוד $F$ על היתר $F$ . נסמן $BE = x$ ס״מ ( $0 < x < 8$ ). שטח המלבן: $S(x) = 6x - \frac{3}{4}x^2$ , והוא מקסימלי כאשר $x = 4$ . ד. מהו השטח המקסימלי, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}EF &= 6 - \frac{3}{4} \cdot 4 \\ &= 3\end{aligned}

\begin{aligned}S(4) &= 4 \cdot 3 \\ &= 12\end{aligned}

$12$ סמ״ר: מלבן $12$ , שקודקודיו באמצעי הניצבים ובאמצע היתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

במשולש ישר הזווית $ABC$ ( $\angle B = 90^\circ$ ) הניצבים הם $AB = 6$ ס״מ ו- $BC = 8$ ס״מ. חוסמים במשולש מלבן $GBEF$ : הקודקוד $E$ על $E$ , הקודקוד $G$ על $G$ , והקודקוד $F$ על היתר $F$ . נסמן $BE = x$ ס״מ ( $0 < x < 8$ ). השטח המקסימלי של המלבן הוא $12$ סמ״ר. ה. הוכיחו או הפריכו: השטח המקסימלי של המלבן שווה למחצית שטח המשולש $ABC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}S_{\triangle ABC} &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}

במשולש ישר זווית: מחצית מכפלת הניצבים

\frac{12}{24} = \frac{1}{2}

נכון. וזה לא מקרי: בכל משולש ישר זווית, המלבן המקסימלי מהסוג הזה עובר דרך אמצעי הצלעות, ושטחו מחצית שטח המשולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת