מבחן סוף שנה — חזרה 3

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבחן סוף שנה — חזרה 3. 5 שאלות עם סעיפים, 26 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. שאלה אחת לכל נושא: הסתברות (טבלה דו-ממדית, «ו/או» והסתברות מותנית), סטטיסטיקה, גאומטריה אנליטית משולבת, חקירת פונקציה עם שורש, ובעיית ערך קיצון מתחת לפרבולה.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בחקירה של פונקציית שורש אל תשכחו את קצה התחום: גם הוא יכול להיות נקודת קיצון. ובבעיית קיצון בדקו שהפתרון בתוך התחום של המשתנה.

תרגילים

שאלה 1 — הסתברות

תרגיל 1

במוזיאון גדול $60\%$ מהמבקרים קנו את הכרטיס באתר האינטרנט, והשאר קנו בקופה. $\frac{1}{4}$ מהמבקרים שקנו באינטרנט הצטרפו לסיור מודרך. ההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה בקופה, גדולה פי $2.5$ מההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה באינטרנט. בוחרים באקראי מבקר אחד. נסמן: $I$ — קנה באינטרנט, $K$ — קנה בקופה, $T$ — הצטרף לסיור. א. מה ההסתברות שהמבקר קנה בקופה והצטרף לסיור?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

\begin{aligned}P(T \mid I) &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

« $\frac{1}{4}$ מהמבקרים שקנו באינטרנט» — הסתברות מותנית

\begin{aligned}P(T \mid K) &= 2.5 \cdot 0.25 \\ &= 0.625\end{aligned}

פי $2.5$

\begin{aligned}P(K \cap T) &= P(K) \cdot P(T \mid K) \\ &= 0.4 \cdot 0.625 \\ &= 0.25\end{aligned}

כלל הכפל

$0.25$ . המלכודת: לענות $0.25$ — זו ההסתברות להצטרף לסיור מתוך קוני הקופה, לא מתוך כל המבקרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במוזיאון גדול $60\%$ מהמבקרים קנו את הכרטיס באתר האינטרנט, והשאר קנו בקופה. $\frac{1}{4}$ מהמבקרים שקנו באינטרנט הצטרפו לסיור מודרך. ההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה בקופה, גדולה פי $2.5$ מההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה באינטרנט. בוחרים באקראי מבקר אחד. נסמן: $I$ — קנה באינטרנט, $K$ — קנה בקופה, $T$ — הצטרף לסיור. מסעיף א: $T$ . ב. מה ההסתברות שהמבקר קנה באינטרנט ו/או הצטרף לסיור?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.85

הפתרון:

\begin{aligned}P(K \cap \overline{T}) &= 0.4 - 0.25 \\ &= 0.15\end{aligned}

קנה בקופה ולא הצטרף: שאר שורת הקופה

P(I \cup T) = 1 - P(K \cap \overline{T})

המשלים של «אינטרנט ו/או סיור» הוא «קופה ובלי סיור»

= 1 - 0.15 = 0.85

בדיקה: $P(I) + P(K \cap T) = 0.6 + 0.25 = 0.85$ ✓

$0.85$ . המלכודת: לחבר $0.85$ — כך סופרים פעמיים את מי שקנה באינטרנט וגם הצטרף, $0.15$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במוזיאון גדול $60\%$ מהמבקרים קנו את הכרטיס באתר האינטרנט, והשאר קנו בקופה. $\frac{1}{4}$ מהמבקרים שקנו באינטרנט הצטרפו לסיור מודרך. ההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה בקופה, גדולה פי $2.5$ מההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה באינטרנט. בוחרים באקראי מבקר אחד. נסמן: $I$ — קנה באינטרנט, $K$ — קנה בקופה, $T$ — הצטרף לסיור. מהסעיפים הקודמים: $T$ , $P(I \cap \overline{T}) = 0.45$ , $P(K \cap T) = 0.25$ , $P(K \cap \overline{T}) = 0.15$ . ג. ידוע שהמבקר הצטרף לסיור. מה ההסתברות שקנה את הכרטיס באינטרנט?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.375

הפתרון:

\begin{aligned}P(T) &= 0.15 + 0.25 \\ &= 0.4\end{aligned}

המכנה: הסתברות התנאי

\begin{aligned}P(I \mid T) &= \frac{0.15}{0.4} \\ &= \frac{3}{8} \\ &= 0.375\end{aligned}

$0.375$ . אף ש- $0.375$ מהמבקרים קנו באינטרנט, בין המצטרפים לסיור הם מיעוט: $37.5\%$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במוזיאון גדול $60\%$ מהמבקרים קנו את הכרטיס באתר האינטרנט, והשאר קנו בקופה. $\frac{1}{4}$ מהמבקרים שקנו באינטרנט הצטרפו לסיור מודרך. ההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה בקופה, גדולה פי $2.5$ מההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה באינטרנט. בוחרים באקראי מבקר אחד. נסמן: $I$ — קנה באינטרנט, $K$ — קנה בקופה, $T$ — הצטרף לסיור. מהסעיפים הקודמים: $T$ , $P(I \cap \overline{T}) = 0.45$ , $P(K \cap T) = 0.25$ , $P(K \cap \overline{T}) = 0.15$ . ד. ידוע שהמבקר לא הצטרף לסיור. מה ההסתברות שקנה בקופה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

\begin{aligned}P(\overline{T}) &= 0.45 + 0.15 \\ &= 0.6\end{aligned}

עמודת «לא הצטרף»

\begin{aligned}P(K \mid \overline{T}) &= \frac{0.15}{0.6} \\ &= 0.25\end{aligned}

$0.25$ . המלכודת: לחלק ב- $0.25$ ולקבל $0.375$ — זו התשובה לשאלה ההפוכה, «ידוע שקנה בקופה, מה הסיכוי שלא הצטרף».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במוזיאון גדול $60\%$ מהמבקרים קנו את הכרטיס באתר האינטרנט, והשאר קנו בקופה. $\frac{1}{4}$ מהמבקרים שקנו באינטרנט הצטרפו לסיור מודרך. ההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה בקופה, גדולה פי $2.5$ מההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה באינטרנט. בוחרים באקראי מבקר אחד. נסמן: $I$ — קנה באינטרנט, $K$ — קנה בקופה, $T$ — הצטרף לסיור. מהסעיפים הקודמים: $T$ , $P(I \cap \overline{T}) = 0.45$ , $P(K \cap T) = 0.25$ , $P(K \cap \overline{T}) = 0.15$ . ביום מסוים ביקרו במוזיאון $2400$ איש. ה. כמה מהם, לפי ההסתברויות האלה, קנו בקופה ולא הצטרפו לסיור?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 360

הפתרון:

P(K \cap \overline{T}) = 0.15

0.15 \cdot 2400 = 360

מספר צפוי: הסתברות כפול גודל האוכלוסייה

$360$ מבקרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — סטטיסטיקה

תרגיל 6

בדיאגרמה: מספר שעות ההתנדבות בשבוע של כל אחד מחברי קבוצת נוער. א. כמה חברים בקבוצה, ומהו השכיח?

בקבוצה ____ חברים, והשכיח הוא ____ שעות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בקבוצה 20 חברים, והשכיח הוא 4 שעות.

הפתרון:

2 + 3 + 5 + 6 + 3 + 1 = 20

סכום גובהי העמודות

Mo = 4

העמודה הגבוהה ביותר, $6$ חברים

$6$ חברים, השכיח $4$ שעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בדיאגרמה: מספר שעות ההתנדבות בשבוע של כל אחד מחברי קבוצת נוער. בקבוצה $20$ חברים. ב. חשבו את מספר שעות ההתנדבות הממוצע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.4

הפתרון:

1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 1 = 68

סכום כל השעות

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{68}{20} \\ &= 3.4\end{aligned}

$3.4$ שעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בדיאגרמה: מספר שעות ההתנדבות בשבוע של כל אחד מחברי קבוצת נוער. בקבוצה $20$ חברים. ג. מצאו את החציון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.5

הפתרון:

Me = \frac{x_{(10)} + x_{(11)}}{2}

מספר זוגי של נתונים

2 ,\ 5 ,\ 10 ,\ 16

שכיחויות מצטברות: הנתון ה- $10$ הוא $10$ , והנתון ה- $3$ הוא כבר $4$

\begin{aligned}Me &= \frac{3 + 4}{2} \\ &= 3.5\end{aligned}

החציון $3.5$ — ערך שאף חבר לא מתנדב בדיוק. זה קורה כשהנתון ה- $10$ וה- $11$ שונים. המלכודת: לעצור בנתון ה- $10$ ולענות $10$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בדיאגרמה: מספר שעות ההתנדבות בשבוע של כל אחד מחברי קבוצת נוער. בקבוצה $20$ חברים, והממוצע $3.4$ שעות. לקבוצה הצטרפו שני חברים חדשים, ואחרי הצטרפותם הממוצע הוא $3.5$ שעות. ד. כמה שעות בשבוע מתנדבים שני החדשים יחד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

20 \cdot 3.4 = 68

הסכום לפני ההצטרפות

22 \cdot 3.5 = 77

הסכום אחרי ההצטרפות: $22$ חברים

77 - 68 = 9

$9$ שעות יחד. המלכודת: «הממוצע עלה ב- $9$ , אז הם תרמו $0.1$ » — עובדים תמיד עם סכומים, לא עם הפרשי ממוצעים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בדיאגרמה: מספר שעות ההתנדבות בשבוע של כל אחד מחברי קבוצת נוער. בקבוצה $20$ חברים, והחציון $20$ . הצטרפו שני חברים חדשים: אחד מתנדב $3.5$ שעות בשבוע, והשני $4$ . ה. מהו החציון החדש?

$3$
$4.5$
$4$
$3.5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $4$

הפתרון:

\begin{aligned}n &= 22 \Rightarrow Me \\ &= \frac{x_{(11)} + x_{(12)}}{2}\end{aligned}

2 ,\ 5 ,\ 10 ,\ 17

שכיחויות מצטברות חדשות: לערך $4$ יש עכשיו $7$ חברים

\begin{aligned}Me &= \frac{4 + 4}{2} \\ &= 4\end{aligned}

הנתון ה- $11$ וה- $12$ שניהם $4$

החציון עלה ל- $4$ . שני הנתונים החדשים גדולים מהחציון הקודם, ולכן «האמצע» זז ימינה: עכשיו $4$ חברים מתחת לערך $10$ , ו- $4$ מעליו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — גאומטריה אנליטית משולבת

תרגיל 11

במערכת צירים נתון המשולש $OAB$ : $O(0, 0)$ ראשית הצירים, $A(10, 0)$ ו- $B(2, 8)$ . הישר $y = 6$ חותך את הצלע $OB$ בנקודה $D$ ואת הצלע $AB$ בנקודה $E$ . א. מצאו את משוואת הישר $AB$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -1 $x +$ 10

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{8 - 0}{2 - 10} \\ &= -1\end{aligned}

שיפוע דרך שתי נקודות

\begin{aligned}y - 0 &= -1(x - 10) \Rightarrow y \\ &= -x + 10\end{aligned}

ישר דרך $A$

-2 + 10 = 8

בדיקה עם $B$ ✓

$y = -x + 10$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

במערכת צירים נתון המשולש $OAB$ : $O(0, 0)$ ראשית הצירים, $A(10, 0)$ ו- $B(2, 8)$ . הישר $y = 6$ חותך את הצלע $OB$ בנקודה $D$ ואת הצלע $AB$ בנקודה $E$ . משוואת $AB$ : $y = -x + 10$ . ב. מצאו את שיעור ה- $x$ של $D$ ושל $D$ .

$E$ ( ____ , $6$ ) , $E =$ ( ____ , $6$ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D =$ ( 1.5 , $6$ ) , $E =$ ( 4 , $6$ )

הפתרון:

\begin{aligned}m_{OB} &= \frac{8}{2} \\ &= 4 \Rightarrow OB: \ y \\ &= 4x\end{aligned}

ישר דרך ראשית הצירים

\begin{aligned}4x &= 6 \Rightarrow x \\ &= 1.5\end{aligned}

$D$ : חיתוך $D$ עם $y = 6$

\begin{aligned}-x + 10 &= 6 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

$E$ : חיתוך $E$ עם $y = 6$

$D(1.5, 6)$ ו- $E(4, 6)$ , ולכן $DE = 2.5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

במערכת צירים נתון המשולש $OAB$ : $O(0, 0)$ ראשית הצירים, $A(10, 0)$ ו- $B(2, 8)$ . הישר $y = 6$ חותך את הצלע $OB$ בנקודה $D$ ואת הצלע $AB$ בנקודה $E$ . נתון: $E$ ו- $E(4, 6)$ . ג. מדוע $\triangle BDE \sim \triangle BOA$ ?

צ.צ.צ — $DE = \frac{1}{2} OA$ , ולכן כל הצלעות ביחס $\frac{1}{2}$
ז.ז — $\angle BDE = \angle BAO$ כזוויות מתחלפות, והזווית $B$ משותפת
ז.ז — $DE \parallel OA$ (שניהם אופקיים), ולכן $\angle BDE = \angle BOA$ כזוויות מתאימות; והזווית $B$ משותפת
המשולשים חופפים, כי הזווית $B$ משותפת

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג ז.ז — $DE \parallel OA$ (שניהם אופקיים), ולכן $\angle BDE = \angle BOA$ כזוויות מתאימות; והזווית $B$ משותפת

הפתרון:

DE \parallel OA

$DE$ על הישר $y = 6$ , ו- $OA$ על ציר ה- $x$

\begin{aligned}\angle BDE &= \angle BOA \\ \quad \angle BED &= \angle BAO\end{aligned}

זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים

\triangle BDE \sim \triangle BOA

ז.ז

ז.ז. ההתאמה: $D \leftrightarrow O$ , $E \leftrightarrow A$ . המלכודת: $DE$ אינו קטע אמצעים — $DE = 2.5$ ו- $OA = 10$ , יחס $\frac{1}{4}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

במערכת צירים נתון המשולש $OAB$ : $O(0, 0)$ ראשית הצירים, $A(10, 0)$ ו- $B(2, 8)$ . הישר $y = 6$ חותך את הצלע $OB$ בנקודה $D$ ואת הצלע $AB$ בנקודה $E$ . נתון: $\triangle BDE \sim \triangle BOA$ , $D(1.5, 6)$ ו- $E(4, 6)$ . ד. חשבו את שטח הטרפז $ODEA$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 37.5

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{DE}{OA} \\ &= \frac{2.5}{10} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}S_{\triangle BOA} &= \frac{10 \cdot 8}{2} \\ &= 40\end{aligned}

הגובה מ- $B$ לציר ה- $x$ הוא $8$

\begin{aligned}S_{\triangle BDE} &= 40 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 \\ &= 2.5\end{aligned}

יחס השטחים: $k^2$

\begin{aligned}S_{ODEA} &= 40 - 2.5 \\ &= 37.5\end{aligned}

בדיקה: $\frac{(10 + 2.5) \cdot 6}{2} = 37.5$ ✓

$37.5$ . המלכודת: להכפיל את שטח המשולש ב- $37.5$ ולא ב- $\frac{1}{16}$ — השטחים מתייחסים כריבוע יחס הדמיון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

במערכת צירים נתון המשולש $OAB$ : $O(0, 0)$ ראשית הצירים, $A(10, 0)$ ו- $B(2, 8)$ . הישר $y = 6$ חותך את הצלע $OB$ בנקודה $D$ ואת הצלע $AB$ בנקודה $E$ . ה. חשבו את הזווית $\angle OBA$ . עגלו לעשירית מעלה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 59.03624346792647

הפתרון:

\begin{aligned}\tan \angle BOA &= m_{OB} \\ &= 4 \Rightarrow \angle BOA \approx 75.96^\circ\end{aligned}

שיפוע ישר הוא הטנגנס של זווית הנטייה שלו

\begin{aligned}m_{AB} &= -1 \Rightarrow \angle BAO \\ &= 45^\circ\end{aligned}

זווית הנטייה של $AB$ היא $135^\circ$ , והזווית במשולש משלימה אותה ל- $180^\circ$

\angle OBA = 180^\circ - 75.96^\circ - 45^\circ \approx 59.0^\circ

סכום הזוויות במשולש

$\angle OBA \approx 59.0^\circ$ . המלכודת: לקחת $\tan^{-1}(-1) = -45^\circ$ כזווית במשולש — זווית במשולש חיובית תמיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — חקירת פונקציה

תרגיל 16

נתונה הפונקציה $f(x) = x - 4\sqrt{x - 3}$ . א. מהו תחום ההגדרה של $f$ ?

$x \le 3$
$x \ge 3$
$x \ge 0$
$x > 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x \ge 3$

הפתרון:

x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3

הביטוי שבתוך השורש אי-שלילי

\begin{aligned}f(3) &= 3 - 4 \cdot 0 \\ &= 3\end{aligned}

הקצה $x = 3$ בתחום

$x \ge 3$ . המלכודת: $x > 3$ — הפונקציה מוגדרת ב- $x = 3$ ; רק הנגזרת לא מוגדרת שם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

נתונה הפונקציה $f(x) = x - 4\sqrt{x - 3}$ . ב. מהי הנגזרת $f'(x)$ , בתחום $x > 3$ ?

$f'(x) = -\dfrac{2}{\sqrt{x - 3}}$
$f'(x) = 1 - \dfrac{4}{\sqrt{x - 3}}$
$f'(x) = 1 - \dfrac{1}{2\sqrt{x - 3}}$
$f'(x) = 1 - \dfrac{2}{\sqrt{x - 3}}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $f'(x) = 1 - \dfrac{2}{\sqrt{x - 3}}$

הפתרון:

\left(\sqrt{x - 3}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x - 3}}

נגזרת של שורש; הנגזרת הפנימית של $x - 3$ היא $1$

\begin{aligned}f'(x) &= 1 - 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x - 3}} \\ &= 1 - \frac{2}{\sqrt{x - 3}}\end{aligned}

$f'(x) = 1 - \frac{2}{\sqrt{x - 3}}$ . המלכודת: לשכוח את ה- $2$ שבמכנה של נגזרת השורש ולקבל $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

נתונה הפונקציה $f(x) = x - 4\sqrt{x - 3}$ . הנגזרת: $f'(x) = 1 - \dfrac{2}{\sqrt{x - 3}}$ . ג. מצאו את נקודות הקיצון של $f$ : הפנימית, ונקודת הקצה של התחום. (מספר שלילי כתבו עם סימן מינוס.)

מינימום: ( ____ , ____ ) , מקסימום קצה: ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מינימום: ( 7 , -1 ) , מקסימום קצה: ( 3 , 3 )

הפתרון:

\begin{aligned}1 - \frac{2}{\sqrt{x - 3}} &= 0 \Rightarrow \sqrt{x - 3} \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= 7\end{aligned}

מאפסים את הנגזרת

\begin{aligned}f'(4) &= 1 - 2 \\ &= -1 < 0 \\ \quad f'(12) &= 1 - \frac{2}{3} > 0\end{aligned}

טבלת סימנים: יורדת ואחר כך עולה — מינימום

\begin{aligned}f(7) &= 7 - 4 \cdot 2 \\ &= -1 \\ \quad f(3) &= 3\end{aligned}

ובקצה: הפונקציה יורדת מיד אחרי $x = 3$ — מקסימום קצה

מינימום ב- $(7, -1)$ , ומקסימום קצה ב- $(3, 3)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

נתונה הפונקציה $f(x) = x - 4\sqrt{x - 3}$ . ד. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה- $x$ .

$x$ ____ , $x_2 =$ ____ (כאשר $x_1 < x_2$ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x_1 =$ 4 , $x_2 =$ 12 (כאשר $x_1 < x_2$ )

הפתרון:

x = 4\sqrt{x - 3}

מבודדים את השורש

\begin{aligned}x^2 &= 16(x - 3) \Rightarrow x^2 - 16x + 48 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בריבוע (שני האגפים אי-שליליים בתחום)

\begin{aligned}(x - 4)(x - 12) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4 \\ \ x &= 12\end{aligned}

\begin{aligned}f(4) &= 4 - 4 \\ &= 0 \\ \quad f(12) &= 12 - 12 \\ &= 0\end{aligned}

בדיקה בפונקציה המקורית ✓

$(4, 0)$ ו- $(12, 0)$ . אחרי העלאה בריבוע חייבים לבדוק בפונקציה המקורית — כאן שני הפתרונות נשארים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

נתונה הפונקציה $f(x) = x - 4\sqrt{x - 3}$ . הנגזרת: $f'(x) = 1 - \dfrac{2}{\sqrt{x - 3}}$ . ה. מצאו את משוואת המשיק לגרף של $f$ בנקודה $f$ . (מספר שלילי כתבו עם סימן מינוס; אפשר לכתוב שבר.)

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 0.3333333333333333 $x +$ -4

הפתרון:

\begin{aligned}f'(12) &= 1 - \frac{2}{\sqrt{9}} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע המשיק

\begin{aligned}y - 0 &= \frac{1}{3}(x - 12) \Rightarrow y \\ &= \frac{1}{3}x - 4\end{aligned}

$y = \frac{1}{3}x - 4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = x - 4\sqrt{x - 3}$ . מינימום ב- $(7, -1)$ , מקסימום קצה ב- $(3, 3)$ , ומ- $x = 7$ ואילך הפונקציה עולה בלי הגבלה. ו. לאילו ערכים של $k$ הישר $y = k$ חותך את הגרף של $f$ בשתי נקודות בדיוק?

$k > -1$
$-1 < k < 3$
$-1 < k \le 3$
$0 < k \le 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $-1 < k \le 3$

הפתרון:

3 \le x \le 7

בענף היורד $f$ מקבלת כל ערך בין $-1$ ל- $3$ פעם אחת

x \ge 7

בענף העולה $f$ מקבלת כל ערך מ- $-1$ ומעלה פעם אחת

-1 < k \le 3

שתי נקודות: $k$ בשני הטווחים, ולא $k$ , שבו שני הענפים נפגשים במינימום

$-1 < k \le 3$ . ב- $k = 3$ יש שתי נקודות: הקצה $(3, 3)$ ונקודה על הענף העולה. ב- $k = -1$ יש נקודה אחת בלבד, המינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 — בעיית ערך קיצון

תרגיל 22

נתונה הפרבולה $y = 9 - x^2$ . $C$ היא נקודת החיתוך של הפרבולה עם החלק החיובי של ציר ה- $C$ . $x$ היא נקודה על הפרבולה, מעל ציר ה- $A$ , ו- $x$ היא הנקודה על ציר ה- $x$ שמתחת ל- $A$ ( $AB$ מאונך לציר ה- $x$ ). נסמן ב- $x$ את שיעור ה- $x$ של $A$ ( $A$ ). א. מצאו את שיעורי הנקודה $C$ .

$C$ ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $C =$ ( 3 , 0 )

הפתרון:

\begin{aligned}9 - x^2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 3\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $x$ : $x$

C(3, 0)

החלק החיובי של הציר

$C(3, 0)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

נתונה הפרבולה $y = 9 - x^2$ . $C$ היא נקודת החיתוך של הפרבולה עם החלק החיובי של ציר ה- $C$ . $x$ היא נקודה על הפרבולה, מעל ציר ה- $A$ , ו- $x$ היא הנקודה על ציר ה- $x$ שמתחת ל- $A$ ( $AB$ מאונך לציר ה- $x$ ). נסמן ב- $x$ את שיעור ה- $x$ של $A$ ( $A$ ). $C(3, 0)$ . ב. הביעו בעזרת $x$ את שטח המשולש $x$ .

$S(x) = \dfrac{x(9 - x^2)}{2}$
$S(x) = \dfrac{(3 + x)(9 - x^2)}{2}$
$S(x) = (3 - x)(9 - x^2)$
$S(x) = \dfrac{(3 - x)(9 - x^2)}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $S(x) = \dfrac{(3 - x)(9 - x^2)}{2}$

הפתרון:

AB = 9 - x^2

הגובה: שיעור ה- $y$ של $A$

BC = 3 - x

מרחק בין שתי נקודות על ציר ה- $x$ ; $x < 3$ , ולכן חיובי

\begin{aligned}S(x) &= \frac{BC \cdot AB}{2} \\ &= \frac{(3 - x)(9 - x^2)}{2}\end{aligned}

משולש ישר זווית ב- $B$

$B$ . המלכודת: לכתוב $BC = x$ — זה המרחק מ- $B$ לראשית, לא ל- $B$ . וכש- $C$ משמאל לציר ה- $A$ , $y$ שלילי ו- $3 - x$ גדול מ- $3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

נתונה הפרבולה $y = 9 - x^2$ . $C$ היא נקודת החיתוך של הפרבולה עם החלק החיובי של ציר ה- $C$ . $x$ היא נקודה על הפרבולה, מעל ציר ה- $A$ , ו- $x$ היא הנקודה על ציר ה- $x$ שמתחת ל- $A$ ( $AB$ מאונך לציר ה- $x$ ). נסמן ב- $x$ את שיעור ה- $x$ של $A$ ( $A$ ). שטח המשולש: $S(x) = \dfrac{(3 - x)(9 - x^2)}{2} = \dfrac{x^3 - 3x^2 - 9x + 27}{2}$ . ג. עבור איזה ערך של $x$ שטח המשולש מקסימלי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

\begin{aligned}S'(x) &= \frac{3x^2 - 6x - 9}{2} \\ &= \frac{3(x - 3)(x + 1)}{2}\end{aligned}

גוזרים

\begin{aligned}x &= -1 \ \lor \ x \\ &= 3\end{aligned}

$x = 3$ מחוץ לתחום $-3 < x < 3$

\begin{aligned}S'(-2) &= 7.5 > 0 \\ \quad S'(0) &= -4.5 < 0\end{aligned}

טבלת סימנים: עולה ואחר כך יורדת — מקסימום

$x = -1$ . המקסימום מתקבל כש- $A$ משמאל לציר ה- $y$ : הבסיס $y$ מתארך יותר ממה שהגובה מתקצר. המלכודת: להניח ש- $A$ ברביע הראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

נתונה הפרבולה $y = 9 - x^2$ . $C$ היא נקודת החיתוך של הפרבולה עם החלק החיובי של ציר ה- $C$ . $x$ היא נקודה על הפרבולה, מעל ציר ה- $A$ , ו- $x$ היא הנקודה על ציר ה- $x$ שמתחת ל- $A$ ( $AB$ מאונך לציר ה- $x$ ). נסמן ב- $x$ את שיעור ה- $x$ של $A$ ( $A$ ). שטח המשולש: $S(x) = \dfrac{(3 - x)(9 - x^2)}{2}$ , והוא מקסימלי כאשר $x = -1$ . ד. מהו השטח המקסימלי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

A(-1, 8) ,\quad B(-1, 0)

$9 - (-1)^2 = 8$

\begin{aligned}S(-1) &= \frac{(3 + 1) \cdot 8}{2} \\ &= 16\end{aligned}

השטח המקסימלי $16$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

נתונה הפרבולה $y = 9 - x^2$ . $C$ היא נקודת החיתוך של הפרבולה עם החלק החיובי של ציר ה- $C$ . $x$ היא נקודה על הפרבולה, מעל ציר ה- $A$ , ו- $x$ היא הנקודה על ציר ה- $x$ שמתחת ל- $A$ ( $AB$ מאונך לציר ה- $x$ ). נסמן ב- $x$ את שיעור ה- $x$ של $A$ ( $A$ ). השטח מקסימלי כאשר $x = -1$ , כלומר $A(-1, 8)$ . ה. הוכיחו או הפריכו: במשולש המקסימלי, $AB = 2 \cdot BC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 8 \\ \quad BC &= 3 - (-1) \\ &= 4\end{aligned}

8 = 2 \cdot 4

נכון: $AB = 8$ ו- $BC = 4$ . ומכאן גם $\tan \angle ACB = \frac{8}{4} = 2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת