מבחן לדוגמא — שליש ראשון

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבחן לדוגמא — שליש ראשון. 5 שאלות עם סעיפים, 24 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. החומר: מבוא להנדסה אנליטית, מקומות גאומטריים, מבוא לאנליזה של פונקציות, והנגזרת של פולינום — עד חקירה מלאה ומשוואת משיק.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בגאומטריה כתבו טענה ונימוק לכל שורה, ובחקירה בנו טבלת סימנים לפני שקובעים סוג קיצון.

תרגילים

שאלה 1 — הנדסה אנליטית ומקום גאומטרי

תרגיל 1

שרטוט לשאלה 1

נתונות הנקודות $A(-3, 2)$ ו- $B(5, 6)$ . א. מצאו את משוואת האנך האמצעי לקטע $AB$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -2 $x +$ 6

הפתרון:

\begin{aligned}M &= \left(\frac{-3+5}{2}, \frac{2+6}{2}\right) \\ &= (1, 4)\end{aligned}

אמצע הקטע: ממוצע השיעורים

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{6-2}{5-(-3)} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שיפוע הקטע

\begin{aligned}m_1 \cdot \frac{1}{2} &= -1 \Rightarrow m_1 \\ &= -2\end{aligned}

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים $-1$

\begin{aligned}y - 4 &= -2(x - 1) \Rightarrow y \\ &= -2x + 6\end{aligned}

ישר דרך $M$ בשיפוע $-2$

האנך האמצעי הוא $y = -2x + 6$ . המלכודת: להעביר את הישר דרך $A$ או דרך $B$ במקום דרך האמצע $B$ , או לקחת שיפוע $M$ — הופכי בלי להפוך סימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

שרטוט לשאלה 1

נתונות הנקודות $A(-3, 2)$ ו- $B(5, 6)$ . האנך האמצעי לקטע $AB$ הוא $y = -2x + 6$ . ב. הנקודה $C$ נמצאת על האנך האמצעי ועל ציר ה- $C$ . מצאו את שיעורי $C$ .

$C$ ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $C =$ ( 3 , 0 )

הפתרון:

y = 0

כל נקודה על ציר ה- $x$

\begin{aligned}0 &= -2x + 6 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

מציבים במשוואת האנך האמצעי

$C(3, 0)$ . המלכודת: להציב $x = 0$ — כך מקבלים את נקודת החיתוך עם ציר ה- $y$ , $(0, 6)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

שרטוט לשאלה 1

נתונות הנקודות $A(-3, 2)$ ו- $B(5, 6)$ . $M(1, 4)$ אמצע $AB$ , והנקודה $C(3, 0)$ על האנך האמצעי לקטע. ג. חשבו את שטח המשולש $ABC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{8^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{80}\end{aligned}

אורך הבסיס, בנוסחת המרחק

\begin{aligned}CM &= \sqrt{2^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

$CM \perp AB$ , ולכן $CM$ הוא הגובה לבסיס

\begin{aligned}S &= \frac{\sqrt{80} \cdot \sqrt{20}}{2} \\ &= \frac{40}{2} \\ &= 20\end{aligned}

חצי בסיס כפול גובה

השטח $20$ . המלכודת: לקחת את $20$ או $CB$ כגובה. הגובה הוא הקטע המאונך לבסיס — כאן $CM$ , כי $C$ על האנך האמצעי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

שרטוט לשאלה 1, סעיפים ד-ה

נתונות הנקודות $A(-3, 2)$ ו- $B(5, 6)$ . הנקודה $C(3, 0)$ נמצאת על האנך האמצעי לקטע $AB$ . ד. מהי משוואת המעגל שמרכזו $C$ ועובר דרך $C$ ?

$(x+3)^2 + y^2 = 40$
$(x-3)^2 + y^2 = 40$
$(x-3)^2 + y^2 = 20$
$(x-3)^2 + y^2 = \sqrt{40}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $(x-3)^2 + y^2 = 40$

הפתרון:

\begin{aligned}R^2 &= CA^2 \\ &= (-3-3)^2 + (2-0)^2 \\ &= 40\end{aligned}

רדיוס בריבוע, בנוסחת המרחק

(x-3)^2 + (y-0)^2 = 40

מעגל שמרכזו $(a, b)$ : $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$

התשובה הנכונה: $(x-3)^2 + y^2 = 40$ . המלכודות: $(x+3)^2$ — סימן הפוך של המרכז; $\sqrt{40}$ באגף ימין — שוכחים שבמשוואה מופיע $R^2$ ; $20$ — הריבוע של $20$ , לא של $CA$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שרטוט לשאלה 1, סעיפים ד-ה

נתונות הנקודות $A(-3, 2)$ ו- $B(5, 6)$ . הנקודה $C(3, 0)$ נמצאת על האנך האמצעי לקטע $AB$ , והמעגל שמרכזו $C$ עובר דרך $C$ . ה. הוכיחו או הפריכו: המעגל עובר גם דרך $B$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

CA = CB

כל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו

\begin{aligned}CB^2 &= (5-3)^2 + 6^2 \\ &= 40 \\ &= R^2\end{aligned}

בדיקה בחישוב: $B$ מקיימת את משוואת המעגל

נכון, ובלי חישוב: האנך האמצעי הוא המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקן מ- $A$ ומ- $B$ שווה. המלכודת: לחשוב שצריך למצוא את משוואת המעגל מחדש — המשפט על המקום הגאומטרי כבר נותן את התשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — מקומות גאומטריים במשולש

תרגיל 6

במשולש $ABC$ חוצי הזוויות $B$ ו- $C$ נפגשים בנקודה $C$ . דרך $I$ העבירו ישר המקביל ל- $I$ , והוא חותך את $AB$ ב- $D$ ואת $AC$ ב- $E$ . א. הוכיחו כי $DB = DI$ .

$BI$ חוצה את $\angle ABC$
$DE \parallel BC$

$DB = DI$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle DBI = \angle IBC$ — נתון — $BI$ חוצה זווית
$\angle DIB = \angle IBC$ — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים
$\angle DBI = \angle DIB$ — כלל המעבר
$DB = DI$ — במשולש, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

הפתרון:

\angle DBI = \angle IBC

נתון — $BI$ חוצה זווית

\angle DIB = \angle IBC

זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים

\angle DBI = \angle DIB

כלל המעבר

DB = DI

במשולש, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

המשולש $DBI$ שווה שוקיים. המלכודת: לכתוב «זוויות מתאימות» — $\angle DIB$ ו- $\angle IBC$ נמצאות משני צדי החותך $BI$ , ולכן הן מתחלפות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש $ABC$ חוצי הזוויות $B$ ו- $C$ נפגשים בנקודה $C$ . דרך $I$ העבירו ישר המקביל ל- $I$ , והוא חותך את $AB$ ב- $D$ ואת $AC$ ב- $E$ . הוכח כי $DB = DI$ , ובאותה דרך $EC = EI$ . ב. נתון $AB = 9$ , $AC = 12$ ו- $BC = 10$ . חשבו את היקף המשולש $ADE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 21

הפתרון:

P_{ADE} = AD + DI + IE + EA

$DE = DI + IE$

= AD + DB + EC + EA

מחליפים $DI = DB$ ו- $IE = EC$

\begin{aligned}AB + AC &= 9 + 12 \\ &= 21\end{aligned}

שני זוגות מתחברים לצלעות שלמות

ההיקף $21$ , והוא אינו תלוי ב- $BC$ . המלכודת: לחפש את $AD$ ו- $DE$ בנפרד, או להוסיף את $BC = 10$ לסכום — הנתון הזה מיותר כאן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש $ABC$ חוצי הזוויות $B$ ו- $C$ נפגשים בנקודה $C$ . דרך $I$ העבירו ישר המקביל ל- $I$ , והוא חותך את $AB$ ב- $D$ ואת $AC$ ב- $E$ . ג. הנקודה $I$ היא:

מרכז הכובד של המשולש $ABC$
מרכז המעגל החסום במשולש $ABC$
מרכז המעגל החוסם את המשולש $ABC$
נקודת המפגש של הגבהים במשולש $ABC$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מרכז המעגל החסום במשולש $ABC$

הפתרון:

I \in BI: \ d(I, AB) = d(I, BC)

על חוצה זווית כל נקודה במרחק שווה משוקי הזווית

I \in CI: \ d(I, BC) = d(I, AC)

אותו דבר לזווית $C$

d(I, AB) = d(I, AC)

ולכן $I$ גם על חוצה הזווית $A$ — מרכז המעגל החסום

התשובה הנכונה: מרכז המעגל החסום. המלכודת: לבלבל עם מרכז המעגל החוסם — הוא מפגש האנכים האמצעיים, והוא שווה מרחק מהקודקודים ולא מהצלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש $ABC$ חוצי הזוויות $B$ ו- $C$ נפגשים בנקודה $C$ . דרך $I$ העבירו ישר המקביל ל- $I$ , והוא חותך את $AB$ ב- $D$ ואת $AC$ ב- $E$ . ד. הוכיחו או הפריכו: אם $AB = AC$ , אז הישר $AI$ מאונך ל- $BC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\angle BAI = \angle CAI

$AI$ חוצה את $\angle A$ : שלושת חוצי הזוויות נפגשים ב- $I$

AB = AC

המשולש שווה שוקיים

AI \perp BC

במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם גובה

נכון. המלכודת: לענות «לא» כי בשרטוט $AB \neq AC$ — הטענה עוסקת במקרה שבו הצלעות שוות, והשרטוט אינו חלק מהנתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — חקירת פולינום

תרגיל 10

נתונה הפונקציה $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ . א. מהן נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים, ומה קורה בנקודה $x = 3$ ?

$(-3, 0)$ , $(0, 0)$ ו- $(3, 0)$
$(0, 0)$ בלבד
$(0, 0)$ ו- $(3, 0)$ ; ב- $x = 3$ הגרף משיק לציר ה- $x$
$(0, 0)$ ו- $(3, 0)$ ; בשתי הנקודות הגרף חוצה את ציר ה- $x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $(0, 0)$ ו- $(3, 0)$ ; ב- $x = 3$ הגרף משיק לציר ה- $x$

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= x(x^2 - 6x + 9) \\ &= x(x-3)^2\end{aligned}

מוציאים גורם משותף ומזהים ריבוע

\begin{aligned}x &= 0 \ (\text{ריבוי } 1) \\ \quad x &= 3 \ (\text{ריבוי } 2)\end{aligned}

שורש מריבוי זוגי — הגרף נוגע בציר ולא חוצה

התשובה הנכונה: $(0,0)$ ו- $(3,0)$ , וב- $x = 3$ הגרף משיק לציר. המלכודת: לפתור $x^2 = 9$ ולקבל גם $x = -3$ — הביטוי הוא $(x-3)^2$ , לא $x^2 - 9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונה הפונקציה $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ . ב. תלמיד חיפש את הנקודות החשודות לקיצון. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

3x^2 - 12x + 9 = 0

x^2 - 4x + 3 = 0

\begin{aligned}x &= -1 \ \text{או} \ x \\ &= -3\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x = -1 \ \text{או} \ x = -3$ → $x = 1 \ \text{או} \ x = 3$

הפתרון:

x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)

מפרקים: מכפלה $3$ , סכום $3$

\begin{aligned}x &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= 3\end{aligned}

כל גורם שווה לאפס

השגיאה בשורה האחרונה: מהפירוק $(x-1)(x-3)$ יוצאים $x = 1$ ו- $x = 3$ . המלכודת: לקחת את המספרים שבתוך הסוגריים עם הסימן שלהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

נתונה הפונקציה $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ . הנגזרת מתאפסת ב- $x = 1$ וב- $x = 3$ . ג. מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

מקסימום: ( ____ , ____ ) מינימום: ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקסימום: ( 1 , 4 ) מינימום: ( 3 , 0 )

הפתרון:

f'(x) = 3(x-1)(x-3)

הנגזרת מפורקת

x<1: f'>0, \quad 1<x<3: f'<0, \quad x>3: f'>0

טבלת סימנים של $f'$

\begin{aligned}f(1) &= 1 - 6 + 9 \\ &= 4 \\ \quad f(3) &= 0\end{aligned}

מציבים בפונקציה עצמה

מקסימום $(1, 4)$ ומינימום $(3, 0)$ . המלכודת: להציב את $x$ בנגזרת במקום בפונקציה — ואז שיעור ה- $y$ יוצא $0$ בשתי הנקודות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

נתונה הפונקציה $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ . לפונקציה מקסימום ב- $(1, 4)$ ומינימום ב- $(3, 0)$ . ד. מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?

עולה ב- $x < 4$ ; יורדת ב- $x > 4$
יורדת ב- $x < 1$ וב- $x > 3$ ; עולה ב- $1 < x < 3$
עולה ב- $0 < x < 1$ בלבד
עולה ב- $x < 1$ וב- $x > 3$ ; יורדת ב- $1 < x < 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד עולה ב- $x < 1$ וב- $x > 3$ ; יורדת ב- $1 < x < 3$

הפתרון:

f' > 0 \iff x < 1 \ \text{או} \ x > 3

הנגזרת חיובית מחוץ לשורשים

f' < 0 \iff 1 < x < 3

ושלילית ביניהם

התשובה הנכונה: עולה ב- $x<1$ וב- $x>3$ , יורדת ב- $1<x<3$ . המלכודת: לכתוב את התחומים לפי ערכי $y$ של הקיצון ( $y$ ) — תחומי עלייה נכתבים תמיד על ציר ה- $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

נתונה הפונקציה $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ . לפונקציה מקסימום ב- $(1, 4)$ ומינימום ב- $(3, 0)$ . ה. לאילו ערכים של $k$ יש למשוואה $f(x) = k$ שלושה פתרונות שונים?

$0 \le k \le 4$
$0 < k < 4$
$1 < k < 3$
$k > 4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $0 < k < 4$

הפתרון:

y = k

ישר אופקי שחותך את הגרף

0 < k < 4

בין ערך המינימום לערך המקסימום — שלוש נקודות חיתוך

\begin{aligned}k &= 0 \ \text{או} \ k \\ &= 4\end{aligned}

הישר משיק בקיצון — רק שני פתרונות

התשובה הנכונה: $0 < k < 4$ . המלכודות: לכלול את הקצוות — שם הישר משיק לגרף ונותן רק שני פתרונות; או לקחת את שיעורי ה- $x$ של הקיצון, $1$ ו- $1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

נתונה הפונקציה $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ . ו. מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בראשית הצירים.

$y =$ ____ $x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 9 $x$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(0) &= 3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 9 \\ &= 9\end{aligned}

שיפוע המשיק

\begin{aligned}y - 0 &= 9(x - 0) \Rightarrow y \\ &= 9x\end{aligned}

ישר דרך $(0, 0)$

המשיק $y = 9x$ . המלכודת: לחשב $f(0) = 0$ ולכתוב $y = 0$ — הערך של הפונקציה אינו השיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — משיק ופרמטר

תרגיל 16

נתונה הפונקציה $f(x) = x^2 + ax + 1$ , ו- $a$ פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x = 2$ מקביל לישר $y = 6x - 5$ . א. מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f'(x) = 2x + a

גוזרים: $a$ הוא מספר קבוע

f'(2) = 4 + a

שיפוע המשיק ב- $x = 2$

\begin{aligned}4 + a &= 6 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

ישרים מקבילים — שיפועים שווים

$a = 2$ . המלכודת: להשוות את $f(2)$ ל- $6$ — המקביל נותן את השיפוע, כלומר את $6$ , ולא את ערך הפונקציה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

נתונה הפונקציה $f(x) = x^2 + ax + 1$ , ו- $a$ פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x = 2$ מקביל לישר $y = 6x - 5$ . נמצא כי $a = 2$ . ב. מצאו את משוואת המשיק בנקודה שבה $x = 2$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 6 $x +$ -3

הפתרון:

\begin{aligned}f(2) &= 4 + 4 + 1 \\ &= 9\end{aligned}

נקודת ההשקה $(2, 9)$

\begin{aligned}y - 9 &= 6(x - 2) \Rightarrow y \\ &= 6x - 3\end{aligned}

שיפוע $6$ דרך נקודת ההשקה

המשיק $y = 6x - 3$ . המלכודת: להעתיק את $y = 6x - 5$ מהנתון — ישר מקביל בעל אותו שיפוע, אבל הוא אינו עובר בנקודת ההשקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

שרטוט לשאלה 4, סעיף ג

נתונה הפונקציה $f(x) = x^2 + ax + 1$ , ו- $a$ פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x = 2$ מקביל לישר $y = 6x - 5$ . נמצא כי $a = 2$ והמשיק הוא $y = 6x - 3$ . ג. המשיק חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $P$ ואת ציר ה- $y$ בנקודה $y$ . חשבו את שטח המשולש $Q$ ( $O$ ראשית הצירים).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

\begin{aligned}y &= 0: \ 6x - 3 \\ &= 0 \Rightarrow P(0.5, 0)\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $x$

x = 0: \ Q(0, -3)

חיתוך עם ציר ה- $y$

\begin{aligned}S &= \frac{0.5 \cdot 3}{2} \\ &= 0.75\end{aligned}

משולש ישר זווית בראשית: חצי מכפלת הניצבים

השטח $0.75$ . המלכודת: להכניס את $0.75$ עם הסימן ולקבל שטח שלילי — אורך צלע הוא תמיד חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

נתונה הפונקציה $f(x) = x^2 + ax + 1$ , ו- $a$ פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x = 2$ מקביל לישר $y = 6x - 5$ . נמצא כי $a = 2$ . ד. מצאו את הנקודה על גרף הפונקציה שבה המשיק מקביל לציר ה- $x$ .

( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ( -1 , 0 )

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 2x + 2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

מקביל לציר ה- $x$ — שיפוע אפס

\begin{aligned}f(-1) &= 1 - 2 + 1 \\ &= 0\end{aligned}

שיעור ה- $y$ מהפונקציה

הנקודה $(-1, 0)$ — זה קדקוד הפרבולה, והיא נוגעת שם בציר ה- $x$ כי $x$ . המלכודת: לפתור $f(x) = 0$ במקום $f'(x) = 0$ ; כאן זה יוצא במקרה אותו $x$ , אבל הדרך שגויה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 — פונקציות: זוגיות, שיטת הקטעים והזזות

תרגיל 20

נתונה הפונקציה $g(x) = x^4 - 5x^2 + 4$ . א. מצאו את נקודות האפס של הפונקציה. כתבו אותן מהקטנה לגדולה.

$x =$ ____ , ____ , ____ , ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x =$ -2 , -1 , 1 , 2

הפתרון:

\begin{aligned}t &= x^2: \ t^2 - 5t + 4 \\ &= 0\end{aligned}

משוואה דו-ריבועית: מציבים משתנה עזר

\begin{aligned}t &= 1 \ \text{או} \ t \\ &= 4\end{aligned}

פירוק: $(t-1)(t-4)$

\begin{aligned}x^2 &= 1 \Rightarrow x \\ &= \pm 1 \\ \quad x^2 &= 4 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

חוזרים ל- $x$

ארבע נקודות אפס: $-2, -1, 1, 2$ . המלכודת: לעצור ב- $t = 1, 4$ ולכתוב שני פתרונות בלבד — כל ערך חיובי של $t$ נותן שני ערכים של $t$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

נתונה הפונקציה $g(x) = x^4 - 5x^2 + 4$ . ב. הוכיחו או הפריכו: $g$ היא פונקציה זוגית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

g(-x) = (-x)^4 - 5(-x)^2 + 4

מציבים $-x$

= x^4 - 5x^2 + 4 = g(x)

חזקה זוגית מבטלת את המינוס

נכון: $g(-x) = g(x)$ לכל $x$ , והגרף סימטרי לציר ה- $y$ . המלכודת: להסתפק בבדיקה של מספר אחד, כמו $y$ — זוגיות צריך להוכיח לכל $x$ ; רק הפרכה מסתפקת בדוגמה אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

נתונה הפונקציה $g(x) = x^4 - 5x^2 + 4$ . נקודות האפס שלה $-2, -1, 1, 2$ . ג. פתרו בשיטת הקטעים את אי-השוויון $g(x) < 0$ .

$x < -2$ או $x > 2$
$-1 < x < 1$
$-2 < x < -1$ או $1 < x < 2$
$-2 < x < 2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $-2 < x < -1$ או $1 < x < 2$

הפתרון:

g(x) = (x+2)(x+1)(x-1)(x-2)

פירוק לגורמים ליניאריים

x > 2: \ g > 0

מקדם מוביל חיובי — הקטע הימני חיובי

+ \ | \ - \ | \ + \ | \ - \ | \ +

ארבעה שורשים פשוטים: הסימן מתחלף בכל אחד

התשובה הנכונה: $-2<x<-1$ או $1<x<2$ . המלכודת: $-2 < x < 2$ — להתייחס רק לשורשים הקיצוניים כאילו זו פרבולה, ולשכוח שהסימן מתחלף גם ב- $\pm 1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

נתונה הפונקציה $g(x) = x^4 - 5x^2 + 4$ . נקודות האפס שלה $-2, -1, 1, 2$ . ד. התאימו לכל פונקציה את נקודות האפס שלה.

$g(x-1)$
$g(x+1)$
$g(2x)$
$g(x) - 4$

$-1, \ 0, \ 2, \ 3$
$-3, \ -2, \ 0, \ 1$
$\pm \frac{1}{2}, \ \pm 1$
$0, \ \pm \sqrt{5}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $g(x-1)$ — $-1, \ 0, \ 2, \ 3$ · $g(x+1)$ — $-3, \ -2, \ 0, \ 1$ · $g(2x)$ — $\pm \frac{1}{2}, \ \pm 1$ · $g(x) - 4$ — $0, \ \pm \sqrt{5}$

הפתרון:

g(x-1) = 0 \iff x - 1 \in \{-2, -1, 1, 2\}

הזזה ימינה ב- $1$ : מוסיפים $1$ לכל שורש

g(2x) = 0 \iff 2x \in \{-2, -1, 1, 2\}

כיווץ אופקי: מחלקים כל שורש ב- $2$

\begin{aligned}g(x) - 4 &= x^4 - 5x^2 \\ &= x^2(x^2 - 5)\end{aligned}

הזזה למטה משנה את הצורה: פותרים מחדש

המלכודת: להזיז את $g(x-1)$ שמאלה — מינוס בתוך הסוגריים מזיז ימינה. ו- $g(x)-4$ מזיזה למטה, ולכן נקודות האפס שלה אינן הזזה של הקודמות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

נתונה הפונקציה $g(x) = x^4 - 5x^2 + 4$ . ה. מצאו את ערך המינימום של הפונקציה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2.25

הפתרון:

\begin{aligned}g'(x) &= 4x^3 - 10x \\ &= 2x(2x^2 - 5)\end{aligned}

גוזרים ומוציאים גורם משותף

\begin{aligned}x &= 0 \\ \quad x^2 &= \frac{5}{2}\end{aligned}

נקודות חשודות

\begin{aligned}g &= \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 5 \cdot \frac{5}{2} + 4 \\ &= -\frac{9}{4}\end{aligned}

ב- $x = \pm\sqrt{2.5}$ — שני מינימומים באותו גובה

ערך המינימום $-2.25$ , והוא מתקבל פעמיים בגלל הזוגיות. המלכודת: לתת את $g(0) = 4$ — ב- $x = 0$ יש מקסימום מקומי, לא מינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת