מבחן לדוגמא — שליש שני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבחן לדוגמא — שליש שני. 6 שאלות עם סעיפים, 25 סעיפים בסך הכול, 105 דקות. החומר: המעגל, פרופורציה ודמיון, חקירת פולינום ופונקציה קדומה, בעיות קיצון, ופונקציות טריגונומטריות.

בשאלות הגאומטריה כתבו את התאמת הקודקודים לפני שכותבים יחס — רוב הטעויות בדמיון הן יחס הפוך. בבעיית קיצון בדקו את תחום ההגדרה של המשתנה: הוא קובע אם פתרון נפסל ואם הקיצון בקצה.

תרגילים

שאלה 1 — המעגל: משיק, מיתר ודמיון

תרגיל 1

שרטוט לשאלה 1

במעגל שמרכזו $O$ הקטע $AB$ הוא קוטר. הנקודה $P$ נמצאת על המשך הקוטר מעבר ל- $P$ , ו- $B$ משיק למעגל בנקודה $C$ . א. הוכיחו כי $\triangle PCB \sim \triangle PAC$ .

$PC$ משיק למעגל ב- $C$
$C$ , $P$ ו- $A$ על ישר אחד

$A$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle BPC = \angle CPA$ — זווית משותפת
$\angle PCB = \angle CAB$ — זווית בין משיק למיתר שווה לזווית היקפית הנשענת על אותה קשת
$\triangle PCB \sim \triangle PAC$ — משפט דמיון ז.ז

הפתרון:

\angle BPC = \angle CPA

זווית משותפת

\angle PCB = \angle CAB

זווית בין משיק למיתר שווה לזווית היקפית הנשענת על אותה קשת

\triangle PCB \sim \triangle PAC

משפט דמיון ז.ז

המשולשים דומים לפי ז.ז, בהתאמה $P \to P$ , $C \to A$ , $B \to C$ . המלכודת: לכתוב את ההתאמה בסדר האותיות של השם — הזווית שליד $C$ במשולש הקטן מתאימה לזווית שליד $A$ בגדול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

שרטוט לשאלה 1

במעגל שמרכזו $O$ הקטע $AB$ הוא קוטר. הנקודה $P$ נמצאת על המשך הקוטר מעבר ל- $P$ , ו- $B$ משיק למעגל בנקודה $C$ . הוכח כי $\triangle PCB \sim \triangle PAC$ . ב. נתון $PB = 4$ ו- $PC = 6$ . מצאו את אורך הקוטר $AB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\frac{PC}{PA} = \frac{PB}{PC}

יחס צלעות מתאימות במשולשים הדומים

\begin{aligned}PA &= \frac{PC^2}{PB} \\ &= \frac{36}{4} \\ &= 9\end{aligned}

כופלים בהצלבה

\begin{aligned}AB &= PA - PB \\ &= 9 - 4 \\ &= 5\end{aligned}

הקוטר הוא ההפרש

הקוטר $5$ . המלכודת: לעצור ב- $5$ — זה כל הקטע מ- $P$ עד $P$ , והקוטר הוא רק חלק ממנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

שרטוט לשאלה 1

במעגל שמרכזו $O$ הקטע $AB$ הוא קוטר. הנקודה $P$ נמצאת על המשך הקוטר מעבר ל- $P$ , ו- $B$ משיק למעגל בנקודה $C$ . נתון $PB = 4$ , $PC = 6$ , ונמצא $PA = 9$ . ג. מהו היחס בין שטח $\triangle PCB$ לשטח $\triangle PAC$ ?

$\frac{4}{9}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{16}{81}$
$\frac{4}{5}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\frac{4}{9}$

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{PC}{PA} \\ &= \frac{6}{9} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}\frac{S_1}{S_2} &= k^2 \\ &= \frac{4}{9}\end{aligned}

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון

התשובה הנכונה: $\frac{4}{9}$ . המלכודות: $\frac{2}{3}$ — יחס הדמיון עצמו, בלי ריבוע; $\frac{16}{81}$ — ריבוע של $\frac{PB}{PA}$ , שהן אינן צלעות מתאימות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

שרטוט לשאלה 1

במעגל שמרכזו $O$ הקטע $AB$ הוא קוטר. הנקודה $P$ נמצאת על המשך הקוטר מעבר ל- $P$ , ו- $B$ משיק למעגל בנקודה $C$ . נתון $PB = 4$ , $PC = 6$ , $PA = 9$ ו- $AB = 5$ . ד. חשבו את אורך המיתר $AC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.16

הפתרון:

\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר

\begin{aligned}\frac{CB}{AC} &= \frac{PC}{PA} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

מהדמיון: $CB$ מתאימה ל- $AC$

AC^2 + \frac{4}{9}AC^2 = 25

פיתגורס במשולש $ACB$

AC = \frac{15}{\sqrt{13}} \approx 4.16

$AC \approx 4.16$ . המלכודת: לקחת את היחס הפוך, $\frac{AC}{CB} = \frac{2}{3}$ — ואז $AC$ יוצא הקצר מבין הניצבים, $2.77$ ; בשרטוט רואים ש- $2.77$ ארוך מ- $CB$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — חוצה זווית, תאלס ודמיון

תרגיל 5

במשולש $ABC$ נתון $AB = 6$ , $AC = 9$ ו- $BC = 10$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $D$ ). דרך $D$ העבירו ישר המקביל ל- $D$ , והוא חותך את $AC$ בנקודה $E$ . א. חשבו את $BD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{6}{9} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

משפט חוצה זווית

\begin{aligned}BD &= \frac{2}{5} \cdot 10 \\ &= 4\end{aligned}

מחלקים את $BC$ ביחס $2:3$

$BD = 4$ ו- $DC = 6$ . המלכודת: לחלק את $BC$ לשני חצאים — חוצה הזווית אינו תיכון, והוא מחלק את הצלע ביחס הצלעות שליד הזווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ נתון $AB = 6$ , $AC = 9$ ו- $BC = 10$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $D$ ). דרך $D$ העבירו ישר המקביל ל- $D$ , והוא חותך את $AC$ בנקודה $E$ . ב. הוכיחו כי $\triangle CDE \sim \triangle CBA$ .

$DE \parallel AB$
$D$ על $BC$ ו- $E$ על $AC$

$\triangle CDE \sim \triangle CBA$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle DCE = \angle BCA$ — זווית משותפת
$\angle CDE = \angle CBA$ — זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים
$\triangle CDE \sim \triangle CBA$ — משפט דמיון ז.ז

הפתרון:

\angle DCE = \angle BCA

זווית משותפת

\angle CDE = \angle CBA

זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים

\triangle CDE \sim \triangle CBA

משפט דמיון ז.ז

דמיון ז.ז בהתאמה $C \to C$ , $D \to B$ , $E \to A$ . המלכודת: לכתוב «זוויות מתחלפות» — $\angle CDE$ ו- $\angle CBA$ נמצאות באותו צד של החותך $BC$ , ולכן הן מתאימות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש $ABC$ נתון $AB = 6$ , $AC = 9$ ו- $BC = 10$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $D$ ). דרך $D$ העבירו ישר המקביל ל- $D$ , והוא חותך את $AC$ בנקודה $E$ . נמצא $BD = 4$ , והוכח כי $\triangle CDE \sim \triangle CBA$ . ג. חשבו את $DE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.6

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{CD}{CB} \\ &= \frac{6}{10} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

יחס הדמיון, עם $CD = 10 - 4$

\begin{aligned}DE &= k \cdot AB \\ &= \frac{3}{5} \cdot 6 \\ &= 3.6\end{aligned}

$DE$ מתאימה ל- $AB$

$DE = 3.6$ . המלכודת: לקחת את היחס $\frac{BD}{BC} = \frac{2}{5}$ — המשולש הקטן יושב ליד $C$ , ולכן היחס מתחיל מ- $C$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש $ABC$ נתון $AB = 6$ , $AC = 9$ ו- $BC = 10$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $D$ ). דרך $D$ העבירו ישר המקביל ל- $D$ , והוא חותך את $AC$ בנקודה $E$ . ד. הוכיחו או הפריכו: המשולש $ADE$ שווה שוקיים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\angle EDA = \angle DAB

זוויות מתחלפות, $DE \parallel AB$

\angle DAB = \angle DAE

$AD$ חוצה זווית

\begin{aligned}\angle EDA &= \angle EAD \Rightarrow AE \\ &= DE\end{aligned}

מול זוויות שוות צלעות שוות

\begin{aligned}AE &= 9 - 5.4 \\ &= 3.6 \\ &= DE\end{aligned}

בדיקה במספרים: $CE = \frac{3}{5} \cdot 9 = 5.4$

נכון: $AE = DE$ . המלכודת: לחפש שתי צלעות שוות בנתונים — השוויון נובע מהזוויות, מחוצה הזווית ומהמקבילים יחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש $ABC$ נתון $AB = 6$ , $AC = 9$ ו- $BC = 10$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $D$ ). דרך $D$ העבירו ישר המקביל ל- $D$ , והוא חותך את $AC$ בנקודה $E$ . הוכח כי $E$ ביחס דמיון $\frac{3}{5}$ . ה. מהו היחס בין שטח המרובע $ABDE$ לשטח המשולש $ABC$ ?

$\frac{2}{5}$
$\frac{9}{25}$
$\frac{16}{25}$
$\frac{4}{25}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $\frac{16}{25}$

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{S_{CDE}}{S_{CBA}} &= \left(\frac{3}{5}\right)^2 \\ &= \frac{9}{25}\end{aligned}

יחס השטחים — ריבוע יחס הדמיון

\begin{aligned}\frac{S_{ABDE}}{S_{ABC}} &= 1 - \frac{9}{25} \\ &= \frac{16}{25}\end{aligned}

המרובע הוא המשולש הגדול פחות הקטן

התשובה הנכונה: $\frac{16}{25}$ . המלכודות: $\frac{9}{25}$ — יחס השטח של המשולש הקטן, לא של המרובע; $\frac{2}{5}$ — משלים של יחס הדמיון בלי ריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — חקירת פולינום עם פרמטר ופונקציה קדומה

תרגיל 10

נתונה הפונקציה $f(x) = x^4 - 4x^3 + a$ , ו- $a$ פרמטר. א. הנגזרת מתאפסת ב- $x = 0$ וב- $x = 3$ . מה יש לפונקציה בנקודות האלה?

ב- $x = 0$ אין קיצון, ב- $x = 3$ מינימום
בשתי הנקודות אין קיצון
ב- $x = 0$ מקסימום, ב- $x = 3$ מינימום
ב- $x = 0$ מינימום, ב- $x = 3$ מקסימום

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א ב- $x = 0$ אין קיצון, ב- $x = 3$ מינימום

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 4x^3 - 12x^2 \\ &= 4x^2(x - 3)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

x<0: f'<0, \quad 0<x<3: f'<0, \quad x>3: f'>0

טבלת סימנים: $4x^2 \ge 0$ תמיד

\begin{aligned}x &= 0: \ - \to - \\ \quad x &= 3: \ - \to +\end{aligned}

שינוי סימן רק ב- $x = 3$

התשובה הנכונה: ב- $x=0$ אין קיצון, ב- $x=3$ מינימום. המלכודת: לקבוע שכל אפס של הנגזרת הוא קיצון. ב- $x=0$ השורש מריבוי זוגי, הנגזרת לא מחליפה סימן, והפונקציה ממשיכה לרדת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונה הפונקציה $f(x) = x^4 - 4x^3 + a$ , ו- $a$ פרמטר. לפונקציה מינימום ב- $a$ . ב. מצאו את $a$ שעבורו נקודת המינימום נמצאת על ציר ה- $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 27

הפתרון:

\begin{aligned}f(3) &= 81 - 108 + a \\ &= a - 27\end{aligned}

שיעור ה- $y$ של המינימום

\begin{aligned}a - 27 &= 0 \Rightarrow a \\ &= 27\end{aligned}

על ציר ה- $x$ : $x$

$a = 27$ . המלכודת: לדרוש $f'(3) = 0$ — זה נכון לכל $a$ , ולכן לא קובע אותו. התנאי «על ציר ה- $x$ » הוא על ערך הפונקציה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

נתונה הפונקציה $f(x) = x^4 - 4x^3 + a$ , ו- $a$ פרמטר. הציבו $a$ . ג. בכמה נקודות חותך או משיק גרף הפונקציה לציר ה- $x$ ?

באף נקודה
בנקודה אחת
בשתי נקודות
בארבע נקודות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב בנקודה אחת

הפתרון:

f(3) = 0

המינימום על הציר

f(x) \ge f(3) = 0

המינימום היחיד הוא גם הערך הקטן ביותר של הפונקציה

f(x) = (x-3)^2(x^2 + 2x + 3)

בדיקה: $x^2 + 2x + 3$ אין לו שורשים

התשובה הנכונה: בנקודה אחת, $(3, 0)$ , והגרף משיק שם לציר. המלכודת: «פולינום ממעלה רביעית — ארבעה שורשים». המעלה נותנת את המספר המרבי, לא את המספר בפועל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

נתונה הפונקציה $f(x) = x^4 - 4x^3 + a$ , ו- $a$ פרמטר. הציבו $a$ . ד. $F$ היא פונקציה קדומה של $F$ , וגרפה עובר בנקודה $(0, 2)$ . חשבו את $F(1)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 28.2

הפתרון:

F(x) = \frac{x^5}{5} - x^4 + 27x + C

מעלים חזקה באחד ומחלקים בחזקה החדשה

\begin{aligned}F(0) &= C \\ &= 2\end{aligned}

הנקודה $(0, 2)$ קובעת את הקבוע

\begin{aligned}F(1) &= \frac{1}{5} - 1 + 27 + 2 \\ &= 28.2\end{aligned}

$F(1) = 28.2$ . המלכודות: לשכוח את $+C$ ולקבל $26.2$ ; או לגזור במקום לקחת פונקציה קדומה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

נתונה הפונקציה $f(x) = x^4 - 4x^3 + a$ , ו- $a$ פרמטר. ה. הוכיחו או הפריכו: לכל ערך של $a$ יש לפונקציה נקודת קיצון אחת בדיוק.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f'(x) = 4x^2(x-3)

הנגזרת אינה תלויה ב- $a$

x = 3: \ - \to +

המינימום היחיד, לכל $a$

נכון. $a$ מזיז את הגרף למעלה או למטה, ולא משנה את מקום הקיצון או את סוגו. המלכודת: לחשוב שפרמטר «משנה הכול» — הזזה אנכית משנה רק את שיעור ה- $a$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — בעיית קיצון

תרגיל 15

שרטוט לשאלה 4

נתונה הפרבולה $y = 12 - x^2$ . במלבן $ABCD$ הקודקודים $A$ ו- $B$ על ציר ה- $B$ , והקודקודים $x$ ו- $D$ על הפרבולה, מעל ציר ה- $D$ . שיעור ה- $x$ של $C$ הוא $C$ , ו- $t > 0$ . א. הביעו באמצעות $t$ את שטח המלבן.

$S(t) = 2t + 2(12 - t^2)$
$S(t) = t(12 - t^2)$
$S(t) = 2t(12 - t^2)$
$S(t) = 2t(12 - t)^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $S(t) = 2t(12 - t^2)$

הפתרון:

C(t, \ 12 - t^2), \quad D(-t, \ 12 - t^2)

הפרבולה סימטרית לציר ה- $y$

\begin{aligned}AB &= 2t \\ \quad BC &= 12 - t^2\end{aligned}

רוחב וגובה

S(t) = 2t(12 - t^2)

התשובה הנכונה: $S(t) = 2t(12 - t^2)$ . המלכודות: $t(12-t^2)$ — רק חצי מהרוחב; $2t + 2(12-t^2)$ — חצי היקף במקום שטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

שרטוט לשאלה 4

נתונה הפרבולה $y = 12 - x^2$ . במלבן $ABCD$ הקודקודים $A$ ו- $B$ על ציר ה- $B$ , והקודקודים $x$ ו- $D$ על הפרבולה, מעל ציר ה- $D$ . שיעור ה- $x$ של $C$ הוא $C$ , ו- $t > 0$ . שטח המלבן הוא $S(t) = 2t(12 - t^2)$ . ב. מצאו את $t$ שעבורו שטח המלבן מקסימלי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}S(t) &= 24t - 2t^3 \Rightarrow S'(t) \\ &= 24 - 6t^2\end{aligned}

פותחים סוגריים וגוזרים

\begin{aligned}24 - 6t^2 &= 0 \Rightarrow t \\ &= 2\end{aligned}

הפתרון $t = -2$ נפסל: $t > 0$

0<t<2: S'>0, \quad t>2: S'<0

עלייה ואז ירידה — מקסימום

$t = 2$ . המלכודת: לא לבדוק את סוג הנקודה. בבעיית קיצון צריך להראות שזה מקסימום ולא מינימום — בטבלת סימנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

שרטוט לשאלה 4

נתונה הפרבולה $y = 12 - x^2$ . במלבן $ABCD$ הקודקודים $A$ ו- $B$ על ציר ה- $B$ , והקודקודים $x$ ו- $D$ על הפרבולה, מעל ציר ה- $D$ . שיעור ה- $x$ של $C$ הוא $C$ , ו- $t > 0$ . השטח מקסימלי כאשר $t = 2$ . ג. מהו השטח המקסימלי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

\begin{aligned}S(2) &= 2 \cdot 2 \cdot (12 - 4) \\ &= 32\end{aligned}

מציבים בפונקציית השטח

השטח המקסימלי $32$ — מלבן ברוחב $4$ ובגובה $4$ . המלכודת: להציב ב- $8$ ולקבל $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

שרטוט לשאלה 4

נתונה הפרבולה $y = 12 - x^2$ . במלבן $ABCD$ הקודקודים $A$ ו- $B$ על ציר ה- $B$ , והקודקודים $x$ ו- $D$ על הפרבולה, מעל ציר ה- $D$ . שיעור ה- $x$ של $C$ הוא $C$ , ו- $t > 0$ . השטח הוא $S(t) = 2t(12 - t^2)$ , ולפונקציה מקסימום ב- $t = 2$ . ד. נוסף תנאי: $0 < t \le 1.5$ . מהו השטח הגדול ביותר האפשרי עכשיו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 29.25

הפתרון:

0 < t \le 1.5: \ S'(t) > 0

כל התחום נמצא לפני המקסימום — הפונקציה עולה

\begin{aligned}S(1.5) &= 3 \cdot (12 - 2.25) \\ &= 29.25\end{aligned}

המקסימום בקצה התחום

השטח הגדול ביותר $29.25$ , בקצה $t = 1.5$ . המלכודת: לענות שוב $32$ — $t = 2$ כבר אינו בתחום, ובקטע סגור הקיצון יכול להתקבל בקצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 — פונקציה טריגונומטרית

תרגיל 19

נתונה הפונקציה $f(x) = 2\sin(2x) + 1$ בתחום $0^\circ \le x \le 360^\circ$ . א. מהו המחזור של הפונקציה?

$360^\circ$
$180^\circ$
$90^\circ$
$720^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $180^\circ$

הפתרון:

\begin{aligned}\sin(2(x + 180^\circ)) &= \sin(2x + 360^\circ) \\ &= \sin(2x)\end{aligned}

תוספת של $180^\circ$ ל- $x$ מוסיפה $360^\circ$ לזווית

\begin{aligned}T &= \frac{360^\circ}{2} \\ &= 180^\circ\end{aligned}

המחזור $180^\circ$ . המלכודות: $720^\circ$ — כופלים ב- $2$ במקום לחלק; $360^\circ$ — מתעלמים מהמקדם של $x$ . המספר $x$ והמקדם $2$ שלפני הסינוס לא משנים את המחזור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

נתונה הפונקציה $f(x) = 2\sin(2x) + 1$ בתחום $0^\circ \le x \le 360^\circ$ . ב. מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה, ומהו הערך הקטן ביותר?

הגדול ביותר: ____ הקטן ביותר: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הגדול ביותר: 3 הקטן ביותר: -1

הפתרון:

-1 \le \sin(2x) \le 1

הסינוס חסום, לכל זווית

-2 + 1 \le 2\sin(2x) + 1 \le 2 + 1

כופלים ב- $2$ ומוסיפים $1$

הגדול ביותר $3$ , הקטן ביותר $-1$ . המלכודת: לכפול גם את ה- $1$ ולקבל $4$ ו- $0$ — המשרעת מתיחה אנכית, וההזזה באה אחריה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

נתונה הפונקציה $f(x) = 2\sin(2x) + 1$ בתחום $0^\circ \le x \le 360^\circ$ . ג. פתרו את המשוואה $f(x) = 0$ בתחום הנתון. כתבו את הפתרונות מהקטן לגדול.

$x =$ ____° , ____° , ____° , ____°

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x =$ 105° , 165° , 285° , 345°

הפתרון:

\sin(2x) = -\frac{1}{2}

מבודדים את הסינוס

\begin{aligned}2x &= 210^\circ + 360^\circ k \ \text{או} \ 2x \\ &= 330^\circ + 360^\circ k\end{aligned}

פתרון כללי: שני רביעים שבהם הסינוס שלילי

\begin{aligned}x &= 105^\circ + 180^\circ k \ \text{או} \ x \\ &= 165^\circ + 180^\circ k\end{aligned}

מחלקים ב- $2$ — גם את $360^\circ k$

\begin{aligned}k &= 0 \\ 1: \ 105^\circ \\ 165^\circ \\ 285^\circ \\ 345^\circ\end{aligned}

בוחרים את $k$ שנותנים פתרון בתחום

ארבעה פתרונות: $105^\circ, 165^\circ, 285^\circ, 345^\circ$ . המלכודת: לחלק ב- $2$ את הזווית ולא את $360^\circ k$ — ואז מקבלים רק שני פתרונות, כי המחזור נשאר $360^\circ$ בטעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

נתונה הפונקציה $f(x) = 2\sin(2x) + 1$ בתחום $0^\circ \le x \le 360^\circ$ . ד. לאילו מהמשוואות יש פתרון?

יש פתרון
אין פתרון

$f(x) = -1.5$
$f(x) = -1$
$f(x) = -3$
$f(x) = 2.5$
$f(x) = 3$
$f(x) = 4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $f(x) = 3$ — יש פתרון · $f(x) = -1$ — יש פתרון · $f(x) = 2.5$ — יש פתרון · $f(x) = 4$ — אין פתרון · $f(x) = -1.5$ — אין פתרון · $f(x) = -3$ — אין פתרון

הפתרון:

-1 \le f(x) \le 3

טווח הערכים מסעיף ב

f(x) = c \ \text{פתירה} \iff -1 \le c \le 3

למשוואות $f(x) = 3$ , $f(x) = -1$ ו- $f(x) = 2.5$ יש פתרון; ל- $4$ , $4$ ו- $-3$ אין. המלכודת: לפסול את $3$ ואת $-1$ — הקצוות מתקבלים, בשיא ובשפל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 6 — מעגל היחידה

תרגיל 23

שרטוט לשאלה 6

הזווית $\alpha$ נמצאת ברביע השני ( $\alpha$ ), ו- $\sin\alpha = 0.6$ . הנקודה $P$ על מעגל היחידה מתאימה לזווית $P$ . א. חשבו את $\cos\alpha$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.8

הפתרון:

\begin{aligned}\cos^2\alpha &= 1 - 0.6^2 \\ &= 0.64\end{aligned}

הזהות $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

\cos\alpha = \pm 0.8

שני סימנים אפשריים

\cos\alpha = -0.8

ברביע השני שיעור ה- $x$ של $P$ שלילי

$\cos\alpha = -0.8$ . המלכודת: לכתוב $0.8$ — השורש נותן שני סימנים, והרביע הוא שמכריע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

שרטוט לשאלה 6

הזווית $\alpha$ נמצאת ברביע השני ( $\alpha$ ), ו- $\sin\alpha = 0.6$ . הנקודה $P$ על מעגל היחידה מתאימה לזווית $P$ . נמצא $\cos\alpha = -0.8$ . ב. חשבו את $\tan\alpha$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.75

הפתרון:

\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \\ &= \frac{0.6}{-0.8} \\ &= -0.75\end{aligned}

$\tan\alpha = -0.75$ . המלכודת: להפוך את השבר, $\frac{\cos}{\sin}$ , ולקבל $-\frac{4}{3}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

שרטוט לשאלה 6

הזווית $\alpha$ נמצאת ברביע השני ( $\alpha$ ), ו- $\sin\alpha = 0.6$ . הנקודה $P$ על מעגל היחידה מתאימה לזווית $P$ . נמצא $\cos\alpha = -0.8$ . ג. מהו $\cos(90^\circ - \alpha)$ ?

$0.6$
$-0.8$
$0.8$
$-0.6$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $0.6$

הפתרון:

\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha

זווית משלימה ל- $90^\circ$ מחליפה סינוס בקוסינוס

= 0.6

התשובה הנכונה: $0.6$ . המלכודת: $0.6$ — להעתיק את $\cos\alpha$ כאילו הזווית לא השתנתה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת