מבחן לדוגמא — סוף שנה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבחן לדוגמא — סוף שנה. 7 שאלות עם סעיפים, 29 סעיפים בסך הכול, 135 דקות. כל חומר השנה: מעגל במערכת צירים, המעגל ודמיון, טריגונומטריה במישור, חקירת פונקציה רציונלית ופונקציית שורש, ומשוואה טריגונומטרית.

שלושה הרגלים שחוסכים נקודות: בחקירה — תחום הגדרה קודם לכול; במשוואה עם שורש — מציבים כל פתרון במשוואה המקורית; ובמשפט הסינוסים — בודקים אם יש שני משולשים. עגלו רק בתוצאה הסופית.

תרגילים

שאלה 1 — מעגל ומשיק במערכת צירים

תרגיל 1

שרטוט לשאלה 1
MAP-4-2024681012-5-3-113579xy

נתון המעגל (x−2)2+(y−1)2=25(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25 שמרכזו MM, והנקודה A(5,5)A(5, 5) נמצאת עליו. א. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה AA.

y=y = ____ x+x + ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=y = -0.75 x+x + 8.75

הפתרון:

M(2,1)mMA=5−15−2=43\begin{aligned}M(2, 1) \\ \quad m_{MA} &= \frac{5-1}{5-2} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס לנקודת ההשקה

m1=−34m_1 = -\frac{3}{4}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

y−5=−34(x−5)⇒y=−0.75x+8.75\begin{aligned}y - 5 &= -\frac{3}{4}(x - 5) \Rightarrow y \\ &= -0.75x + 8.75\end{aligned}

המשיק y=−0.75x+8.75y = -0.75x + 8.75. המלכודת: להעביר את הישר בשיפוע הרדיוס, 43\frac{4}{3} — זה הישר MAMA עצמו, שחותך את המעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

שרטוט לשאלה 1
MAP-4-2024681012-5-3-113579xy

נתון המעגל (x−2)2+(y−1)2=25(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25 שמרכזו MM, והנקודה A(5,5)A(5, 5) נמצאת עליו. המשיק למעגל ב-AA הוא y=−0.75x+8.75y = -0.75x + 8.75. ב. המשיק חותך את ציר ה-xx בנקודה PP. מצאו את שיעור ה-xx של PP (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11.67

הפתרון:

0=−0.75x+8.750 = -0.75x + 8.75

על ציר ה-xx: y=0y = 0

x=8.750.75=353≈11.67\begin{aligned}x &= \frac{8.75}{0.75} \\ &= \frac{35}{3} \approx 11.67\end{aligned}

P(353,0)P(\frac{35}{3}, 0), כלומר x≈11.67x \approx 11.67. המלכודת: להציב x=0x = 0 ולקבל את נקודת החיתוך עם ציר ה-yy, 8.758.75.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

שרטוט לשאלה 1
MAP-4-2024681012-5-3-113579xy

נתון המעגל (x−2)2+(y−1)2=25(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25 שמרכזו MM, והנקודה A(5,5)A(5, 5) נמצאת עליו. המשיק ב-AA חותך את ציר ה-xx בנקודה P(353,0)P\left(\frac{35}{3}, 0\right). ג. חשבו את אורך הקטע PAPA (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.33

הפתרון:

PA2=(353−5)2+(0−5)2=4009+25=6259\begin{aligned}PA^2 &= \left(\frac{35}{3} - 5\right)^2 + (0 - 5)^2 \\ &= \frac{400}{9} + 25 \\ &= \frac{625}{9}\end{aligned}

נוסחת המרחק

PA=253≈8.33PA = \frac{25}{3} \approx 8.33
PM2−R2=8509−25=6259\begin{aligned}PM^2 - R^2 &= \frac{850}{9} - 25 \\ &= \frac{625}{9}\end{aligned}

בדיקה בפיתגורס: MA⊥PAMA \perp PA

PA=253≈8.33PA = \frac{25}{3} \approx 8.33. המלכודת: לחשב את PMPM במקום PAPA — המרחק למרכז ארוך יותר מהמשיק, ≈9.72\approx 9.72.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

שרטוט לשאלה 1
MAP-4-2024681012-5-3-113579xy

נתון המעגל (x−2)2+(y−1)2=25(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25 שמרכזו MM, והנקודה A(5,5)A(5, 5) נמצאת עליו. מהנקודה PP, שעל ציר ה-xx, יוצאים שני משיקים למעגל: PAPA, ומשיק שני PBPB. ד. הוכיחו או הפריכו: PB>PAPB > PA.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

PA=PBPA = PB

שני משיקים למעגל מאותה נקודה שווים זה לזה

△PMA≅△PMB\triangle PMA \cong \triangle PMB

הנימוק: יתר משותף, MA=MBMA = MB רדיוסים, וזווית ישרה ליד ההשקה

הטענה אינה נכונה: PB=PA=253PB = PA = \frac{25}{3}. המלכודת: לשפוט לפי מיקום BB בשרטוט — אורך המשיקים שווה תמיד, בלי קשר לצד שבו נמצאת נקודת ההשקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — מרובע חסום וטריגונומטריה במישור

תרגיל 5

שרטוט לשאלה 2
ABCD0

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. נתון AB=5AB = 5, BC=8BC = 8, ∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ ו-AD=DCAD = DC. א. חשבו את אורך האלכסון ACAC.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

AC2=52+82−2⋅5⋅8cos⁡60∘AC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cos 60^\circ

משפט הקוסינוסים במשולש ABCABC

25+64−40=49⇒AC=7\begin{aligned}25 + 64 - 40 &= 49 \Rightarrow AC \\ &= 7\end{aligned}

cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}

AC=7AC = 7. המלכודת: לשכוח את האיבר −2abcos⁡γ-2ab\cos\gamma ולקבל 89\sqrt{89} — פיתגורס נכון רק כשהזווית ישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

שרטוט לשאלה 2
ABCD0

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. נתון AB=5AB = 5, BC=8BC = 8, ∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ ו-AD=DCAD = DC. ב. מהו גודל הזווית ∠ADC\angle ADC?

  1. 90∘90^\circ
  2. 30∘30^\circ
  3. 120∘120^\circ
  4. 60∘60^\circ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 120∘120^\circ

הפתרון:

∠ABC+∠ADC=180∘\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות 180∘180^\circ

∠ADC=180∘−60∘=120∘\begin{aligned}\angle ADC &= 180^\circ - 60^\circ \\ &= 120^\circ\end{aligned}

התשובה הנכונה: 120∘120^\circ. המלכודת: 60∘60^\circ — לחשוב שזוויות נגדיות במרובע חסום שוות, כמו במקבילית. הן משלימות ל-180∘180^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

שרטוט לשאלה 2
ABCD0

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. נתון AB=5AB = 5, BC=8BC = 8, ∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ ו-AD=DCAD = DC. נמצא AC=7AC = 7. ג. חשבו את רדיוס המעגל (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.04

הפתרון:

ACsin⁡∠ABC=2R\frac{AC}{\sin \angle ABC} = 2R

משפט הסינוסים במשולש ABCABC, שחסום באותו מעגל

R=72sin⁡60∘=73≈4.04\begin{aligned}R &= \frac{7}{2 \sin 60^\circ} \\ &= \frac{7}{\sqrt{3}} \approx 4.04\end{aligned}

R≈4.04R \approx 4.04. המלכודת: לשכוח את ה-22 ולקבל 8.088.08 — היחס בין צלע לסינוס הזווית שמולה הוא הקוטר, לא הרדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

שרטוט לשאלה 2
ABCD0

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. נתון AB=5AB = 5, BC=8BC = 8, ∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ ו-AD=DCAD = DC. נמצא AC=7AC = 7 ו-∠ADC=120∘\angle ADC = 120^\circ. ד. חשבו את ADAD (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.04

הפתרון:

72=AD2+AD2−2⋅AD2cos⁡120∘7^2 = AD^2 + AD^2 - 2 \cdot AD^2 \cos 120^\circ

משפט הקוסינוסים במשולש ADCADC, עם DC=ADDC = AD

49=2AD2+AD2=3AD2\begin{aligned}49 &= 2AD^2 + AD^2 \\ &= 3AD^2\end{aligned}

cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}

AD=73≈4.04AD = \frac{7}{\sqrt{3}} \approx 4.04

AD≈4.04AD \approx 4.04 — שווה לרדיוס. המלכודת: לקחת cos⁡120∘=12\cos 120^\circ = \frac{1}{2} ולקבל AD=7AD = 7; הקוסינוס של זווית קהה שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שרטוט לשאלה 2
ABCD0

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. נתון AB=5AB = 5, BC=8BC = 8, ∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ ו-AD=DCAD = DC. נמצא ∠ADC=120∘\angle ADC = 120^\circ ו-AD2=493AD^2 = \frac{49}{3}. ה. חשבו את שטח המרובע ABCDABCD (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24.39

הפתרון:

SABC=12⋅5⋅8sin⁡60∘=103\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \sin 60^\circ \\ &= 10\sqrt{3}\end{aligned}

שטח משולש: חצי מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן

SADC=12⋅493sin⁡120∘=49312\begin{aligned}S_{ADC} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{49}{3} \sin 120^\circ \\ &= \frac{49\sqrt{3}}{12}\end{aligned}

sin⁡120∘=sin⁡60∘\sin 120^\circ = \sin 60^\circ

S=169312≈24.39S = \frac{169\sqrt{3}}{12} \approx 24.39

סכום שני המשולשים

השטח ≈24.39\approx 24.39. המלכודת: לחשוב ש-sin⁡120∘\sin 120^\circ שלילי ולחסר את השטח השני — הסינוס של זווית קהה חיובי, ושטח תמיד מתווסף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — מיתרים נחתכים ודמיון

תרגיל 10

שרטוט לשאלה 3
ABCDE0

במעגל המיתרים ABAB ו-CDCD נחתכים בנקודה EE. א. הוכיחו כי △AEC∼△DEB\triangle AEC \sim \triangle DEB.

  • ABAB ו-CDCD מיתרים
  • ABAB ו-CDCD נחתכים ב-EE

△AEC∼△DEB\triangle AEC \sim \triangle DEB

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠AEC=∠DEB\angle AEC = \angle DEB — זוויות קודקודיות
  2. ∠CAB=∠CDB\angle CAB = \angle CDB — זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
  3. △AEC∼△DEB\triangle AEC \sim \triangle DEB — משפט דמיון ז.ז

הפתרון:

∠AEC=∠DEB\angle AEC = \angle DEB

זוויות קודקודיות

∠CAB=∠CDB\angle CAB = \angle CDB

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות

△AEC∼△DEB\triangle AEC \sim \triangle DEB

משפט דמיון ז.ז

הדמיון לפי ז.ז בהתאמה A→DA \to D, E→EE \to E, C→BC \to B. המלכודת: להתאים AA ל-BB כי שתיהן על אותו מיתר — הזוויות השוות הן שליד AA וליד DD, שתיהן נשענות על הקשת CBCB.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

שרטוט לשאלה 3
ABCDE0

במעגל המיתרים ABAB ו-CDCD נחתכים בנקודה EE. הוכח כי △AEC∼△DEB\triangle AEC \sim \triangle DEB. ב. נתון AE=4AE = 4, EB=6EB = 6 ו-CE=3CE = 3. חשבו את EDED.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

AEDE=CEBE\frac{AE}{DE} = \frac{CE}{BE}

יחס צלעות מתאימות: AE↔DEAE \leftrightarrow DE, CE↔BECE \leftrightarrow BE

4DE=36⇒DE=8\begin{aligned}\frac{4}{DE} &= \frac{3}{6} \Rightarrow DE \\ &= 8\end{aligned}

כופלים בהצלבה: AE⋅EB=CE⋅EDAE \cdot EB = CE \cdot ED

ED=8ED = 8. המלכודת: לכתוב AEEB=CEED\frac{AE}{EB} = \frac{CE}{ED} ולקבל ED=4.5ED = 4.5 — זה יחס בין קטעים של אותו מיתר, והם אינם צלעות מתאימות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

שרטוט לשאלה 3
ABCDE0

במעגל המיתרים ABAB ו-CDCD נחתכים בנקודה EE. נתון AE=4AE = 4, EB=6EB = 6, CE=3CE = 3, ונמצא ED=8ED = 8. ג. מהו היחס בין שטח △AEC\triangle AEC לשטח △DEB\triangle DEB?

  1. 23\frac{2}{3}
  2. 12\frac{1}{2}
  3. 916\frac{9}{16}
  4. 14\frac{1}{4}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 14\frac{1}{4}

הפתרון:

k=AEDE=48=12\begin{aligned}k &= \frac{AE}{DE} \\ &= \frac{4}{8} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

יחס הדמיון

SAECSDEB=k2=14\begin{aligned}\frac{S_{AEC}}{S_{DEB}} &= k^2 \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

התשובה הנכונה: 14\frac{1}{4}. המלכודות: 12\frac{1}{2} — יחס הדמיון בלי ריבוע; 916\frac{9}{16} — ריבוע של 34\frac{3}{4}, יחס בין צלעות שאינן מתאימות; 23\frac{2}{3} — היחס AEEB\frac{AE}{EB} על אותו מיתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — חקירת פונקציה רציונלית

תרגיל 13

נתונה הפונקציה f(x)=x2x2−4f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 4}. א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

  1. כל xx פרט ל-x=±2x = \pm 2
  2. כל xx פרט ל-x=0x = 0
  3. x>2x > 2 או x<−2x < -2
  4. כל xx פרט ל-x=2x = 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כל xx פרט ל-x=±2x = \pm 2

הפתרון:

x2−4=0⇒x=±2\begin{aligned}x^2 - 4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

המכנה לא יכול להתאפס

התשובה הנכונה: כל xx פרט ל-±2\pm 2. המלכודות: לשכוח את −2-2; או x>2x > 2 או x<−2x < -2 — זה תחום של פונקציית שורש, ובפונקציה רציונלית רק המכנה פוסל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

נתונה הפונקציה f(x)=x2x2−4f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 4}. ב. מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים.

אנכיות: x=±x = \pm ____ אופקית: y=y = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אנכיות: x=±x = \pm 2 אופקית: y=y = 1

הפתרון:

x=±2x = \pm 2

המכנה מתאפס והמונה לא — אסימפטוטות אנכיות

x→∞: x2x2−4→1x \to \infty: \ \frac{x^2}{x^2 - 4} \to 1

ל-xx גדול מאוד ה-44 זניח לעומת x2x^2

אנכיות x=±2x = \pm 2, אופקית y=1y = 1. המלכודת: לכתוב y=0y = 0 כאסימפטוטה אופקית «כי יש שבר» — כשמעלת המונה שווה למעלת המכנה, הגרף מתקרב ליחס המקדמים המובילים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

נתונה הפונקציה f(x)=x2x2−4f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 4}. ג. מהי נקודת הקיצון של הפונקציה, ומה סוגה?

  1. (0,0)(0, 0) — מקסימום
  2. אין לפונקציה נקודות קיצון
  3. (0,0)(0, 0) — מינימום
  4. (2,1)(2, 1) — מינימום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א (0,0)(0, 0) — מקסימום

הפתרון:

f′(x)=2x(x2−4)−x2⋅2x(x2−4)2=−8x(x2−4)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x^2-4) - x^2 \cdot 2x}{(x^2-4)^2} \\ &= \frac{-8x}{(x^2-4)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

f′(x)=0⇒x=0\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

המכנה חיובי תמיד בתחום

−1<x<0:f′>0,0<x<1:f′<0-1<x<0: f'>0, \quad 0<x<1: f'<0

עלייה ואז ירידה

התשובה הנכונה: (0,0)(0, 0) — מקסימום. המלכודות: «מינימום» — כי 00 נראה ערך נמוך, בלי טבלת סימנים; ו-(2,1)(2, 1) — הנקודה הזאת אינה בתחום בכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

נתונה הפונקציה f(x)=x2x2−4f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 4}. הנגזרת היא f′(x)=−8x(x2−4)2f'(x) = \dfrac{-8x}{(x^2-4)^2}. ד. מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?

  1. עולה ב-x<0x < 0; יורדת ב-x>0x > 0
  2. עולה ב-x<−2x < -2 וב-−2<x<0-2 < x < 0; יורדת ב-0<x<20 < x < 2 וב-x>2x > 2
  3. יורדת ב-x<−2x < -2 וב-−2<x<0-2 < x < 0; עולה ב-0<x<20 < x < 2 וב-x>2x > 2
  4. עולה ב-−2<x<2-2 < x < 2; יורדת ב-x<−2x < -2 וב-x>2x > 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב עולה ב-x<−2x < -2 וב-−2<x<0-2 < x < 0; יורדת ב-0<x<20 < x < 2 וב-x>2x > 2

הפתרון:

x<0: −8x>0⇒f′>0x < 0: \ -8x > 0 \Rightarrow f' > 0

סימן הנגזרת נקבע רק לפי המונה

x=±2∉Dx = \pm 2 \notin D

מחוץ לתחום. בטבלת הסימנים מסמנים גם את הנקודות שאינן בתחום

התשובה הנכונה: עולה ב-x<−2x<-2 וב-−2<x<0-2<x<0, יורדת ב-0<x<20<x<2 וב-x>2x>2. המלכודת: «עולה ב-x<0x<0» — לאחד את שני הקטעים מעל האסימפטוטה; הפונקציה אינה מוגדרת ב-x=−2x=-2, ולכן אי אפשר לכתוב קטע אחד שעובר דרכה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

נתונה הפונקציה f(x)=x2x2−4f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 4}. ה. הוכיחו או הפריכו: למשוואה f(x)=12f(x) = \frac{1}{2} אין פתרון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x2x2−4=12⇒2x2=x2−4\begin{aligned}\frac{x^2}{x^2-4} &= \frac{1}{2} \Rightarrow 2x^2 \\ &= x^2 - 4\end{aligned}

כופלים במכנים

x2=−4x^2 = -4

אין פתרון ממשי

−2<x<2: f(x)≤0,∣x∣>2: f(x)>1-2<x<2: \ f(x) \le 0, \quad |x|>2: \ f(x) > 1

ובגרף: הערך 12\frac{1}{2} לא מתקבל

נכון. המלכודת: לחשוב שכל ערך בין המקסימום 00 לאסימפטוטה 11 מתקבל — הגרף קופץ מעל האסימפטוטות ולא עובר דרך הרצועה 0<y≤10 < y \le 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 — פונקציית שורש

תרגיל 18

נתונה הפונקציה f(x)=x6−xf(x) = x\sqrt{6 - x}. א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

  1. x<6x < 6
  2. x≤6x \le 6
  3. x≥6x \ge 6
  4. 0≤x≤60 \le x \le 6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x≤6x \le 6

הפתרון:

6−x≥0⇒x≤66 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 6

מתחת לשורש — אי-שלילי

התשובה הנכונה: x≤6x \le 6. המלכודות: x<6x < 6 — השורש של אפס מוגדר; 0≤x≤60 \le x \le 6 — ה-xx שמחוץ לשורש יכול להיות שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

נתונה הפונקציה f(x)=x6−xf(x) = x\sqrt{6 - x}. ב. מהי הנגזרת של הפונקציה, בתחום x<6x < 6?

  1. f′(x)=12−3x26−xf'(x) = \dfrac{12 - 3x}{2\sqrt{6 - x}}
  2. f′(x)=126−xf'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{6 - x}}
  3. f′(x)=−x26−xf'(x) = \dfrac{-x}{2\sqrt{6 - x}}
  4. f′(x)=12+x26−xf'(x) = \dfrac{12 + x}{2\sqrt{6 - x}}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א f′(x)=12−3x26−xf'(x) = \dfrac{12 - 3x}{2\sqrt{6 - x}}

הפתרון:

f′(x)=1⋅6−x+x⋅−126−xf'(x) = 1 \cdot \sqrt{6-x} + x \cdot \frac{-1}{2\sqrt{6-x}}

כלל המכפלה, ונגזרת פנימית −1-1

=2(6−x)−x26−x=12−3x26−x= \frac{2(6-x) - x}{2\sqrt{6-x}} = \frac{12 - 3x}{2\sqrt{6-x}}

מכנה משותף

התשובה הנכונה: 12−3x26−x\dfrac{12-3x}{2\sqrt{6-x}}. המלכודת: 12+x26−x\dfrac{12+x}{2\sqrt{6-x}} — פותחים את 2(6−x)2(6 - x) כ-12+2x12 + 2x. ומי ששוכח את הנגזרת הפנימית −1-1 של 6−x6 - x מקבל 12−x26−x\dfrac{12-x}{2\sqrt{6-x}}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

נתונה הפונקציה f(x)=x6−xf(x) = x\sqrt{6 - x}. הנגזרת היא f′(x)=12−3x26−xf'(x) = \dfrac{12 - 3x}{2\sqrt{6 - x}}. ג. מצאו את נקודת המקסימום של הפונקציה (את שיעור ה-yy עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ( 4 , 5.66 )

הפתרון:

12−3x=0⇒x=4\begin{aligned}12 - 3x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

המונה מתאפס

x<4:f′>0,4<x<6:f′<0x<4: f'>0, \quad 4<x<6: f'<0

עלייה ואז ירידה

f(4)=42≈5.66f(4) = 4\sqrt{2} \approx 5.66

המקסימום (4,42)(4, 4\sqrt{2}). המלכודת: לכתוב f(4)=4⋅2=8f(4) = 4 \cdot 2 = 8 — מתחת לשורש יש 6−4=26 - 4 = 2, ו-2≠2\sqrt{2} \neq 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

נתונה הפונקציה f(x)=x6−xf(x) = x\sqrt{6 - x}. הנגזרת היא f′(x)=12−3x26−xf'(x) = \dfrac{12 - 3x}{2\sqrt{6 - x}}. ד. מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה x=5x = 5.

y=y = ____ x+x + ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=y = -1.5 x+x + 12.5

הפתרון:

f(5)=51=5\begin{aligned}f(5) &= 5\sqrt{1} \\ &= 5\end{aligned}

נקודת ההשקה (5,5)(5, 5)

f′(5)=12−152⋅1=−1.5\begin{aligned}f'(5) &= \frac{12 - 15}{2 \cdot 1} \\ &= -1.5\end{aligned}

שיפוע המשיק

y−5=−1.5(x−5)⇒y=−1.5x+12.5\begin{aligned}y - 5 &= -1.5(x - 5) \Rightarrow y \\ &= -1.5x + 12.5\end{aligned}

המשיק y=−1.5x+12.5y = -1.5x + 12.5. המלכודת: לשכוח את ה-22 שבמכנה של נגזרת השורש ולקבל שיפוע −3-3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

נתונה הפונקציה f(x)=x6−xf(x) = x\sqrt{6 - x}. ה. פתרו את המשוואה 6−x=x\sqrt{6 - x} = x.

  1. x=2x = 2 או x=−3x = -3
  2. x=2x = 2
  3. x=−3x = -3
  4. אין פתרון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x=2x = 2

הפתרון:

6−x=x2⇒x2+x−6=0\begin{aligned}6 - x &= x^2 \Rightarrow x^2 + x - 6 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים את שני האגפים בריבוע

(x+3)(x−2)=0⇒x=2 או x=−3\begin{aligned}(x+3)(x-2) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2 \ \text{או} \ x \\ &= -3\end{aligned}

פתרונות חשודים

x=−3: 9=3≠−3\begin{aligned}x &= -3: \ \sqrt{9} \\ &= 3 \neq -3\end{aligned}

בדיקה: שורש אינו שלילי — הפתרון נפסל

התשובה הנכונה: x=2x = 2 בלבד. המלכודת: x=2x = 2 או x=−3x = -3 — העלאה בריבוע מוסיפה פתרונות, ולכן חובה להציב כל פתרון במשוואה המקורית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 6 — משפט הסינוסים והמקרה הדו-משמעי

תרגיל 23

ABC1C2

במשולש ABCABC נתון ∠B=40∘\angle B = 40^\circ, AB=7AB = 7 ו-AC=5AC = 5. בשרטוט שני המקומות האפשריים של הקודקוד CC על הקרן היוצאת מ-BB: C1C_1 ו-C2C_2. א. כמה משולשים שונים מקיימים את הנתונים?

  1. משולש אחד
  2. אין משולש כזה
  3. אינסוף משולשים
  4. שני משולשים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד שני משולשים

הפתרון:

sin⁡C=7sin⁡40∘5≈0.9\sin C = \frac{7 \sin 40^\circ}{5} \approx 0.9

משפט הסינוסים

C≈64.1∘ או C≈115.9∘C \approx 64.1^\circ \ \text{או} \ C \approx 115.9^\circ

לסינוס חיובי יש זווית חדה וזווית קהה

40∘+115.9∘<180∘40^\circ + 115.9^\circ < 180^\circ

גם הזווית הקהה משאירה מקום לזווית AA

התשובה הנכונה: שני משולשים. הזווית הנתונה מול הצלע הקצרה מבין השתיים (5<75 < 7) — זה בדיוק המקרה שבו משפט החפיפה הרביעי לא חל. המלכודת: לקחת רק את הזווית שהמחשבון נותן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

ABC1C2

במשולש ABCABC נתון ∠B=40∘\angle B = 40^\circ, AB=7AB = 7 ו-AC=5AC = 5. בשרטוט שני המקומות האפשריים של הקודקוד CC על הקרן היוצאת מ-BB: C1C_1 ו-C2C_2. ב. חשבו את הזווית CC במשולש שבו היא חדה (במעלות, עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 64.1

הפתרון:

ACsin⁡B=ABsin⁡C\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}

משפט הסינוסים: כל צלע מול הזווית שלה

sin⁡C=7⋅sin⁡40∘5≈0.8999\sin C = \frac{7 \cdot \sin 40^\circ}{5} \approx 0.8999
C≈64.1∘C \approx 64.1^\circ

C≈64.1∘C \approx 64.1^\circ. המלכודת: להתאים את ACAC לזווית CC — ACAC מונחת מול BB, ו-ABAB מול CC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

ABC1C2

במשולש ABCABC נתון ∠B=40∘\angle B = 40^\circ, AB=7AB = 7 ו-AC=5AC = 5. בשרטוט שני המקומות האפשריים של הקודקוד CC על הקרן היוצאת מ-BB: C1C_1 ו-C2C_2. במשולש שבו הזווית CC קהה, C≈115.9∘C \approx 115.9^\circ. ג. חשבו במשולש הזה את הצלע BCBC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.18

הפתרון:

A=180∘−40∘−115.86∘≈24.14∘A = 180^\circ - 40^\circ - 115.86^\circ \approx 24.14^\circ

סכום הזוויות במשולש

BC=AC⋅sin⁡Asin⁡B=5sin⁡24.14∘sin⁡40∘≈3.18\begin{aligned}BC &= \frac{AC \cdot \sin A}{\sin B} \\ &= \frac{5 \sin 24.14^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 3.18\end{aligned}

משפט הסינוסים

BC≈3.18BC \approx 3.18 — הצלע BC1BC_1 בשרטוט. המלכודת: לחשב עם A≈75.9∘A \approx 75.9^\circ של המשולש השני ולקבל 7.547.54. עגלו רק בסוף: עיגול מוקדם של הזווית מזיז את התוצאה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

ABC1C2

במשולש ABCABC נתון ∠B=40∘\angle B = 40^\circ, AB=7AB = 7 ו-AC=5AC = 5. בשרטוט שני המקומות האפשריים של הקודקוד CC על הקרן היוצאת מ-BB: C1C_1 ו-C2C_2. במשולש שבו הזווית CC קהה, BC≈3.18BC \approx 3.18. ד. חשבו את שטח המשולש הזה (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.16

הפתרון:

S=12⋅AB⋅BC⋅sin⁡BS = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B

שתי צלעות והזווית שביניהן

=12⋅7⋅3.18⋅sin⁡40∘≈7.15= \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 3.18 \cdot \sin 40^\circ \approx 7.15

עם BCBC לא מעוגל, 3.18193.1819, יוצא 7.167.16 — שתי התשובות מתקבלות

השטח ≈7.16\approx 7.16. המלכודת: לקחת את sin⁡C\sin C עם ABAB ו-BCBC — הזווית בנוסחה חייבת להיות הזווית שבין שתי הצלעות, כאן BB.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 7 — משוואה טריגונומטרית

תרגיל 27

נתונה הפונקציה f(x)=4sin⁡(x+30∘)−2f(x) = 4\sin(x + 30^\circ) - 2 בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ. א. פתרו את המשוואה f(x)=0f(x) = 0 בתחום הנתון. כתבו את הפתרונות מהקטן לגדול.

x=x = ____° , ____° , ____°

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x = 0° , 120° , 360°

הפתרון:

sin⁡(x+30∘)=12\sin(x + 30^\circ) = \frac{1}{2}

מבודדים את הסינוס

x+30∘=30∘+360∘k או x+30∘=150∘+360∘k\begin{aligned}x + 30^\circ &= 30^\circ + 360^\circ k \ \text{או} \ x + 30^\circ \\ &= 150^\circ + 360^\circ k\end{aligned}

פתרון כללי

x=360∘k או x=120∘+360∘k\begin{aligned}x &= 360^\circ k \ \text{או} \ x \\ &= 120^\circ + 360^\circ k\end{aligned}
x=0∘ 120∘ 360∘\begin{aligned}x &= 0^\circ \\ \ 120^\circ \\ \ 360^\circ\end{aligned}

שני הקצוות של התחום כלולים

שלושה פתרונות: 0∘,120∘,360∘0^\circ, 120^\circ, 360^\circ. המלכודת: לשכוח את 360∘360^\circ — התחום סגור, ו-k=1k = 1 נותן עוד פתרון על הקצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 28

נתונה הפונקציה f(x)=4sin⁡(x+30∘)−2f(x) = 4\sin(x + 30^\circ) - 2 בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ. ב. מצאו את נקודת המקסימום ואת נקודת המינימום של הפונקציה בתחום.

מקסימום: ( ____° , ____ ) מינימום: ( ____° , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקסימום: ( 60° , 2 ) מינימום: ( 240° , -6 )

הפתרון:

x+30∘=90∘⇒x=60∘ f=4−2=2\begin{aligned}x + 30^\circ &= 90^\circ \Rightarrow x \\ &= 60^\circ \\ \ f &= 4 - 2 \\ &= 2\end{aligned}

הסינוס מגיע ל-11

x+30∘=270∘⇒x=240∘ f=−4−2=−6\begin{aligned}x + 30^\circ &= 270^\circ \Rightarrow x \\ &= 240^\circ \\ \ f &= -4 - 2 \\ &= -6\end{aligned}

הסינוס מגיע ל-−1-1

מקסימום (60∘,2)(60^\circ, 2), מינימום (240∘,−6)(240^\circ, -6). המלכודת: להזיז בכיוון הלא נכון ולקבל x=120∘x = 120^\circ — כאן x+30∘=90∘x + 30^\circ = 90^\circ, ולכן מחסרים 30∘30^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 29

נתונה הפונקציה f(x)=4sin⁡(x+30∘)−2f(x) = 4\sin(x + 30^\circ) - 2 בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ. ג. הוכיחו או הפריכו: למשוואה f(x)=−7f(x) = -7 יש פתרון בתחום.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

−1≤sin⁡(x+30∘)≤1-1 \le \sin(x + 30^\circ) \le 1
−6≤f(x)≤2-6 \le f(x) \le 2

הערך הקטן ביותר של הפונקציה −6-6

sin⁡(x+30∘)=−54<−1\sin(x + 30^\circ) = -\frac{5}{4} < -1

אין זווית כזאת

הטענה אינה נכונה: אין פתרון. המלכודת: לפתור «על אוטומט» ולחפש זווית שהסינוס שלה −1.25-1.25 — לפני כל משוואה בודקים שהערך בין −1-1 ל-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת