תרגול · פרופורציה ודמיון · כיתה י׳

עשרה תרגילים על כל הפרק: משפט תאלס, משפטי הדמיון, יחס ההיקפים ויחס השטחים, משפט חוצה הזווית, אלכסוני טרפז, הגובה ליתר ומיתרים נחתכים. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD = 6$ , $DB = 9$ ו- $AE = 4$ . מצאו את $EC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

משפט תאלס

\begin{aligned}\frac{6}{9} &= \frac{4}{EC} \Rightarrow 6 \cdot EC \\ &= 36 \Rightarrow EC \\ &= 6\end{aligned}

$EC = 6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

יחס הדמיון בין משולש קטן למשולש גדול הוא $2:5$ . שטח המשולש הקטן הוא $12$ סמ״ר. מהו שטח המשולש הגדול, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 75

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{S_1}{S_2} &= k^2 \\ &= \frac{4}{25}\end{aligned}

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון

\begin{aligned}S_2 &= 12 \cdot \frac{25}{4} \\ &= 75\end{aligned}

$75$ סמ״ר. המלכודת: $12 \cdot \frac{5}{2} = 30$ — זה יחס ההיקפים, לא יחס השטחים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בחולון, בשעת אחר הצהריים, ילדה שגובהה $1.4$ מ׳ מטילה צל שאורכו $2$ מ׳. באותו רגע בניין מטיל צל שאורכו $35$ מ׳. מהו גובה הבניין, במטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24.5

הפתרון:

\text{ז.ז}

שני משולשים ישרי זווית, וזווית קרני השמש שווה — דומים

\frac{h}{1.4} = \frac{35}{2}

צלעות מתאימות פרופורציוניות

\begin{aligned}h &= 1.4 \cdot 17.5 \\ &= 24.5\end{aligned}

גובה הבניין $24.5$ מ׳.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

במשולש $ABC$ נתון $AB = 10$ , $AC = 15$ ו- $BC = 20$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). מצאו את $BD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{10}{15} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}BD &= \frac{2}{5} \cdot 20 \\ &= 8\end{aligned}

מחלקים את $BC$ ביחס $2:3$

$BD = 8$ ו- $DC = 12$ . $D$ קרובה יותר לצלע הקצרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

צלעות המשולש $ABC$ הן $4$ , $6$ ו- $8$ , וצלעות המשולש $DEF$ הן $6$ , $9$ ו- $13$ . המשולשים דומים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{6}{4} &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

שני יחסים שווים

\frac{13}{8} = 1.625 \neq 1.5

היחס השלישי שונה

הטענה שגויה: לפי צ.צ.צ צריך ששלושת היחסים יהיו שווים. עם צלע $12$ המשולשים היו דומים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $AB = 6$ , $DC = 15$ ו- $AC = 14$ . מצאו את $AO$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\triangle AOB \sim \triangle COD

ז.ז: זוויות מתחלפות וזוויות קודקודיות

\begin{aligned}\frac{AO}{OC} &= \frac{AB}{CD} \\ &= \frac{6}{15} \\ &= \frac{2}{5}\end{aligned}

\begin{aligned}AO &= \frac{2}{7} \cdot 14 \\ &= 4\end{aligned}

$AO = 4$ ו- $OC = 10$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $CD$ הגובה ליתר $AB$ . נתון $AD = 4$ ו- $DB = 9$ . מצאו את שטח המשולש $ABC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 39

הפתרון:

\triangle ACD \sim \triangle CBD

הגובה ליתר יוצר שני משולשים דומים

\begin{aligned}\frac{AD}{CD} &= \frac{CD}{DB} \Rightarrow CD^2 \\ &= 4 \cdot 9 \\ &= 36 \Rightarrow CD \\ &= 6\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{AB \cdot CD}{2} \\ &= \frac{13 \cdot 6}{2} \\ &= 39\end{aligned}

שטח המשולש $39$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ), ו- $AD : DB = 3 : 2$ . שטח המשולש $ADE$ הוא $18$ . מצאו את שטח הטרפז $DBCE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

יחס הדמיון בין $ADE$ ל- $ABC$ — לא $\frac{3}{2}$

\begin{aligned}\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} &= \frac{9}{25} \Rightarrow S_{ABC} \\ &= 18 \cdot \frac{25}{9} \\ &= 50\end{aligned}

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 50 - 18 \\ &= 32\end{aligned}

שטח הטרפז $32$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במעגל, המיתרים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $E$ . נתון $AE = 4$ , $EB = 9$ ו- $CD = 15$ , ו- $CE < ED$ . מצאו את $CE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

AE \cdot EB = CE \cdot ED

המשולשים $AEC$ ו- $DEB$ דומים (ז.ז)

\begin{aligned}x(15 - x) &= 36 \Rightarrow x^2 - 15x + 36 \\ &= 0\end{aligned}

$CE = x$

\begin{aligned}(x - 3)(x - 12) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

$CE < ED$

$CE = 3$ ו- $ED = 12$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

לגינה ציבורית ברחובות יש צורה של משולש $ABC$ , ו- $AB = 20$ מ׳. סוללים שביל ישר $DE$ המקביל ל- $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ), והוא מחלק את הגינה לשני חלקים שווים בשטחם. מצאו את $AD$ , במטרים. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14.14

הפתרון:

\triangle ADE \sim \triangle ABC

תאלס המורחב: $DE \parallel BC$

\begin{aligned}\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} &= \frac{1}{2} \\ &= k^2\end{aligned}

המשולש הקטן הוא חצי מהגינה

\begin{aligned}k &= \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow AD \\ &= \frac{20}{\sqrt{2}} \\ &= 10\sqrt{2} \approx 14.14\end{aligned}

$AD \approx 14.14$ מ׳. המלכודת: $AD = 10$ — חצי מהצלע נותן רבע מהשטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

השיעור הבא מחכה ב-elev