שרטוט גובה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

לפני שמחשבים שטח משולש, צריך לדעת לשרטט גובה. זה קשה יותר ממה שנראה, במיוחד במשולש קהה זווית.

שיטת הילד והכדור: הקודקוד הוא ילד שמחזיק כדור, והבסיס הוא הרצפה.

הילד משחרר את הכדור, והוא נופל ישר למטה, בניצב לרצפה. המסלול של הכדור הוא הגובה.

לפעמים הרצפה נגמרת לפני שהכדור נוחת. אז מאריכים את הבסיס, והגובה נופל מחוץ למשולש. זה תקין, וזה קורה בכל משולש קהה זווית.

שרטוט בעזרת סרגל

הגובה ששרטטתם פוגש את הקו של הבסיס מחוץ לקטע ABAB. האם טעיתם?

להציג את התשובה והפתרון

לא. המשולש קהה זווית, ולכן הגובה מ-CC נופל על המשך הבסיס. בשביל זה הסרגל ארוך יותר מהבסיס.

שלושה גבהים בכל משולש

לכל משולש יש שלושה גבהים, כי כל צלע יכולה לשמש בסיס.

בנוסחת השטח לוקחים בסיס וגובה שמתאימים זה לזה, ולא סתם שני קווים מהשאלה.

הטעות של שרטוט הגובה.

הגובה חייב להיות בתוך המשולש\text{הגובה חייב להיות בתוך המשולש}
במשולש קהה הוא יוצא החוצה\text{במשולש קהה הוא יוצא החוצה}

מאריכים את הבסיס בקו מקווקו, והגובה נופל עליו מחוץ למשולש.

הגובה=הצלע\text{הגובה} = \text{הצלע}
הגובה מאונך לבסיס\text{הגובה מאונך לבסיס}

רק במשולש ישר זווית שני הניצבים משמשים גם כגבהים זה לזה.

במשולש קהה זווית — כמה גבהים נופלים מחוץ למשולש?

להציג את התשובה והפתרון

שניים. רק הגובה מהקודקוד הקהה נשאר בפנים. גובה חיצוני עובד בנוסחת השטח בדיוק כרגיל.

מה חייב להתקיים בין הבסיס לגובה בנוסחת השטח?

להציג את התשובה והפתרון

הם חייבים להיות זוג: הגובה שנמדד דווקא אל הבסיס הזה. צלע עם גובה של צלע אחרת — הטעות הקלאסית.

תרגילים

תרגיל 1

h

הגובה במשולש הוא:

  1. קטע מקודקוד, מאונך לבסיס
  2. קטע שחוצה זווית
  3. הצלע הארוכה ביותר
  4. קטע לאמצע הצלע
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א קטע מקודקוד, מאונך לבסיס

הפתרון:

⊥\perp

מאונך לבסיס

קטע לאמצע הצלע הוא תיכון — נושא אחר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש קהה זווית, איפה נמצא הגובה לצלע שליד הזווית הקהה?

  1. על הצלע עצמה
  2. תמיד בתוך המשולש
  3. מחוץ למשולש
  4. לא קיים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג מחוץ למשולש

הפתרון:

מאריכים את הבסיס\text{מאריכים את הבסיס}

בקו מקווקו

זה תקין לגמרי — הגובה עדיין מאונך לבסיס המוארך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

545

במשולש שבשרטוט הבסיס 5 ס״מ, והגובה אליו 4 ס״מ — הוא נופל מחוץ למשולש. מה שטח המשולש, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

S=a⋅h2S = \frac{a \cdot h}{2}

גובה חיצוני עובד בנוסחה בדיוק כרגיל

S=5⋅42=10\begin{aligned}S &= \frac{5 \cdot 4}{2} \\ &= 10\end{aligned}

מציבים את הבסיס 5 ואת הגובה 4

הצלע המשופעת 5 אינה הגובה. הבסיס הוא הקטע 5 עצמו, לא הבסיס המוארך עד כף הרגל של הגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

כמה גבהים יש בכל משולש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

33

אחד לכל צלע

כל צלע יכולה לשמש בסיס — ולכן שלושה גבהים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש ישר זווית, מה משמש כגובה לניצב אחד?

  1. היתר
  2. התיכון
  3. אין גובה כזה
  4. הניצב השני
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הניצב השני

הפתרון:

a⊥ba \perp b

שני הניצבים מאונכים זה לזה

זה המקרה היחיד שבו צלע היא גם גובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

165
הזוג הנכון

במשולש בסיס 16 והגובה אליו 5. מהו השטח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

16×52=40\frac{16 \times 5}{2} = 40

כל משולש הוא חצי ממלבן שאורכו הבסיס ורוחבו הגובה — ומשם מגיעה החלוקה בשתיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

?6
הבסיס מוסתר

שטח משולש 27 סמ״ר והגובה 6. מהו הבסיס?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

27×2=5427 \times 2 = 54
54:6=954 : 6 = 9

הולכים אחורה: קודם מכפילים בשתיים כדי לבטל את החלוקה שבנוסחה, ורק אז מחלקים בגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש קהה הגובה מהקודקוד החד נופל…

  1. בתוך המשולש
  2. לא קיים
  3. מחוץ למשולש, על המשך הצלע
  4. על הקודקוד הקהה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג מחוץ למשולש, על המשך הצלע

הפתרון:

⊥\perp

להמשך הצלע

גובה חיצוני הוא גובה גמור — גם בנוסחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

משולש ישר זווית עם ניצבים 6 ו-8. מהו שטחו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

6×82=24\frac{6 \times 8}{2} = 24

הניצבים הם בסיס וגובה

במשולש ישר זווית הזוג המושלם כבר בנוי — שני הניצבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

1210?

במשולש שטח 30, בסיס אחד 10 ובסיס אחר 12. מהו הגובה אל הבסיס של ה-12?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

30×2=6030 \times 2 = 60
60:12=560 : 12 = 5

לכל בסיס גובה משלו — אבל השטח אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

411

מקבילית עם בסיס 11 וגובה 4. מהו שטחה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 44

הפתרון:

11×4=4411 \times 4 = 44

בלי חצי

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

14131512

במשולש שבשרטוט, הצלע שאורכה 13 היא הגובה אל הבסיס שאורכו 14.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

h=12h = 12

הגובה הוא הקטע המקווקו, שמאונך לבסיס

S=14⋅122=84\begin{aligned}S &= \frac{14 \cdot 12}{2} \\ &= 84\end{aligned}

בסיס וגובה שמתאימים זה לזה

הצלע 13 משופעת: היא לא מאונכת לבסיס. 13⋅14:213 \cdot 14 : 2 הוא הטעות הקלאסית — צלע במקום גובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

2110178

איזה זוג נכנס לנוסחת השטח של המשולש שבשרטוט?

  1. בסיס 21 וגובה 8
  2. בסיס 21 וגובה 10
  3. בסיס 10 וגובה 8
  4. בסיס 17 וגובה 8
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א בסיס 21 וגובה 8

הפתרון:

h=8⊥21h = 8 \perp 21

הגובה 8 מאונך דווקא לצלע 21

S=21⋅82=84\begin{aligned}S &= \frac{21 \cdot 8}{2} \\ &= 84\end{aligned}

בסיס וגובה שמתאימים

הגובה 8 שייך לבסיס 21 בלבד. עם הצלע 10 או 17 הוא לא יוצר זוג, ו-10 היא צלע, לא גובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

  • 11
  • 22
  • 33
  • 44
  • ומעבירים את הקו — זהו הגובה.
  • מזיזים אותו לאורך הבסיס עד שהוא מגיע אל הקודקוד.
  • מניחים את הסרגל לאורך הבסיס.
  • מצמידים אליו את המשולש הישר (הסרגל השני) בזווית ישרה.
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11 — מניחים את הסרגל לאורך הבסיס. · 22 — מצמידים אליו את המשולש הישר (הסרגל השני) בזווית ישרה. · 33 — מזיזים אותו לאורך הבסיס עד שהוא מגיע אל הקודקוד. · 44 — ומעבירים את הקו — זהו הגובה.

הפתרון:

אלה ארבעת השלבים, בסדר שבו עבדתם עם הסרגל והמשולש הישר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

86ABC

במשולש קהה זווית ABCABC הבסיס ABAB הוא 6 ס״מ. הגובה מהקודקוד CC נופל על המשך הבסיס, ואורכו 8 ס״מ. מהו שטח המשולש, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

S=a⋅h2S = \frac{a \cdot h}{2}

אותה נוסחה, גם כשהגובה בחוץ

S=6⋅82=24\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}

הבסיס הוא הצלע ABAB עצמה — 6

הבסיס נשאר 6: את ההמשך המקווקו מוסיפים רק כדי שלגובה יהיה על מה ליפול, והוא אינו חלק מהמשולש. מי שמציב את הבסיס המוארך (9) מקבל 36 — וטועה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

4105

במשולש שבשרטוט הבסיס 10 ס״מ, הצלע המשופעת 5 ס״מ, והגובה אל הבסיס 4 ס״מ. מהו שטח המשולש?

  1. 50 סמ״ר
  2. 40 סמ״ר
  3. 25 סמ״ר
  4. 20 סמ״ר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 20 סמ״ר

הפתרון:

S=10⋅42=20\begin{aligned}S &= \frac{10 \cdot 4}{2} \\ &= 20\end{aligned}

בסיס, והגובה אליו — הקטע המקווקו

הצלע המשופעת (5) אינה הגובה: היא לא מאונכת לבסיס. 25 בא מהצבת הצלע במקום הגובה, ו-40 מהצבה נכונה ששכחה את החלוקה ב-2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

86104.8

במשולש ישר זווית, הגובה אל היתר קצר מכל אחד משני הניצבים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

S=6⋅82=24\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}

בשרטוט: ניצבים 6 ו-8, יתר 10

h=2⋅2410=4.8\begin{aligned}h &= \frac{2 \cdot 24}{10} \\ &= 4.8\end{aligned}

הגובה אל היתר

4.8<6 , 4.8<84.8 < 6 \ , \ 4.8 < 8

קצר משניהם

הגובה הוא הקטע הקצר ביותר מהקודקוד אל היתר, כי הוא מאונך לו. כל ניצב הוא קטע אחר מאותו קודקוד אל אותו ישר — ולכן ארוך יותר. זה נכון בכל משולש ישר זווית, לא רק בזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

4912?ABC

במשולש ABCABC הצלע BCBC היא 4 ס״מ, והגובה אליה 9 ס״מ (הוא נופל מחוץ למשולש). הצלע ABAB היא 12 ס״מ. מהו אורך הגובה מ-CC אל ABAB, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

S=4⋅92=18\begin{aligned}S &= \frac{4 \cdot 9}{2} \\ &= 18\end{aligned}

השטח מהזוג המלא: בסיס והגובה אליו

12⋅h2=18\frac{12 \cdot h}{2} = 18

אותו שטח, עם הבסיס השני

h=3612=3\begin{aligned}h &= \frac{36}{12} \\ &= 3\end{aligned}

מבטלים את החצי, ומחלקים

שני גבהים, שני בסיסים — שטח אחד. גם הגובה מ-CC נופל כאן מחוץ למשולש, על המשך ABAB, וזה לא משנה דבר בחישוב. מי שמחלק את 18 ב-12 בלי להכפיל קודם ב-2 מקבל 1.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שלושה גבהים בכל משולש

תרגיל 19

האם הקטע המתואר הוא גובה במשולש?

  • גובה
  • לא גובה
  • במשולש ישר-זווית — ניצב אחד, ביחס לניצב השני
  • קטע המאונך לצלע אך אינו יוצא מקודקוד
  • קטע מקודקוד אל אמצע הצלע שממול, בלי זווית ישרה
  • קטע מקודקוד, מאונך לצלע שממול
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: קטע מקודקוד, מאונך לצלע שממול — גובה · במשולש ישר-זווית — ניצב אחד, ביחס לניצב השני — גובה · קטע מקודקוד אל אמצע הצלע שממול, בלי זווית ישרה — לא גובה · קטע המאונך לצלע אך אינו יוצא מקודקוד — לא גובה

הפתרון:

h⊥ah \perp a

מאונך לצלע שממול

A∈hA \in h

וגם עובר דרך הקודקוד

גובה דורש שני תנאים יחד: לצאת מקודקוד, ולהיות מאונך לצלע שממול. קטע שמקיים רק אחד מהם אינו גובה — גם אם הוא נראה כזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת