רמה מתקדמת — חזקות ושברים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ברמה הזאת נוסף שלב אחד לסדר, והוא נכנס לפני הכול: החזקות. הסדר המלא הוא — סוגריים, אחר כך חזקות, אחר כך כפל וחילוק, ולבסוף חיבור וחיסור.

המינוס והחזקה — ההבדל שמפיל את כולם

שני הביטויים האלה נראים דומים, ואינם שווים:

(−3)2=9(-3)^2 = 9

הסוגריים אומרים שהמינוס נכנס לחזקה: (−3)⋅(−3)=9(-3) \cdot (-3) = 9.

−32=−9-3^2 = -9

בלי סוגריים החזקה חלה רק על ה-3, והמינוס נשאר בחוץ.

הכלל בשורה אחת: החזקה חלה רק על מה שצמוד לה. מינוס בתוך הסוגריים — נכנס לחזקה; מינוס בחוץ — מחכה בחוץ.

שברים — לא להפוך למספר עשרוני

כשהתשובה יוצאת שבר, משאירים אותה שבר. 112\tfrac{11}{2} נשאר 112\tfrac{11}{2} (או 5125\tfrac{1}{2}). בשברים כמו 13\tfrac{1}{3} המעבר לעשרוני אפילו לא מדויק, והתשובה הופכת לקירוב.

חזקה, סוגריים ושבר יחד

חשבו 23(12−32)−9⋅14\tfrac{2}{3}(12 - 3^2) - 9 \cdot \tfrac{1}{4}.

23(12−32⏟9)−9⋅14\tfrac{2}{3}\left(12 - \underbrace{3^2}_{9}\right) - 9 \cdot \tfrac{1}{4}

חזקה לפני חיסור

23⋅(12−9)⏟3−9⋅14\tfrac{2}{3} \cdot \underbrace{(12 - 9)}_{3} - 9 \cdot \tfrac{1}{4}

סוגריים

23⋅3⏟2−9⋅14⏟94\underbrace{\tfrac{2}{3} \cdot 3}_{2} - \underbrace{9 \cdot \tfrac{1}{4}}_{\tfrac{9}{4}}

כפל — שתי הדרגות באותה שורה

2−94⏟−14\underbrace{2 - \tfrac{9}{4}}_{-\tfrac{1}{4}}

ומשאירים שבר

שלוש הטעויות של הרמה המתקדמת.

−32=9-3^2 = 9
−32=−9-3^2 = -9

בלי סוגריים המינוס אינו בחזקה.

(−2)3=8(-2)^3 = 8
(−2)3=−8(-2)^3 = -8

חזקה אי-זוגית שומרת על המינוס; רק חזקה זוגית מוחקת אותו.

112→5.5\tfrac{11}{2} \to 5.5
112\tfrac{11}{2}

שבר נשאר שבר. עשרוני הוא לרוב קירוב, ובבחינה זה עולה נקודות.

חשבו: 12+84\frac{12 + 8}{4}

להציג את התשובה והפתרון

5. קו שבר הוא סוגריים סמויים — קודם מחשבים את כל המונה.

תרגילים

תרגיל 1

חשבו:

−(−4)2:8+2⋅(−32)-(-4)^2 : 8 + 2 \cdot (-3^2)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -20

הפתרון:

(−4)2=16−32=−9\begin{aligned}(-4)^2 &= 16 \quad \\ \quad -3^2 &= -9\end{aligned}

שימו לב להבדל

−16:8=−2-16 : 8 = -2
−2+2⋅(−9)=−20-2 + 2 \cdot (-9) = -20

שני המינוסים בתרגיל הזה מתנהגים אחרת — זה כל העניין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו:

−2:[(−5)2+3⋅(−2)3]-2 : [(-5)^2 + 3 \cdot (-2)^3]
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

(−5)2=25(−2)3=−8\begin{aligned}(-5)^2 &= 25 \quad \\ \quad (-2)^3 &= -8\end{aligned}

זוגית מוחקת, אי-זוגית שומרת

25−24=125 - 24 = 1
−2:1=−2-2 : 1 = -2
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חשבו:

1000:(−2)31000 : (-2)^3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -125

הפתרון:

(−2)3=−8(-2)^3 = -8
1000:(−8)=−1251000 : (-8) = -125

החזקה לפני החילוק. מעריך אי-זוגי שומר על הסימן השלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חשבו (התשובה שבר):

23(12−32)−9⋅14\tfrac{2}{3}(12 - 3^2) - 9 \cdot \tfrac{1}{4}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.25

הפתרון:

12−9=312 - 9 = 3
23⋅3=2\tfrac{2}{3} \cdot 3 = 2
2−94=−142 - \tfrac{9}{4} = -\tfrac{1}{4}

רשמו −14-\tfrac{1}{4}, לא −0.25-0.25.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חשבו:

−32−(−2)2⋅2-3^2 - (-2)^2 \cdot 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -17

הפתרון:

−32=−9(−2)2=4\begin{aligned}-3^2 &= -9 \quad \\ \quad (-2)^2 &= 4\end{aligned}
−9−8=−17-9 - 8 = -17

בלי סוגריים החזקה חלה רק על ה-3 עצמו, והמינוס נשאר בחוץ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

חשבו:

80−80:(−4)280 - 80 : (-4)^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 75

הפתרון:

(−4)2=16(-4)^2 = 16
80:16=580 : 16 = 5
80−5=7580 - 5 = 75

קודם החזקה, אחר כך החילוק, ורק בסוף החיסור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חשבו:

10:[(−32+1):42]10 : [(-3^2 + 1) : 4^2]
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -20

הפתרון:

−32+1=−8-3^2 + 1 = -8

המינוס בחוץ!

−8:16=−12-8 : 16 = -\tfrac{1}{2}
10:(−12)=−2010 : \left(-\tfrac{1}{2}\right) = -20

חילוק בשבר

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

חשבו (התשובה שבר):

12⋅(−12)3−21412 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right)^3 - 2\tfrac{1}{4}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3.75

הפתרון:

(−12)3=−18\left(-\tfrac{1}{2}\right)^3 = -\tfrac{1}{8}

חזקה אי-זוגית

12⋅(−18)=−3212 \cdot \left(-\tfrac{1}{8}\right) = -\tfrac{3}{2}
−32−94=−154-\tfrac{3}{2} - \tfrac{9}{4} = -\tfrac{15}{4}

−154-\tfrac{15}{4}, כלומר −334-3\tfrac{3}{4}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

חשבו:

5−34⋅(−20)5 - \tfrac{3}{4} \cdot (-20)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

34⋅(−20)=−15\tfrac{3}{4} \cdot (-20) = -15
5−(−15)=205 - (-15) = 20

כפל לפני חיסור. וחיסור של מספר שלילי הופך לחיבור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חשבו (התשובה שבר):

33:{34−14⋅[9−(8−1)]}33 : \{34 - 14 \cdot [9 - (8 - 1)]\}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.5

הפתרון:

8−1=79−7=2\begin{aligned}8 - 1 &= 7 \quad \\ \quad 9 - 7 &= 2\end{aligned}

מבפנים החוצה

34−28=634 - 28 = 6
33:6=11233 : 6 = \tfrac{11}{2}

שלוש רמות של סוגריים, ותמיד מהפנימי ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

חשבו:

23⋅{114⋅[(−2)⋅3+0.3⋅100]−6}\tfrac{2}{3} \cdot \left\{ 1\tfrac{1}{4} \cdot [(-2) \cdot 3 + 0.3 \cdot 100] - 6 \right\}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

−6+30=24-6 + 30 = 24
54⋅24=30\tfrac{5}{4} \cdot 24 = 30
30−6=2430 - 6 = 24
23⋅24=16\tfrac{2}{3} \cdot 24 = 16

תרגיל ארוך נפתר שלב אחרי שלב, מבפנים החוצה — לא בקפיצה אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

חשבו:

(213−34):(158−56)\left(2\tfrac{1}{3} - \tfrac{3}{4}\right) : \left(1\tfrac{5}{8} - \tfrac{5}{6}\right)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

73−34=1912\tfrac{7}{3} - \tfrac{3}{4} = \tfrac{19}{12}
138−56=1924\tfrac{13}{8} - \tfrac{5}{6} = \tfrac{19}{24}
1912:1924=2\tfrac{19}{12} : \tfrac{19}{24} = 2

כופלים בהופכי

שימו לב כמה יפה זה יוצא כשלא הופכים לעשרוני באמצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

חשבו (התשובה שבר):

(−312+258):(−4:23)\left(-3\tfrac{1}{2} + 2\tfrac{5}{8}\right) : \left(-4 : 2^3\right)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.75

הפתרון:

−72+218=−78-\tfrac{7}{2} + \tfrac{21}{8} = -\tfrac{7}{8}
−4:8=−12-4 : 8 = -\tfrac{1}{2}
−78:(−12)=74-\tfrac{7}{8} : \left(-\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{7}{4}

74\tfrac{7}{4}, כלומר 1341\tfrac{3}{4}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

חשבו (התשובה שבר):

−36:∣−9∣⋅∣−38∣-36 : |-9| \cdot \left|-\tfrac{3}{8}\right|
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1.5

הפתרון:

∣−9∣=9∣−38∣=38\begin{aligned}|-9| &= 9 \quad \\ \quad \left|-\tfrac{3}{8}\right| &= \tfrac{3}{8}\end{aligned}
−36:9=−4-36 : 9 = -4

משמאל לימין

−4⋅38=−32-4 \cdot \tfrac{3}{8} = -\tfrac{3}{2}

חילוק וכפל באותה דרגה — ולכן משמאל לימין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

הביטויים (−3)2(-3)^2 ו-−32-3^2 שווים זה לזה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

לא. בסוגריים המינוס נכנס לחזקה ונותן 9; בלעדיהם הוא נשאר בחוץ ונותן 9-.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

חזקה אי-זוגית של מספר שלילי נשארת שלילית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

מספר שלילי בחזקה אי-זוגית נשאר שלילי: הזוגות מתבטלים, ואחד נשאר בודד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שברים — לא להפוך למספר עשרוני

תרגיל 17

חשבו: 34⋅8−23⋅9\frac{3}{4} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 9

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

34⋅8=6\frac{3}{4} \cdot 8 = 6
23⋅9=6\frac{2}{3} \cdot 9 = 6
6−6=06 - 6 = 0

שני הכפלים קודמים לחיסור. אין צורך במספר עשרוני באף שלב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

חשבו: 56+23⋅12\frac{5}{6} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}

  1. 58\frac{5}{8}
  2. 76\frac{7}{6}
  3. 34\frac{3}{4}
  4. 912\frac{9}{12}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 76\frac{7}{6}

הפתרון:

23⋅12=13\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}

הכפל קודם

56+26=76\frac{5}{6} + \frac{2}{6} = \frac{7}{6}

מכנה משותף

התשובה נשארת שבר. 76\frac{7}{6} הוא מספר גדול מ-1 — וזה תקין לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת