ניצבות והקבלה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שני ישרים במישור יכולים להיות ביחס אחד משניים שמעניינים אותנו: מאונכים או מקבילים.

a⊥ba \perp b

מאונכים — נחתכים בזווית של 90°90° בדיוק. הסימן הוא ⊥\perp.

a∥ba \parallel b

מקבילים — לעולם אינם נחתכים, ולא משנה עד כמה נמשיך אותם. הסימן הוא ∥\parallel.

הישר הכחול התחיל ב-60 מעלות. בכמה מעלות צריך לסובב אותו כדי שיהיה מאונך לישר האדום?

להציג את התשובה והפתרון

ב-30 מעלות: 90−60=3090 - 60 = 30. זווית של 89 או של 91 מעלות כבר אינה ניצבות — רק 90 בדיוק.

מרחק נקודה מישר

זו ההגדרה שהכי הרבה תלמידים מפספסים: המרחק מנקודה לישר הוא אורך הקטע המאונך מהנקודה אל הישר — ולא אורך של קטע אלכסוני כלשהו.

למה דווקא המאונך? כי מכל הקטעים שאפשר למתוח מהנקודה אל הישר, המאונך הוא הקצר ביותר. וכשאומרים «מרחק» מתכוונים תמיד לקצר ביותר.

זו בדיוק הסיבה שהגובה במשולש מוגדר כמאונך: הוא המרחק מהקודקוד אל הבסיס. שני הנושאים הם אותו רעיון.

מרחק בין שני ישרים מקבילים

בין שני מקבילים המרחק קבוע לכל אורכם — וזו למעשה הגדרה שנייה של הקבלה. מודדים אותו, כמובן, על קטע מאונך לשניהם.

שתי הטעויות של היחידה.

מרחק=הקטע הנוח לציור\text{מרחק} = \text{הקטע הנוח לציור}
מרחק=הקטע המאונך\text{מרחק} = \text{הקטע המאונך}

רק המאונך הוא המרחק. כל קטע אחר ארוך ממנו.

a⊥b ולכן a∥ba \perp b \ \text{ולכן} \ a \parallel b
שני יחסים הפוכים\text{שני יחסים הפוכים}

מאונכים כן נפגשים, ובזווית ישרה. מקבילים לא נפגשים לעולם.

שני ישרים נחתכים ויוצרים זווית של 90 מעלות. איך קוראים להם?

להציג את התשובה והפתרון

מאונכים, ומסמנים a⊥ba \perp b. הריבוע הקטן בנקודת המפגש אומר את זה בציור.

ישר aa מקביל ל-bb, ו-bb מקביל ל-cc. מה היחס בין aa ל-cc?

להציג את התשובה והפתרון

מקבילים. המקבילות עוברת הלאה — שלושתם באותו כיוון בדיוק.

תרגילים

תרגיל 1

שני ישרים מאונכים נחתכים בזווית של:

  1. לא נחתכים כלל
  2. 45°45°
  3. 90°90°
  4. 180°180°
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 90°90°

הפתרון:

a⊥ba \perp b

ההגדרה

מאונכים כן נפגשים — בזווית ישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המרחק מנקודה לישר הוא:

  1. אורך הקטע המאונך
  2. אורך כל קטע מהנקודה לישר
  3. הקטע הארוך ביותר
  4. המרחק לקצה הישר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א אורך הקטע המאונך

הפתרון:

⊥\perp

רק המאונך

הוא הקצר ביותר מכל הקטעים — ולכן הוא «המרחק».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

שני ישרים מקבילים:

  1. נחתכים באינסוף נקודות
  2. נחתכים בזווית ישרה
  3. לעולם אינם נחתכים
  4. נחתכים בנקודה אחת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לעולם אינם נחתכים

הפתרון:

a∥ba \parallel b

ההגדרה

ולכן המרחק ביניהם קבוע לכל אורכם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מדוע הגובה במשולש מוגדר כמאונך לבסיס?

  1. כי הגובה הוא המרחק מהקודקוד לבסיס
  2. כי כל הקטעים שווים
  3. זו הגדרה שרירותית
  4. כי כך נוח לצייר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כי הגובה הוא המרחק מהקודקוד לבסיס

הפתרון:

מרחק=מאונך\text{מרחק} = \text{מאונך}

אותה הגדרה

שני הנושאים — מרחק וגובה — הם בדיוק אותו רעיון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שימו לב לסימן

הישרים שבציור — מה היחס ביניהם?

  1. מאונכים
  2. אותו ישר
  3. מקבילים
  4. נחתכים ב-45
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מאונכים

הפתרון:

⊥\perp

הריבוע הקטן

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ואלה?

  1. אי אפשר לדעת
  2. נפגשים רחוק
  3. מאונכים
  4. מקבילים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מקבילים

הפתרון:

∥\parallel

מרחק קבוע

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ישר aa מאונך ל-bb. כמה זוויות ישרות נוצרות בנקודת המפגש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

44

כל הארבע שוות 90

מספיק ריבוע קטן אחד בציור — השאר נובעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

שני ישרים מאונכים לאותו ישר שלישי. מה היחס ביניהם?

  1. אי אפשר לדעת
  2. מאונכים זה לזה
  3. נחתכים ב-45
  4. מקבילים זה לזה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מקבילים זה לזה

הפתרון:

⊥ , ⊥→∥\perp \ , \ \perp \rightarrow \parallel

אותו כיוון בדיוק

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

איזה סימון אומר «aa מקביל ל-bb»?

  1. a⊥ba \perp b
  2. a×ba \times b
  3. a=ba = b
  4. a∥ba \parallel b
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד a∥ba \parallel b

הפתרון:

∥\parallel

שני קווים מקבילים קטנים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ישר נחתך עם ישר שני בזווית 90. אחת הזוויות במפגש היא 90 — כמה מעלות הזווית שממול לה (הקודקודית)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

9090

קודקודיות שוות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

ניצבות והקבלה

תרגיל 11

במלבן ABCDABCD (הקודקודים לפי הסדר), איזה זוג קטעים מאונך זה לזה?

  1. ACAC ו-BDBD
  2. ABAB ו-BCBC
  3. ABAB ו-DCDC
  4. ADAD ו-BCBC
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ABAB ו-BCBC

הפתרון:

∠ABC=90°\angle ABC = 90°

הזווית שבין שתי הצלעות הסמוכות

צלעות סמוכות במלבן נפגשות בזווית ישרה. הצלעות הנגדיות (ABAB ו-DCDC) מקבילות, והאלכסונים במלבן נחתכים — אבל לא בהכרח בזווית ישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

במרובע GKMPGKMP הזווית שבקודקוד GG ישרה, וגם הזווית שבקודקוד MM ישרה. האם נובע מכך שכל ארבע הזוויות שלו ישרות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

360−90−90=180360 - 90 - 90 = 180

מה שנשאר לשתי הזוויות האחרות

שתי הזוויות הנותרות מסתכמות ב-180°180° — אבל הן יכולות להיות 70°70° ו-110°110°. שתי זוויות ישרות אינן מספיקות; במלבן צריך ארבע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

במלבן ABCDABCD (הקודקודים לפי הסדר) — מקבילים או מאונכים?

  • מקבילים
  • מאונכים
  • ABAB ו-ADAD
  • ABAB ו-DCDC
  • ADAD ו-BCBC
  • DCDC ו-BCBC
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ABAB ו-DCDC — מקבילים · ADAD ו-BCBC — מקבילים · ABAB ו-ADAD — מאונכים · DCDC ו-BCBC — מאונכים

הפתרון:

AB∥DCAB \parallel DC

נגדיות — מקבילות

AB⊥ADAB \perp AD

סמוכות — מאונכות

צלעות נגדיות — מקבילות; צלעות סמוכות — מאונכות. זה בדיוק מה שהופך מרובע למלבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

ABCD

בטרפז ABCDABCD שבציור AB∥DCAB \parallel DC, והזוויות ב-AA וב-DD ישרות. איזו צלע מאונכת לשני הבסיסים?

  1. ADAD
  2. BCBC
  3. DCDC
  4. ABAB
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א ADAD

הפתרון:

AD⊥ABAD \perp AB

הזווית ב-AA ישרה

AD⊥DCAD \perp DC

וגם הזווית ב-DD ישרה

הצלע ADAD מאונכת לשני הבסיסים, ולכן היא גם המרחק ביניהם — הגובה של הטרפז. BCBC נטויה: היא אינה מאונכת לאף בסיס. ו-ABAB, DCDC הם הבסיסים עצמם, מקבילים זה לזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

ABCDEFPQ
הישר b עובר דרך A ו-B, הישר a דרך C ו-D, והישר c דרך E ו-F.

שלושה ישרים במישור: a⊥ba \perp b וגם b⊥cb \perp c. לכן a⊥ca \perp c.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

a⊥b , c⊥ba \perp b \ , \ c \perp b

שני ישרים מאונכים לאותו ישר bb

a∥ca \parallel c

ולכן הם מקבילים זה לזה

הפיתוי הוא «ניצבות עוברת הלאה» — אבל היא לא עוברת. שני ישרים שמאונכים לאותו ישר עומדים באותו כיוון, ולכן a∥ca \parallel c ולא a⊥ca \perp c.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

ABCD

בריבוע ABCDABCD שבציור שורטטו גם שני האלכסונים. מקבילים או מאונכים?

  • מקבילים
  • מאונכים
  • ABAB ו-BCBC
  • ABAB ו-DCDC
  • ACAC ו-BDBD
  • ADAD ו-BCBC
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ABAB ו-DCDC — מקבילים · ADAD ו-BCBC — מקבילים · ABAB ו-BCBC — מאונכים · ACAC ו-BDBD — מאונכים

הפתרון:

AB∥DC , AD∥BCAB \parallel DC \ , \ AD \parallel BC

צלעות נגדיות

AB⊥BCAB \perp BC

צלעות סמוכות

AC⊥BDAC \perp BD

בריבוע האלכסונים מאונכים

הזוג המפתיע הוא האלכסונים: בריבוע הם נחתכים בזווית ישרה. במלבן שאינו ריבוע הם נחתכים — אבל לא ב-90°90°.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

ABCDEFPQ
הישר a עובר דרך A ו-B, הישר b דרך C ו-D, והישר c דרך E ו-F.

בציור a∥ba \parallel b, והישר cc מאונך ל-aa בנקודה PP. הישר cc חותך גם את bb בנקודה QQ. כמה מעלות הזווית בין cc ל-bb?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

a∥ba \parallel b

bb באותו כיוון בדיוק כמו aa

c⊥a ⇒ c⊥bc \perp a \ \Rightarrow \ c \perp b

ולכן cc עומד גם עליו בזווית ישרה

90°90°

ישר שמאונך לאחד משני מקבילים מאונך גם לשני. הריבוע הקטן מסומן רק ב-PP, אבל הוא נכון גם ב-QQ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

ABCMND
האות E: קטע אנכי אחד ושלושה קטעים אופקיים.

האות E שבציור בנויה מארבעה קטעים: ABAB, ACAC, MNMN ו-BDBD. כמה זוגות של קטעים מקבילים יש בה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

AC∥MN , AC∥BD , MN∥BDAC \parallel MN \ , \ AC \parallel BD \ , \ MN \parallel BD

שלושת הקטעים האופקיים — כל שניים מהם

33

זוגות

AB⊥AC , AB⊥MN , AB⊥BDAB \perp AC \ , \ AB \perp MN \ , \ AB \perp BD

והקטע האנכי מאונך לשלושתם

הטעות הנפוצה היא לספור קטעים (שלושה אופקיים) במקום זוגות, או לענות 2 כי «יש שני רווחים». כאן יוצא 3 בשני המקרים — אבל בודקים כל זוג: ACAC עם MNMN, ACAC עם BDBD, MNMN עם BDBD.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת