שני ישרים במישור יכולים להיות ביחס אחד משניים שמעניינים אותנו: מאונכים או מקבילים.
מאונכים — נחתכים בזווית של בדיוק. הסימן הוא .
מקבילים — לעולם אינם נחתכים, ולא משנה עד כמה נמשיך אותם. הסימן הוא .
הישר הכחול התחיל ב-60 מעלות. בכמה מעלות צריך לסובב אותו כדי שיהיה מאונך לישר האדום?
להציג את התשובה והפתרון
ב-30 מעלות: . זווית של 89 או של 91 מעלות כבר אינה ניצבות — רק 90 בדיוק.
מרחק נקודה מישר
זו ההגדרה שהכי הרבה תלמידים מפספסים: המרחק מנקודה לישר הוא אורך הקטע המאונך מהנקודה אל הישר — ולא אורך של קטע אלכסוני כלשהו.
למה דווקא המאונך? כי מכל הקטעים שאפשר למתוח מהנקודה אל הישר, המאונך הוא הקצר ביותר. וכשאומרים «מרחק» מתכוונים תמיד לקצר ביותר.
זו בדיוק הסיבה שהגובה במשולש מוגדר כמאונך: הוא המרחק מהקודקוד אל הבסיס. שני הנושאים הם אותו רעיון.
מרחק בין שני ישרים מקבילים
בין שני מקבילים המרחק קבוע לכל אורכם — וזו למעשה הגדרה שנייה של הקבלה. מודדים אותו, כמובן, על קטע מאונך לשניהם.
שתי הטעויות של היחידה.
רק המאונך הוא המרחק. כל קטע אחר ארוך ממנו.
מאונכים כן נפגשים, ובזווית ישרה. מקבילים לא נפגשים לעולם.
שני ישרים נחתכים ויוצרים זווית של 90 מעלות. איך קוראים להם?
להציג את התשובה והפתרון
מאונכים, ומסמנים . הריבוע הקטן בנקודת המפגש אומר את זה בציור.
ישר מקביל ל-, ו- מקביל ל-. מה היחס בין ל-?
להציג את התשובה והפתרון
מקבילים. המקבילות עוברת הלאה — שלושתם באותו כיוון בדיוק.
תרגילים
תרגיל 1
שני ישרים מאונכים נחתכים בזווית של:
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ג
הפתרון:
ההגדרה
מאונכים כן נפגשים — בזווית ישרה.
תרגיל 2
המרחק מנקודה לישר הוא:
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: א אורך הקטע המאונך
הפתרון:
רק המאונך
הוא הקצר ביותר מכל הקטעים — ולכן הוא «המרחק».
תרגיל 3
שני ישרים מקבילים:
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ג לעולם אינם נחתכים
הפתרון:
ההגדרה
ולכן המרחק ביניהם קבוע לכל אורכם.
תרגיל 4
מדוע הגובה במשולש מוגדר כמאונך לבסיס?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: א כי הגובה הוא המרחק מהקודקוד לבסיס
הפתרון:
אותה הגדרה
שני הנושאים — מרחק וגובה — הם בדיוק אותו רעיון.
תרגיל 5
הישרים שבציור — מה היחס ביניהם?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: א מאונכים
הפתרון:
הריבוע הקטן
תרגיל 6
ואלה?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ד מקבילים
הפתרון:
מרחק קבוע
תרגיל 7
ישר מאונך ל-. כמה זוויות ישרות נוצרות בנקודת המפגש?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 4
הפתרון:
כל הארבע שוות 90
מספיק ריבוע קטן אחד בציור — השאר נובעות.
תרגיל 8
שני ישרים מאונכים לאותו ישר שלישי. מה היחס ביניהם?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ד מקבילים זה לזה
הפתרון:
אותו כיוון בדיוק
תרגיל 9
איזה סימון אומר « מקביל ל-»?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ד
הפתרון:
שני קווים מקבילים קטנים
תרגיל 10
ישר נחתך עם ישר שני בזווית 90. אחת הזוויות במפגש היא 90 — כמה מעלות הזווית שממול לה (הקודקודית)?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 90
הפתרון:
קודקודיות שוות
ניצבות והקבלה
תרגיל 11
במלבן (הקודקודים לפי הסדר), איזה זוג קטעים מאונך זה לזה?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ב ו-
הפתרון:
הזווית שבין שתי הצלעות הסמוכות
צלעות סמוכות במלבן נפגשות בזווית ישרה. הצלעות הנגדיות ( ו-) מקבילות, והאלכסונים במלבן נחתכים — אבל לא בהכרח בזווית ישרה.
תרגיל 12
במרובע הזווית שבקודקוד ישרה, וגם הזווית שבקודקוד ישרה. האם נובע מכך שכל ארבע הזוויות שלו ישרות?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: לא נכון
הפתרון:
מה שנשאר לשתי הזוויות האחרות
שתי הזוויות הנותרות מסתכמות ב- — אבל הן יכולות להיות ו-. שתי זוויות ישרות אינן מספיקות; במלבן צריך ארבע.
תרגיל 13
במלבן (הקודקודים לפי הסדר) — מקבילים או מאונכים?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ו- — מקבילים · ו- — מקבילים · ו- — מאונכים · ו- — מאונכים
הפתרון:
נגדיות — מקבילות
סמוכות — מאונכות
צלעות נגדיות — מקבילות; צלעות סמוכות — מאונכות. זה בדיוק מה שהופך מרובע למלבן.
תרגיל 14
בטרפז שבציור , והזוויות ב- וב- ישרות. איזו צלע מאונכת לשני הבסיסים?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: א
הפתרון:
הזווית ב- ישרה
וגם הזווית ב- ישרה
הצלע מאונכת לשני הבסיסים, ולכן היא גם המרחק ביניהם — הגובה של הטרפז. נטויה: היא אינה מאונכת לאף בסיס. ו-, הם הבסיסים עצמם, מקבילים זה לזה.
תרגיל 15
שלושה ישרים במישור: וגם . לכן .
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: לא נכון
הפתרון:
שני ישרים מאונכים לאותו ישר
ולכן הם מקבילים זה לזה
הפיתוי הוא «ניצבות עוברת הלאה» — אבל היא לא עוברת. שני ישרים שמאונכים לאותו ישר עומדים באותו כיוון, ולכן ולא .
תרגיל 16
בריבוע שבציור שורטטו גם שני האלכסונים. מקבילים או מאונכים?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ו- — מקבילים · ו- — מקבילים · ו- — מאונכים · ו- — מאונכים
הפתרון:
צלעות נגדיות
צלעות סמוכות
בריבוע האלכסונים מאונכים
הזוג המפתיע הוא האלכסונים: בריבוע הם נחתכים בזווית ישרה. במלבן שאינו ריבוע הם נחתכים — אבל לא ב-.
תרגיל 17
בציור , והישר מאונך ל- בנקודה . הישר חותך גם את בנקודה . כמה מעלות הזווית בין ל-?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 90
הפתרון:
באותו כיוון בדיוק כמו
ולכן עומד גם עליו בזווית ישרה
ישר שמאונך לאחד משני מקבילים מאונך גם לשני. הריבוע הקטן מסומן רק ב-, אבל הוא נכון גם ב-.
תרגיל 18
האות E שבציור בנויה מארבעה קטעים: , , ו-. כמה זוגות של קטעים מקבילים יש בה?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 3
הפתרון:
שלושת הקטעים האופקיים — כל שניים מהם
זוגות
והקטע האנכי מאונך לשלושתם
הטעות הנפוצה היא לספור קטעים (שלושה אופקיים) במקום זוגות, או לענות 2 כי «יש שני רווחים». כאן יוצא 3 בשני המקרים — אבל בודקים כל זוג: עם , עם , עם .