מנסרה משולשת ישרה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

פאות, מקצועות וקודקודים

מנסרה היא גוף עם שני בסיסים זהים ומקבילים.

בין שני הבסיסים יש פאות צדדיות מלבניות. במנסרה משולשת הבסיס הוא משולש.

«ישרה» פירושה שהפאות הצדדיות ניצבות לבסיסים — כלומר הגוף עומד זקוף, לא נטוי.

למנסרה שבסיסה מרובע: כמה מקצועות יש?

להציג את התשובה והפתרון

12. ארבעה בבסיס התחתון, ארבעה בעליון, וארבעה עומדים ביניהם: 4+4+4=124 + 4 + 4 = 12. בדיוק כמו בתיבה.

נפח

אותו רעיון בדיוק כמו בתיבה: שטח הבסיס כפול הגובה. בתיבה הבסיס הוא מלבן, כאן משולש — וזה כל ההבדל.

V=S⋅HV = S \cdot H

S הוא שטח הבסיס (המשולש), ו-H הוא גובה המנסרה.

שימו לב לשני «גבהים» שונים שקל לבלבל ביניהם: גובה המשולש (בתוך הבסיס, לחישוב שטחו) וגובה המנסרה (המרחק בין שני הבסיסים). הם לא אותו דבר.

מנסרה משולשת בנויה מ-7 «קומות» זהות, ושטח כל קומה (המשולש) הוא 9 סמ״ר, בעובי 1 ס״מ. מהו נפחה?

להציג את התשובה והפתרון

63 סמ״ק. 9⋅7=639 \cdot 7 = 63 — שטח הבסיס כפול הגובה, בדיוק כמו בתיבה.

שטח פנים

סכום כל הפאות: שני הבסיסים (משולשים זהים) ועוד שלוש הפאות הצדדיות (מלבנים).

שטח פנים=2⋅S+P⋅H\text{שטח פנים} = 2 \cdot S + P \cdot H

S הוא שטח הבסיס, P הוא היקף הבסיס, ו-H הוא גובה המנסרה.

החלק השני הוא טריק יפה: כל שלושת המלבנים יחד יוצרים מלבן אחד ארוך שאורכו הוא היקף המשולש וגובהו הוא גובה המנסרה. אין צורך לחשב אותם בנפרד.

מנסרה מלאה

מנסרה שבסיסה משולש ישר זווית עם ניצבים 3 ו-4 ויתר 5, וגובהה 10. חשבו נפח ושטח פנים.

S=3⋅42=6\begin{aligned}S &= \frac{3 \cdot 4}{2} \\ &= 6\end{aligned}

שטח המשולש

V=6⋅10=60\begin{aligned}V &= 6 \cdot 10 \\ &= 60\end{aligned}

הנפח

P=3+4+5=12\begin{aligned}P &= 3 + 4 + 5 \\ &= 12\end{aligned}

היקף המשולש

12⋅10=12012 \cdot 10 = 120

המעטפת — המלבן הארוך

שטח פנים=2⋅6+120=132\begin{aligned}\text{שטח פנים} &= 2 \cdot 6 + 120 \\ &= 132\end{aligned}

שני הבסיסים ועוד המעטפת

לבסיס של מנסרה יש ניצבים 5 ו-8, וגובה המנסרה 10. תלמיד כתב שהנפח 400. מה שכח?

להציג את התשובה והפתרון

את החצי. שטח המשולש הוא 5⋅82=20\frac{5 \cdot 8}{2} = 20, ולכן הנפח 20⋅10=20020 \cdot 10 = 200 — חצי ממה שכתב.

שתי הטעויות של המנסרה.

V=3⋅4⋅10V = 3 \cdot 4 \cdot 10
V=3⋅42⋅10V = \frac{3 \cdot 4}{2} \cdot 10

הבסיס הוא משולש — שטחו חצי ממלבן. שכחת החצי מכפילה את התשובה.

שטח פנים=S+P⋅H\text{שטח פנים} = S + P \cdot H
שטח פנים=2⋅S+P⋅H\text{שטח פנים} = 2 \cdot S + P \cdot H

למנסרה שני בסיסים זהים — למעלה ולמטה.

מהו נפח מנסרה עם שטח בסיס 12 סמ״ר וגובה 5 ס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

60 סמ״ק — שטח הבסיס כפול הגובה. הבסיס יכול להיות משולש, מרובע, כל צורה.

במה שונה מנסרה מפירמידה?

להציג את התשובה והפתרון

למנסרה שני בסיסים זהים ומעטפת של מלבנים; לפירמידה בסיס אחד ופסגה שאליה מתכנסים משולשים.

תרגילים

תרגיל 1

ABCDEF
שטח הבסיס 6, וגובה המנסרה 10

מנסרה משולשת שבסיסה משולש ששטחו 6, וגובהה 10. מהו הנפח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

V=6⋅10=60\begin{aligned}V &= 6 \cdot 10 \\ &= 60\end{aligned}

שטח בסיס כפול גובה

אותו רעיון כמו בתיבה — רק שהבסיס משולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

43
הבסיס: ניצבים 3 ו-4 — גובה המנסרה 10

מנסרה שבסיסה משולש ישר זווית עם ניצבים 3 ו-4, וגובהה 10. מהו הנפח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

S=3⋅42=6\begin{aligned}S &= \frac{3 \cdot 4}{2} \\ &= 6\end{aligned}

שטח הבסיס

V=6⋅10=60\begin{aligned}V &= 6 \cdot 10 \\ &= 60\end{aligned}

הנפח

לא לשכוח את החצי — הבסיס משולש, לא מלבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

43
הבסיס: ניצבים 3 ו-4, יתר 5 — גובה המנסרה 10

באותה מנסרה (ניצבים 3 ו-4, יתר 5, גובה 10) — מהו שטח הפנים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 132

הפתרון:

S=6S = 6

שטח המשולש

P=3+4+5=12\begin{aligned}P &= 3 + 4 + 5 \\ &= 12\end{aligned}

היקף המשולש

12⋅10=12012 \cdot 10 = 120

המעטפת

2⋅6+120=1322 \cdot 6 + 120 = 132

ושני הבסיסים

שלוש הפאות הצדדיות יחד הן מלבן אחד ארוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ABCDEF
מנסרה משולשת

כמה בסיסים יש למנסרה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

22

זהים ומקבילים

ולכן בשטח הפנים הם נספרים פעמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

64
גובה המשולש h — בתוך הבסיס

מהו ההבדל בין «גובה המשולש» ל«גובה המנסרה»?

  1. שניהם מודדים את אותו קטע
  2. אין הבדל
  3. האחד בתוך הבסיס, השני המרחק בין שני הבסיסים
  4. גובה המנסרה קטן תמיד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג האחד בתוך הבסיס, השני המרחק בין שני הבסיסים

הפתרון:

hh

בתוך המשולש — לחישוב שטחו

HH

בין הבסיסים — לחישוב הנפח

שני גדלים שונים לגמרי, ובלבול ביניהם הוא הטעות הנפוצה בפרק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCDEF
שטח הבסיס 10 סמ״ר, וגובה המנסרה 7 ס״מ

מנסרה עם בסיס משולש ששטחו 10 סמ״ר וגובה 7 ס״מ. מהו נפחה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 70

הפתרון:

10×7=7010 \times 7 = 70

שטח בסיס כפול גובה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCDEF
הנפח 96 סמ״ק, וגובה המנסרה 8 — שטח הבסיס?

נפח מנסרה 96 סמ״ק וגובהה 8. מהו שטח הבסיס?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

96:8=1296 : 8 = 12

נפח מנסרה הוא שטח הבסיס כפול הגובה, ולכן החילוק בגובה מחזיר בדיוק את שטח הבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCDEF
מנסרה משולשת: בסיס תחתון ABC ובסיס עליון DEF

כמה פאות יש למנסרה משולשת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

2+3=52 + 3 = 5

שני בסיסים ושלושה מלבנים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABCDEF
מנסרה משולשת: בסיס תחתון ABC ובסיס עליון DEF

כמה מקצועות יש למנסרה משולשת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

3+3+3=93 + 3 + 3 = 9

שלושה בכל בסיס ושלושה עומדים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

גליל הוא בעצם…

  1. תיבה עגולה
  2. מנסרה שבסיסה עיגול
  3. פירמידה עגולה
  4. כדור מתוח
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מנסרה שבסיסה עיגול

הפתרון:

V=πr2hV = \pi r^2 h

אותה נוסחה: בסיס כפול גובה

ההיגיון של המנסרה — בסיס שנמתח לגובה — עובד גם כשהבסיס עגול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

S=2⋅Sבסיס+Pבסיס⋅HS = 2 \cdot S_{\text{בסיס}} + P_{\text{בסיס}} \cdot H
V=3⋅4⋅10V = 3 \cdot 4 \cdot 10
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: V=3⋅4⋅10V = 3 \cdot 4 \cdot 10 → V=3⋅42⋅10V = \frac{3 \cdot 4}{2} \cdot 10

הפתרון:

הבסיס הוא משולש — שטחו חצי ממלבן. שכחת החצי מכפילה את התשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

ABCDEF
מנסרה משולשת: בסיס תחתון ABC ובסיס עליון DEF

כמה קודקודים יש למנסרה משולשת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

3+3=63 + 3 = 6

שלושה קודקודים בכל בסיס

כל הקודקודים יושבים על שני הבסיסים — אין קודקוד «באמצע». מי שספר 5 ספר את הפאות, לא את הקודקודים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

ABCDEF
מנסרה משולשת: בסיס תחתון ABC ובסיס עליון DEF

התאימו לכל חלק של המנסרה המשולשת את מספרו

  • פאות
  • מקצועות
  • קודקודים
  • פאות מלבניות
  • 33
  • 55
  • 66
  • 99
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: פאות — 55 · מקצועות — 99 · קודקודים — 66 · פאות מלבניות — 33

הפתרון:

2+3=52 + 3 = 5

פאות: שני בסיסים ושלושה מלבנים

3+3+3=93 + 3 + 3 = 9

מקצועות: בבסיס התחתון, בעליון, והעומדים

3+3=63 + 3 = 6

קודקודים: שלושה בכל בסיס

הבלבול הנפוץ הוא בין מקצועות (קווים) לקודקודים (נקודות). ספרו לפי השרטוט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

ABCDEF
הפאות הצדדיות: ABED, BCFE, CADF

במנסרה משולשת ישרה כל שלוש הפאות הצדדיות הן מלבנים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

מקצוע עומד⊥בסיס\text{מקצוע עומד} \perp \text{בסיס}

במנסרה ישרה המקצועות העומדים ניצבים לבסיסים

זו בדיוק המשמעות של «ישרה»: כל פאה צדדית נפגשת עם הבסיס בזווית ישרה, ולכן היא מלבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

331010
על הניצב 3
441010
על הניצב 4
551010
על היתר 5

בכל מנסרה משולשת ישרה שלוש הפאות הצדדיות שוות זו לזו בשטח.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

3⋅10=30 4⋅10=40 5⋅10=50\begin{aligned}3 \cdot 10 &= 30 \\ \ 4 \cdot 10 &= 40 \\ \ 5 \cdot 10 &= 50\end{aligned}

במנסרה 3, 4, 5 בגובה 10

לכל הפאות אותו גובה, אבל הרוחב של כל פאה הוא צלע אחרת של המשולש. הן שוות רק כשהמשולש שווה צלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

106
הבסיס — גובה המנסרה 9 ס״מ

בסיס של מנסרה הוא משולש שאחת מצלעותיו 10 ס״מ, והגובה אליה 6 ס״מ. גובה המנסרה 9 ס״מ. מהו נפח המנסרה, בסמ״ק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 270

הפתרון:

S=10⋅62=30\begin{aligned}S &= \frac{10 \cdot 6}{2} \\ &= 30\end{aligned}

שטח המשולש: צלע והגובה אליה

V=30⋅9=270\begin{aligned}V &= 30 \cdot 9 \\ &= 270\end{aligned}

כפול גובה המנסרה

הבסיס לא חייב להיות ישר זווית — מספיקים צלע והגובה אליה. שני «גבהים» בתרגיל: 6 בתוך המשולש, 9 של המנסרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

1412
הבסיס — הגובה 12 יורד אל הצלע 14

צלעות הבסיס של מנסרה הן 13, 14 ו-15 ס״מ, והגובה לצלע 14 הוא 12 ס״מ. גובה המנסרה 5 ס״מ. מהו נפחה, בסמ״ק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 420

הפתרון:

S=14⋅122=84\begin{aligned}S &= \frac{14 \cdot 12}{2} \\ &= 84\end{aligned}

הצלע 14 והגובה אליה

V=84⋅5=420\begin{aligned}V &= 84 \cdot 5 \\ &= 420\end{aligned}

כפול גובה המנסרה

הצלעות 13 ו-15 הן נתון מיותר לנפח. המלכודת: לכפול את 13 או 15 בגובה 12 — הגובה שייך רק לצלע שהוא יורד אליה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

65
הבסיס — גובה המנסרה ?

נפח מנסרה 180 סמ״ק. הבסיס שלה משולש ישר זווית עם ניצבים 5 ס״מ ו-6 ס״מ. מהו גובה המנסרה, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

S=5⋅62=15\begin{aligned}S &= \frac{5 \cdot 6}{2} \\ &= 15\end{aligned}

קודם שטח הבסיס

H=180:15=12\begin{aligned}H &= 180 : 15 \\ &= 12\end{aligned}

הנפח חלקי שטח הבסיס

15⋅12=18015 \cdot 12 = 180

בדיקה

מי שחילק ב-30 (בלי החצי) קיבל 6 — חצי מהתשובה. קודם שטח המשולש, ורק אז מחלקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

ABCDEF
אותו בסיס ABC — רק המקצועות העומדים מתארכים

מכפילים את גובה המנסרה פי 2, והבסיס נשאר אותו בסיס. מה קורה לנפח?

  1. גדל פי 8
  2. גדל פי 2
  3. לא משתנה
  4. גדל פי 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גדל פי 2

הפתרון:

V=S⋅HV = S \cdot H

הנפח

S⋅(2H)=2⋅(S⋅H)S \cdot (2H) = 2 \cdot (S \cdot H)

שטח הבסיס לא השתנה

רק גורם אחד בכפל הוכפל, ולכן גם הנפח הוכפל — פעם אחת. יותר קומות, אותה קומה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

43
ניצבים 3 ו-4
86
ניצבים 6 ו-8

בסיס מנסרה הוא משולש ישר זווית. מכפילים פי 2 את שני הניצבים, וגובה המנסרה לא משתנה. פי כמה גדל הנפח?

  1. פי 2
  2. פי 8
  3. פי 4
  4. פי 6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג פי 4

הפתרון:

3⋅42=6\frac{3 \cdot 4}{2} = 6

לפני

6⋅82=24\frac{6 \cdot 8}{2} = 24

אחרי

24:6=424 : 6 = 4

שטח הבסיס גדל פי 4 — וכך גם הנפח

שני ממדים הוכפלו, ולכן השטח גדל פי 2⋅2=42 \cdot 2 = 4. פי 8 היה נכון רק אם גם גובה המנסרה היה מוכפל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

ABCDEF
לנפח צריך שני דברים: שטח הבסיס ABC, וגובה המנסרה AD

האם הנתונים מספיקים כדי לחשב את נפח המנסרה המשולשת?

  • מספיקים
  • חסר נתון
  • גובה המנסרה 9 ס״מ, וצלע אחת בבסיס 4 ס״מ
  • ניצבי הבסיס 3 ס״מ ו-8 ס״מ, וגובה המנסרה 5 ס״מ
  • צלע בבסיס 6 ס״מ והגובה אליה 4 ס״מ, וגובה המנסרה 10 ס״מ
  • צלעות הבסיס 5, 6 ו-7 ס״מ, בלי גובה המנסרה
  • שטח הבסיס 20 סמ״ר, וגובה המנסרה 7 ס״מ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שטח הבסיס 20 סמ״ר, וגובה המנסרה 7 ס״מ — מספיקים · ניצבי הבסיס 3 ס״מ ו-8 ס״מ, וגובה המנסרה 5 ס״מ — מספיקים · צלע בבסיס 6 ס״מ והגובה אליה 4 ס״מ, וגובה המנסרה 10 ס״מ — מספיקים · צלעות הבסיס 5, 6 ו-7 ס״מ, בלי גובה המנסרה — חסר נתון · גובה המנסרה 9 ס״מ, וצלע אחת בבסיס 4 ס״מ — חסר נתון

הפתרון:

V=S⋅HV = S \cdot H

שני גורמים — ושניהם חייבים להיות ידועים

לנפח צריך את שטח הבסיס (או מה שמחשב אותו: צלע והגובה אליה, או שני ניצבים) ואת גובה המנסרה. צלע אחת לבדה לא נותנת שטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

85
הבסיס — גובה המנסרה 10 ס״מ

בסיס מנסרה הוא משולש עם צלע 8 ס״מ והגובה אליה 5 ס״מ, וגובה המנסרה 10 ס״מ. בחישוב הנפח שורה אחת שגויה — מצאו אותה

S=8⋅52=20\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 5}{2} \\ &= 20\end{aligned}
V=20⋅5=100\begin{aligned}V &= 20 \cdot 5 \\ &= 100\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: V=20⋅5=100V = 20 \cdot 5 = 100 → V=20⋅10=200V = 20 \cdot 10 = 200

הפתרון:

S=20S = 20

שטח המשולש נכון

V=20⋅10=200\begin{aligned}V &= 20 \cdot 10 \\ &= 200\end{aligned}

כופלים בגובה המנסרה, לא בגובה המשולש

גובה המשולש (5) כבר שימש לשטח הבסיס. בנפח כופלים בגובה המנסרה (10) — הבלבול בין שני הגבהים הוא הטעות הנפוצה בפרק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

ABCDEF
החפיסה שוכבת: המשולש ABC הוא הבסיס, והאורך 20 ס״מ הוא גובה המנסרה

חפיסת שוקולד בצורת מנסרה משולשת שוכבת. הפתח שלה הוא משולש שבסיסו 4 ס״מ והגובה אליו 3.5 ס״מ, ואורך החפיסה 20 ס״מ. מהו נפח החפיסה, בסמ״ק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 140

הפתרון:

S=4⋅3.52=7\begin{aligned}S &= \frac{4 \cdot 3.5}{2} \\ &= 7\end{aligned}

שטח המשולש שבקצה

V=7⋅20=140\begin{aligned}V &= 7 \cdot 20 \\ &= 140\end{aligned}

אורך החפיסה הוא גובה המנסרה

כשהמנסרה שוכבת, «הגובה» שלה הוא האורך — המרחק בין שני המשולשים. הבסיס הוא תמיד המשולש, לא הפאה שעליה היא מונחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

AFBGCHDIEJ
מנסרה שבסיסה מחומש

למנסרה שבסיסה מחומש (מצולע עם 5 צלעות). כמה קודקודים יש לה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

5+5=105 + 5 = 10

חמישה בכל בסיס

כל הקודקודים יושבים על שני הבסיסים. מי שענה 5 ספר רק בסיס אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

AFBGCHDIEJ
מנסרה שבסיסה מחומש

ובאותה מנסרה שבסיסה מחומש: כמה מקצועות יש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

5+5+5=155 + 5 + 5 = 15

בבסיס התחתון, בעליון, והעומדים ביניהם

אל תשכחו את המקצועות העומדים: אחד מכל קודקוד של הבסיס. מי שענה 10 ספר רק את שני הבסיסים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

ABCDEF
מנסרה משולשת: בסיס תחתון ABC ובסיס עליון DEF

למנסרה משולשת יש 6 פאות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

2+3=52 + 3 = 5

שני בסיסים ושלוש פאות צדדיות

יש לה 5 פאות. 6 הוא מספר הקודקודים שלה, וגם מספר הפאות של תיבה: שם הבסיס מרובע, ויש ארבע פאות צדדיות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 27

ABCDEF
בסיס תחתון ABC, בסיס עליון DEF: המקצועות AD, BE, CF

כמה מקצועות של מנסרה משולשת מחברים את הבסיס התחתון לבסיס העליון?

  1. 99
  2. 33
  3. 22
  4. 66
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 33

הפתרון:

AD,  BE,  CFAD,\; BE,\; CF

אחד מכל קודקוד של הבסיס

שלושה. 9 הוא מספר כל המקצועות, כולל אלה שבבסיסים; 6 הם רק המקצועות שבשני הבסיסים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 28

AGBHCIDJEKFL
מנסרה עם 8 פאות

למנסרה יש 8 פאות. כמה צלעות יש לבסיס שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

8−2=68 - 2 = 6

בלי שני הבסיסים נשארות 6 פאות צדדיות

66

פאה צדדית אחת על כל צלע של הבסיס

הבסיס הוא משושה. מי שענה 8 שכח ששני הבסיסים הם גם פאות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת