שטח פנים של מנסרה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שטח הפנים של מנסרה הוא סכום כל הפאות: שני הבסיסים (משולשים זהים) ועוד שלוש הפאות הצדדיות (מלבנים).

שטח פנים=2⋅S+P⋅H\text{שטח פנים} = 2 \cdot S + P \cdot H

S הוא שטח הבסיס, P הוא היקף הבסיס, ו-H הוא גובה המנסרה.

שימו לב לשני «גבהים» שקל לבלבל ביניהם: גובה המשולש (בתוך הבסיס, לחישוב שטחו) וגובה המנסרה (המרחק בין שני הבסיסים). הם לא אותו דבר, וכמעט תמיד לא אותו מספר.

בסיס מנסרה: משולש עם צלע 10 והגובה אליה 4. גובה המנסרה 6. איזה מן המספרים 4 ו-6 משמש לשטח הבסיס, ואיזה למעטפת?

להציג את התשובה והפתרון

4 לשטח הבסיס, 6 למעטפת. שטח הבסיס 10⋅42=20\frac{10 \cdot 4}{2} = 20; המעטפת היא היקף הבסיס כפול גובה המנסרה 6.

מנסרה שבסיסה משולש ישר זווית 6, 8, 10 וגובהה 5. מהו שטח הבסיס?

להציג את התשובה והפתרון

24. 6×82=24\frac{6 \times 8}{2} = 24. שני הניצבים הם הבסיס והגובה של המשולש.

ומהו שטח המעטפת של אותה מנסרה?

להציג את התשובה והפתרון

120. היקף הבסיס 6+8+10=246+8+10 = 24, כפול הגובה 5.

ומהו שטח הפנים כולו?

להציג את התשובה והפתרון

168. שני הבסיסים 2×24=482 \times 24 = 48, ועוד המעטפת 120.

שתי הטעויות של שטח הפנים.

שטח פנים=S+P⋅H\text{שטח פנים} = S + P \cdot H
שטח פנים=2⋅S+P⋅H\text{שטח פנים} = 2 \cdot S + P \cdot H

למנסרה שני בסיסים זהים — למעלה ולמטה.

לחשב שלושה מלבנים בנפרד\text{לחשב שלושה מלבנים בנפרד}
היקף הבסיס כפול הגובה\text{היקף הבסיס כפול הגובה}

לא שגוי — רק ארוך פי שלושה, ועם שלוש הזדמנויות לטעות.

תרגילים

תרגיל 1

86
הבסיס: ניצבים 6 ו-8, יתר 10 — גובה המנסרה 5

מנסרה שבסיסה משולש 6, 8, 10 וגובהה 5. מהו שטח הבסיס?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

6⋅82=24\frac{6 \cdot 8}{2} = 24

6, 8 ו-10 הן שלשה פיתגורית — המשולש ישר-זווית, ושני הניצבים משמשים בסיס וגובה. אין צורך לחפש גובה נוסף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

86
הבסיס: ניצבים 6 ו-8, יתר 10 — גובה המנסרה 5

ומהו הנפח של אותה מנסרה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

24⋅5=12024 \cdot 5 = 120

שטח בסיס כפול גובה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

86
הבסיס: ניצבים 6 ו-8, יתר 10 — גובה המנסרה 5

ומהו שטח המעטפת שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

6+8+10=246+8+10 = 24

היקף הבסיס

24⋅5=12024 \cdot 5 = 120

במקרה אותו מספר כמו הנפח — צירוף מקרים בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

86
הבסיס: ניצבים 6 ו-8, יתר 10 — גובה המנסרה 5

ומהו שטח הפנים כולו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 168

הפתרון:

2⋅24=482 \cdot 24 = 48

שני הבסיסים

48+120=16848 + 120 = 168
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

125
הבסיס: ניצבים 5 ו-12, יתר 13 — גובה המנסרה 7

מנסרה שבסיסה משולש 5, 12, 13 וגובהה 7. מהו הנפח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 210

הפתרון:

5⋅122=30\frac{5 \cdot 12}{2} = 30
30⋅7=21030 \cdot 7 = 210

גם 5, 12, 13 היא שלשה פיתגורית. קודם שטח הבסיס מתוך הניצבים, ורק אז כפל בגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מדוע שלוש הפאות הצדדיות שוות למלבן אחד?

  1. הן לא — צריך לחשב כל אחת
  2. כי כשפורסים אותן רוחבן הוא היקף הבסיס
  3. כי הן מלבנים
  4. כי הן זהות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב כי כשפורסים אותן רוחבן הוא היקף הבסיס

הפתרון:

P⋅HP \cdot H

המלבן עוקף את הבסיס פעם אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

גליל שרדיוס בסיסו 3 וגובהו 10. מהו נפחו? (בלי פאי)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

r2h=9×10=90\begin{aligned}r^2 h &= 9 \times 10 \\ &= 90\end{aligned}

הנפח 90π90\pi

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נפח גליל 50π50\pi וגובהו 2. מהו רדיוס הבסיס?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

r2=50:2=25\begin{aligned}r^2 &= 50 : 2 \\ &= 25\end{aligned}
r=5r = 5

מחלקים בגובה כדי לקבל את שטח הבסיס, ואז מחלקים בפאי ומוציאים שורש — אותו מסלול, שלב אחרי שלב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

494
בסיס ריבוע 4 על 4 — גובה 9

מנסרה מרובעת שבסיסה ריבוע בצלע 4 וגובהה 9. מה נפחה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 144

הפתרון:

16×9=14416 \times 9 = 144

הבסיס הוא ריבוע, אז שטחו הוא הצלע בריבוע. משם ממשיכים כמו בכל מנסרה: כפל בגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שתי מנסרות באותו גובה; שטח בסיס האחת כפול מהשנייה. מה היחס בין הנפחים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

V=S×hV = S \times h

הנפח פרופורציוני לבסיס

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

978
הבסיס
24241111
המעטפת — גובה 11

צלעות הבסיס של מנסרה הן 7, 8 ו-9 ס״מ, וגובה המנסרה 11 ס״מ. מהו שטח המעטפת, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 264

הפתרון:

P=7+8+9=24\begin{aligned}P &= 7 + 8 + 9 \\ &= 24\end{aligned}

היקף הבסיס

24⋅11=26424 \cdot 11 = 264

המלבן הארוך

למעטפת לא צריך את שטח המשולש בכלל — רק את ההיקף שלו. שלושת המלבנים יחד הם מלבן אחד ברוחב 24.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

129
הבסיס — פעמיים
363644
המעטפת

בסיס מנסרה הוא משולש ישר זווית שצלעותיו 9, 12 ו-15 ס״מ, וגובה המנסרה 4 ס״מ. מהו שטח הפנים, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 252

הפתרון:

S=9⋅122=54\begin{aligned}S &= \frac{9 \cdot 12}{2} \\ &= 54\end{aligned}

שטח בסיס אחד

P=9+12+15=36\begin{aligned}P &= 9 + 12 + 15 \\ &= 36\end{aligned}

היקף הבסיס

36⋅4=14436 \cdot 4 = 144

המעטפת

2⋅54+144=2522 \cdot 54 + 144 = 252

שני בסיסים ועוד המעטפת

כאן הבסיסים גדולים מהמעטפת — מנסרה נמוכה. מי ששכח בסיס אחד קיבל 198.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

555
הבסיס — שווה צלעות
151588
המעטפת

בסיס מנסרה הוא משולש שווה צלעות שצלעו 5 ס״מ, וגובה המנסרה 8 ס״מ. מהו שטח המעטפת, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

P=3⋅5=15\begin{aligned}P &= 3 \cdot 5 \\ &= 15\end{aligned}

היקף משולש שווה צלעות

15⋅8=12015 \cdot 8 = 120

כאן שלוש הפאות באמת שוות — כל אחת 5⋅8=405 \cdot 8 = 40. אבל ההיקף כפול הגובה עובד תמיד, גם כשהן לא שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

3030??
המעטפת: 150 סמ״ר

שטח המעטפת של מנסרה משולשת הוא 150 סמ״ר, והיקף הבסיס שלה 30 ס״מ. מהו גובה המנסרה, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

P⋅H=150P \cdot H = 150

המעטפת

H=150:30=5\begin{aligned}H &= 150 : 30 \\ &= 5\end{aligned}

מחלקים בהיקף

המעטפת היא מלבן שרוחבו ההיקף וגובהו גובה המנסרה — לכן שטחו חלקי הרוחב נותן את הגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

5566
על 5
121266
על 12
131366
על 13

פורסים מנסרה שבסיסה משולש 5, 12, 13 ס״מ וגובהה 6 ס״מ. שלוש הפאות הצדדיות יושבות בשורה ויוצרות מלבן אחד. מהן מידותיו?

  1. 13 על 6
  2. 30 על 5
  3. 30 על 6
  4. 60 על 6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 30 על 6

הפתרון:

5+12+13=305 + 12 + 13 = 30

הרוחב — היקף הבסיס

66

הגובה — גובה המנסרה

הרוחב הוא ההיקף (30), לא הצלע הארוכה (13) ולא השטח (30 במקרה הזה!). 60 הוא כפל ההיקף — אין צורך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

ABCDEFGHIJ
הפריסה: שלושה מלבנים בגובה 6 (ברוחבים 5, 12, 13) ושני משולשים ישרי זווית

זו הפריסה של אותה מנסרה: שלושה מלבנים בגובה 6 ס״מ ברוחבים 5, 12 ו-13 ס״מ, ושני משולשים ישרי זווית עם ניצבים 5 ו-12. מהו השטח של כל הפריסה, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 240

הפתרון:

5⋅122=30\frac{5 \cdot 12}{2} = 30

משולש אחד

30⋅6=18030 \cdot 6 = 180

הרצועה של שלושת המלבנים

2⋅30+180=2402 \cdot 30 + 180 = 240

שני משולשים ועוד הרצועה

שטח הפריסה הוא שטח הפנים — אותו נייר, רק שטוח. שני המשולשים הם שני הבסיסים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

86
הבסיס — גובה המנסרה 7

מנסרה שבסיסה משולש ישר זווית 6, 8, 10 וגובהה 7. בחישוב שטח הפנים שורה אחת שגויה — מצאו אותה

בסיס=6⋅82=24\begin{aligned}\text{בסיס} &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}
מעטפת=(6+8+10)⋅7=168\begin{aligned}\text{מעטפת} &= (6 + 8 + 10) \cdot 7 \\ &= 168\end{aligned}
שטח פנים=24+168=192\begin{aligned}\text{שטח פנים} &= 24 + 168 \\ &= 192\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שטח פנים=24+168=192\text{שטח פנים} = 24 + 168 = 192 → שטח פנים=2⋅24+168=216\text{שטח פנים} = 2 \cdot 24 + 168 = 216

הפתרון:

2⋅24=482 \cdot 24 = 48

שני בסיסים

48+168=21648 + 168 = 216

למנסרה שני בסיסים — למעלה ולמטה. השורה האחרונה ספרה רק אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

86
הבסיס — גובה המנסרה 4

מנסרה שבסיסה משולש ישר זווית 6, 8, 10 ס״מ וגובהה 4 ס״מ. השלימו

שטח הבסיס ____ סמ״ר, היקף הבסיס ____ ס״מ, שטח המעטפת ____ סמ״ר, ושטח הפנים כולו ____ סמ״ר

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שטח הבסיס 24 סמ״ר, היקף הבסיס 24 ס״מ, שטח המעטפת 96 סמ״ר, ושטח הפנים כולו 144 סמ״ר

הפתרון:

6⋅82=24\frac{6 \cdot 8}{2} = 24

שטח

6+8+10=246 + 8 + 10 = 24

היקף

24⋅4=9624 \cdot 4 = 96

מעטפת

2⋅24+96=1442 \cdot 24 + 96 = 144

שטח פנים

שטח הבסיס וההיקף יוצאים כאן שניהם 24 — צירוף מקרים. האחד בסמ״ר, השני בס״מ, ואסור להחליף ביניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

43
בסיס 3, 4, 5 — גובה 10 ואז 20

אם מכפילים את גובה המנסרה פי 2, גם שטח הפנים שלה גדל פי 2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

2⋅6+12⋅10=1322 \cdot 6 + 12 \cdot 10 = 132

גובה 10

2⋅6+12⋅20=2522 \cdot 6 + 12 \cdot 20 = 252

גובה 20

252≠264252 \neq 264

לא פי 2

רק המעטפת גדלה פי 2; שני הבסיסים נשארים אותם בסיסים. הנפח כן גדל פי 2 — שטח הפנים לא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

ABCDEF
האוהל: המשולש ABC הוא הפתח, AB על הקרקע, והאורך 4 מ׳

אוהל בצורת מנסרה משולשת שוכבת, בלי רצפה. הפתח הוא משולש שווה שוקיים: בסיס 3 מ׳, כל שוק 2.5 מ׳, והגובה לבסיס 2 מ׳. אורך האוהל 4 מ׳. כמה מ״ר בד דרושים לשני הגגות המשופעים ולשני המשולשים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 26

הפתרון:

2⋅(2.5⋅4)=202 \cdot (2.5 \cdot 4) = 20

שני הגגות: מלבנים 2.5 על 4

2⋅3⋅22=62 \cdot \frac{3 \cdot 2}{2} = 6

שני המשולשים

20+6=2620 + 6 = 26

בלי הרצפה 3 על 4

שטח פנים «חלקי»: הרצפה לא נתפרת מבד, ולכן המלבן 3⋅43 \cdot 4 לא נכנס. הגג המשופע הוא על השוק 2.5, לא על הגובה 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

128
הבסיס — שוקיים 10
32321515
המעטפת

בסיס מנסרה הוא משולש שווה שוקיים: שוקיים 10 ס״מ, בסיס 12 ס״מ, והגובה לבסיס 8 ס״מ. גובה המנסרה 15 ס״מ. מהו שטח הפנים, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 576

הפתרון:

S=12⋅82=48\begin{aligned}S &= \frac{12 \cdot 8}{2} \\ &= 48\end{aligned}

שטח הבסיס

P=10+10+12=32\begin{aligned}P &= 10 + 10 + 12 \\ &= 32\end{aligned}

היקף הבסיס

32⋅15=48032 \cdot 15 = 480

המעטפת

2⋅48+480=5762 \cdot 48 + 480 = 576

שטח הפנים

הגובה 8 נכנס רק לשטח המשולש; ההיקף בנוי מהצלעות 10, 10, 12 — לא מהגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת