מלבן וריבוע

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שתי צורות, וביניהן קשר אחד שכדאי להבין מיד: הריבוע הוא מלבן מיוחד. לכן נתחיל במלבן, וכל מה שנלמד עליו יהיה נכון גם לריבוע.

מלבן

מלבן הוא מרובע שכל זוויותיו ישרות. מכך נובע מיד ששתי הצלעות הנגדיות שוות ומקבילות, ושהאלכסונים שווים וחוצים זה את זה.

P=2(a+b)P = 2(a + b)

היקף — אורך הגדר מסביב. חיבור, ונמדד ביחידות אורך.

S=a⋅bS = a \cdot b

שטח — כמה משבצות ממלאות. כפל, ונמדד ביחידות רבועות.

הבדיקה שתופסת את הבלבול: שטח תמיד ביחידות בריבוע. אם כתבתם ס״מ בלי הריבוע — או חישבתם היקף וקראתם לו שטח — התשובה שגויה.

אותו מלבן, שני חישובים

מלבן שאורכו 9 ורוחבו 4. מהם ההיקף והשטח?

P=2(9+4)=26\begin{aligned}P &= 2(9 + 4) \\ &= 26\end{aligned}

ההיקף — סכום כל הצלעות

S=9⋅4=36\begin{aligned}S &= 9 \cdot 4 \\ &= 36\end{aligned}

והשטח

26 ס״מ , 36 סמ״ר26 \ \text{ס״מ} \ , \ 36 \ \text{סמ״ר}

שני מספרים שונים, ושתי יחידות שונות

שטח מלבן הוא 24 סמ״ר ואורכו 6 ס״מ. מהו רוחבו?

להציג את התשובה והפתרון

4 ס״מ. שטח הוא אורך כפול רוחב, ולכן הרוחב הוא 24:6=424 : 6 = 4. הכיוון ההפוך תמיד חילוק.

ריבוע

ריבוע הוא מלבן שכל צלעותיו שוות — מקרה פרטי של מלבן, עם תכונה אחת נוספת. לכן כל ריבוע הוא מלבן, אבל לא כל מלבן הוא ריבוע.

P=4aP = 4a

ארבע צלעות שוות — במקום לחבר, כופלים ב-4.

S=a2S = a^2

אורך כפול רוחב, אבל שניהם אותו מספר — ומכאן השם «בריבוע».

היקף ריבוע הוא 20 ס״מ. מהו שטחו?

להציג את התשובה והפתרון

25 סמ״ר. קודם הצלע: 20:4=520 : 4 = 5. ואז השטח: 52=255^2 = 25. אי אפשר לקפוץ מההיקף לשטח בלי לעבור דרך הצלע.

כמה זוויות ישרות צריך כדי להיות מלבן?

ההגדרה דורשת ארבע זוויות ישרות. אבל מסתבר שמספיק לבדוק שלוש — הרביעית נובעת מעצמה, ואין דרך שהיא תצא משהו אחר.

וזה שימושי מאוד בפועל: כדי לוודא שמסגרת, דלת או שולחן הם מלבן, די לבדוק שלוש פינות. הרביעית מובטחת.

ויש דבר נוסף ששלוש זוויות ישרות נותנות: אם נתונים גם אורכיהן של שתי צלעות סמוכות, המלבן נקבע לגמרי — יש מלבן אחד בדיוק כזה, ואפשר לשרטט אותו.

במרובע שתי זוויות ישרות בלבד. האם הוא בהכרח מלבן?

להציג את התשובה והפתרון

לא. אם שתי הזוויות הנותרות הן 120°120° ו-60°60°, הסכום עדיין 360 — וזה טרפז, לא מלבן. שתיים אינן מספיקות; שלוש כן.

אותו היקף, שטחים שונים

שני מלבנים יכולים להיות מוקפים באותה גדר בדיוק — ובכל זאת אחד מהם גדול בהרבה. כי ההיקף הוא חיבור של צלעות, והשטח הוא כפל שלהן.

לכל המלבנים בווידג׳ט היקף 24. מהו השטח של 11×111 \times 1, ומהו השטח של 6×66 \times 6?

להציג את התשובה והפתרון

11 ו-36. אותה גדר, והריבוע גדול פי שלושה ויותר. בין כל המלבנים שיש להם אותו היקף, הריבוע הוא בעל השטח הגדול ביותר.

הבלבול הקלאסי.

S=2(a+b)S = 2(a + b)
S=a⋅bS = a \cdot b

זו נוסחת ההיקף. שטח הוא כפל, לא חיבור.

S=4a(ריבוע)S = 4a \quad (\text{ריבוע})
S=a2(ריבוע)S = a^2 \quad (\text{ריבוע})

ב-4a4a מחברים ארבע צלעות — זה ההיקף. השטח הוא הצלע כפול עצמה.

תרגילים

תרגיל 1

מהו היקף מלבן שאורכו 9 ורוחבו 4?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 26

הפתרון:

P=2(9+4)P = 2(9 + 4)

סכום כל הצלעות

=26= 26

מחשבים

היקף — חיבור. יחידות אורך רגילות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו שטח אותו מלבן (9×49 \times 4)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

S=9⋅4=36\begin{aligned}S &= 9 \cdot 4 \\ &= 36\end{aligned}

אורך כפול רוחב

אותו מלבן, שני מספרים שונים לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו היקף ריבוע שצלעו 7?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 28

הפתרון:

P=4⋅7=28\begin{aligned}P &= 4 \cdot 7 \\ &= 28\end{aligned}

ארבע צלעות שוות

ובריבוע הזה השטח הוא 49 — לא לבלבל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

היקף מלבן הוא 30, ואורכו 10. מהו רוחבו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

2(10+b)=302(10 + b) = 30

מציבים בנוסחת ההיקף

10+b=1510 + b = 15

מחלקים ב-2

b=5b = 5

מעבירים

הכיוון ההפוך — משוואה פשוטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

איזו יחידה מתאימה לשטח?

  1. סמ״ק\text{סמ״ק}
  2. ס״מ\text{ס״מ}
  3. סמ״ר\text{סמ״ר}
  4. בלי יחידה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג סמ״ר\text{סמ״ר}

הפתרון:

סמ״ר\text{סמ״ר}

סופרים ריבועים

אורך — ס״מ. שטח — סמ״ר. נפח — סמ״ק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

121277
מלבן 12 על 7

מלבן a=12a = 12, b=7b = 7. חשבו את ההיקף.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 38

הפתרון:

P=2(a+b)=2×19=38\begin{aligned}P &= 2(a+b) \\ &= 2 \times 19 \\ &= 38\end{aligned}

ההיקף סופר כל צלע פעם אחת: שתיים באורך aa ושתיים באורך bb. הנוסחה 2(a+b)2(a+b) היא רק קיצור לזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

????
השטח 64 — הצלע ?

ריבוע ששטחו 64 סמ״ר. מהי צלעו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

64=8\sqrt{64} = 8

הצלע היא שורש השטח

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

תיבה 6 על 4 על 5. מהו נפחה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

6×4×5=1206 \times 4 \times 5 = 120

הנפח סופר קוביות: כמה בשורה, כמה שורות, וכמה קומות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

99??
ההיקף 30

מלבן שהיקפו 30 ואורכו 9. מהו רוחבו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

30:2=1530 : 2 = 15

חצי ההיקף

15−9=615 - 9 = 6
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שטח הפנים של קובייה שמקצועה 3 ס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 54

הפתרון:

3×3=93 \times 3 = 9

פאה אחת

9×6=549 \times 6 = 54

שש פאות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

S=a2(ריבוע)S = a^2 \quad (\text{ריבוע})
S=2(a+b)S = 2(a + b)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: S=2(a+b)S = 2(a + b) → S=a⋅bS = a \cdot b

הפתרון:

זו נוסחת ההיקף. שטח הוא כפל, לא חיבור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מלבן

תרגיל 12

מלבן חולק בשני קווים מקבילים לאותה צלע, ונוצרו שלוש רצועות. כמה מלבנים שונים אפשר למצוא בסרטוט כולו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

3+2+1=63 + 2 + 1 = 6

רצועות בודדות, זוגות, והמלבן כולו

שלוש רצועות לחוד, שני צירופים של שתי רצועות סמוכות, והמלבן השלם. מי שסופר רק את הרצועות מפספס את המורכבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

חצר מלבנית שמידותיה 18 מ׳ ו-22 מ׳ מוקפת גדר. דרוש מקל אחד לכל 25 ס״מ של היקף. כמה מקלות צריך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 320

הפתרון:

2⋅(18+22)=802 \cdot (18 + 22) = 80

ההיקף במטרים

80⋅100=800080 \cdot 100 = 8000

בסנטימטרים

8000:25=3208000 : 25 = 320

המלכודת אינה בחשבון אלא ביחידות: ההיקף במטרים והמרווח בסנטימטרים. בלי ההמרה מתקבל 3.2 במקום 320.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

במלבן, אורך צלע אחת קטן ב-6 ס״מ מאורך הצלע השנייה. היקף המלבן 44 ס״מ. מה אורך הצלע הארוכה בסנטימטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

2(x+x−6)=442(x + x - 6) = 44

הביטוי להיקף

4x−12=444x - 12 = 44
x=14x = 14

והצלע השנייה היא 8

בדיקה: 2⋅(14+8)=442 \cdot (14 + 8) = 44 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

ריבוע

תרגיל 15

נכון או לא נכון?

  • נכון
  • לא נכון
  • כל מלבן הוא ריבוע
  • כל ריבוע הוא מלבן
  • מלבן ששתי צלעות סמוכות בו שוות הוא ריבוע
  • מרובע שכל צלעותיו שוות הוא בהכרח ריבוע
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מלבן ששתי צלעות סמוכות בו שוות הוא ריבוע — נכון · כל ריבוע הוא מלבן — נכון · מרובע שכל צלעותיו שוות הוא בהכרח ריבוע — לא נכון · כל מלבן הוא ריבוע — לא נכון

הפתרון:

a=ba = b

במלבן די בשתי סמוכות שוות כדי שכל הצלעות תהיינה שוות

60°, 120°60°,\ 120°

ובמעוין הצלעות שוות והזוויות אינן ישרות

מעוין הוא הדוגמה שמפילה את השורה השלישית: כל צלעותיו שוות, ובכל זאת אין בו זוויות ישרות. ריבוע דורש גם צלעות שוות וגם זוויות ישרות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

למלבן ולריבוע יש שטח זהה, 64 סמ״ר. אורך צלע אחת של המלבן קטן פי 4 מאורך צלע הריבוע. מה אורך הצלע הארוכה של המלבן בסנטימטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

64=8\sqrt{64} = 8

צלע הריבוע

8:4=28 : 4 = 2

הצלע הקטנה של המלבן

64:2=3264 : 2 = 32

והשנייה

שטח שווה אינו אומר צורה שווה: אותם 64 סמ״ר יושבים כאן על 8×88 \times 8 ועל 2×322 \times 32.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

במרובע שלוש זוויות ישרות. כמה מעלות ברביעית?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

90⋅3=27090 \cdot 3 = 270

שלוש הידועות

360−270=90360 - 270 = 90

ומה שנשאר

ולכן מרובע עם שלוש זוויות ישרות הוא תמיד מלבן — אין לרביעית ברירה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

כמה זוויות ישרות מספיק לבדוק כדי לדעת שמרובע הוא מלבן?

  1. שתיים
  2. ארבע — אין קיצור
  3. שלוש
  4. אחת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג שלוש

הפתרון:

360−270=90360 - 270 = 90

הרביעית נובעת

שתיים אינן מספיקות: 90,90,120,6090, 90, 120, 60 מסתכמים גם הם ב-360, וזה אינו מלבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

מרובע שבו שתי זוויות ישרות הוא בהכרח מלבן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

90+90+120+60=36090 + 90 + 120 + 60 = 360

דוגמה נגדית

הסכום תקין, והצורה אינה מלבן. הגבול עובר בדיוק בין שתיים לשלוש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

אותו היקף, שטחים שונים

תרגיל 20

101022
10 על 2
8844
8 על 4
6666
6 על 6

לכל שלושת המלבנים שבציור אותו היקף — 24 ס״מ. לאיזה מהם השטח הגדול ביותר?

  1. 8×48 \times 4
  2. לכולם אותו שטח, כי ההיקף שווה
  3. 10×210 \times 2
  4. 6×66 \times 6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 6×66 \times 6

הפתרון:

10⋅2=2010 \cdot 2 = 20

השטח של המלבן הארוך

8⋅4=328 \cdot 4 = 32

המלבן האמצעי

6⋅6=366 \cdot 6 = 36

הריבוע — הגדול ביותר

אותו היקף אינו אותו שטח. ככל שהמלבן «מרובע» יותר, השטח גדול יותר — והריבוע מנצח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

????
גדר של 36 מטר מסביב

חקלאי קנה 36 מטר של גדר, והוא רוצה לגדר בה חלקה מלבנית. מהו השטח הגדול ביותר שאפשר לגדר, במ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 81

הפתרון:

a+b=36:2=18\begin{aligned}a + b &= 36 : 2 \\ &= 18\end{aligned}

חצי היקף — אורך ועוד רוחב

a=b=9\begin{aligned}a &= b \\ &= 9\end{aligned}

השטח הגדול ביותר — כשהמלבן ריבוע

9⋅9=819 \cdot 9 = 81

השטח

הפיתוי הוא לבחור מלבן ארוך וצר. דווקא הריבוע נותן את השטח הגדול ביותר לאותה גדר: 12×612 \times 6 נותן רק 72.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

??44
שטח 48 סמ״ר

שטח מלבן הוא 48 סמ״ר, ורוחבו 4 ס״מ. מהו היקפו, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

a=48:4=12\begin{aligned}a &= 48 : 4 \\ &= 12\end{aligned}

קודם האורך החסר — חילוק

P=2(12+4)=32\begin{aligned}P &= 2(12 + 4) \\ &= 32\end{aligned}

ואז ההיקף

אי אפשר לקפוץ משטח להיקף. קודם מוצאים את הצלע החסרה, ורק אחר כך מחברים. מי שכתב 48:4=1248 : 4 = 12 ועצר — ענה על שאלה אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

7711
7 על 1
4444
4 על 4

אם לשני מלבנים יש אותו היקף, יש להם גם אותו שטח.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

2(7+1)=2(4+4)=16\begin{aligned}2(7 + 1) &= 2(4 + 4) \\ &= 16\end{aligned}

אותו היקף

7⋅1=7≠16=4⋅4\begin{aligned}7 \cdot 1 &= 7 \ne 16 \\ &= 4 \cdot 4\end{aligned}

שטחים שונים

דוגמה נגדית אחת מספיקה: 7×17 \times 1 ו-4×44 \times 4. היקף הוא חיבור של צלעות ושטח הוא כפל — ולכן הם לא הולכים יחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

101044
מלבן 10 על 4
????
ריבוע עם אותו היקף

לריבוע ולמלבן 10×410 \times 4 יש אותו היקף. מהו שטח הריבוע, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 49

הפתרון:

P=2(10+4)=28\begin{aligned}P &= 2(10 + 4) \\ &= 28\end{aligned}

היקף המלבן

a=28:4=7\begin{aligned}a &= 28 : 4 \\ &= 7\end{aligned}

צלע הריבוע

S=72=49\begin{aligned}S &= 7^2 \\ &= 49\end{aligned}

שטח הריבוע

השלב שנשכח: ההיקף משותף, לא השטח. שטח המלבן הוא 40 — והריבוע, עם אותה גדר, מקבל 49.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

9911
9 על 1
7733
7 על 3
5555
5 על 5

מחפשים מלבן שהיקפו 20 ס״מ והשטח שלו הכי גדול. שורה אחת שגויה

2(a+b)=20⇒a+b=10\begin{aligned}2(a + b) &= 20 \Rightarrow a + b \\ &= 10\end{aligned}
9⋅1=97⋅3=21\begin{aligned}9 \cdot 1 &= 9 \\ \quad 7 \cdot 3 &= 21\end{aligned}
5⋅5=255 \cdot 5 = 25
הכי גדול: 9×1\text{הכי גדול: } 9 \times 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הכי גדול: 9×1\text{הכי גדול: } 9 \times 1 → הכי גדול: 5×5\text{הכי גדול: } 5 \times 5

הפתרון:

9<21<259 < 21 < 25

השטחים גדלים ככל שהמלבן מתקרב לריבוע

המלבן הארוך ביותר הוא דווקא בעל השטח הקטן ביותר. הריבוע 5×55 \times 5 הוא המנצח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת