תיבה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

תיבה היא הגוף התלת-ממדי הראשון שלומדים. יש לה 6 פאות — כולן מלבנים, 12 מקצועות ו-8 קודקודים. קובייה היא תיבה שכל מקצועותיה שווים, בדיוק כמו שריבוע הוא מלבן מיוחד.

על אותה תיבה שואלים שלוש שאלות שונות, ולכל אחת חישוב משלה: כמה נכנס בפנים, כמה נייר צריך כדי לעטוף הכול, וכמה נייר צריך כדי לעטוף רק את הצדדים.

נפח של תיבה

נפח הוא כמה מקום יש בתוך התיבה — כמה קוביות קטנות נכנסות בה.

נפח התיבה = אורך × רוחב × גובה

ולכן נפח נמדד ביחידות מעוקבות — סמ״ק — כי סופרים קוביות, לא ריבועים. שלושה כיוונים, חזקה שלישית.

תיבה שמידותיה 5, 4 ו-3 ס״מ. מהו נפחה?

להציג את התשובה והפתרון

60 סמ״ק. מכפילים את שלוש המידות: 5⋅4⋅3=605 \cdot 4 \cdot 3 = 60.

שטח הפנים של תיבה

שטח פנים הוא סכום שטחי כל שש הפאות — כמה נייר צריך כדי לעטוף את התיבה כולה. הפאות מגיעות בשלושה זוגות זהים: עליון ותחתון, קדמי ואחורי, שני צדדים.

S=2(ab+bc+ac)S = 2(ab + bc + ac)

הדרך שלא נשכחת: לפרוס את התיבה על השולחן. מקבלים שישה מלבנים בשורה, מחשבים כל אחד ומחברים. הנוסחה היא רק קיצור של הפריסה.

תיבה 5×4×35 \times 4 \times 3

חשבו את שטח הפנים.

5⋅4=205 \cdot 4 = 20

הפאה הראשונה

4⋅3=124 \cdot 3 = 12

השנייה

5⋅3=155 \cdot 3 = 15

והשלישית

S=2(20+12+15)=94\begin{aligned}S &= 2(20 + 12 + 15) \\ &= 94\end{aligned}

כל אחת מופיעה פעמיים

שטח מעטפת של תיבה

מעטפת היא רק הצדדים — ארבע הפאות שמסביב, בלי הבסיס העליון והתחתון. חשבו על תווית שעוטפת קופסת דגני בוקר: היא מקיפה את הקופסה, אבל לא מכסה את המכסה ואת התחתית.

ארבע הפאות האלה יוצרות יחד מלבן אחד ארוך כשפורסים אותן: רוחבו הוא היקף הבסיס, וגובהו הוא גובה התיבה.

שטח מעטפת=היקף הבסיס⋅c=2(a+b)⋅c\begin{aligned}\text{שטח מעטפת} &= \text{היקף הבסיס} \cdot c \\ &= 2(a + b) \cdot c\end{aligned}

אותה תיבה 5×4×35 \times 4 \times 3

הבסיס הוא 5×45 \times 4 והגובה 3. מהו שטח המעטפת?

P=2(5+4)=18\begin{aligned}P &= 2(5 + 4) \\ &= 18\end{aligned}

קודם היקף הבסיס

מעטפת=18⋅3=54\begin{aligned}\text{מעטפת} &= 18 \cdot 3 \\ &= 54\end{aligned}

ההיקף כפול הגובה

2⋅(5⋅4)=402 \cdot (5 \cdot 4) = 40

ושני הבסיסים, שאינם נכללים במעטפת

54+40=9454 + 40 = 94

יחד — בדיוק שטח הפנים שחישבנו למעלה

זו הבדיקה: מעטפת ועוד שני הבסיסים = שטח פנים. אם חיברתם ולא קיבלתם את שטח הפנים, אחד משני החישובים שגוי.

תיבה שבסיסה 6×26 \times 2 וגובהה 10. מהו שטח המעטפת?

להציג את התשובה והפתרון

160. היקף הבסיס הוא 2(6+2)=162(6 + 2) = 16, וכפול הגובה: 16⋅10=16016 \cdot 10 = 160.

שימו לב איזה גובה נלקח: הצלע שאיננה חלק מהבסיס. אם הבסיס משתנה — משתנה גם הגובה, וגם המעטפת. בתיבה שאיננה קובייה יש שלוש מעטפות אפשריות, לפי הפאה שנבחרה כבסיס.

קובייה — הכול מצלע אחת

תיבה שכל פאותיה ריבועים היא קובייה. יש בה רק מידה אחת — הצלע aa — ולכן שתי הנוסחאות מתקצרות:

V=a3S=6⋅a2\begin{aligned}V &= a^3 \qquad S \\ &= 6 \cdot a^2\end{aligned}
a3a^3

נפח הקובייה — הצלע בשלישית (aa כפול aa כפול aa). מכאן השם «בחזקת שלוש».

6⋅a26 \cdot a^2

שטח הפנים — שש פאות ריבועיות זהות, כל אחת בשטח a2a^2.

ומכאן גם יחידת המידה לנפח: קובייה שצלעה 1 ס״מ תופסת בדיוק 1 סמ״ק (סנטימטר מעוקב). למדוד נפח = לספור כמה קוביות יחידה כאלה נכנסות בגוף.

קובייה שצלעה 3 ס״מ. מהו שטח הפנים שלה?

להציג את התשובה והפתרון

54 סמ״ר. 6⋅32=6⋅9=546 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54. והנפח? 33=273^3 = 27 סמ״ק — שני חישובים שונים לגמרי.

הקובייה הצבועה

בונים קובייה גדולה מ-27 קוביות קטנות — שלוש על שלוש על שלוש — וטובלים אותה כולה בצבע. אחר כך מפרקים. לכל קובייה קטנה יש עכשיו 0, 1, 2 או 3 פאות צבועות, והכול תלוי איפה היא ישבה.

88

בפינות — שלוש פאות צבועות. כמו מספר הקודקודים.

1212

באמצע המקצועות — שתי פאות צבועות. אחת לכל מקצוע.

66

במרכז הפאות — פאה צבועה אחת. אחת לכל פאה.

11

בלב — אף פאה צבועה.

בקובייה 3×3×33 \times 3 \times 3 הצבועה — כמה קוביות קטנות יש בה בסך הכול, והאם 8+12+6+18 + 12 + 6 + 1 שווה למספר הזה?

להציג את התשובה והפתרון

27, וכן. 8+12+6+1=278 + 12 + 6 + 1 = 27. זו הבדיקה שכל קובייה נספרה פעם אחת בדיוק — אף אחת לא נשכחה ואף אחת לא נספרה פעמיים.

שלוש הטעויות של התיבה.

S=ab+bc+acS = ab + bc + ac
S=2(ab+bc+ac)S = 2(ab + bc + ac)

שכחו את הכפל בשתיים. לכל פאה יש תאומה בצד הנגדי.

Sמעטפת=2(ab+bc+ac)S_{\text{מעטפת}} = 2(ab + bc + ac)
Sמעטפת=2(a+b)⋅cS_{\text{מעטפת}} = 2(a + b) \cdot c

זו נוסחת שטח הפנים. המעטפת היא ארבע פאות בלבד — בלי שני הבסיסים.

V=60 סמ״רV = 60 \ \text{סמ״ר}
V=60 סמ״קV = 60 \ \text{סמ״ק}

נפח הוא בחזקה שלישית. שטח פנים ומעטפת — בחזקה שנייה.

תרגילים

תרגיל 1

מהו נפח תיבה שמידותיה 5, 4 ו-3?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

V=5⋅4⋅3=60\begin{aligned}V &= 5 \cdot 4 \cdot 3 \\ &= 60\end{aligned}

מכפלת שלוש המידות

ביחידות מעוקבות — שלושה כיוונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו שטח הפנים של תיבה שמידותיה 5, 4 ו-3?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 94

הפתרון:

5⋅4=205 \cdot 4 = 20

פאה ראשונה

4⋅3=124 \cdot 3 = 12

שנייה

5⋅3=155 \cdot 3 = 15

שלישית

2(20+12+15)=942(20 + 12 + 15) = 94

כל אחת פעמיים

שש פאות בשלושה זוגות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו נפח קובייה שמקצועה 4?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 64

הפתרון:

V=43=64\begin{aligned}V &= 4^3 \\ &= 64\end{aligned}

שלוש מידות שוות

בקובייה כל המקצועות שווים — ומכאן החזקה השלישית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

כמה פאות יש לתיבה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

66

שלושה זוגות

ועוד: 12 מקצועות ו-8 קודקודים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהי היחידה של נפח?

  1. מ״ר\text{מ״ר}
  2. סמ״ק\text{סמ״ק}
  3. ס״מ\text{ס״מ}
  4. סמ״ר\text{סמ״ר}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב סמ״ק\text{סמ״ק}

הפתרון:

סמ״ק\text{סמ״ק}

סופרים קוביות

שלושה כיוונים — חזקה שלישית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

תיבה שבסיסה 5 על 4 וגובהה 3. מהו שטח המעטפת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 54

הפתרון:

P=2(5+4)=18\begin{aligned}P &= 2(5 + 4) \\ &= 18\end{aligned}

היקף הבסיס

18⋅3=5418 \cdot 3 = 54

כפול הגובה

המעטפת היא ארבע הפאות שמסביב — בלי שני הבסיסים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

תיבה שבסיסה 6 על 2 וגובהה 10. מהו שטח המעטפת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 160

הפתרון:

P=2(6+2)=16\begin{aligned}P &= 2(6 + 2) \\ &= 16\end{aligned}

היקף הבסיס

16⋅10=16016 \cdot 10 = 160

כפול הגובה

ארבע הפאות נפרסות למלבן אחד: ההיקף הוא רוחבו, הגובה הוא גובהו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

שטח המעטפת של תיבה הוא 54, ושטח בסיס אחד הוא 20. מהו שטח הפנים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 94

הפתרון:

2⋅20=402 \cdot 20 = 40

שני הבסיסים

54+40=9454 + 40 = 94

מעטפת ועוד הבסיסים

זו הבדיקה: מעטפת ועוד שני הבסיסים = שטח פנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שטח המעטפת של קובייה שמקצועה 4?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 64

הפתרון:

P=4⋅4=16\begin{aligned}P &= 4 \cdot 4 \\ &= 16\end{aligned}

היקף הבסיס — ריבוע

16⋅4=6416 \cdot 4 = 64

כפול הגובה

בקובייה המעטפת היא ארבע פאות מתוך שש, כלומר 46\frac{4}{6} משטח הפנים (96).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מה ההבדל בין שטח פנים לשטח מעטפת?

  1. אין הבדל — שני שמות לאותו דבר
  2. שטח פנים נמדד בסמ״ק והמעטפת בסמ״ר
  3. שטח פנים כולל את כל שש הפאות, המעטפת רק את ארבע הצדדים
  4. המעטפת כוללת את כל שש הפאות, שטח הפנים רק ארבע
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג שטח פנים כולל את כל שש הפאות, המעטפת רק את ארבע הצדדים

הפתרון:

שטח פנים=מעטפת+2⋅בסיס\text{שטח פנים} = \text{מעטפת} + 2 \cdot \text{בסיס}

ההפרש הוא בדיוק שני הבסיסים

תווית שעוטפת קופסה מקיפה את הצדדים, ולא את המכסה ואת התחתית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מהו נפח קובייה שצלעה 5 ס״מ? (בסמ״ק)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 125

הפתרון:

53=5⋅5⋅5=125\begin{aligned}5^3 &= 5 \cdot 5 \cdot 5 \\ &= 125\end{aligned}

צלע בשלישית

לא 5⋅3=155 \cdot 3 = 15! חזקה שלישית היא כפל בעצמו שלוש פעמים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מהו שטח הפנים של קובייה שצלעה 4 ס״מ? (בסמ״ר)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 96

הפתרון:

42=164^2 = 16

שטח פאה אחת

6⋅16=966 \cdot 16 = 96

שש פאות זהות

שטח פנים — תמיד סמ״ר, גם כשמדובר בגוף תלת-ממדי. שטח נשאר שטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

שטח הפנים של קובייה הוא 150 סמ״ר. מהי צלע הקובייה בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

150:6=25150 : 6 = 25

שטח פאה אחת

a2=25⇒a=5\begin{aligned}a^2 &= 25 \Rightarrow a \\ &= 5\end{aligned}

צלע הריבוע

הולכים אחורה: מחלקים ב-6, ואז שואלים איזה מספר בריבוע נותן 25.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

מכפילים את צלע הקובייה פי 2. מה קורה לנפח?

  1. גדל פי 2
  2. גדל פי 8
  3. גדל פי 6
  4. גדל פי 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גדל פי 8

הפתרון:

(2a)3=8a3(2a)^3 = 8a^3

ההכפלה נכנסת שלוש פעמים

פי 2 בכל אחד משלושת הכיוונים: 2⋅2⋅2=82 \cdot 2 \cdot 2 = 8. זו הפתעה קבועה במבחנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

Sמעטפת=2(a+b)⋅cS_{\text{מעטפת}} = 2(a + b) \cdot c
V=60 סמ״קV = 60 \ \text{סמ״ק}
S=ab+bc+acS = ab + bc + ac
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: S=ab+bc+acS = ab + bc + ac → S=2(ab+bc+ac)S = 2(ab + bc + ac)

הפתרון:

שכחו את הכפל בשתיים. לכל פאה יש תאומה בצד הנגדי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

פאות התיבה

תרגיל 16

תיבה שמידותיה 12 ס״מ, 12 ס״מ ו-5 ס״מ. כמה מפאותיה הן ריבועים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

12×1212 \times 12

הפאה הריבועית — ויש לה פאה נגדית זהה

ארבע הפאות האחרות הן 12×512 \times 5 — מלבנים, לא ריבועים. תיבה שכל פאותיה ריבועים היא קובייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שטח הפנים של תיבה

תרגיל 17

לפניכם פריסה של תיבה שמידותיה 8 ס״מ, 6 ס״מ ו-3 ס״מ. מה שטח הפנים שלה בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 180

הפתרון:

8⋅6=488 \cdot 6 = 48
8⋅3=248 \cdot 3 = 24
6⋅3=186 \cdot 3 = 18
2(48+24+18)=1802(48 + 24 + 18) = 180

כל פאה מופיעה פעמיים

שטח פנים נמדד בסמ״ר — הוא סכום שטחי שש הפאות, ולא נפח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

קובייה — הכול מצלע אחת

תרגיל 18

שלושה בקבוקים בצורת קובייה, ומחירם זהה. באיזה מהם יש הכי הרבה נוזל?

  1. צלע 3.5 ס״מ
  2. צלע 0.4 דצ״מ
  3. לכולם אותו נפח
  4. צלע 300 מ״מ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד צלע 300 מ״מ

הפתרון:

300 mm=30300 \text{ mm} = 30

בסנטימטרים

0.4 dm=40.4 \text{ dm} = 4

בסנטימטרים

לפני שמשווים — ממירים הכול לאותה יחידה. 30 ס״מ מול 3.5 ס״מ מול 4 ס״מ; המספר הגדול בכתיב אינו המידה הגדולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

נפח של תיבה

תרגיל 19

רוצים לארוז קופסאות שמידותיהן 10 ס״מ, 5 ס״מ ו-4 ס״מ בתוך ארגז שמידותיו 40 ס״מ, 30 ס״מ ו-20 ס״מ. מה המספר הגדול ביותר של קופסאות שייכנסו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

40:10=440 : 10 = 4
30:5=630 : 5 = 6
20:4=520 : 4 = 5
4⋅6⋅5=1204 \cdot 6 \cdot 5 = 120

סופרים כמה נכנסות בכל כיוון ומכפילים. חלוקת נפח בנפח נותנת כאן את אותה תשובה, אבל היא מטעה כשהמידות אינן מתחלקות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

תיבה בנויה מקוביות של 1 סמ״ק, ומידותיה 4 ס״מ, 3 ס״מ ו-2 ס״מ. הוסרו ממנה 5 קוביות. מה נפח הגוף שהתקבל, בסמ״ק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 19

הפתרון:

4⋅3⋅2=244 \cdot 3 \cdot 2 = 24

נפח התיבה השלמה

24−5=1924 - 5 = 19

הנפח יורד בדיוק במספר הקוביות שהוסרו. שטח הפנים, לעומת זאת, יכול דווקא לגדול — כי נפתחו פאות חדשות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

1056
קופסה 10 על 6 על 5

קופסה בצורת תיבה, ומידותיה מבפנים 10 ס״מ, 6 ס״מ ו-5 ס״מ. כמה קוביות שלמות שמקצוען 2 ס״מ אפשר לסדר בה לכל היותר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

10:2=510 : 2 = 5

לאורך — חמש קוביות

6:2=36 : 2 = 3

לרוחב — שלוש

5:2=2.5→25 : 2 = 2.5 \rightarrow 2

לגובה — רק שתי קומות שלמות

5⋅3⋅2=305 \cdot 3 \cdot 2 = 30

סך הכול

הפיתוי: לחלק נפח בנפח, 300:8=37.5300 : 8 = 37.5. אבל חצי קומה של קוביות אינה נכנסת — סופרים בכל כיוון כמה קוביות שלמות נכנסות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

5040
בסיס 50 על 40

אקווריום בצורת תיבה, ובסיסו 50 ס״מ על 40 ס״מ. שופכים לתוכו 30 ליטר מים. לאיזה גובה יגיעו המים, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

30 ליטר=30,000 סמ״ק30 \ \text{ליטר} = 30{,}000 \ \text{סמ״ק}

קודם ממירים לסמ״ק

50⋅40=200050 \cdot 40 = 2000

שטח הבסיס, בסמ״ר

30,000:2000=1530{,}000 : 2000 = 15

הגובה — נפח חלקי שטח הבסיס

שני פיתויים: לשכוח להמיר ליטרים לסמ״ק, או לחלק במספר אחד בלבד. נפח = בסיס × גובה, ולכן גובה = נפח : בסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

4025
בסיס 40 על 25

באקווריום שבסיסו 40 ס״מ על 25 ס״מ יש מים. מכניסים לתוכו אבן, והיא שוקעת עד הקרקעית. גובה המים עולה ב-3 ס״מ. מהו נפח האבן, בסמ״ק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3000

הפתרון:

40⋅25=100040 \cdot 25 = 1000

שטח הבסיס

1000⋅3=30001000 \cdot 3 = 3000

נפח «שכבת» המים שעלתה

האבן דוחקת מים בדיוק כנפחה. המים שעלו הם תיבה שטוחה: הבסיס של האקווריום, והגובה רק 3 ס״מ — לא הגובה של כל המים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שטח הפנים של תיבה

תרגיל 24

301020
קופסה פתוחה 30 על 20 על 10

קופסה בלי מכסה בצורת תיבה: אורכה 30 ס״מ, רוחבה 20 ס״מ וגובהה 10 ס״מ. כמה סמ״ר קרטון צריך כדי לבנות אותה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1600

הפתרון:

30⋅20=60030 \cdot 20 = 600

התחתית — פעם אחת בלבד

2⋅(30⋅10)=6002 \cdot (30 \cdot 10) = 600

הדופן הקדמית והאחורית

2⋅(20⋅10)=4002 \cdot (20 \cdot 10) = 400

שתי הדפנות בצדדים

600+600+400=1600600 + 600 + 400 = 1600

סך הכול

בלי מכסה יש חמש פאות, לא שש. מי שהשתמש בנוסחה 2(ab+bc+ac)2(ab + bc + ac) קיבל 2200 — וספר גם מכסה שלא קיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

20510
קופסה פתוחה 20 על 10 על 5

מחשבים כמה קרטון צריך לקופסה פתוחה (בלי מכסה) שמידותיה 20 ס״מ, 10 ס״מ ו-5 ס״מ. שורה אחת שגויה

20⋅10=20020 \cdot 10 = 200
2⋅(20⋅5)=2002 \cdot (20 \cdot 5) = 200
2⋅(10⋅5)=1002 \cdot (10 \cdot 5) = 100
2⋅200+200+100=7002 \cdot 200 + 200 + 100 = 700
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2⋅200+200+100=7002 \cdot 200 + 200 + 100 = 700 → 200+200+100=500200 + 200 + 100 = 500

הפתרון:

200+200+100=500200 + 200 + 100 = 500

לתחתית יש פאה אחת בלבד

הכפל ב-2 שייך לזוגות של דפנות. לתחתית אין בת זוג — המכסה חסר — ולכן היא נספרת פעם אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

קובייה — הכול מצלע אחת

תרגיל 26

קובייה שנפחה 343 סמ״ק

נפח קובייה הוא 343 סמ״ק. מהו אורך מקצועה, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

a3=343a^3 = 343

הנפח הוא המקצוע בחזקת שלוש

7⋅7⋅7=3437 \cdot 7 \cdot 7 = 343

מחפשים מספר שכפול עצמו שלוש פעמים נותן 343

a=7a = 7

המקצוע

הכיוון ההפוך של a3a^3 הוא לא חילוק ב-3: 343:3343 : 3 אינו אפילו מספר שלם. שואלים איזה מספר, בחזקת שלוש, נותן 343.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 27

קובייה שנפחה 64 סמ״ק

נפח קובייה הוא 64 סמ״ק. מהו שטח הפנים שלה?

  1. 24 סמ״ר
  2. 96 סמ״ר
  3. 64 סמ״ר
  4. 384 סמ״ר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 96 סמ״ר

הפתרון:

a3=64⇒a=4\begin{aligned}a^3 &= 64 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

קודם המקצוע

6⋅42=6⋅16=96\begin{aligned}6 \cdot 4^2 &= 6 \cdot 16 \\ &= 96\end{aligned}

ואז שש פאות ריבועיות

384 הוא 6⋅646 \cdot 64 — כפל את הנפח במקום את שטח הפאה. 24 הוא 6⋅46 \cdot 4 — שכח את הריבוע. תמיד דרך המקצוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 28

666
קובייה שמקצועה 6

יש קובייה שהנפח שלה (בסמ״ק) ושטח הפנים שלה (בסמ״ר) הם אותו מספר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

a3=6a2a^3 = 6a^2

משווים את שני הביטויים

a=6a = 6

מחלקים ב-a2a^2

63=216=6⋅36\begin{aligned}6^3 &= 216 \\ &= 6 \cdot 36\end{aligned}

בדיקה

קובייה שמקצועה 6 ס״מ: נפח 216 סמ״ק ושטח פנים 216 סמ״ר. אותו מספר — אבל לא אותו גודל, כי היחידות שונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 29

333
קובייה 3 על 3 על 3

מדביקים 27 קוביות קטנות, שמקצוען 1 ס״מ, לקובייה אחת גדולה. מהו שטח הפנים של הקובייה הגדולה, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 54

הפתרון:

3⋅3⋅3=273 \cdot 3 \cdot 3 = 27

הקובייה הגדולה בנויה 3×3×33 \times 3 \times 3

6⋅32=546 \cdot 3^2 = 54

שטח הפנים שלה

הפיתוי: 27⋅6=16227 \cdot 6 = 162. אבל פאות שהודבקו זו לזו נמצאות בפנים — הן כבר לא חלק מהשטח החיצוני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

הקובייה הצבועה

תרגיל 30

333
קובייה 3 על 3 על 3

קובייה 3×3×33 \times 3 \times 3, בנויה מ-27 קוביות קטנות, נטבלה בצבע מכל צדדיה. התאימו כל סוג של קובייה קטנה למספר הקוביות מסוגו

  • שלוש פאות צבועות
  • שתי פאות צבועות
  • פאה צבועה אחת
  • אף פאה צבועה
  • 1 — הלב
  • 12 — אמצע המקצועות
  • 6 — מרכזי הפאות
  • 8 — הפינות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שלוש פאות צבועות — 8 — הפינות · שתי פאות צבועות — 12 — אמצע המקצועות · פאה צבועה אחת — 6 — מרכזי הפאות · אף פאה צבועה — 1 — הלב

הפתרון:

88

לקובייה 8 קודקודים

1212

12 מקצועות, ובאמצע כל אחד קובייה אחת

66

6 פאות, ובמרכז כל אחת קובייה אחת

8+12+6+1=278 + 12 + 6 + 1 = 27

בדיקה: כל הקוביות נספרו

הקובייה שבלב אינה נוגעת באף פאה חיצונית — ולכן היא היחידה שנשארה בלי צבע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 31

444
קובייה 4 על 4 על 4

קובייה 4×4×44 \times 4 \times 4 בנויה מ-64 קוביות קטנות, ונטבלה בצבע מכל צדדיה. כמה קוביות קטנות נשארו בלי צבע בכלל?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

4−2=24 - 2 = 2

מורידים שכבה אחת מכל צד

23=82^3 = 8

הקובייה הפנימית שנשארה

הקוביות בלי צבע יוצרות קובייה פנימית. מורידים שתי שכבות מכל כיוון — אחת מכל צד — ולא אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 32

444
קובייה 4 על 4 על 4

אותה קובייה 4×4×44 \times 4 \times 4, צבועה מכל צדדיה. לכמה קוביות קטנות יש בדיוק פאה צבועה אחת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

(4−2)2=4(4-2)^2 = 4

בכל פאה — ריבוע פנימי של 4 קוביות

6⋅4=246 \cdot 4 = 24

ויש שש פאות

הקוביות שבשולי הפאה נוגעות גם בפאה שכנה — ולכן יש להן שתיים או שלוש פאות צבועות. רק הריבוע הפנימי של כל פאה נספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת