פריסה של תיבה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

קחו קופסת נעליים, גזרו לאורך כמה מקצועות ופתחו אותה על השולחן. מה שמתקבל נקרא פריסה — הצורה השטוחה שאפשר לקפל בחזרה ולקבל את התיבה.

פריסה אינה ציור יפה של תיבה. היא התיבה עצמה, רק שטוחה — ולכן כל מה שנכון על התיבה נכון גם עליה.

קודם: שלושת הזוגות

לתיבה שש פאות, והן מגיעות בשלושה זוגות זהים: קדמית ואחורית, עליונה ותחתונה, ימנית ושמאלית. בלי להכיר את הזוגות אי אפשר לקרוא פריסה.

לשרטט פריסה

הדרך הנוחה ביותר היא לחשוב על המעטפת שכבר פגשנו: ארבע הפאות שמסביב נפתחות לרצועה אחת ארוכה, ואליה מצמידים את שני הבסיסים — אחד למעלה ואחד למטה.

44

רצועה של ארבעה מלבנים בשורה — זו המעטפת.

+2+2

ועוד שני כנפיים — הבסיס העליון והתחתון.

=6= 6

שש פאות, כמו שצריך. אין פריסה עם חמש או שבע.

אורך הרצועה אינו מקרי: הוא בדיוק היקף הבסיס. ארבעת המלבנים יחד הם אותו «מלבן אחד ארוך» שראינו בשטח המעטפת — הפריסה היא פשוט הציור שלו.

פריסה של תיבה 5×4×35 \times 4 \times 3

הבסיס הוא 5×45 \times 4, והגובה 3. מה יהיו מידות החלקים?

2(5+4)=182(5 + 4) = 18

היקף הבסיס — אורך הרצועה

18×318 \times 3

הרצועה כולה: היקף על גובה

5×45 \times 4

וכל אחד משני הבסיסים

54+40=9454 + 40 = 94

ושטח הפריסה הוא בדיוק שטח הפנים

לקרוא פריסה: מה מתלכד עם מה

השאלה השנייה של הפרק הפוכה: נתונה פריסה, ושואלים מה יקרה כשנקפל. שלוש שאלות חוזרות, ולכולן יש אותו מפתח.

□ … □\square \ \ldots \ \square

פאות נגדיות — בפריסה הן מופרדות תמיד בפאה אחת לפחות. הן אינן שכנות.

□□\square \square

פאות סמוכות — נוגעות בפריסה לאורך מקצוע משותף.

∣ → ∣| \ \rightarrow \ |

מקצועות מתלכדים — שני מקצועות שנפגשים כשמקפלים. חייבים להיות באותו אורך.

הכלל היחיד שצריך לזכור: בפריסה, שתי פאות נגדיות לעולם אינן נוגעות זו בזו. בקובייה זה נראה כך — בשורה של ארבעה ריבועים, הראשון והשלישי נגדיים, וכך גם השני והרביעי.

כמה ריבועים יש בכל אחת משתי הפריסות, ולמה רק אחת מהן נסגרת?

להציג את התשובה והפתרון

שישה בכל אחת. מספר הפאות אינו מספיק. מה שקובע הוא איך הן מחוברות: בפריסה הנכונה כל פאה נופלת על צד אחר, ובמדומה שתיים נופלות על אותו צד.

בפריסה של קובייה, ארבעה ריבועים מסודרים בשורה. איזה ריבוע יהיה נגדי לראשון?

להציג את התשובה והפתרון

השלישי. בשורה, כל ריבוע נגדי לזה שנמצא שני מקומות ממנו. הרביעי דווקא יידבק לראשון — הם סמוכים, כי השורה נסגרת לטבעת.

בפריסה של תיבה, שני מקצועות אמורים להתלכד. מה חייב להיות נכון לגביהם?

להציג את התשובה והפתרון

הם חייבים להיות באותו אורך בדיוק. זו הבדיקה המהירה ביותר לפריסה שגויה: אם שני מקצועות שאמורים להיפגש אינם שווים, הקיפול לא ייסגר.

ואותו הדבר עם הקודקודים: בכל קודקוד של התיבה נפגשות שלוש פאות, ולכן בפריסה שלושה קודקודים שונים מתלכדים לנקודה אחת. מי שמסמן אותם בעיפרון לפני הקיפול לא טועה.

שלוש הטעויות של הפריסה.

5 פאות5 \ \text{פאות}
6 פאות6 \ \text{פאות}

שכחת אחד הבסיסים. לפני כל דבר אחר — סופרים שש.

נגדיות=שכנות\text{נגדיות} = \text{שכנות}
נגדיות≠שכנות\text{נגדיות} \neq \text{שכנות}

שתי פאות שנוגעות בפריסה יהיו סמוכות בתיבה, לעולם לא נגדיות.

Sפריסה≠SפניםS_{\text{פריסה}} \neq S_{\text{פנים}}
Sפריסה=SפניםS_{\text{פריסה}} = S_{\text{פנים}}

הקיפול אינו מוסיף ואינו מוריד שטח. שטח הפריסה הוא שטח הפנים, תמיד.

עכשיו נתרגל — לשרטט, לספור ולקפל בראש.

תרגילים

תרגיל 1

מכמה מלבנים מורכבת פריסה של תיבה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

3×2=63 \times 2 = 6

שלושה זוגות זהים

אף פריסה של תיבה אינה מורכבת מחמישה או משבעה חלקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

תיבה 5×4×35 \times 4 \times 3. מהו שטח הפריסה שלה בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 94

הפתרון:

2(5⋅4)=402(5 \cdot 4) = 40

שני הבסיסים

2(5+4)⋅3=542(5 + 4) \cdot 3 = 54

והמעטפת

40+54=9440 + 54 = 94

יחד

שטח הפריסה שווה תמיד לשטח הפנים — הקיפול אינו משנה שטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בפריסה של קובייה, ארבעה ריבועים בשורה. איזה ריבוע נגדי לראשון?

  1. אף אחד מהם
  2. הרביעי
  3. השלישי
  4. השני
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג השלישי

הפתרון:

1 , 31 \ , \ 3

שני מקומות זה מזה

הרביעי דווקא נדבק לראשון כשהשורה נסגרת — הם סמוכים, לא נגדיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

כמה קודקודים של הפריסה מתלכדים לקודקוד אחד של התיבה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

33

בכל קודקוד נפגשות שלוש פאות

ולכן בפריסה שלוש נקודות שונות נסגרות לאותה פינה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שתי פאות שנוגעות זו בזו בפריסה יהיו פאות נגדיות בתיבה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

נוגעות ⇒ סמוכות\text{נוגעות} \ \Rightarrow \ \text{סמוכות}

ולא נגדיות

הפוך: הן יהיו סמוכות. פאות נגדיות מופרדות בפריסה תמיד, ולעולם אינן נוגעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

פריסה של קובייה בנויה משישה ריבועים שצלעם 4 ס״מ. מהו שטח הפריסה בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 96

הפתרון:

42=164^2 = 16

שטח ריבוע אחד

6⋅16=966 \cdot 16 = 96

שש פאות

וזהו גם שטח הפנים של הקובייה — אותו מספר, שתי שאלות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

תיבה שבסיסה 6×26 \times 2 וגובהה 5. מהו אורך הרצועה בפריסה, כלומר היקף הבסיס?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

2(6+2)=162(6 + 2) = 16

היקף הבסיס

ארבע הפאות הצדדיות נפרסות למלבן אחד שרוחבו 16 וגובהו 5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נכון או לא נכון על פריסה של תיבה?

  • נכון
  • לא נכון
  • יש בה שש פאות
  • מקצועות שמתלכדים שווים באורכם
  • פאות נגדיות נוגעות זו בזו
  • שטחה שווה לשטח הפנים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: יש בה שש פאות — נכון · שטחה שווה לשטח הפנים — נכון · פאות נגדיות נוגעות זו בזו — לא נכון · מקצועות שמתלכדים שווים באורכם — נכון

הפתרון:

6=3×26 = 3 \times 2

שלושה זוגות זהים

שטח הפריסה=שטח הפנים\text{שטח הפריסה} = \text{שטח הפנים}

והקיפול אינו משנה שטח

השורה השלישית היא היחידה שגויה — והיא גם המפתח לכל שאלות הקיפול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

פריסה של תיבה בנויה משני מלבנים 4×34 \times 3, שני מלבנים 4×24 \times 2 ושני מלבנים 3×23 \times 2. מהו שטח הפנים של התיבה בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 52

הפתרון:

2⋅12=242 \cdot 12 = 24

הזוג הראשון

2⋅8=162 \cdot 8 = 16

השני

2⋅6=122 \cdot 6 = 12

והשלישי

24+16+12=5224 + 16 + 12 = 52

יחד

שלושת הזוגות מסגירים מיד את מידות התיבה: 44, 33 ו-22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

תלמיד שרטט פריסה של תיבה. שורה אחת שגויה

שש פאות בשלושה זוגות\text{שש פאות בשלושה זוגות}
הרצועה באורך היקף הבסיס\text{הרצועה באורך היקף הבסיס}
הקיפול מגדיל את השטח\text{הקיפול מגדיל את השטח}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הקיפול מגדיל את השטח\text{הקיפול מגדיל את השטח} → הקיפול אינו משנה את השטח\text{הקיפול אינו משנה את השטח}

הפתרון:

שטח הפריסה=שטח הפנים\text{שטח הפריסה} = \text{שטח הפנים}

קיפול מזיז חומר, לא מוסיף

קיפול מזיז חומר, לא מוסיף אותו. זו אותה עובדה שבזכותה אפשר לחשב שטח פנים דרך הפריסה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

בפריסה של קובייה, שטח הפריסה 150 סמ״ר. מהו אורך מקצוע הקובייה בסנטימטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

6a2=1506a^2 = 150

שש פאות ריבועיות

a2=25a^2 = 25

מחלקים ב-6

a=5a = 5

ומוציאים שורש

הכיוון ההפוך: מהפריסה אל המקצוע. קודם מחלקים במספר הפאות, ורק אז שורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

התאימו כל מושג למה שהוא

  • פריסה
  • פאות נגדיות
  • מקצועות מתלכדים
  • הרצועה
  • ארבע הפאות הצדדיות בשורה
  • התיבה כשהיא שטוחה
  • זהות, ואינן נוגעות בפריסה
  • נפגשים בקיפול, ושווים באורכם
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: פריסה — התיבה כשהיא שטוחה · פאות נגדיות — זהות, ואינן נוגעות בפריסה · מקצועות מתלכדים — נפגשים בקיפול, ושווים באורכם · הרצועה — ארבע הפאות הצדדיות בשורה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

123456

הצירוף שבציור הוא פריסה של קובייה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

2×22 \times 2

ארבעה ריבועים בגוש — 1, 2, 3 ו-4

2,4→אותו צד2, 4 \rightarrow \text{אותו צד}

מקפלים: פאות 2 ו-4 נופלות על אותו צד

שש פאות אינן ערובה. ארבעה ריבועים בגוש של 2×22 \times 2 לעולם אינם מתקפלים לקובייה: הם צריכים להקיף אותה כמו חגורה, ובגוש הם נתקעים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

123456

בציור פריסה של קובייה. איזו פאה תהיה מול פאה 4?

  1. פאה 6
  2. פאה 2
  3. פאה 5
  4. פאה 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג פאה 5

הפתרון:

4,54, 5

שתי «הכנפיים» יוצאות מאותה פאה — 3

4↔54 \leftrightarrow 5

הן מתקפלות לשני צדדים מנוגדים

פאה 3 נוגעת בפאה 4 — ולכן אינה מולה. שתי כנפיים משני צדי אותה פאה הן תמיד זוג נגדי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

123456

בציור פריסה של קובייה בצורת מדרגות. איזו פאה תהיה מול פאה 2?

  1. פאה 4
  2. פאה 3
  3. פאה 5
  4. פאה 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א פאה 4

הפתרון:

1,3,51, 3, 5

פאות 1, 3 ו-5 נוגעות בפאה 2 בקובייה הסגורה

2↔42 \leftrightarrow 4

ופאה 4 היא הצד השני

פאה 2 ופאה 4 נראות רחוקות ולא «בשורה» — ובכל זאת הן זוג נגדי. במדרגות לא מספיק לחפש שורה; מקפלים בראש פאה אחרי פאה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

123456

מקפלים את הצירוף שבציור. מה יקרה?

  1. פאות 2 ו-3 ייפלו על אותו צד
  2. פאות 4 ו-6 ייפלו על אותו צד, וצד אחד יישאר פתוח
  3. חסרה פאה — יש רק חמש
  4. תתקבל קובייה סגורה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב פאות 4 ו-6 ייפלו על אותו צד, וצד אחד יישאר פתוח

הפתרון:

4,64, 6

שתי הפאות האלה יוצאות לאותו צד של הטור

⇒\Rightarrow

הן נופלות זו על זו, והצד השמאלי נשאר בלי פאה

שש פאות בגדלים הנכונים — ובכל זאת לא פריסה. בפריסה אמיתית שתי «כנפיים» יוצאות לצדדים מנוגדים של הטור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

6×44×26×44×26×26×2

מקפלים את הפריסה שבציור לתיבה (המידות בס״מ). מהו נפח התיבה, בסמ״ק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 48

הפתרון:

6,4,26, 4, 2

שלוש מידות שונות מופיעות בפאות

6⋅4⋅2=486 \cdot 4 \cdot 2 = 48

הנפח

בפריסה כל מידה מופיעה בכמה פאות — אבל לתיבה יש רק שלוש מידות. מי שכפל את כל המספרים שבציור ספר כל מידה כמה פעמים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

24?2481212

שטח הפריסה שבציור הוא 88 סמ״ר, והמספרים בפאות הם שטחיהן. מהו שטח הפאה המסומנת ב-?, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

24+24+8+12+12=8024 + 24 + 8 + 12 + 12 = 80

סכום חמש הפאות הידועות

88−80=888 - 80 = 8

מה שנשאר

ודרך בדיקה מהירה: הפאה החסרה היא בת-הזוג של פאה נגדית ששטחה 8 — ופאות נגדיות שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת