שורשים גדולים, שורשי שברים ושורש שלישי

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ראינו שורשים של מספרים שלמים קטנים. עכשיו שלוש הרחבות שמופיעות במבחנים, וכולן משתמשות באותה שאלה בדיוק: «איזה מספר כפול עצמו נותן את זה?»

1. שורש של מספר עגול גדול

מה זה 10000\sqrt{10000}? אין טעם לנחש — פשוט שואלים: איזה מספר כפול עצמו נותן 10,000? התשובה היא 100, כי 100⋅100=10000100 \cdot 100 = 10000.

100=10\sqrt{100} = 10

שני אפסים בפנים, אחד בתשובה.

10000=100\sqrt{10000} = 100

ארבעה אפסים בפנים, שניים בתשובה.

1000000=1000\sqrt{1000000} = 1000

שישה אפסים בפנים, שלושה בתשובה.

שורש של 1 ואחריו אפסים = 1 ואחריו חצי מהאפסים

וזה עובד רק כשמספר האפסים זוגי. ל-1000\sqrt{1000} (שלושה אפסים) אין תשובה שלמה — כי אי אפשר לחלק שלוש לשניים. אפשר רק לכלוא אותו: 312=96131^2 = 961 ו-322=102432^2 = 1024, ולכן הוא בין 31 ל-32.

מהו 40000\sqrt{40000}?

להציג את התשובה והפתרון

200. אפשר לפרק: 40000=4⋅1000040000 = 4 \cdot 10000, ולכן השורש הוא 2⋅100=2002 \cdot 100 = 200. בדיקה: 200⋅200=40000200 \cdot 200 = 40000 ✓

2. שורש של שבר

כששואלים מהו 19\sqrt{\frac{1}{9}}, מחפשים שבר שכפול עצמו נותן 19\frac{1}{9}. וזה קל, כי בכפל שברים המונה נכפל במונה והמכנה במכנה:

13⋅13=19\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}

ולכן הכלל פשוט: מוציאים שורש למונה, ושורש למכנה, בנפרד.

19=13\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}

1=1\sqrt{1} = 1 ו-9=3\sqrt{9} = 3.

916=34\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}

9=3\sqrt{9} = 3 ו-16=4\sqrt{16} = 4.

254=52\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}

עובד גם כשהשבר גדול מ-1.

מהו 425\sqrt{\frac{4}{25}}?

להציג את התשובה והפתרון

25\frac{2}{5}. שורש למונה, שורש למכנה. בדיקה: 25⋅25=425\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{25} ✓

ואם רק אחד מהשניים הוא ריבוע שלם — התשובה אינה שבר פשוט, ואז מסתפקים באומדן. 12\sqrt{\frac{1}{2}}, למשל, אינו שבר נאה.

3. שורש שלישי

עד כאן חיפשנו מספר שכפול עצמו נותן את המספר — וזה בא מהריבוע: שטח ידוע, מחפשים צלע. עכשיו אותה שאלה בדיוק, אבל בקובייה: נפח ידוע, מחפשים מקצוע.

643=4כי4⋅4⋅4=64\begin{aligned}\sqrt[3]{64} &= 4 \quad \text{כי} \quad 4 \cdot 4 \cdot 4 \\ &= 64\end{aligned}
83=2\sqrt[3]{8} = 2

כי 2⋅2⋅2=82 \cdot 2 \cdot 2 = 8.

273=3\sqrt[3]{27} = 3

כי 3⋅3⋅3=273 \cdot 3 \cdot 3 = 27.

1253=5\sqrt[3]{125} = 5

כי 5⋅5⋅5=1255 \cdot 5 \cdot 5 = 125.

10003=10\sqrt[3]{1000} = 10

כי 10⋅10⋅10=100010 \cdot 10 \cdot 10 = 1000.

קובייה שנפחה 125 סמ״ק

מהו אורך המקצוע?

V=a3=125\begin{aligned}V &= a^3 \\ &= 125\end{aligned}

נוסחת נפח הקובייה

a=1253a = \sqrt[3]{125}

הפעולה ההפוכה לחזקה שלישית

5⋅5⋅5=125 ⇒ a=5\begin{aligned}5 \cdot 5 \cdot 5 &= 125 \ \Rightarrow \ a \\ &= 5\end{aligned}

מחפשים את המספר

שתי הפעולות, זו לצד זו: שורש ריבועי לוקח שטח ומחזיר צלע — שני כיוונים. שורש שלישי לוקח נפח ומחזיר מקצוע — שלושה כיוונים. הסימן הקטן מעל השורש הוא בדיוק מספר הכיוונים.

שלוש הטעויות של היחידה.

10000=1000\sqrt{10000} = 1000
10000=100\sqrt{10000} = 100

העתקת המספר עם אפס אחד פחות במקום חצי מהאפסים. בדיקה: 1000⋅10001000 \cdot 1000 הוא מיליון, לא עשרת אלפים.

916=94\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{9}{4}
916=34\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}

הוציאו שורש רק למכנה. השורש חל על שני החלקים.

643=8\sqrt[3]{64} = 8
643=4\sqrt[3]{64} = 4

ענו על השורש הריבועי במקום על השלישי. 8⋅8=648 \cdot 8 = 64 — נכון, אבל לא השאלה.

עכשיו נתרגל את שלוש ההרחבות.

תרגילים

תרגיל 1

חשבו: 10000\sqrt{10000}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 100

הפתרון:

100⋅100=10000100 \cdot 100 = 10000

בדיקה בכפל

ארבעה אפסים בפנים, שניים בתשובה — חצי מהאפסים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו: 1000000\sqrt{1000000}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1000

הפתרון:

1000⋅1000=10000001000 \cdot 1000 = 1000000

בדיקה בכפל

שישה אפסים בפנים, שלושה בתשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

למה ל-1000\sqrt{1000} אין תשובה שלמה?

  1. יש לו — התשובה 100
  2. כי 1000 אינו מתחלק ב-2
  3. כי 1000 גדול מדי
  4. כי מספר האפסים אי-זוגי
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד כי מספר האפסים אי-זוגי

הפתרון:

312=961  322=1024\begin{aligned}31^2 &= 961 \ \\ \ 32^2 &= 1024\end{aligned}

הריבועים השכנים

31<1000<3231 < \sqrt{1000} < 32

ולכן אפשר רק לכלוא

חצי משלושה אפסים אינו מספר שלם — ולכן אין תשובה עגולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חשבו: 40000\sqrt{40000}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 200

הפתרון:

40000=4⋅1000040000 = 4 \cdot 10000

מפרקים

2⋅100=2002 \cdot 100 = 200

שורש לכל חלק

בדיקה: 200⋅200=40000200 \cdot 200 = 40000 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו 916\sqrt{\frac{9}{16}}?

  1. 34\frac{3}{4}
  2. 94\frac{9}{4}
  3. 81256\frac{81}{256}
  4. 316\frac{3}{16}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 34\frac{3}{4}

הפתרון:

9=3  16=4\begin{aligned}\sqrt{9} &= 3 \ \\ \ \sqrt{16} &= 4\end{aligned}

שורש לכל חלק בנפרד

34⋅34=916\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16}

בדיקה

השורש חל על המונה ועל המכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו 125\sqrt{\frac{1}{25}}? ענו בשבר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2

הפתרון:

125=15\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}

שורש למונה ולמכנה

15=0.2\frac{1}{5} = 0.2

ובעשרוני

בדיקה: 0.2⋅0.2=0.04=1250.2 \cdot 0.2 = 0.04 = \frac{1}{25} ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חשבו: 273\sqrt[3]{27}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

3⋅3⋅3=273 \cdot 3 \cdot 3 = 27

שלוש פעמים, לא פעמיים

הסימן הקטן 3 מעל השורש אומר כמה פעמים המספר מופיע בכפל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

קובייה שנפחה 64 סמ״ק. מהו אורך מקצועה בסנטימטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

a3=64a^3 = 64

נפח הקובייה

4⋅4⋅4=64 ⇒ a=4\begin{aligned}4 \cdot 4 \cdot 4 &= 64 \ \Rightarrow \ a \\ &= 4\end{aligned}

מחפשים את המקצוע

שימו לב ש-64=8\sqrt{64} = 8 — תשובה נכונה לשאלה אחרת לגמרי. כאן נתון נפח, לא שטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

קובייה שנפחה 125 סמ״ק. מהו שטח פנים שלה בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 150

הפתרון:

a=1253=5\begin{aligned}a &= \sqrt[3]{125} \\ &= 5\end{aligned}

קודם המקצוע

S=6⋅52=6⋅25\begin{aligned}S &= 6 \cdot 5^2 \\ &= 6 \cdot 25\end{aligned}

שש פאות ריבועיות

=150= 150

מחשבים

שתי פעולות הפוכות בשאלה אחת: קודם שורש שלישי כדי לרדת מהנפח לצלע, ואז חזקה שנייה כדי לעלות לשטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שורש ריבועי או שורש שלישי?

  • ריבועי
  • שלישי
  • המספר מופיע פעמיים בכפל
  • המספר מופיע שלוש פעמים בכפל
  • נתון נפח קובייה, מחפשים מקצוע
  • נתון שטח ריבוע, מחפשים צלע
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נתון שטח ריבוע, מחפשים צלע — ריבועי · נתון נפח קובייה, מחפשים מקצוע — שלישי · המספר מופיע פעמיים בכפל — ריבועי · המספר מופיע שלוש פעמים בכפל — שלישי

הפתרון:

a : שטח→צלע\sqrt{a} \ : \ \text{שטח} \rightarrow \text{צלע}

שני כיוונים

a3 : נפח→מקצוע\sqrt[3]{a} \ : \ \text{נפח} \rightarrow \text{מקצוע}

שלושה כיוונים

שטח — שני כיוונים, ולכן חזקה שנייה. נפח — שלושה כיוונים, ולכן שלישית. הסימן שמעל השורש הוא מספר הכיוונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

השלימו

שורש של 10000 הוא ____, ושורש שלישי של 1000 הוא ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שורש של 10000 הוא 100, ושורש שלישי של 1000 הוא 10

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

49=23\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}
10000=100\sqrt{10000} = 100
83=4\sqrt[3]{8} = 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 83=4\sqrt[3]{8} = 4 → 83=2\sqrt[3]{8} = 2

הפתרון:

2⋅2⋅2=82 \cdot 2 \cdot 2 = 8

השורש השלישי של 8

4⋅4⋅4=644 \cdot 4 \cdot 4 = 64

ואילו 4 נותן 64

4⋅4⋅4=644 \cdot 4 \cdot 4 = 64, ולא 8. השורש השלישי של 8 הוא 2, כי 2⋅2⋅2=82 \cdot 2 \cdot 2 = 8.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

התאימו כל שורש לשבר שלו

  • 14\sqrt{\frac{1}{4}}
  • 1625\sqrt{\frac{16}{25}}
  • 49\sqrt{\frac{4}{9}}
  • 49100\sqrt{\frac{49}{100}}
  • 12\frac{1}{2}
  • 23\frac{2}{3}
  • 45\frac{4}{5}
  • 710\frac{7}{10}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14\sqrt{\frac{1}{4}} — 12\frac{1}{2} · 1625\sqrt{\frac{16}{25}} — 45\frac{4}{5} · 49\sqrt{\frac{4}{9}} — 23\frac{2}{3} · 49100\sqrt{\frac{49}{100}} — 710\frac{7}{10}

הפתרון:

12⋅12=14\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

בדיקה בכפל

45⋅45=1625\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{25}

בדיקה בכפל

23⋅23=49\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

בדיקה בכפל

710⋅710=49100\frac{7}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{49}{100}

בדיקה בכפל

שורש למונה ושורש למכנה, בנפרד. מי שהוציא שורש רק לאחד מהם קיבל שבר שאינו ברשימה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

10003=100\sqrt[3]{1000} = 100

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

100⋅100⋅100=1000000100 \cdot 100 \cdot 100 = 1000000

100 נותן מיליון

10⋅10⋅10=100010 \cdot 10 \cdot 10 = 1000

השורש השלישי של 1000 הוא 10

לא נכון. 100 הוא השורש הריבועי של 10000. בשורש שלישי המספר מופיע שלוש פעמים בכפל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת