מספרים ריבועיים והערכה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מספר ריבועי הוא מספר שיש לו שורש שלם — כלומר מספר שאפשר לסדר ממנו ריבוע מלא. שנים-עשר כאלה צריך לדעת בעל פה, והם מכסים כמעט כל תרגיל בכיתה ז.

149162536496481100121144\begin{array}{cccccc} 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 \\ 49 & 64 & 81 & 100 & 121 & 144 \end{array}

ובשורשים: 1=1\sqrt{1}=1, 4=2\sqrt{4}=2, 9=3\sqrt{9}=3, 16=4\sqrt{16}=4, 25=5\sqrt{25}=5, 36=6\sqrt{36}=6, 49=7\sqrt{49}=7, 64=8\sqrt{64}=8, 81=9\sqrt{81}=9, 100=10\sqrt{100}=10, 121=11\sqrt{121}=11, 144=12\sqrt{144}=12.

שימו לב לשניים האחרונים — 121 ו-144. מי שעוצר ב-100 נתקע בדיוק שם, כי הם מופיעים במבחנים לא פחות מהאחרים. הדרך לזכור: 112=12111^2 = 121, ו-122=14412^2 = 144 — מספר החודשים בריבוע.

מהו 144\sqrt{144}?

להציג את התשובה והפתרון

12. ובודקים מיד: 12⋅12=14412 \cdot 12 = 144. זה הריבוע הגדול ביותר שצריך לדעת בעל פה בכיתה ז.

וכשהמספר אינו ריבועי

רוב המספרים אינם ריבועיים, ואז אין תשובה שלמה. מה שכן אפשר — ובמבחן זה בדיוק מה שמבקשים — הוא לכלוא את השורש בין שני מספרים שלמים.

המרחק קובע את הקירוב: 50 רחוק רק 1 מ-49 ורחוק 14 מ-64 — ולכן השורש כמעט 7. זו הערכה שאפשר לעשות בראש, בלי מחשבון.

שורש של אפס ושל מספר שלילי

0=0\sqrt{0} = 0

כי 0×0=00 \times 0 = 0.

−9\sqrt{-9}

לא קיים. אין מספר שכפול עצמו נותן תוצאה שלילית — מינוס כפול מינוס הוא פלוס.

זו אותה סיבה בדיוק שבגללה למשוואה x2=−4x^2 = -4 אין פתרון, ובגללה בהמשך יש משוואות ריבועיות ללא פתרון.

הקירוב שנעשה בכיוון הלא נכון.

50≈25\sqrt{50} \approx 25
7<50<87 < \sqrt{50} < 8

חילקו ב-2 במקום לחפש מספר. הבדיקה: 25×25=62525 \times 25 = 625 — רחוק מאוד מ-50.

בין אילו שני שלמים נמצא 30\sqrt{30}?

להציג את התשובה והפתרון

בין 5 ל-6: 25<30<3625 < 30 < 36. וקרוב יותר ל-5.5.

איך אומדים 90\sqrt{90} בלי מחשבון?

להציג את התשובה והפתרון

מחפשים ריבועים שכנים: 81<90<10081 < 90 < 100, ולכן בין 9 ל-10 — בערך 9.5.

תרגילים

תרגיל 1

בין אילו שני מספרים שלמים נמצא השורש? רשמו את המספר השלם הקטן מבין השניים.

50\sqrt{50}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

72=497^2 = 49

המספר הריבועי שמתחת

82=648^2 = 64

והמספר הריבועי שמעל

7<50<87 < \sqrt{50} < 8

ולכן השורש כלוא ביניהם

הערך המדויק הוא בערך 7.07.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בין אילו שני מספרים שלמים נמצא השורש? רשמו את המספר השלם הקטן מבין השניים.

30\sqrt{30}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

52=255^2 = 25

המספר הריבועי שמתחת

62=366^2 = 36

והמספר הריבועי שמעל

5<30<65 < \sqrt{30} < 6

ולכן השורש כלוא ביניהם

הערך המדויק הוא בערך 5.48.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בין אילו שני מספרים שלמים נמצא השורש? רשמו את המספר השלם הקטן מבין השניים.

70\sqrt{70}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

82=648^2 = 64

המספר הריבועי שמתחת

92=819^2 = 81

והמספר הריבועי שמעל

8<70<98 < \sqrt{70} < 9

ולכן השורש כלוא ביניהם

הערך המדויק הוא בערך 8.37.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בין אילו שני מספרים שלמים נמצא השורש? רשמו את המספר השלם הקטן מבין השניים.

90\sqrt{90}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

92=819^2 = 81

המספר הריבועי שמתחת

102=10010^2 = 100

והמספר הריבועי שמעל

9<90<109 < \sqrt{90} < 10

ולכן השורש כלוא ביניהם

הערך המדויק הוא בערך 9.49.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בין אילו שני מספרים שלמים נמצא השורש? רשמו את המספר השלם הקטן מבין השניים.

20\sqrt{20}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

42=164^2 = 16

המספר הריבועי שמתחת

52=255^2 = 25

והמספר הריבועי שמעל

4<20<54 < \sqrt{20} < 5

ולכן השורש כלוא ביניהם

הערך המדויק הוא בערך 4.47.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בין אילו שני מספרים שלמים נמצא השורש? רשמו את המספר השלם הקטן מבין השניים.

40\sqrt{40}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

62=366^2 = 36

המספר הריבועי שמתחת

72=497^2 = 49

והמספר הריבועי שמעל

6<40<76 < \sqrt{40} < 7

ולכן השורש כלוא ביניהם

הערך המדויק הוא בערך 6.32.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חשבו:

121=  ?\sqrt{121} = \;?
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

11×11=12111 \times 11 = 121

אותה שאלה, מספרים גדולים יותר

מעבר ל-100 כדאי לנסות מספרים שמסתיימים בספרה מתאימה — סוף המספר מגביל את האפשרויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

חשבו:

144=  ?\sqrt{144} = \;?
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

12×12=14412 \times 12 = 144

אותה שאלה, מספרים גדולים יותר

מעבר ל-100 כדאי לנסות מספרים שמסתיימים בספרה מתאימה — סוף המספר מגביל את האפשרויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

חשבו:

169=  ?\sqrt{169} = \;?
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

13×13=16913 \times 13 = 169

אותה שאלה, מספרים גדולים יותר

מעבר ל-100 כדאי לנסות מספרים שמסתיימים בספרה מתאימה — סוף המספר מגביל את האפשרויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

כמה זה −9\sqrt{-9}?

  1. לא קיים
  2. 99
  3. 33
  4. −3-3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לא קיים

הפתרון:

3×3=93 \times 3 = 9

חיובי

(−3)×(−3)=9(-3) \times (-3) = 9

וגם זה חיובי

שני המקרים נותנים 9 חיובי — ולכן לא קיים מספר שריבועו 9−. אין מספר שכפול עצמו נותן מספר שלילי

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מדוע 50\sqrt{50} קרוב יותר ל-7 מאשר ל-8?

  1. הוא בעצם קרוב יותר ל-8
  2. כי 50 מתחלק ב-2
  3. כי 7 קטן מ-8
  4. כי 50 רחוק רק 1 מ-49, ורחוק 14 מ-64
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד כי 50 רחוק רק 1 מ-49, ורחוק 14 מ-64

הפתרון:

50−49=150 - 49 = 1

המרחק מלמטה

64−50=1464 - 50 = 14

והמרחק מלמעלה

ולכן ההערכה בראש: קצת יותר מ-7.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

שטח של ריבוע הוא 60 סמ״ר. בין אילו שני מספרים שלמים נמצא אורך הצלע? רשמו את הקטן מביניהם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

72=49    82=64\begin{aligned}7^2 &= 49 \; \\ \; 8^2 &= 64\end{aligned}

שני המספרים הריבועיים הסמוכים

7<60<87 < \sqrt{60} < 8

ו-60 נמצא ביניהם

60 קרוב יותר ל-64, ולכן הצלע קרובה ל-8 — בערך 7.75.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

וכשהמספר אינו ריבועי

תרגיל 13

בין אילו שני מספרים שלמים עוקבים נמצא 72\sqrt{72}?

בין ____ ל-____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בין 8 ל-9

הפתרון:

82=648^2 = 64

קטן מ-72

92=819^2 = 81

גדול מ-72

72 נמצא כמעט באמצע בין 64 ל-81 — ולכן 72\sqrt{72} קרוב ל-8.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

חשבו: 121\sqrt{121}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

11⋅11=12111 \cdot 11 = 121

איזה מספר כפול עצמו נותן 121

121 ו-144 הם שני הריבועים שמעל 100 שצריך לדעת בעל פה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

חשבו: 144\sqrt{144}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

12⋅12=14412 \cdot 12 = 144

בדיקה בכפל

בדיקה שלוקחת שנייה: כופלים את התשובה בעצמה וחוזרים למספר המקורי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

בין אילו שני מספרים שלמים נמצא 130\sqrt{130}?

  1. בין 12 ל-13
  2. בין 11 ל-12
  3. בין 10 ל-11
  4. בין 64 ל-65
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב בין 11 ל-12

הפתרון:

121<130<144121 < 130 < 144

שני הריבועים השכנים

11<130<1211 < \sqrt{130} < 12

ולכן השורש ביניהם

בלי 121 ו-144 בזיכרון אי אפשר לענות על השאלה הזאת — וזו בדיוק הסיבה שהם נמצאים בטבלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

לאיזה שורש יש תשובה שלמה?

  • שורש שלם
  • לא שלם
  • 1\sqrt{1}
  • 12\sqrt{12}
  • 121\sqrt{121}
  • 50\sqrt{50}
  • 80\sqrt{80}
  • 81\sqrt{81}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 81\sqrt{81} — שורש שלם · 80\sqrt{80} — לא שלם · 121\sqrt{121} — שורש שלם · 12\sqrt{12} — לא שלם · 1\sqrt{1} — שורש שלם · 50\sqrt{50} — לא שלם

הפתרון:

1 81=92 121=112\begin{aligned}1 \\ \ 81 &= 9^2 \\ \ 121 &= 11^2\end{aligned}

מספרים ריבועיים

64<80<81, 9<12<16, 49<50<6464 < 80 < 81, \ 9 < 12 < 16, \ 49 < 50 < 64

כלואים בין שני ריבועים

80 קרוב מאוד ל-81, אבל אינו ריבוע: 80\sqrt{80} רק כמעט 9.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

סדרו מהקטן לגדול

  • 40\sqrt{40}
  • 50\sqrt{50}
  • 64\sqrt{64}
  • 66
  • 77
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 66 · 40\sqrt{40} · 77 · 50\sqrt{50} · 64\sqrt{64}

הפתרון:

36<40<49 ⇒ 6<40<736 < 40 < 49 \ \Rightarrow \ 6 < \sqrt{40} < 7

השורש של 40 כלוא בין 6 ל-7

49<50<64 ⇒ 7<50<849 < 50 < 64 \ \Rightarrow \ 7 < \sqrt{50} < 8

והשורש של 50 בין 7 ל-8

64=8\sqrt{64} = 8

והאחרון שווה בדיוק 8

כולאים כל שורש בין שני שלמים, ואז רואים את מקומו בשורה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

90\sqrt{90} קרוב יותר ל-9 מאשר ל-10.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

81<90<10081 < 90 < 100

90 כלוא בין 81 ל-100

90−81=9  100−90=10\begin{aligned}90 - 81 &= 9 \ \\ \ 100 - 90 &= 10\end{aligned}

הוא קצת יותר קרוב ל-81

נכון, אבל רק בקושי: 90≈9.49\sqrt{90} \approx 9.49. כשהמרחקים כמעט שווים, השורש כמעט באמצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת