סוגי משולשים וסכום הזוויות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

למשולש יש שתי מערכות שמות נפרדות, והן לא סותרות זו את זו: אחת לפי הצלעות, אחת לפי הזוויות. אותו משולש מקבל שם מכל אחת.

לפי הצלעות

33

שווה צלעות — כל שלוש הצלעות שוות, וכל הזוויות הן 60°60°.

22

שווה שוקיים — שתי צלעות שוות, וזוויות הבסיס שוות.

00

שונה צלעות — אין שתי צלעות שוות.

לפי הזוויות

<90°< 90°

חד זווית — כל שלוש הזוויות חדות.

=90°= 90°

ישר זווית — יש בו זווית ישרה אחת.

>90°> 90°

קהה זווית — יש בו זווית קהה אחת.

שימו לב: לא ייתכנו שתי זוויות ישרות או קהות באותו משולש. שתיהן יחד כבר היו מגיעות ל-180 מעלות ומעלה, ולא היה נשאר כלום לשלישית.

האם יכול להיות משולש שהוא גם שווה צלעות וגם ישר זווית?

להציג את התשובה והפתרון

לא. בשווה צלעות כל הזוויות הן 60°60°, ולכן אין בו זווית ישרה. זה הצירוף היחיד שחסר בטבלה — וגם «שווה צלעות וקהה זווית» חסר מאותה סיבה.

סכום הזוויות במשולש

זהו המשפט המרכזי של כל הגאומטריה בכיתה ז, והוא נכון לכל משולש בלי יוצא מן הכלל:

α+β+γ=180°\alpha + \beta + \gamma = 180°

ניסוי שמשכנע: גוזרים משולש מנייר, קורעים את שלוש הפינות ומצמידים אותן זו לזו. הן יוצרות קו ישר מדויק — כלומר בדיוק 180 מעלות.

גררו את הקודקוד CC הרחק מעבר ל-BB. מה קורה לזווית BB, ומה קורה לסכום?

להציג את התשובה והפתרון

הזווית BB נעשית קהה — והזוויות AA ו-CC קטנות בדיוק כדי לפצות. הסכום נשאר 180°180° בכל מצב.

שימוש ישיר

במשולש שתי זוויות הן 50°50° ו-70°70°. מהי השלישית?

50+70=12050 + 70 = 120

סכום השתיים הידועות

180−120=60180 - 120 = 60

מה שנשאר

זווית חיצונית

מאריכים צלע של משולש מעבר לקודקוד — ונוצרת זווית חיצונית, בין ההמשך לבין הצלע השכנה. היא צמודה לזווית הפנימית שלידה, ולכן שתיהן יחד 180°180°.

∠CBD=∠A+∠C\angle CBD = \angle A + \angle C

הכלל: זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. הסיבה פשוטה: גם היא וגם ∠A+∠C\angle A + \angle C משלימות את ∠B\angle B ל-180°180°.

במשולש ∠A=40°\angle A = 40° ו-∠C=75°\angle C = 75°. מהי הזווית החיצונית ב-BB?

להציג את התשובה והפתרון

40+75=115°40 + 75 = 115°. בלי לחשב את ∠B\angle B בכלל. (בדיקה: ∠B=180−115=65\angle B = 180 - 115 = 65, והחיצונית 180−65=115180 - 65 = 115 ✓)

אי-שוויון המשולש

לא כל שלושה מספרים יכולים להיות צלעות של משולש. הכלל: סכום כל שתי צלעות גדול מהשלישית.

ההיגיון פשוט: כדי להגיע מנקודה לנקודה, הדרך הישרה קצרה מהדרך דרך נקודה שלישית. אם 2 ו-3 יחד הם 5 — הם בדיוק מגיעים ולא סוגרים משולש.

בדיקה

האם אפשר לבנות משולש שצלעותיו 3, 4 ו-8?

3+4=73 + 4 = 7

סכום שתי הקצרות

7<87 < 8

קטן מהשלישית

לא ניתן\text{לא ניתן}

שתי הצלעות פשוט לא נפגשות

מספיק לבדוק צירוף אחד: סכום שתי הצלעות הקצרות. אם הוא עובר את הארוכה — כל השאר בטוח מתקיים.

המקלות 88 ו-33 קבועים. מה האורכים השלמים שהמקל השלישי יכול לקבל?

להציג את התשובה והפתרון

כל אורך בין 8−3=58 - 3 = 5 לבין 8+3=118 + 3 = 11, בלי הקצוות: 6,7,8,9,106, 7, 8, 9, 10 — חמישה אורכים.

הטעות של סכום הזוויות.

α+β+γ=360°\alpha + \beta + \gamma = 360°
=180°= 180°

360 הוא סכום הזוויות במרובע, לא במשולש.

3+4=7 ולכן משולש עם צלע 7 קיים3 + 4 = 7 \ \text{ולכן משולש עם צלע 7 קיים}
צריך גדול ממש, לא שווה\text{צריך גדול ממש, לא שווה}

בשוויון מדויק שלוש הנקודות נופלות על ישר אחד — וזה לא משולש.

במשולש זוויות של 65 ו-48 מעלות. מהי השלישית?

להציג את התשובה והפתרון

180−65−48=67180 - 65 - 48 = 67 מעלות. סכום הזוויות — תמיד 180.

האם משולש יכול להיות גם שווה שוקיים וגם ישר זווית?

להציג את התשובה והפתרון

כן — חצי ריבוע שנחתך באלכסון: זווית ישרה בין שתי שוקיים שוות, ושתי זוויות של 45.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש שתי זוויות הן 50°50° ו-70°70°. מהי השלישית (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

50+70=12050 + 70 = 120

סכום הידועות

180−120=60180 - 120 = 60

מה שנשאר

סכום הזוויות במשולש הוא תמיד 180.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש שווה צלעות — כמה מעלות בכל זווית?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

180:3=60180 : 3 = 60

שלוש זוויות שוות

צלעות שוות — זוויות שוות. זה עובד בשני הכיוונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

האם אפשר לבנות משולש שצלעותיו 3, 4 ו-8?

  1. רק אם הוא ישר זווית
  2. כן
  3. לא — 3+4<83 + 4 < 8
  4. רק אם הוא שווה שוקיים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לא — 3+4<83 + 4 < 8

הפתרון:

3+4=73 + 4 = 7

סכום הקצרות

7<87 < 8

קטן מהארוכה

שתי הצלעות פשוט לא מגיעות זו לזו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

האם ייתכן משולש עם שתי זוויות ישרות?

  1. כן
  2. רק במשולש גדול
  3. לא — הן לבדן כבר 180
  4. רק אם הוא שווה שוקיים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לא — הן לבדן כבר 180

הפתרון:

90+90=18090 + 90 = 180

כבר הכול

לשלישית נשאר 0\text{לשלישית נשאר 0}

ואין זווית של אפס

ולכן גם לא ייתכנו שתי זוויות קהות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

האם משולש יכול להיות גם שווה שוקיים וגם ישר זווית?

  1. כן
  2. רק בציור
  3. רק אם הוא גם שווה צלעות
  4. לא
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כן

הפתרון:

90°, 45°, 45°90°,\ 45°,\ 45°

דוגמה

מערכת שמות לפי צלעות ומערכת לפי זוויות — הן בלתי תלויות. שני שמות מאותן שתי מערכות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש ישר זווית זווית חדה אחת היא 28°28°. מהי השנייה (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 62

הפתרון:

180−90=90180 - 90 = 90

נשאר לשתי החדות

90−28=6290 - 28 = 62

השנייה

שתי החדות משלימות ל-90, לא ל-180.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש שתי זוויות בנות 50∘50^\circ ו-81∘81^\circ. חשבו את הזווית השלישית (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 49

הפתרון:

50+81=13150 + 81 = 131

סכום שתי הידועות

180−131=49180 - 131 = 49

סכום הזוויות במשולש 180∘180^\circ

תמיד אותו מהלך: מחברים את מה שידוע, ומחסרים מ-180.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש ישר זווית, אחת הזוויות היא 54∘54^\circ. חשבו את הזווית השלישית (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

90+54=14490 + 54 = 144

הזווית הישרה שווה 90∘90^\circ — גם כשלא כתוב עליה מספר

180−144=36180 - 144 = 36

ומחסרים מ-180

דרך מהירה: בזווית ישרה, שתי הזוויות החדות משלימות זו את זו ל-90∘90^\circ: 90−54=3690 - 54 = 36.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

קטע מחלק את זווית הראש של משולש לשתי זוויות: 52∘52^\circ ו-35∘35^\circ. זווית הבסיס השמאלית היא 68∘68^\circ. חשבו את זווית הבסיס הימנית (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

52+35=8752 + 35 = 87

זווית הראש כולה — מחברים את שני החלקים

87+68=15587 + 68 = 155

ביחד עם הבסיס השמאלי

180−155=25180 - 155 = 25

סכום הזוויות במשולש הגדול

הקטע שמחלק את הזווית מנסה לבלבל — אבל אפשר להתעלם ממנו לגמרי ולעבוד עם המשולש הגדול. (אפשר גם דרך זווית חיצונית: 68+52=12068 + 52 = 120, ואז 180−120−35=25180 - 120 - 35 = 25 — אותה תשובה.)

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

855
זווית הראש למעלה

במשולש שווה שוקיים זווית הראש 100 מעלות. מהי כל זווית בסיס?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

180−100=80180 - 100 = 80
80:2=4080 : 2 = 40

זוויות הבסיס שוות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

  • 33
  • 22
  • 00
  • שווה צלעות — כל שלוש הצלעות שוות, וכל הזוויות הן 60°60°.
  • שווה שוקיים — שתי צלעות שוות, וזוויות הבסיס שוות.
  • שונה צלעות — אין שתי צלעות שוות.
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 33 — שווה צלעות — כל שלוש הצלעות שוות, וכל הזוויות הן 60°60°. · 22 — שווה שוקיים — שתי צלעות שוות, וזוויות הבסיס שוות. · 00 — שונה צלעות — אין שתי צלעות שוות.

הפתרון:

כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

48°?ABC

במשולש שווה שוקיים ABCABC (CA=CBCA = CB) זווית הראש ∠C=48°\angle C = 48°. כמה מעלות בכל זווית בסיס?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 66

הפתרון:

180−48=132180 - 48 = 132

מה שנשאר לשתי זוויות הבסיס יחד

132:2=66132 : 2 = 66

זוויות הבסיס שוות, ולכן מחלקים בשתיים

66+66+48=18066 + 66 + 48 = 180

בדיקה

הפח: לחלק את 180 בשתיים לפני שמחסרים את זווית הראש. קודם מחסרים את הראש, ורק אחר כך מחלקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

?47°68°ABCD

במשולש ABCABC: ∠A=47°\angle A = 47°, ∠C=68°\angle C = 68°. מאריכים את הצלע ABAB מעבר ל-BB עד הנקודה DD. כמה מעלות בזווית החיצונית ∠CBD\angle CBD?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 115

הפתרון:

∠CBD=∠A+∠C\angle CBD = \angle A + \angle C

זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה

47+68=11547 + 68 = 115

מציבים

180−65=115180 - 65 = 115

בדיקה: ∠ABC=180−47−68=65\angle ABC = 180 - 47 - 68 = 65, והחיצונית צמודה לה

הפח: לחבר את הזווית הצמודה ∠ABC\angle ABC — היא לא משתתפת. החיצונית שווה לשתי הרחוקות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

x2x3xABC

זוויות משולש הן ביחס 1:2:31 : 2 : 3. כמה מעלות בזווית הגדולה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

x+2x+3x=180x + 2x + 3x = 180

מסמנים את הזוויות xx, 2x2x, 3x3x

6x=180 ⇒ x=30\begin{aligned}6x &= 180 \ \Rightarrow \ x \\ &= 30\end{aligned}

פותרים

3x=903x = 90

הזווית הגדולה

30+60+90=18030 + 60 + 90 = 180

בדיקה

הפח: לענות x=30x = 30 — זו הזווית הקטנה. והמשולש יצא ישר זווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

70°70°40°ABC

במשולש זוויות של 40°40°, 70°70° ו-70°70°. מה שני השמות שלו?

  1. שונה צלעות וחד זווית
  2. שווה שוקיים וקהה זווית
  3. שווה שוקיים וחד זווית
  4. שווה צלעות וחד זווית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג שווה שוקיים וחד זווית

הפתרון:

70=7070 = 70

שתי זוויות שוות — ולכן שתי צלעות שוות: שווה שוקיים

40<90, 70<9040 < 90 , \ 70 < 90

כל הזוויות חדות: חד זווית

שם אחד לפי הצלעות ושם אחד לפי הזוויות. שווה צלעות היה דורש שלוש זוויות של 60°60°.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

אילו שלשות זוויות יכולות להיות זוויות של משולש?

  • יש משולש כזה
  • אין משולש כזה
  • 100°,  50°,  40°100° ,\; 50° ,\; 40°
  • 20°,  40°,  120°20° ,\; 40° ,\; 120°
  • 30°,  30°,  120°30° ,\; 30° ,\; 120°
  • 45°,  45°,  80°45° ,\; 45° ,\; 80°
  • 50°,  60°,  70°50° ,\; 60° ,\; 70°
  • 60°,  60°,  70°60° ,\; 60° ,\; 70°
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50°,  60°,  70°50° ,\; 60° ,\; 70° — יש משולש כזה · 100°,  50°,  40°100° ,\; 50° ,\; 40° — אין משולש כזה · 30°,  30°,  120°30° ,\; 30° ,\; 120° — יש משולש כזה · 60°,  60°,  70°60° ,\; 60° ,\; 70° — אין משולש כזה · 45°,  45°,  80°45° ,\; 45° ,\; 80° — אין משולש כזה · 20°,  40°,  120°20° ,\; 40° ,\; 120° — יש משולש כזה

הפתרון:

50+60+70=18050 + 60 + 70 = 180

מתאים

100+50+40=190100 + 50 + 40 = 190

יותר מדי

45+45+80=17045 + 45 + 80 = 170

פחות מדי

הבדיקה היחידה: הסכום חייב להיות בדיוק 180 — לא קרוב, לא בערך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

?αβABCD

זווית חיצונית של משולש יכולה להיות קטנה מאחת הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

חיצונית=α+β\text{חיצונית} = \alpha + \beta

היא סכום שתי הזוויות הרחוקות

α+β>α\alpha + \beta > \alpha

וכל זווית במשולש גדולה מאפס

הזווית החיצונית גדולה מכל אחת משתי הזוויות הרחוקות, כי היא שתיהן יחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

50°??ABC

במשולש שווה שוקיים זווית הראש היא 50°50°. נועה חישבה את זוויות הבסיס. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

זווית הראש=50°\text{זווית הראש} = 50°
שתי זוויות הבסיס יחד=180−50=130\begin{aligned}\text{שתי זוויות הבסיס יחד} &= 180 - 50 \\ &= 130\end{aligned}
כל זווית בסיס=130−50=80\begin{aligned}\text{כל זווית בסיס} &= 130 - 50 \\ &= 80\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: כל זווית בסיס=130−50=80\text{כל זווית בסיס} = 130 - 50 = 80 → כל זווית בסיס=130:2=65\text{כל זווית בסיס} = 130 : 2 = 65

הפתרון:

130:2=65130 : 2 = 65

130 מתחלק שווה בשווה בין שתי זוויות הבסיס

65+65+50=18065 + 65 + 50 = 180

בדיקה

נועה חיסרה שוב את 50 — אבל זווית הראש כבר ירדה. עם 80 הסכום היה 80+80+50=21080 + 80 + 50 = 210.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

130°55°?ABCD

במשולש ABCABC מאריכים את BCBC מעבר ל-CC עד DD. הזווית החיצונית ∠ACD=130°\angle ACD = 130°, ו-∠A=55°\angle A = 55°. כמה מעלות ב-∠B\angle B?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 75

הפתרון:

∠A+∠B=∠ACD\angle A + \angle B = \angle ACD

החיצונית ב-CC שווה לשתי הרחוקות

55+∠B=13055 + \angle B = 130

מציבים

∠B=75\angle B = 75

ובדיקה: ∠ACB=50\angle ACB = 50, ו-55+75+50=18055 + 75 + 50 = 180

הפח: לחסר מ-180 — 180−130=50180 - 130 = 50 היא הזווית הצמודה ∠ACB\angle ACB, לא ∠B\angle B.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת