צלעות המשולש וחוצה זווית בו

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

כבר ראינו שלא כל שלושה אורכים בונים משולש — סכום כל שתי צלעות גדול מהשלישית. עכשיו נוסיף שתי עובדות שחוזרות בכל מבחן, ושתיהן נובעות ממה שכבר למדנו.

במשולש ישר-זווית, היתר הוא הארוך ביותר

במשולש ישר-זווית שני הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה נקראות ניצבים, והצלע שמולה נקראת יתר.

עובדה שכדאי לדעת בעל פה

היתר גדול מכל אחד משני הניצבים. תמיד, בכל משולש ישר-זווית, בלי יוצא מן הכלל.

וזה לא כלל שצריך להאמין בו — הוא נובע ישירות ממשהו שלמדנו בפרק על ניצבות: האנך הוא הקטע הקצר ביותר מנקודה אל ישר.

ובדיקה מעשית שחוסכת טעויות: בשאלה שנותנת שלושה אורכים ואומרת «ישר-זווית», הגדול ביותר הוא היתר. תמיד. אם סימנתם משהו אחר כיתר — טעיתם.

במשולש ישר-זווית האורכים הם 5, 12 ו-13. מיהו היתר?

להציג את התשובה והפתרון

13 — הגדול ביותר. ו-5 ו-12 הם הניצבים, שני הקטנים. שלישייה זו חוזרת הרבה, ולצידה 3,4,53, 4, 5 ו-6,8,106, 8, 10.

ועוד מסקנה: במשולש ישר-זווית סכום שתי הזוויות החדות הוא 90°90°.

כי שלושתן יחד 180, והישרה כבר לקחה 90. ולכן לא ייתכנו בו שתי זוויות ישרות.

הצלע הגדולה מול הזווית הגדולה

בכל משולש, מול הזווית הגדולה יושבת הצלע הגדולה. ומול הזווית הקטנה, הצלע הקטנה.

«מול» פירושו: הצלע שאינה נוגעת בקודקוד. מול ∠A\angle A יושבת BCBC, מול ∠B\angle B יושבת ACAC, ומול ∠C\angle C יושבת ABAB.

היתר הוא מקרה פרטי של הכלל: במשולש ישר-זווית הזווית הגדולה היא הישרה, ולכן היתר שמולה הוא הארוך ביותר.

במשולש ABCABC: ∠A=30°\angle A = 30°, ∠B=100°\angle B = 100°. איזו צלע הכי ארוכה, ואיזו הכי קצרה?

להציג את התשובה והפתרון

∠C=180−30−100=50\angle C = 180 - 30 - 100 = 50. הגדולה היא ∠B\angle B, ולכן ACAC הכי ארוכה; הקטנה היא ∠A\angle A, ולכן BCBC הכי קצרה.

חוצה זווית בתוך משולש

את חוצה הזווית פגשנו כבר. כשמעבירים אותו מקודקוד של משולש, הוא לא נגמר באוויר — הוא חוצה את הזווית וממשיך עד הצלע שמולה.

∠BAD=∠DAC\angle BAD = \angle DAC

חוצה זווית מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות.

BM=MCBM = MC

תיכון מחלק את הצלע לשני חלקים שווים.

AH⊥BCAH \perp BC

גובה מאונך לצלע שמולו.

ומה מחשבים איתו

רוב שאלות המבחן משלבות את החוצה עם סכום הזוויות במשולש. הרעיון תמיד אותו רעיון: החוצה יוצר משולש קטן יותר, ובו גם כן סכום הזוויות הוא 180°180°.

באותו משולש — מהי ∠ADC\angle ADC?

להציג את התשובה והפתרון

100°100°. הזוויות ∠ADB\angle ADB ו-∠ADC\angle ADC צמודות — הן יושבות יחד על הישר BCBC — ולכן 180−80=100180 - 80 = 100. אפשר גם לבדוק במשולש ADCADC: ∠C=180−80−60=40\angle C = 180 - 80 - 60 = 40, ואז 180−40−40=100180 - 40 - 40 = 100 ✓

שלוש הטעויות של היחידה.

יתר=הצלע התחתונה\text{יתר} = \text{הצלע התחתונה}
יתר=מול הזווית הישרה\text{יתר} = \text{מול הזווית הישרה}

היתר מזוהה לפי מיקומו ביחס לזווית הישרה, לא לפי איך שהמשולש מצויר על הדף.

חוצה זווית=תיכון\text{חוצה זווית} = \text{תיכון}
חוצה זווית≠תיכון\text{חוצה זווית} \neq \text{תיכון}

החוצה מחלק זווית, התיכון מחלק צלע. הם מתלכדים רק במשולש שווה שוקיים.

90°+90°90° + 90°
זווית ישרה אחת בלבד\text{זווית ישרה אחת בלבד}

שתי זוויות ישרות כבר ממצות את כל ה-180, ולא נשאר דבר לשלישית.

עכשיו נתרגל — זיהוי היתר, והחישובים סביב החוצה.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש ישר-זווית האורכים 5, 12 ו-13. מהו אורך היתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

13>12>513 > 12 > 5

היתר הוא הארוך ביותר

היתר יושב מול הזווית הישרה, והוא תמיד הצלע הגדולה ביותר במשולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מדוע היתר ארוך משני הניצבים?

  1. זו החלטה שרירותית
  2. כי הניצב הוא האנך, והאנך הוא הקטע הקצר ביותר לישר
  3. כי הוא מצויר למטה
  4. כי הוא מול הזווית הקטנה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב כי הניצב הוא האנך, והאנך הוא הקטע הקצר ביותר לישר

הפתרון:

AC⊥BC ⇒ AB>ACAC \perp BC \ \Rightarrow \ AB > AC

כל קטע אחר ארוך מהאנך

הנימוק נשען על מה שכבר הוכח בפרק הניצבות — ולא על עובדה חדשה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש ישר-זווית יכולות להיות שתי זוויות ישרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

90+90=18090 + 90 = 180

כבר כל הסכום

לא נשאר דבר לזווית השלישית, ולכן משולש כזה אינו קיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש ישר-זווית אחת הזוויות החדות היא 37°37°. כמה מעלות בשנייה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 53

הפתרון:

180−90=90180 - 90 = 90

מה שנשאר לשתי החדות

90−37=5390 - 37 = 53

והשנייה

במשולש ישר-זווית שתי החדות משלימות זו את זו ל-90°90° — קיצור שחוסך שלב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש ABCABC: ∠A=80°\angle A = 80°, ∠B=60°\angle B = 60°. הקרן ADAD חוצה את ∠A\angle A (DD על BCBC). כמה מעלות ב-∠ADB\angle ADB?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 80

הפתרון:

80:2=4080 : 2 = 40

החוצה מחלק את זווית AA

180−40−60=80180 - 40 - 60 = 80

סכום הזוויות במשולש ABDABD

החוצה יוצר משולש קטן, ובו סכום הזוויות הוא 180 בדיוק כמו בגדול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

באותו משולש — כמה מעלות ב-∠ADC\angle ADC?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 100

הפתרון:

180−80=100180 - 80 = 100

צמודה ל-∠ADB\angle ADB

הן יושבות יחד על הישר BCBC, ולכן משלימות ל-180. אפשר גם לחשב במשולש ADCADC ולקבל את אותה תשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

התאימו כל קטע למה שהוא מחלק

  • חוצה זווית
  • תיכון
  • גובה
  • יתר
  • הצלע שמול הזווית הישרה
  • מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות
  • מחלק את הצלע לשני חלקים שווים
  • ניצב לצלע שמולו
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: חוצה זווית — מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות · תיכון — מחלק את הצלע לשני חלקים שווים · גובה — ניצב לצלע שמולו · יתר — הצלע שמול הזווית הישרה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש שווה-צלעות מעבירים חוצה זווית מקודקוד. כמה מעלות בכל אחת משתי הזוויות שנוצרו בקודקוד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

180:3=60180 : 3 = 60

כל זווית במשולש שווה-צלעות

60:2=3060 : 2 = 30

והחוצה חוצה אותה

ובמשולש שווה-צלעות החוצה הוא גם גובה וגם תיכון — שלושתם מתלכדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש ישר-זווית, שלושת האורכים 8, 15 ו-17. מהם הניצבים?

  1. אי אפשר לדעת
  2. 15 ו-17
  3. 8 ו-15
  4. 8 ו-17
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 8 ו-15

הפתרון:

17>15>817 > 15 > 8

הגדול הוא היתר

היתר הוא תמיד הגדול ביותר, ולכן שני הנותרים הם הניצבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חוצה זווית במשולש מחלק תמיד גם את הצלע שמולו לשני חלקים שווים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

חוצה≠תיכון\text{חוצה} \neq \text{תיכון}

האחד חוצה זווית, השני צלע

זה נכון רק במשולש שווה-שוקיים או שווה-צלעות. במשולש רגיל החוצה, התיכון והגובה פוגעים בצלע בשלוש נקודות שונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

במשולש ABCABC: ∠B=50°\angle B = 50°, ∠C=70°\angle C = 70°. חוצה זווית מהקודקוד AA פוגע ב-BCBC בנקודה DD. כמה מעלות ב-∠BAD\angle BAD?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

180−50−70=60180 - 50 - 70 = 60

קודם מוצאים את ∠A\angle A

60:2=3060 : 2 = 30

ואז חוצים אותה

שני שלבים תמיד: קודם הזווית כולה מסכום הזוויות, ורק אז החציה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

במשולש ישר-זווית האורכים 6, 8 ו-10. שורה אחת שגויה

היתר=10\text{היתר} = 10
הניצבים=6  8\begin{aligned}\text{הניצבים} &= 6 \ \\ \ 8\end{aligned}
היתר=8\text{היתר} = 8
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: היתר=8\text{היתר} = 8 → היתר=10\text{היתר} = 10

הפתרון:

10>8>610 > 8 > 6

היתר הוא הגדול ביותר

היתר גדול משני הניצבים, ולכן הוא חייב להיות האורך הגדול ביותר משלושת הנתונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

94?
הצלע השלישית — ?

במשולש שתי צלעות הן 44 ס״מ ו-99 ס״מ. אורך הצלע השלישית בס״מ הוא מספר שלם. כמה ערכים אפשריים יש לה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

9−4<x<9+49 - 4 < x < 9 + 4

הצלע השלישית בין ההפרש לסכום

5<x<135 < x < 13

ולא שווה לאף אחד מהם

x=6789101112\begin{aligned}x &= 6 \\ 7 \\ 8 \\ 9 \\ 10 \\ 11 \\ 12\end{aligned}

המספרים השלמים ביניהם

77

ערכים

הפח: לכלול את 5 ואת 13. בשוויון שלוש הנקודות נופלות על ישר אחד — ואין משולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

156?
הצלע השלישית — ?

לגדר משולשת יש שתי צלעות: 66 מטר ו-1515 מטר. אורך הצלע השלישית במטרים הוא מספר שלם. מהו האורך הקטן ביותר האפשרי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

x+6>15x + 6 > 15

הצלע החסרה יחד עם 6 חייבת לעבור את 15

x>9x > 9

ולכן

x=10x = 10

המספר השלם הראשון מעל 9

6+10=16>156 + 10 = 16 > 15

בדיקה

הפח: לענות 9. עם 9 מקבלים 6+9=156 + 9 = 15 בדיוק — שני הקטעים נשכבים על הצלע הארוכה ולא נסגר משולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

50°75°ABC

במשולש ABCABC: ∠A=50°\angle A = 50°, ∠B=75°\angle B = 75°. איזו צלע היא הארוכה ביותר?

  1. כל הצלעות שוות
  2. ACAC
  3. ABAB
  4. BCBC
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ACAC

הפתרון:

∠C=180−50−75=55\begin{aligned}\angle C &= 180 - 50 - 75 \\ &= 55\end{aligned}

קודם הזווית השלישית

75>55>5075 > 55 > 50

הגדולה היא ∠B\angle B

מול B יושבת AC\text{מול } B \text{ יושבת } AC

והצלע הארוכה מולה

הצלע הגדולה יושבת מול הזווית הגדולה — לא צמודה לה. ABAB ו-BCBC יוצאות מ-BB, ולכן אינן מולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

40°65°75°ABC

במשולש ABCABC: ∠A=40°\angle A = 40°, ∠B=65°\angle B = 65°, ∠C=75°\angle C = 75°. סדרו את הצלעות מהקצרה לארוכה

  • ABAB — מול ∠C\angle C
  • ACAC — מול ∠B\angle B
  • BCBC — מול ∠A\angle A
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: BCBC — מול ∠A\angle A · ACAC — מול ∠B\angle B · ABAB — מול ∠C\angle C

הפתרון:

40<65<7540 < 65 < 75

מסדרים את הזוויות

BC<AC<ABBC < AC < AB

והצלעות שמולן באותו סדר

סדר הצלעות הוא סדר הזוויות שמולן. כל צלע נקראת לפי שני הקודקודים שלה — והזווית שמולה היא בקודקוד השלישי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

משולש שווה שוקיים

במשולש שווה שוקיים, התיכון לבסיס הוא גם הגובה לבסיס וגם חוצה זווית הראש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

תיכון=גובה=חוצה\begin{aligned}\text{תיכון} &= \text{גובה} \\ &= \text{חוצה}\end{aligned}

במשולש שווה שוקיים — לבסיס בלבד

נכון — וזה מה שראיתם בשיעור כשלחצתם «להפוך לשווה שוקיים»: שלושת הקטעים התלכדו לקטע אחד. במשולש שונה צלעות הם פוגעים בבסיס בשלוש נקודות שונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

?40°BCAD

במשולש שווה שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) זווית הראש ∠A=40°\angle A = 40°. BDBD חוצה את ∠B\angle B, והנקודה DD על ACAC. כמה מעלות ב-∠BDC\angle BDC?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 75

הפתרון:

∠B=∠C=(180−40):2=70\begin{aligned}\angle B &= \angle C \\ &= (180 - 40) : 2 \\ &= 70\end{aligned}

זוויות הבסיס

∠DBC=70:2=35\begin{aligned}\angle DBC &= 70 : 2 \\ &= 35\end{aligned}

החוצה מחלק את ∠B\angle B

∠BDC=180−35−70=75\begin{aligned}\angle BDC &= 180 - 35 - 70 \\ &= 75\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש הקטן BDCBDC

שלושה כלים בשלושה שלבים: זוויות בסיס שוות, חציה, וסכום 180 במשולש הקטן. הפח: להשתמש ב-7070 במקום ב-3535 במשולש הקטן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

35°85°ABC

במשולש ABCABC: ∠A=35°\angle A = 35°, ∠B=85°\angle B = 85°. איזו צלע היא הקצרה ביותר?

  1. ABAB
  2. BCBC
  3. ACAC
  4. אי אפשר לדעת בלי סרגל
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב BCBC

הפתרון:

∠C=180−35−85=60\begin{aligned}\angle C &= 180 - 35 - 85 \\ &= 60\end{aligned}

קודם הזווית השלישית

35<60<8535 < 60 < 85

הקטנה היא ∠A\angle A

מול A יושבת BC\text{מול } A \text{ יושבת } BC

והצלע הקצרה מולה

«מול» היא הצלע שלא נוגעת בקודקוד. ABAB ו-ACAC יוצאות מ-AA, ולכן אינן מולה. ולא צריך סרגל: הזוויות מספיקות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

במשולש ABCABC נתון AB>ACAB > AC. לכן ∠C>∠B\angle C > \angle B.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

מול AB יושבת ∠C\text{מול } AB \text{ יושבת } \angle C

הצלע ABAB לא נוגעת ב-CC

מול AC יושבת ∠B\text{מול } AC \text{ יושבת } \angle B

הצלע ACAC לא נוגעת ב-BB

AB>AC⇒∠C>∠BAB > AC \Rightarrow \angle C > \angle B

הצלע הגדולה מול הזווית הגדולה

נכון. הטעות הנפוצה: להשוות את ∠A\angle A ו-∠B\angle B, הזוויות שבקצוות של ABAB. אבל הזווית שמול ABAB היא ∠C\angle C.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

70°50°?BCAD

במשולש ABCABC: ∠A=70°\angle A = 70°, ∠B=50°\angle B = 50°. ADAD חוצה את ∠A\angle A, ו-DD על BCBC. כמה מעלות ב-∠ADC\angle ADC?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 85

הפתרון:

70:2=3570 : 2 = 35

החוצה מחלק את ∠A\angle A

∠ADB=180−35−50=95\begin{aligned}\angle ADB &= 180 - 35 - 50 \\ &= 95\end{aligned}

במשולש הקטן ABDABD

∠ADC=180−95=85\begin{aligned}\angle ADC &= 180 - 95 \\ &= 85\end{aligned}

צמודה ל-∠ADB\angle ADB

אפשר גם ישירות במשולש ADCADC: ∠C=60\angle C = 60, ולכן 180−35−60=85180 - 35 - 60 = 85. הפח: לענות 95, הזווית שמהצד של BB.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת