שלב 13 מתוך 25

4. עלייה, ירידה ונקודות קיצון — טבלת הסימנים של f′f'

גוזרים, פותרים f′(x)=0f'(x) = 0 ומקבלים נקודות חשודות. הן חותכות את ציר ה-xx לקטעים, ובכל קטע בודקים את הסימן של f′f' בנקודה אחת. פלוס: ff עולה. מינוס: ff יורדת. נקודה חשודה שבה הסימן מתחלף היא נקודת קיצון: מפלוס למינוס מקסימום, ממינוס לפלוס מינימום.

טבלת סימנים ל-f(x) = x³ − 6x² + 9x

f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x
f′(x)=3(x−1)(x−3)f'(x) = 3(x-1)(x-3)
x13
f'(x)
f(x)
גזרנו: f′(x)=3x2−12x+9=3(x2−4x+3)=3(x−1)(x−3)f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3). הנקודות החשודות הן x=1x=1 ו-x=3x=3. לחצו כדי לבנות את הטבלה שורה אחרי שורה.
הסימן בכל קטע נבדק בהצבה ב-f′f': f′(0)=9>0f'(0) = 9 > 0, f′(2)=−3<0f'(2) = -3 < 0, f′(4)=9>0f'(4) = 9 > 0. הגובה נמצא בהצבה ב-ff: f(1)=1−6+9=4f(1) = 1 - 6 + 9 = 4, f(3)=27−54+27=0f(3) = 27 - 54 + 27 = 0.