שלב 10 מתוך 22

הנגזרת של פולינום ממעלה שלישית היא פרבולה

בבגרות הפונקציה מגיעה לעתים קרובות עם אות: f(x)=x3+ax2−9x+1f(x)=x^3+ax^2-9x+1. האות aa היא פרמטר — מספר קבוע שעוד לא ידוע. כל ערך של aa נותן פונקציה אחרת, וכולן יחד הן משפחה. יש שני סוגי שאלות: «מצאו את aa לפי נתון», ו«עבור אילו aa קורה משהו».

אם ff ממעלה שלישית, אז f′(x)=Ax2+Bx+Cf'(x)=Ax^2+Bx+C — פרבולה. מספר נקודות הקיצון של ff תלוי רק בשאלה כמה פעמים הפרבולה הזאת חוצה את ציר ה-xx. בווידג'ט למטה, חשבו על הפרבולה כעל הגרף של f′f'.

y=x2−5x+6y = x^2 -5x +6
צורה פתוחה כלפי מעלה
נוסחת השורשים x1,2=5±12x_{1,2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{1}}{2} — שני פתרונות
שורשים 2 , 3
הפרבולה כאן היא גרף הנגזרת f′f'. בהתחלה היא x2−5x+6x^2-5x+6, עם שני שורשים — ולכן ל-ff שתי נקודות קיצון. הזיזו את cc למעלה עד שהשורשים נעלמים: עכשיו f′>0f'>0 לכל xx, ו-ff עולה תמיד. ולבסוף קבעו b=−4b=-4 ו-c=4c=4: הפרבולה x2−4x+4x^2-4x+4 נוגעת בציר. כמה קיצונים יש אז ל-ff?