בגרות במתמטיקה 35371 קיץ 2025

שאלה 1 — גדילה ודעיכה: מכוניות חשמליות ומכוניות בנזין

במדינה מסוימת מספר המכוניות החשמליות גדל בכל שנה באחוז קבוע, ומספר מכוניות הבנזין קטן בכל שנה באחוז קבוע. הגרפים I–II שלפניכם מתארים את מספר המכוניות החשמליות ואת מספר מכוניות הבנזין במדינה זו לפי השנה, מתחילת שנת $2016$ והלאה.

תרגיל 1

א. מבין שני הגרפים I–II , איזה גרף מתאר את מספר מכוניות הבנזין במדינה זו?

אII
בI

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א II

הפתרון:

0 < q < 1

מספר מכוניות הבנזין קטן: גרף יורד

הגרף II, היורד.

תרגיל 2

נתון כי מספר מכוניות הבנזין במדינה זו קטן ב־ $10\%$ בכל שנה. ב. מצאו מה היה מספר מכוניות הבנזין במדינה זו בתחילת שנת $2021$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 118098

הפתרון:

200{,}000 \cdot 0.9^5 = 118{,}098

חמש שנים, ירידה ב־ $10\%$ בכל שנה; $200{,}000$ בתחילת $2016$

בתחילת $2021$ היו $118{,}098$ מכוניות בנזין.

תרגיל 3

נתון כי מספר מכוניות הבנזין במדינה זו קטן ב־ $10\%$ בכל שנה. בתחילת שנת $2021$ היה מספר מכוניות הבנזין שווה למספר המכוניות החשמליות במדינה זו. ג. מצאו בכמה אחוזים גדל מספר המכוניות החשמליות במדינה זו בכל שנה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 17

הפתרון:

53{,}865 \cdot q^5 = 118{,}098

q = \sqrt[5]{\frac{118{,}098}{53{,}865}} \approx 1.17

מספר המכוניות החשמליות גדל ב־ $17\%$ בכל שנה.

תרגיל 4

נתון כי מספר מכוניות הבנזין במדינה זו קטן ב־ $10\%$ בכל שנה. בתחילת שנת $2021$ היה מספר מכוניות הבנזין שווה למספר המכוניות החשמליות במדינה זו. ד. מצאו בתחילת איזו שנה היו במדינה זו $86{,}271$ מכוניות חשמליות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2019

הפתרון:

1.17^t = \frac{86{,}271}{53{,}865} \approx 1.6016

\begin{aligned}1.17^3 &= 1.6016 \Rightarrow t \\ &= 3\end{aligned}

2016 + 3 = 2019

בתחילת שנת $2019$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 2 — הסתברות: כרטיס גירוד

באירוע שנערך לרגל פתיחת פיצרייה חדשה, קיבל כל אחד מן המוזמנים כרטיס של משחק גירוד נושא פרסים. בכל כרטיס יש $9$ ריבועים שאפשר לגרד. בכל כרטיס יש שני ריבועים שמתחת לכל אחד מהם כתוב "זכית במשקה!", וריבוע אחד שמתחתיו כתוב "זכית במגש פיצה!". מתחת לשאר הריבועים לא כתוב דבר. בכל כרטיס מותר לגרד ריבוע אחד בלבד.

תרגיל 1

אסף קיבל כרטיס גירוד אחד. א. מהי ההסתברות שאסף יזכה בפרס כלשהו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3333

הפתרון:

\begin{aligned}P &= \frac{2 + 1}{9} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שלושה ריבועים עם פרס מתוך תשעה

ההסתברות היא $\frac{1}{3}$ .

תרגיל 2

אסף קיבל כרטיס גירוד אחד. גם חגי קיבל כרטיס גירוד אחד. ב (1). מהי ההסתברות שגם אסף וגם חגי יזכו במגש פיצה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.012346

הפתרון:

\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{81}

ההסתברות היא $\frac{1}{81} \approx 0.0123$ .

תרגיל 3

אסף קיבל כרטיס גירוד אחד. גם חגי קיבל כרטיס גירוד אחד. ב (2). מהי ההסתברות שאחד מהם יזכה בפיצה ואחד מהם יזכה במשקה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.049383

הפתרון:

\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{9} + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{9} = \frac{4}{81}

אסף בפיצה וחגי במשקה, או להפך

ההסתברות היא $\frac{4}{81} \approx 0.0494$ .

תרגיל 4

אסף קיבל כרטיס גירוד אחד. גם חגי קיבל כרטיס גירוד אחד. ג. מהי ההסתברות שלפחות אחד מהם יזכה בפרס?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5556

הפתרון:

\begin{aligned}P(\text{אף אחד לא זוכה}) &= \frac{6}{9} \cdot \frac{6}{9} \\ &= \frac{4}{9}\end{aligned}

1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}

המאורע המשלים

ההסתברות היא $\frac{5}{9} \approx 0.556$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 3 — דמיון משולשים: אוהלים

משפחת לוי יצאה לטיול בטבע והקימה שני אוהלים: אוהל גדול להורים ואוהל קטן לילדים (ראו סרטוט). הפתח של כל אוהל הוא בצורת משולש שווה שוקיים, המשולש $ABC$ והמשולש $EFG$ ( $AB = AC$ , $EF = EG$ ). המשולשים $ABC$ ו־ $EFG$ דומים זה לזה ויחס הדמיון ביניהם הוא $3:2$ .

תרגיל 1

אורך הבסיס של פתח האוהל הקטן ( $FG$ ) הוא $1.2$ מטר. א. מצאו את אורך הבסיס של פתח האוהל הגדול ( $BC$ ).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.8

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{BC}{FG} &= \frac{3}{2} \Rightarrow BC \\ &= 1.2 \cdot 1.5 \\ &= 1.8\end{aligned}

הבסיסים מתאימים זה לזה

$BC = 1.8$ מטר.

תרגיל 2

אורך הבסיס של פתח האוהל הקטן ( $FG$ ) הוא $1.2$ מטר. $AD$ הוא רוכסן בפתח האוהל הגדול והוא מאונך לבסיס $BC$ . אורך הרוכסן $AD$ הוא $2.16$ מטר. ב (1). מצאו את אורך הצלע $AB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.34

הפתרון:

\begin{aligned}BD &= \frac{1.8}{2} \\ &= 0.9\end{aligned}

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון

\begin{aligned}AB &= \sqrt{0.9^2 + 2.16^2} \\ &= \sqrt{5.4756} \\ &= 2.34\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABD$

$AB = 2.34$ מטר.

תרגיל 3

אורך הבסיס של פתח האוהל הקטן ( $FG$ ) הוא $1.2$ מטר. $AD$ הוא רוכסן בפתח האוהל הגדול והוא מאונך לבסיס $BC$ . אורך הרוכסן $AD$ הוא $2.16$ מטר. ב (2). מצאו את ההיקף של פתח האוהל הגדול ( $\triangle ABC$ ).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.48

הפתרון:

2.34 + 2.34 + 1.8 = 6.48

ההיקף הוא $6.48$ מטר.

תרגיל 4

אורך הבסיס של פתח האוהל הקטן ( $FG$ ) הוא $1.2$ מטר. $AD$ הוא רוכסן בפתח האוהל הגדול והוא מאונך לבסיס $BC$ . אורך הרוכסן $AD$ הוא $2.16$ מטר. הבד של פתח האוהל הקטן נקרע, ומשפחת לוי החליטה להחליף אותו. ג. האם בד ששטחו $0.7$ מ״ר יספיק כדי להחליף את הבד של פתח האוהל הקטן? נמקו את תשובתכם.

אלא, הבד לא יספיק
בכן, הבד יספיק

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לא, הבד לא יספיק

הפתרון:

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1.8 \cdot 2.16}{2} \\ &= 1.944\end{aligned}

\begin{aligned}S_{EFG} &= 1.944 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \\ &= 0.864\end{aligned}

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון

0.864 > 0.7

לא: שטח פתח האוהל הקטן הוא $0.864$ מ״ר, יותר מ־ $0.7$ מ״ר.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 4 — טריגונומטריה: מכשיר משקולות

בחדר כושר יש מכשיר לאימון במשקולות. המכשיר מורכב מבסיס $AB$ , משענת מתכווננת $BC$ ומוט תמיכה $AD$ , כמתואר בסרטוט. אורכו של מוט התמיכה $40$ ס״מ. עמית בא לחדר הכושר להתאמן במכשיר זה. הוא הטה את המשענת המתכווננת כך ש־ $AC$ מאונך ל־ $AB$ ו־ $AD$ מאונך ל־ $BC$ . נתון כי אורך הקטע $BD$ הוא $28$ ס״מ.

תרגיל 1

א. מצאו את אורך הבסיס ( $AB$ ). (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 48.83

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{AD^2 + BD^2} \\ &= \sqrt{40^2 + 28^2} \\ &= \sqrt{2{,}384} \approx 48.83\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABD$ , שבו $\angle ADB = 90^\circ$

$AB \approx 48.83$ ס״מ.

תרגיל 2

ב. מצאו את גודל הזווית שבה הטה עמית את המשענת המתכווננת ( $\angle ABD$ ). (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 55.01

הפתרון:

\begin{aligned}\tan \angle ABD &= \frac{AD}{BD} \\ &= \frac{40}{28}\end{aligned}

\angle ABD \approx 55.01^\circ

$\angle ABD \approx 55.01^\circ$ .

תרגיל 3

ג. מצאו את אורך המשענת המתכווננת ( $BC$ ). (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 85.14

הפתרון:

\cos \angle ABC = \frac{AB}{BC}

במשולש ישר הזווית $ABC$

BC = \frac{48.826}{\cos 55.008^\circ} \approx 85.14

$BC \approx 85.14$ ס״מ.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 5 — סטטיסטיקה: יום כיף

בחופשת הקיץ ערכה המועצה ביישוב מסוים יום כיף לילדים ובו $4$ פעילויות בתשלום: צפייה בסרט, סדנת יצירה, שחייה בבריכה וסדנת בישול. כל ילד שהשתתף ביום הכיף קנה כרטיס לפעילות אחת בלבד. בטבלה שלפניכם מוצגים מחירי הכרטיסים ומספר הילדים שקנו כרטיס לפעילות.

הפעילות	צפייה בסרט	סדנת יצירה	שחייה בבריכה	סדנת בישול
מחיר הכרטיס (בשקלים)	15	30	55	60
מספר הילדים	18	54	24	24

תרגיל 1

א (1). כמה ילדים סך הכול קנו כרטיס לפעילות ביום הכיף?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

18 + 54 + 24 + 24 = 120

$120$ ילדים.

תרגיל 2

א (2). מצאו את המחיר הממוצע של כרטיס שקנה ילד שהשתתף ביום הכיף.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 38.75

הפתרון:

15 \cdot 18 + 30 \cdot 54 + 55 \cdot 24 + 60 \cdot 24 = 4{,}650

\frac{4{,}650}{120} = 38.75

המחיר הממוצע הוא $38.75$ שקלים.

תרגיל 3

ב. מהי הפעילות השכיחה ביום הכיף?

אסדנת יצירה
בצפייה בסרט
גסדנת בישול
דשחייה בבריכה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א סדנת יצירה

הפתרון:

54 > 24 > 18

השכיח: הפעילות שהכי הרבה ילדים קנו לה כרטיס

סדנת יצירה.

תרגיל 4

ג. מהו אחוז הילדים שקנו כרטיס לסדנת יצירה מכל הילדים שהשתתפו ביום הכיף?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

\frac{54}{120} \cdot 100 = 45

$45\%$ .

תרגיל 5

המועצה הורידה את המחיר של כרטיס לשחייה בבריכה ב־ $10$ שקלים והעלתה את המחיר של כרטיס לסדנת בישול ב־ $20\%$ . ד. האם לאחר שינוי המחירים, המחיר הממוצע של כרטיס שקנה ילד גדל, קטן או לא השתנה? נמקו את תשובתכם.

אלא השתנה
בגדל
גקטן

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גדל

הפתרון:

-10 \cdot 24 = -240

שחייה בבריכה

+12 \cdot 24 = +288

סדנת בישול: $20\%$ מ־ $60$ הם $12$

\frac{4{,}650 + 48}{120} = 39.15 > 38.75

המחיר הממוצע גדל: מספר הילדים בשתי הפעילויות שווה, והעלייה ( $12$ שקלים) גדולה מן הירידה ( $10$ שקלים).

לפתור את השאלה באתר

שאלה 6 — פונקציה קווית: כרטיסים לסרט

חברה מסוימת מציעה שתי אפשרויות תשלום בעבור כרטיסים לסרט לשנה אחת לאדם: אפשרות א' – $40$ שקלים בעבור כל כרטיס. אפשרות ב' – תשלום שנתי של $180$ שקלים ונוסף על כך $25$ שקלים בעבור כל כרטיס. בסרטוט שלפניכם שני גרפים I–II המתארים את שתי האפשרויות.

תרגיל 1

א. קבעו איזה מן הגרפים I–II מתאר את אפשרות א'.

אII
בI

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א II

הפתרון:

y = 40x

אפשרות א': אין תשלום שנתי, הגרף יוצא מראשית הצירים

הגרף II.

תרגיל 2

ב. אפרת צופה ב־ $38$ סרטים בשנה. איזו מן האפשרויות א' או ב' היא המשתלמת ביותר לאפרת?

אאפשרות ב'
באפשרות א'

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א אפשרות ב'

הפתרון:

40 \cdot 38 = 1{,}520

אפשרות א'

180 + 25 \cdot 38 = 1{,}130

אפשרות ב'

אפשרות ב' משתלמת יותר: $1{,}130 < 1{,}520$ .

תרגיל 3

ג. מהו מספר הכרטיסים הגדול ביותר שאפשר לקנות בשנה ב־ $640$ שקלים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

40x \le 640 \Rightarrow x \le 16

אפשרות א'

180 + 25x \le 640 \Rightarrow x \le 18.4

אפשרות ב'

אפשר לקנות לכל היותר $18$ כרטיסים (לפי אפשרות ב').

תרגיל 4

חני קנתה $x$ כרטיסים, ובחרה לשלם לפי אפשרות ב'. ד (1). כתבו ביטוי המתאים למחיר של $x$ הכרטיסים שקנתה חני.

א $25 + 180x$
ב $40x$
ג $180 + 25x$
ד $205x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $180 + 25x$

הפתרון:

180 + 25x

תשלום שנתי ועוד $25$ לכל כרטיס

המחיר הוא $180 + 25x$ שקלים.

תרגיל 5

חני קנתה $x$ כרטיסים, ובחרה לשלם לפי אפשרות ב'. ד (2). המחיר של $x$ הכרטיסים שקנתה חני על פי אפשרות ב' שווה למחירם על פי אפשרות א'. מצאו את $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}180 + 25x &= 40x \Rightarrow 15x \\ &= 180 \Rightarrow x \\ &= 12\end{aligned}

$x = 12$ .

לפתור את השאלה באתר

בגרות במתמטיקה 35371, קיץ 2025 — פתרון מלא

מבנה הבחינה

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — גדילה ודעיכה: מכוניות חשמליות ומכוניות בנזין

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 2 — הסתברות: כרטיס גירוד

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 3 — דמיון משולשים: אוהלים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 4 — טריגונומטריה: מכשיר משקולות

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

שאלה 5 — סטטיסטיקה: יום כיף

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 6 — פונקציה קווית: כרטיסים לסרט

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

לפתור את הבחינה כמו ביום הבגרות