הפתרונות, שאלה אחר שאלה
שאלה 1 — תכנון ליניארי: עוגות במאפייה
במאפייה שכונתית מכינים עוגות משני סוגים: עוגות שוקולד ועוגות גבינה. תהליך ההכנה של כל עוגה כולל שני שלבים עיקריים: הכנת תערובת במכונה ואפייה בתנור. במחזור ייצור רגיל אפשר להפעיל את מכונת התערובת דקות לכל היותר, ואת תנור האפייה דקות לכל היותר. עוגת שוקולד: דקות הכנת תערובת, דקות אפייה, ורווח של שקלים. עוגת גבינה: דקות הכנת תערובת, דקות אפייה, ורווח של שקלים. נסמן ב־ את מספר עוגות השוקולד וב־ את מספר עוגות הגבינה, שמכינים במאפייה זו במחזור ייצור.
תרגיל 1
א. כתבו את מערכת האילוצים של הבעיה.
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: א , , ,
הפתרון:
זמן מכונת התערובת
זמן התנור
המערכת: , , , .
תרגיל 2
לפניכם סרטוט של התחום האפשרי המתקבל ממערכת האילוצים של הבעיה. ב. מצאו את שיעורי הנקודות , ו־.
____ ____ , ____ ____ , ____ ____
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 0 6 , 12 0 , 9 3
הפתרון:
מחלקים ב־ וב־
החיתוכים הנמוכים עם הצירים
, , .
תרגיל 3
לפניכם סרטוט של התחום האפשרי המתקבל ממערכת האילוצים של הבעיה. ג (1). כתבו את פונקציית המטרה של רווח המאפייה ממכירת העוגות.
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ג
הפתרון:
הרווח מכל סוג כפול מספר העוגות
.
תרגיל 4
לפניכם סרטוט של התחום האפשרי המתקבל ממערכת האילוצים של הבעיה. ג (2). מצאו כמה עוגות שוקולד וכמה עוגות גבינה צריך להכין במחזור ייצור כדי להשיג רווח מקסימלי.
שוקולד: ____ , גבינה: ____
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: שוקולד: 9 , גבינה: 3
הפתרון:
בודקים את הקודקודים
עוגות שוקולד ו־ עוגות גבינה, ורווח של שקלים.
תרגיל 5
לפניכם סרטוט של התחום האפשרי המתקבל ממערכת האילוצים של הבעיה. במהלך אחד ממחזורי הייצור הייתה הפסקת חשמל, ולכן הצטמצמו זמני ההפעלה של מכונת התערובת ושל התנור. במחזור ייצור זה הכינו במאפייה עוגות שוקולד ו־ עוגות גבינה. ד. מצאו בכמה קטן הרווח של המאפייה במחזור הייצור שבמהלכו הייתה הפסקת החשמל מן הרווח המקסימלי במחזור ייצור רגיל.
שאלה 2 — גאומטרייה אנליטית: מרובע
נתון מרובע . הקודקוד נמצא על ציר ה־, הצלע מקבילה לציר ה־, והצלע מאונכת לצלע , כמתואר בסרטוט. משוואת הצלע היא .
תרגיל 1
א (1). מצאו את שיעורי הקודקוד .
____ ____
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 10 0
הפתרון:
.
תרגיל 2
א (2). מצאו את משוואת הצלע .
____ ( ____ )
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 2 ( -20 )
הפתרון:
דרך
: .
תרגיל 3
משוואת האלכסון היא . ב. מצאו את שיעורי הקודקוד .
____ ____
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 18 16
הפתרון:
חיתוך ו־
.
תרגיל 4
משוואת האלכסון היא . אורך הצלע הוא . ג. מצאו את שיעורי הקודקוד .
____ ____
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 14 16
הפתרון:
מקבילה לציר ה־
משמאל ל־ (סרטוט)
.
תרגיל 5
משוואת האלכסון היא . אורך הצלע הוא . הנקודה היא אמצע הצלע . ד. חשבו את היקף המשולש . (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)
שאלה 3 — התפלגות נורמלית: מרחקי שליחים
חברת שליחויות בדקה את המרחק שנסע כל אחד מן השליחים שלה בחודש מסוים. נמצא כי המרחקים שנסעו השליחים מתפלגים נורמלית, והממוצע הוא ק״מ. מן השליחים נסעו מרחק קטן מ־ ק״מ בחודש זה.
תרגיל 1
א (1). מצאו את סטיית התקן של המרחקים שנסעו השליחים בחודש זה.
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 440
הפתרון:
לפי הגרף: עד ממוצע פחות סטיות תקן
סטיית התקן: ק״מ.
תרגיל 2
א (2). בגרף ההתפלגות הנורמלית מסומנות הנקודות עד (במקום המלבנים הריקים שבשאלון). השלימו את המרחקים המתאימים.
____ , ____ , ____ , ____ , ____ , ____ , ____ , ____ , ____ , ____ , ____
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 370 , 590 , 810 , 1030 , 1250 , 1470 , 1690 , 1910 , 2130 , 2350 , 2570
הפתרון:
הערכים: .
תרגיל 3
ב. כמה אחוזים מן השליחים נסעו בחודש זה מרחק גדול מן הממוצע וקטן מ־ ק״מ?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 34
הפתרון:
מן השליחים.
תרגיל 4
נמצא כי שליחים נסעו בחודש זה מרחק גדול מן הממוצע וקטן מ־ ק״מ. ג. על פי גרף ההתפלגות הנורמלית, כמה שליחים סך הכול יש בחברה?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 500
הפתרון:
בחברה שליחים.
תרגיל 5
שליחים שציון התקן של המרחק שהם נסעו היה גבוה מ־, קיבלו תוספת לשכר. דני, שליח בחברה, נסע ק״מ בחודש זה. ד. האם קיבל דני תוספת לשכר בחודש זה? נמקו את תשובתכם.
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ג לא: ציון התקן שלו הוא
הפתרון:
לא, דני לא קיבל תוספת.
שאלה 4 — מודל ריבועי: מסלול סקייטבורד
נועם גולש בסקייטבורד על מסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא . המסלול מתחיל בראשית הצירים ומסתיים בנקודה הנמצאת על ציר ה־, כמתואר בסרטוט. ציר ה־ מונח על פני הקרקע ומייצג את המרחק האופקי (במטרים) מן הנקודה , וציר ה־ מייצג את גובה המסלול (במטרים) ביחס לפני הקרקע.
תרגיל 1
א. מצאו את אורך הקטע .
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 3
הפתרון:
מטרים.
תרגיל 2
ב. מצאו את שיעורי הנקודה הנמוכה ביותר במסלול.
____ ____
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 1.5 -0.9
הפתרון:
קודקוד הפרבולה
.
תרגיל 3
ג. מצאו בעבור אילו ערכים של גלש נועם במגמת ירידה.
____ ____
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 0 1.5
הפתרון:
פרבולה ישרה: יורדת עד הקודקוד
במגמת ירידה ב־.
תרגיל 4
ד. מצאו בעבור אילו ערכים של עבר נועם במסלול בנקודות ששיעור ה־ שלהן הוא . (הקטן קודם.)
____ , ____
שאלה 5 — ראייה מרחבית: מבנה מקוביות
בסרטוט שלפניכם מוצג מבנה הבנוי מקוביות זהות. החץ בסרטוט מסמן את הכיוון של המבט מלפנים. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת.
פעילות אינטראקטיבית
תרגיל 1
א. השלימו את תרשים המספרים של המבנה (בכל משבצת: מספר הקוביות שעליה; במשבצת ריקה).
| עמודה 1 | עמודה 2 | עמודה 3 | עמודה 4 | |
|---|---|---|---|---|
| שורה 1 (מאחור) | ____ | ____ | ____ | ____ |
| שורה 2 | ____ | ____ | ____ | ____ |
| שורה 3 | ____ | ____ | ____ | ____ |
| שורה 4 (מלפנים) | ____ | ____ | ____ | ____ |
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: שורה 1 (מאחור): 2, 2, 4, 3 · שורה 2: 2, 0, 1, 2 · שורה 3: 1, 0, 0, 1 · שורה 4 (מלפנים): 2, 0, 0, 1
הפתרון:
שורה עליונה: מאחור
במבנה קוביות.
תרגיל 2
לפניכם ארבעה תרשימים –. אחד מהם מתאר מבט מלפנים של המבנה, אחד – מבט מימין, אחד – מבט מלמעלה ואחד אינו מתאר שום מבט של המבנה. ב. כתבו איזה תרשים מתאר כל מבט.
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: א מלפנים: I , מימין: IV , מלמעלה: II , תרשים III אינו מבט
הפתרון:
הגבוה ביותר בכל עמודה: תרשים I
הגבוה ביותר בכל שורה, מלפנים לאחור: תרשים IV
המשבצות התפוסות: תרשים II (יש בו חורים, ולכן אינו מבט מן הצד)
אין עמודה בגובה משמאל לעמודה 3, ואין מבט כזה
מלפנים: I; מימין: IV; מלמעלה: II; III אינו מבט של המבנה.
תרגיל 3
ג. השלימו את המבט משמאל של המבנה. (יש לכתוב את גובה כל עמודה במבט, משמאל לימין; במבט משמאל, החזית מימין.)
____ , ____ , ____ , ____
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 4 , 2 , 1 , 2
הפתרון:
הגבוה ביותר בכל שורה, מאחור לפנים: שיקוף המבט מימין
המבט משמאל: .
תרגיל 4
הוסיפו למבנה קוביות כך שהמבט מלפנים לא השתנה, והמבט מלמעלה נראה כמתואר בתרשים שלפניכם. ד. איזה מן התרשימים הוא תרשים מספרים אפשרי של המבנה לאחר הוספת הקוביות?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ג
הפתרון:
משבצת חדשה: בשורה הקדמית, עמודה 3 — לפחות קובייה אחת שם
שאר הקוביות על משבצות שבהן הגובה לא יעבור את הגבוה בעמודה
סך הכול קוביות: יותר
תרשים אפשרי אחד (יש עוד): קובייה במשבצת החדשה, ועוד ארבע קוביות שאינן משנות את המבט מלפנים.
שאלה 6 — גופים במרחב: קרטון חלב וכוסות
דני קנה ביום א׳ קרטון חלב בצורת תיבה שבסיסה ריבוע. גובה הקרטון הוא ס״מ, ואורך צלע הבסיס שלו הוא ס״מ (ראו סרטוט).
פעילות אינטראקטיבית
ס״מ
תרגיל 1
א. מצאו את הנפח של קרטון החלב (בסמ״ק).
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 1014
הפתרון:
נפח תיבה
סמ״ק.
תרגיל 2
לדני יש כוסות שתייה זהות בצורת גליל. רדיוס הבסיס של כל כוס הוא ס״מ, ושטח המעטפת שלה הוא סמ״ר. ב (1). מצאו את גובה הכוס.
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 8
הפתרון:
מעטפת גליל
ס״מ.
תרגיל 3
לדני יש כוסות שתייה זהות בצורת גליל. רדיוס הבסיס של כל כוס הוא ס״מ, ושטח המעטפת שלה הוא סמ״ר. ב (2). מצאו את נפח הכוס (בסמ״ק, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה).
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 226.19
הפתרון:
סמ״ק.
תרגיל 4
לדני יש כוסות שתייה זהות בצורת גליל. רדיוס הבסיס של כל כוס הוא ס״מ, ושטח המעטפת שלה הוא סמ״ר. דני החליט לכבד את חבריו בחלב שקנה. הוא רוצה למזוג לכל אחת מ־ הכוסות שלו חלב בנפח ששווה ל־ מנפח הכוס. ג. האם כמות החלב שבקרטון תספיק כדי למלא מן הנפח של הכוסות? נמקו את תשובתכם.
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: א לא: צריך כ־ סמ״ק
הפתרון:
לא, החלב לא יספיק.
תרגיל 5
ביום ב׳ קנה דני קרטון חלב גדול יותר מזה שקנה ביום א׳. גם קרטון זה הוא בצורת תיבה שבסיסה ריבוע, וגובהו ס״מ. נתון כי הנפח של קרטון זה הוא סמ״ק. ד. מצאו את אורך צלע הבסיס של קרטון החלב שקנה דני ביום ב׳ (בס״מ, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה).