בגרות במתמטיקה 35471 חורף 2026

שאלה 1 — התפלגות נורמלית: הבחינה הפסיכומטרית

הציונים בבחינה הפסיכומטרית בשנה מסוימת התפלגו נורמלית, וממוצע הציונים היה $550$ . בשנה זו ניגשה לימור לבחינה הפסיכומטרית. הציון של לימור בבחינה היה $686$ , וציון התקן שלה היה $1.6$ .

תרגיל 1

א. מצאו את סטיית התקן של הציונים בבחינה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 85

הפתרון:

\begin{aligned}z &= \frac{686 - 550}{\sigma} \\ &= 1.6\end{aligned}

ציון התקן של לימור

\begin{aligned}\sigma &= \frac{136}{1.6} \\ &= 85\end{aligned}

סטיית התקן היא $85$ .

תרגיל 2

	החוג לספרות	החוג לפסיכולוגיה
ציון הסף	584	669

ציון הסף הוא הציון הנמוך ביותר שצריך להשיג בבחינה כדי להתקבל לחוג מסוים. בטבלה שלפניכם מוצג ציון הסף הנדרש כדי להתקבל לחוג לספרות וציון הסף הנדרש כדי להתקבל לחוג לפסיכולוגיה באוניברסיטה מסוימת. גם יעל ניגשה לבחינה בשנה זו. נתון כי $57.9\%$ מן הנבחנים קיבלו ציון נמוך מן הציון של יעל. ב. האם יעל יכולה להתקבל לחוג לספרות? נמקו את תשובתכם.

אכן: יעל עברה את $57.9\%$ מן הנבחנים, יותר ממחציתם
בלא: הציון של יעל הוא $567$ , נמוך מציון הסף $584$
גכן: הציון של יעל הוא $584$ בדיוק
דלא: הציון של יעל הוא $533$ , נמוך מן הממוצע

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לא: הציון של יעל הוא $567$ , נמוך מציון הסף $584$

הפתרון:

\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.579 \Rightarrow z \\ &= 0.2\end{aligned}

השטח משמאל לציון של יעל; בטבלה $\Phi(0.2) = 0.5793$

\begin{aligned}X &= 550 + 0.2 \cdot 85 \\ &= 567\end{aligned}

567 < 584

לא: יעל קיבלה $567$ , ונדרש לפחות $584$ . המלכודת: $z = -0.2$ — $57.9\%$ קיבלו פחות ממנה, לכן הציון שלה מעל הממוצע.

תרגיל 3

	החוג לספרות	החוג לפסיכולוגיה
ציון הסף	584	669

ציון הסף הוא הציון הנמוך ביותר שצריך להשיג בבחינה כדי להתקבל לחוג מסוים. בטבלה שלפניכם מוצג ציון הסף הנדרש כדי להתקבל לחוג לספרות וציון הסף הנדרש כדי להתקבל לחוג לפסיכולוגיה באוניברסיטה מסוימת. ג (1). מצאו את אחוז הנבחנים שיכולים להתקבל לחוג לפסיכולוגיה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.08

הפתרון:

\begin{aligned}z &= \frac{669 - 550}{85} \\ &= 1.4\end{aligned}

\begin{aligned}P(X \ge 669) &= 1 - \Phi(1.4) \\ &= 1 - 0.9192 \\ &= 0.0808\end{aligned}

$8.08\%$ מן הנבחנים.

תרגיל 4

	החוג לספרות	החוג לפסיכולוגיה
ציון הסף	584	669

ציון הסף הוא הציון הנמוך ביותר שצריך להשיג בבחינה כדי להתקבל לחוג מסוים. בטבלה שלפניכם מוצג ציון הסף הנדרש כדי להתקבל לחוג לספרות וציון הסף הנדרש כדי להתקבל לחוג לפסיכולוגיה באוניברסיטה מסוימת. ג (2). מצאו את אחוז הנבחנים שיכולים להתקבל לחוג לספרות אך אינם יכולים להתקבל לחוג לפסיכולוגיה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 26.38

הפתרון:

\begin{aligned}z &= \frac{584 - 550}{85} \\ &= 0.4 \Rightarrow \Phi(0.4) \\ &= 0.6554\end{aligned}

\begin{aligned}P(584 \le X < 669) &= 0.9192 - 0.6554 \\ &= 0.2638\end{aligned}

$26.38\%$ . המלכודת: לענות $34.46\%$ , כל מי שעבר את $584$ , בלי להוריד את מי שעבר גם את $669$ .

תרגיל 5

	החוג לספרות	החוג לפסיכולוגיה
ציון הסף	584	669

ציון הסף הוא הציון הנמוך ביותר שצריך להשיג בבחינה כדי להתקבל לחוג מסוים. בטבלה שלפניכם מוצג ציון הסף הנדרש כדי להתקבל לחוג לספרות וציון הסף הנדרש כדי להתקבל לחוג לפסיכולוגיה באוניברסיטה מסוימת. נתון כי $8{,}448$ נבחנים יכולים להתקבל לחוג לספרות אך אינם יכולים להתקבל לחוג לפסיכולוגיה. ד. על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה נבחנים יכולים להתקבל לחוג לפסיכולוגיה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2588

הפתרון:

N = \frac{8448}{0.2638} \approx 32{,}024

מספר הנבחנים: $8{,}448$ הם $26.38\%$ מהם

0.0808 \cdot 32{,}024 \approx 2587.6 \approx 2588

מספר הנבחנים הוא מספר שלם

בערך $2{,}588$ נבחנים. המלכודת: לחשב רק את מספר הנבחנים, ולשכוח את השלב האחרון.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 2 — מתאם ורגרסיה: טמפרטורה וצריכת מים

תזונאי בדק את הקשר בין הטמפרטורה המקסימלית בירושלים ביום מסוים (המשתנה $x$ ) ובין צריכת המים באותו היום (המשתנה $y$ ) של יוסי, תושב ירושלים. בטבלה שלפניכם מוצגים הנתונים שהתקבלו בבדיקה של התזונאי בעבור $6$ ימים.

	הטמפרטורה המקסימלית (מעלות צלזיוס) – המשתנה x	צריכת המים של יוסי (ליטרים) – המשתנה y
יום 1	20	1.6
יום 2	22	1.7
יום 3	24	2.4
יום 4	26	2.7
יום 5	28	2.9
יום 6	30	3.1

תרגיל 1

א (1). מצאו את הממוצע של הטמפרטורה המקסימלית ב־ $6$ הימים שנבדקו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30}{6} \\ &= \frac{150}{6} \\ &= 25\end{aligned}

הממוצע הוא $25$ מעלות.

תרגיל 2

א (2). מצאו את סטיית התקן של הטמפרטורה המקסימלית ב־ $6$ הימים שנבדקו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.416

הפתרון:

x - \bar{x}: \ -5, -3, -1, 1, 3, 5

\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25}{6}} \\ &= \sqrt{\frac{70}{6}} \approx 3.416\end{aligned}

סטיית התקן היא $\sqrt{\frac{35}{3}} \approx 3.42$ מעלות. המלכודת: לחלק ב־ $5$ .

תרגיל 3

התזונאי חישב ומצא כי הממוצע של צריכת המים של יוסי ב־ $6$ הימים שנבדקו הוא $2.4$ ליטר, וסטיית התקן של צריכת המים שלו היא $\frac{7\sqrt{6}}{30}$ ליטר. ב. מצאו את מקדם המתאם $r$ בין שני המשתנים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.973

הפתרון:

y - \bar{y}: \ -0.8, -0.7, 0, 0.3, 0.5, 0.7

\begin{aligned}\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) &= 4 + 2.1 + 0 + 0.3 + 1.5 + 3.5 \\ &= 11.4 \Rightarrow \text{cov} \\ &= 1.9\end{aligned}

r = \frac{1.9}{3.416 \cdot 0.5715} \approx 0.973

$r \approx 0.973$ , מתאם חיובי חזק מאוד.

תרגיל 4

התזונאי חישב ומצא כי הממוצע של צריכת המים של יוסי ב־ $6$ הימים שנבדקו הוא $2.4$ ליטר, וסטיית התקן של צריכת המים שלו היא $\frac{7\sqrt{6}}{30}$ ליטר. ג. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי $y$ על פי $x$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 0.1629 $x +$ -1.671

הפתרון:

\begin{aligned}b &= \frac{\text{cov}}{S_x^2} \\ &= \frac{1.9}{35/3} \\ &= \frac{5.7}{35} \approx 0.1629\end{aligned}

y - 2.4 = 0.1629(x - 25) \Rightarrow y \approx 0.1629x - 1.671

הישר עובר בנקודת הממוצעים $(25, 2.4)$

ישר הרגרסיה: $y \approx 0.1629x - 1.671$ .

תרגיל 5

התזונאי חישב ומצא כי הממוצע של צריכת המים של יוסי ב־ $6$ הימים שנבדקו הוא $2.4$ ליטר, וסטיית התקן של צריכת המים שלו היא $\frac{7\sqrt{6}}{30}$ ליטר. התזונאי הכפיל כל אחד מנתוני צריכת המים של יוסי (המשתנה $y$ ) פי $3$ , כדי לייצג את צריכת המים של המשפחה של יוסי. ד. בעבור כל אחד מן המדדים I, II שלפניכם, קבעו אם הערך שלו גדל, קטן או לא השתנה לאחר ההכפלה. נמקו את קביעותיכם. I. הממוצע של המשתנה $y$ .

אלא השתנה: הקשר בין המשתנים נשאר
בגדל: הממוצע הוכפל פי $3$ , ל־ $7.2$
גקטן: הנתונים התפזרו

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גדל: הממוצע הוכפל פי $3$ , ל־ $7.2$

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{y}' &= 3\bar{y} \\ &= 7.2\end{aligned}

כפל כל הנתונים במספר כופל את הממוצע

הממוצע גדל פי $3$ , מ־ $2.4$ ל־ $7.2$ .

תרגיל 6

התזונאי חישב ומצא כי הממוצע של צריכת המים של יוסי ב־ $6$ הימים שנבדקו הוא $2.4$ ליטר, וסטיית התקן של צריכת המים שלו היא $\frac{7\sqrt{6}}{30}$ ליטר. התזונאי הכפיל כל אחד מנתוני צריכת המים של יוסי (המשתנה $y$ ) פי $3$ , כדי לייצג את צריכת המים של המשפחה של יוסי. ד. בעבור כל אחד מן המדדים I, II שלפניכם, קבעו אם הערך שלו גדל, קטן או לא השתנה לאחר ההכפלה. נמקו את קביעותיכם. II. סטיית התקן של המשתנה $y$ .

אקטנה: הנתונים התקרבו לממוצע
בגדלה: סטיית התקן הוכפלה פי $3$
גלא השתנתה: הכפלה אינה משנה את הפיזור

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גדלה: סטיית התקן הוכפלה פי $3$

הפתרון:

\begin{aligned}S_{y'} &= 3S_y \\ &= \frac{7\sqrt{6}}{10} \approx 1.71\end{aligned}

סטיית התקן גדלה פי $3$ . המלכודת: חיבור קבוע אינו משנה את סטיית התקן — כפל משנה.

תרגיל 7

התזונאי חישב ומצא כי הממוצע של צריכת המים של יוסי ב־ $6$ הימים שנבדקו הוא $2.4$ ליטר, וסטיית התקן של צריכת המים שלו היא $\frac{7\sqrt{6}}{30}$ ליטר. התזונאי הכפיל כל אחד מנתוני צריכת המים של יוסי (המשתנה $y$ ) פי $3$ , כדי לייצג את צריכת המים של המשפחה של יוסי. ה. מצאו את השיפוע של ישר הרגרסיה לניבוי $y$ על פי $x$ לאחר ההכפלה. נמקו את תשובתכם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4886

הפתרון:

\begin{aligned}\text{cov}' &= 3 \cdot 1.9 \\ &= 5.7 \\ \ S_x \text{ לא השתנתה}\end{aligned}

\begin{aligned}b' &= \frac{5.7}{35/3} \\ &= 3 \cdot 0.1629 \approx 0.4886\end{aligned}

השיפוע גדל פי $3$ , לכ־ $0.4886$ . מקדם המתאם $r$ לא השתנה.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 3 — הסתברות: מחזור והתנדבות ביישוב

ביישוב מסוים מעודדים משפחות למחזר בקבוקי זכוכית, אריזות פלסטיק ועוד. ביישוב זה מעודדים משפחות גם להתנדב במוסדות היישוב. בסקר שנערך בקרב כל המשפחות ביישוב, נמצא כי חלק מן המשפחות ממחזרות, ושאר המשפחות אינן ממחזרות. כמו כן חלק מן המשפחות ביישוב מתנדבות, והשאר אינן מתנדבות. בוחרים באקראי משפחה מן היישוב. ההסתברות שמשפחה זו ממחזרת גדולה ב־ $0.44$ מן ההסתברות שמשפחה זו אינה ממחזרת. $\frac{5}{9}$ מן המשפחות שממחזרות הן משפחות מתנדבות.

תרגיל 1

א (1). מצאו את אחוז המשפחות ביישוב שממחזרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 72

הפתרון:

\begin{aligned}p &= (1 - p) + 0.44 \Rightarrow 2p \\ &= 1.44 \Rightarrow p \\ &= 0.72\end{aligned}

$p$ — ההסתברות שמשפחה ממחזרת

$72\%$ מן המשפחות ממחזרות.

תרגיל 2

א (2). מצאו את אחוז המשפחות ביישוב שממחזרות וגם מתנדבות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

0.72 \cdot \frac{5}{9} = 0.4

$\frac{5}{9}$ מן הממחזרות

$40\%$ . המלכודת: $\frac{5}{9} \approx 55.6\%$ — זה החלק מן הממחזרות, לא מכל המשפחות.

תרגיל 3

מספר המשפחות ביישוב שממחזרות וגם מתנדבות גדול פי $5$ ממספר המשפחות ביישוב שאינן ממחזרות וגם אינן מתנדבות. ב. בוחרים באקראי משפחה מן היישוב. מהי ההסתברות שמשפחה זו מתנדבת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.6

הפתרון:

\begin{aligned}P(\bar{R} \cap \bar{V}) &= \frac{0.4}{5} \\ &= 0.08\end{aligned}

לא ממחזרת ולא מתנדבת

\begin{aligned}P(\bar{R} \cap V) &= 0.28 - 0.08 \\ &= 0.2\end{aligned}

\begin{aligned}P(V) &= 0.4 + 0.2 \\ &= 0.6\end{aligned}

ההסתברות היא $0.6$ .

תרגיל 4

מספר המשפחות ביישוב שממחזרות וגם מתנדבות גדול פי $5$ ממספר המשפחות ביישוב שאינן ממחזרות וגם אינן מתנדבות. ג. בוחרים באקראי משפחה מן היישוב שמתנדבת. מהי ההסתברות שמשפחה זו אינה ממחזרת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3333

הפתרון:

\begin{aligned}P(\bar{R} \mid V) &= \frac{0.2}{0.6} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

ההסתברות היא $\frac{1}{3}$ .

תרגיל 5

מספר המשפחות ביישוב שממחזרות וגם מתנדבות גדול פי $5$ ממספר המשפחות ביישוב שאינן ממחזרות וגם אינן מתנדבות. ביישוב זה יש $750$ משפחות. ד. מצאו כמה משפחות ביישוב ממחזרות או מתנדבות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 690

הפתרון:

\begin{aligned}P(R \cup V) &= 1 - P(\bar{R} \cap \bar{V}) \\ &= 1 - 0.08 \\ &= 0.92\end{aligned}

"או" — לפחות אחד מן השניים

0.92 \cdot 750 = 690

$690$ משפחות. המלכודת: לחבר $0.72 + 0.6$ בלי להחסיר את החיתוך.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 4 — משולש חסום במעגל במערכת צירים

בסרטוט שלפניכם משולש $ABC$ החסום במעגל. $AC$ הוא קוטר במעגל. הקודקוד $A$ נמצא על ציר ה־ $y$ והקודקוד $B$ נמצא על ציר ה־ $x$ . דרך הנקודה $C$ העבירו אנך לציר ה־ $x$ החותך אותו בנקודה $E$ . הנקודה $O$ היא ראשית הצירים.

תרגיל 1

א (1). הוכיחו כי $\angle ABO = \angle BCE$ .

$AC$ קוטר במעגל
$A$ על ציר ה־ $y$ , $B$ ו־ $E$ על ציר ה־ $x$
$CE \perp$ ציר ה־ $x$

$\angle ABO = \angle BCE$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle ABC = 90^\circ$ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
$\angle ABO + \angle CBE = 90^\circ$ — סכום הזוויות $ABO$ , $ABC$ , $CBE$ על הישר $OE$ הוא $180^\circ$
$\angle BCE + \angle CBE = 90^\circ$ — סכום הזוויות במשולש $BEC$ , שבו $\angle BEC = 90^\circ$
$\angle ABO = \angle BCE$ — שתי זוויות המשלימות את אותה זווית ל־ $90^\circ$ שוות זו לזו

הפתרון:

\angle ABC = 90^\circ

היקפית על הקוטר $AC$

\begin{aligned}\angle ABO &= 90^\circ - \angle CBE \\ &= \angle BCE\end{aligned}

זווית שטוחה ב־ $B$ , וסכום הזוויות במשולש $BEC$

שתי הזוויות משלימות את $\angle CBE$ ל־ $90^\circ$ .

תרגיל 2

א (2). הוכיחו כי $\triangle AOB \sim \triangle BEC$ .

$\angle ABO = \angle BCE$ (סעיף א (1))
$\angle AOB = 90^\circ$ (הצירים מאונכים)
$CE \perp$ ציר ה־ $x$

$\triangle AOB \sim \triangle BEC$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle AOB = \angle BEC = 90^\circ$ — הצירים מאונכים זה לזה, ו־ $CE$ אנך לציר ה־ $x$
$\angle ABO = \angle BCE$ — הוכח בסעיף א (1)
$\triangle AOB \sim \triangle BEC$ — משפט הדמיון ז״ז

הפתרון:

\begin{aligned}\angle AOB &= \angle BEC \\ &= 90^\circ \\ \ \angle ABO &= \angle BCE\end{aligned}

\triangle AOB \sim \triangle BEC \ (\text{ז״ז})

ההתאמה: $A \leftrightarrow B$ , $O \leftrightarrow E$ , $B \leftrightarrow C$

דמיון בשתי זוויות. ההתאמה קובעת את הצלעות המתאימות: $AO \leftrightarrow BE$ , $OB \leftrightarrow EC$ .

תרגיל 3

נתון כי יחס הדמיון בין המשולש $BEC$ ובין המשולש $AOB$ הוא $3$ , וכי $A(0, 12)$ , $B(9, 0)$ . ב (1). מצאו את אורך הצלע $BE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

\frac{BE}{AO} = 3

$BE$ מתאימה ל־ $AO$

\begin{aligned}BE &= 3 \cdot 12 \\ &= 36\end{aligned}

$BE = 36$ . המלכודת: $BE = 3 \cdot OB = 27$ — $OB$ מתאימה ל־ $EC$ .

תרגיל 4

נתון כי יחס הדמיון בין המשולש $BEC$ ובין המשולש $AOB$ הוא $3$ , וכי $A(0, 12)$ , $B(9, 0)$ . ב (2). מצאו את שיעורי הקודקוד $C$ .

$C($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $C($ 45 $,$ 27 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}E &= (9 + 36, 0) \\ &= (45, 0)\end{aligned}

\begin{aligned}EC &= 3 \cdot OB \\ &= 27 \Rightarrow C(45, 27)\end{aligned}

$C(45, 27)$ .

תרגיל 5

נתון כי יחס הדמיון בין המשולש $BEC$ ובין המשולש $AOB$ הוא $3$ , וכי $A(0, 12)$ , $B(9, 0)$ . בנקודה $C$ העבירו משיק למעגל. ג. מצאו את משוואת המשיק.

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -3 $x +$ 162

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{27 - 12}{45 - 0} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

המשיק מאונך לקוטר $AC$ בנקודה $C$

\begin{aligned}m &= -3 \\ \quad y - 27 &= -3(x - 45) \Rightarrow y \\ &= -3x + 162\end{aligned}

המשיק: $y = -3x + 162$ .

תרגיל 6

נתון כי יחס הדמיון בין המשולש $BEC$ ובין המשולש $AOB$ הוא $3$ , וכי $A(0, 12)$ , $B(9, 0)$ . בנקודה $C$ העבירו משיק למעגל. הנקודה $K$ היא נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה־ $x$ . ד. חשבו את שטח המרובע $ABKC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 945

הפתרון:

K: \ 0 = -3x + 162 \Rightarrow K(54, 0)

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{AB \cdot BC}{2} \\ &= \frac{15 \cdot 45}{2} \\ &= 337.5\end{aligned}

$\angle ABC = 90^\circ$ , ו־ $BC = 3 \cdot AB$

\begin{aligned}S_{BKC} &= \frac{BK \cdot CE}{2} \\ &= \frac{45 \cdot 27}{2} \\ &= 607.5\end{aligned}

\begin{aligned}S &= 337.5 + 607.5 \\ &= 945\end{aligned}

שטח המרובע הוא $945$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 5 — דלתון במערכת צירים

בסרטוט שלפניכם דלתון $ABCD$ $(AB = CB, \ AD = CD)$ . הקודקוד $C$ נמצא ברביע השני. הצלע $BC$ מקבילה לציר ה־ $x$ . נתון: $A(-3, 2)$ , $B(0, 6)$ .

תרגיל 1

א (1). מצאו את אורך הצלע $AB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{(0 + 3)^2 + (6 - 2)^2} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned}

$AB = 5$ .

תרגיל 2

א (2). מצאו את שיעורי הקודקוד $C$ .

$C($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $C($ -5 $,$ 6 $)$

הפתרון:

BC \parallel \text{ציר } x \Rightarrow y_C = 6

\begin{aligned}CB &= AB \\ &= 5 \\ \ C \text{ ברביע השני} \Rightarrow C(-5, 6)\end{aligned}

$C(-5, 6)$ .

תרגיל 3

ב. מצאו את משוואת האלכסון $DB$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 0.5 $x +$ 6

הפתרון:

\text{אמצע } AC = (-4, 4)

האלכסון הראשי של דלתון הוא האנך האמצעי לאלכסון המשני

\begin{aligned}m &= \frac{6 - 4}{0 + 4} \\ &= \frac{1}{2} \Rightarrow y \\ &= \frac{1}{2}x + 6\end{aligned}

$DB$ : $y = \frac{1}{2}x + 6$ . בדיקה: $m_{AC} = -2$ , ומכפלת השיפועים $-1$ .

תרגיל 4

נתון: משוואת הצלע $AD$ היא $y = \frac{1}{3}x + 3$ . ג. מצאו את שיעורי הקודקוד $D$ .

$D($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D($ -18 $,$ -3 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{1}{3}x + 3 &= \frac{1}{2}x + 6 \Rightarrow x \\ &= -18\end{aligned}

$D$ על $AD$ ועל $DB$

\begin{aligned}y &= -6 + 3 \\ &= -3\end{aligned}

$D(-18, -3)$ .

תרגיל 5

נתון: משוואת הצלע $AD$ היא $y = \frac{1}{3}x + 3$ . הנקודה $M$ היא מפגש אלכסוני הדלתון. ד. מצאו את גודל הזווית $ADM$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.13

הפתרון:

M = (-4, 4)

האלכסונים נפגשים באמצע $AC$

\begin{aligned}\tan \angle ADM &= \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} \\ &= \frac{1}{7}\end{aligned}

הזווית בין $DA$ ( $m = \frac{1}{3}$ ) ובין $DM$ ( $m = \frac{1}{2}$ )

\angle ADM \approx 8.13^\circ

$\angle ADM \approx 8.13^\circ$ (ההפרש בין $26.57^\circ$ ל־ $18.43^\circ$ ).

תרגיל 6

נתון: משוואת הצלע $AD$ היא $y = \frac{1}{3}x + 3$ . הנקודה $E$ היא אמצע הצלע $DC$ . ה. חשבו את שטח המשולש $ADE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 17.5

הפתרון:

\begin{aligned}S_{ADC} &= \frac{AC \cdot DM}{2} \\ &= \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{245}}{2} \\ &= \frac{70}{2} \\ &= 35\end{aligned}

$DM \perp AC$

\begin{aligned}S_{ADE} &= \frac{1}{2} S_{ADC} \\ &= 17.5\end{aligned}

$AE$ תיכון במשולש $ADC$ , והוא מחלק אותו לשני משולשים שווי שטח

שטח המשולש $ADE$ הוא $17.5$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 6 — פונקציה רציונלית עם פרמטר

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{a}{(x - 4)^2}$ , המוגדרת בתחום $x \neq 4$ .‏ $a$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי בנקודה שבה $x = 6$ , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ הוא $-3$ .

תרגיל 1

א. מצאו את הערך של $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

f'(x) = \frac{-2a}{(x - 4)^3}

\begin{aligned}f'(6) &= \frac{-2a}{8} \\ &= -3 \Rightarrow a \\ &= 12\end{aligned}

$a = 12$ .

תרגיל 2

הציבו $a = 12$ , וענו על הסעיפים ב–ה. ב (1). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים (אם יש כאלה).

עם ציר ה־ $y$ : $(0,$ ____ $)$ ; מספר נקודות החיתוך עם ציר ה־ $x$ : ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: עם ציר ה־ $y$ : $(0,$ 0.75 $)$ ; מספר נקודות החיתוך עם ציר ה־ $x$ : 0

הפתרון:

\begin{aligned}f(0) &= \frac{12}{16} \\ &= 0.75\end{aligned}

\frac{12}{(x - 4)^2} \neq 0

המונה אינו מתאפס: אין חיתוך עם ציר ה־ $x$

$(0, 0.75)$ בלבד.

תרגיל 3

הציבו $a = 12$ , וענו על הסעיפים ב–ה. ב (2). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$ .

$x =$ ____ , $y =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x =$ 4 , $y =$ 0

הפתרון:

x = 4

המכנה מתאפס והמונה לא

x \to \pm\infty: \ f(x) \to 0

$x = 4$ ו־ $y = 0$ .

תרגיל 4

הציבו $a = 12$ , וענו על הסעיפים ב–ה. ב (3). מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $f(x)$ .

אעלייה: $x < 0$ ; ירידה: $0 < x < 4$
בהפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה
געלייה: $x < 4$ ; ירידה: $x > 4$
דעלייה: $x > 4$ ; ירידה: $x < 4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג עלייה: $x < 4$ ; ירידה: $x > 4$

הפתרון:

f'(x) = \frac{-24}{(x - 4)^3}

x < 4: (x - 4)^3 < 0 \Rightarrow f' > 0; \quad x > 4: f' < 0

עלייה ב־ $x < 4$ , ירידה ב־ $x > 4$ .

תרגיל 5

הציבו $a = 12$ , וענו על הסעיפים ב–ה. ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את התיאור שמתאים לסקיצה.

אענף אחד שעובר דרך $(0, 0.75)$ ויש לו מקסימום ב־ $x = 4$
בשני ענפים: השמאלי מעל ציר ה־ $x$ והימני מתחתיו
גשני ענפים מתחת לציר ה־ $x$ , סימטריים סביב $x = 4$
דשני ענפים מעל ציר ה־ $x$ : השמאלי עולה מ־ $y = 0$ דרך $(0, 0.75)$ אל האסימפטוטה $x = 4$ , והימני יורד ממנה ומתקרב ל־ $y = 0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד שני ענפים מעל ציר ה־ $x$ : השמאלי עולה מ־ $y = 0$ דרך $(0, 0.75)$ אל האסימפטוטה $x = 4$ , והימני יורד ממנה ומתקרב ל־ $y = 0$

הפתרון:

f(x) > 0 \text{ לכל } x \neq 4

המונה $12$ והמכנה ריבוע

x \to 4: f \to +\infty

בשני הצדדים

שני ענפים חיוביים, סימטריים סביב $x = 4$ , שמתקרבים ל־ $y = 0$ ולאסימפטוטה $x = 4$ .

תרגיל 6

הגרפים I–IV

הציבו $a = 12$ , וענו על הסעיפים ב–ה. תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . ד (1). קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .

אגרף IV
בגרף I
גגרף II
דגרף III

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף III

הפתרון:

x < 4: f' > 0; \quad x > 4: f' < 0

מתחומי העלייה והירידה

x \to 4^-: f' \to +\infty; \ x \to 4^+: f' \to -\infty

גרף III: מעל ציר ה־ $x$ משמאל ל־ $x = 4$ , ומתחתיו מימין. המלכודות: גרף I הוא $f$ עצמה; גרף IV הוא $-f'$ .

תרגיל 7

הציבו $a = 12$ , וענו על הסעיפים ב–ה. תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . ד (2). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , על ידי הישר $x = 3$ , על ידי ציר ה־ $x$ ועל ידי ציר ה־ $y$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11.25

הפתרון:

0 \le x \le 3: \ f'(x) > 0

\begin{aligned}S &= \int_0^3 f'(x)\,dx \\ &= f(3) - f(0) \\ &= 12 - 0.75 \\ &= 11.25\end{aligned}

$f$ היא פונקציה קדומה של $f'$

השטח הוא $11.25$ .

תרגיל 8

הציבו $a = 12$ , וענו על הסעיפים ב–ה. נתונה הפונקציה $g(x) = f'(x) + 2$ . ה. בכמה גדול השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$ , על ידי הישר $x = 3$ , על ידי ציר ה־ $x$ ועל ידי ציר ה־ $y$ , מן השטח שמצאתם בסעיף ד (2)? נמקו את תשובתכם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\int_0^3 g(x)\,dx = \int_0^3 f'(x)\,dx + \int_0^3 2\,dx

גם $g > 0$ בתחום

= 11.25 + 6 \Rightarrow \text{ההפרש: } 2 \cdot 3 = 6

מלבן שבסיסו $3$ וגובהו $2$

השטח גדול ב־ $6$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 7 — פונקציית שורש

נתונה הפונקציה $f(x) = x^2 \cdot \sqrt{7 - x}$ .

תרגיל 1

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x \le$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x \le$ 7

הפתרון:

7 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 7

תחום ההגדרה: $x \le 7$ .

תרגיל 2

א (2). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ . (כתבו משמאל לימין.)

$($ ____ $, 0)$ ו־ $($ ____ $, 0)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 0 $, 0)$ ו־ $($ 7 $, 0)$

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 \sqrt{7 - x} &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 7\end{aligned}

$(0, 0)$ ו־ $(7, 0)$ .

תרגיל 3

א (3). מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגן.

$($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$ ו־ $($ ____ $,$ ____ $)$ (משמאל לימין)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 0 $,$ 0 $)$ , $($ 5.6 $,$ 37.106 $)$ ו־ $($ 7 $,$ 0 $)$ (משמאל לימין)

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 2x\sqrt{7 - x} - \frac{x^2}{2\sqrt{7 - x}} \\ &= \frac{x(28 - 5x)}{2\sqrt{7 - x}}\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= 5.6\end{aligned}

x < 0: f' < 0; \ 0 < x < 5.6: f' > 0; \ 5.6 < x < 7: f' < 0

\begin{aligned}f(5.6) &= 31.36\sqrt{1.4} \approx 37.106 \\ \quad f(7) &= 0\end{aligned}

מינימום $(0, 0)$ , מקסימום $(5.6, 37.11)$ , ומינימום קצה $(7, 0)$ . המלכודת: לשכוח את נקודת הקצה $x = 7$ .

תרגיל 4

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את התיאור שמתאים לסקיצה.

אמשמאל הגרף עולה אל $(0, 0)$ , יורד עד מינימום ב־ $x = 5.6$ , ועולה אחרי $x = 7$
בהגרף מוגדר לכל $x$ , עם מקסימום ב־ $(5.6, 37.1)$
גהגרף מתחיל ב־ $(0, 0)$ , עולה עד $(5.6, 37.1)$ , ויורד אל $(7, 0)$
דמשמאל הגרף יורד מגבוה אל $(0, 0)$ , עולה עד $(5.6, 37.1)$ , ויורד אל $(7, 0)$ , שם הוא נגמר

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד משמאל הגרף יורד מגבוה אל $(0, 0)$ , עולה עד $(5.6, 37.1)$ , ויורד אל $(7, 0)$ , שם הוא נגמר

הפתרון:

x \to -\infty: f(x) \to +\infty

שני הגורמים חיוביים וגדלים

\searrow (0, 0) \nearrow (5.6, 37.1) \searrow (7, 0)

הגרף מגיע מלמעלה משמאל, נוגע בציר ה־ $x$ בראשית, עולה למקסימום ויורד לקצה $(7, 0)$ .

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $g(x) = f(x + a)$ ,‏ $a$ הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה $g(x)$ יש נקודת מקסימום פנימית בנקודה שבה $x = 8.6$ . ג (1). מצאו את הערך של $a$ . נמקו את תשובתכם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

g(x) = f(x + a): \text{ הגרף של } f \text{ מוזז ב־} -a

\begin{aligned}8.6 + a &= 5.6 \Rightarrow a \\ &= -3\end{aligned}

המקסימום הפנימי של $f$ הוא ב־ $x = 5.6$

$a = -3$ : הזזה ימינה ב־ $3$ . המלכודת: $a = 3$ — $f(x + a)$ עם $a$ חיובי מזיזה שמאלה.

תרגיל 6

נתונה הפונקציה $g(x) = f(x + a)$ ,‏ $a$ הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה $g(x)$ יש נקודת מקסימום פנימית בנקודה שבה $x = 8.6$ . ג (2). מהו תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ ?

$x \le$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x \le$ 10

הפתרון:

g(x) = f(x - 3): \ x - 3 \le 7

x \le 10

תחום ההגדרה של $g$ : $x \le 10$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 8 — בעיית קיצון: מלבן מתחת לגרף

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x) = \frac{6x - 12}{x - 8}$ .

תרגיל 1

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x \neq$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x \neq$ 8

הפתרון:

x - 8 \neq 0

תחום ההגדרה: $x \neq 8$ .

תרגיל 2

א (2). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$ .

$x =$ ____ , $y =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x =$ 8 , $y =$ 6

הפתרון:

x = 8

המכנה מתאפס, המונה $36 \neq 0$

x \to \pm\infty: f(x) \to \frac{6}{1} = 6

יחס המקדמים המובילים

$x = 8$ ו־ $y = 6$ .

תרגיל 3

הנקודה $A$ היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ . ב. מצאו את שיעורי הנקודה $A$ .

$A($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $A($ 2 $,$ 0 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}6x - 12 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

$A(2, 0)$ .

תרגיל 4

הנקודה $A$ היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ . הנקודה $C$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום $x > 8$ . מן הנקודה $C$ העבירו אנך לציר ה־ $x$ החותך אותו בנקודה $B$ . הנקודה $D$ נמצאת ברביע הראשון כך ש־ $ABCD$ הוא מלבן. נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $C$ . ג. הביעו באמצעות $t$ את היקף המלבן $ABCD$ .

א $2(t - 2) + \frac{2(6t - 12)}{t - 8}$
ב $2t + \frac{2(6t - 12)}{t - 8}$
ג $(t - 2) + \frac{6t - 12}{t - 8}$
ד $(t - 2) \cdot \frac{6t - 12}{t - 8}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $2(t - 2) + \frac{2(6t - 12)}{t - 8}$

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= t - 2 \\ \quad BC &= f(t) \\ &= \frac{6t - 12}{t - 8}\end{aligned}

P = 2(t - 2) + \frac{2(6t - 12)}{t - 8}

ההיקף: $2(t - 2) + \frac{12(t - 2)}{t - 8}$ . המלכודת: $2t$ — $A$ אינו בראשית, הוא ב־ $x = 2$ .

תרגיל 5

הנקודה $A$ היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ . הנקודה $C$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום $x > 8$ . מן הנקודה $C$ העבירו אנך לציר ה־ $x$ החותך אותו בנקודה $B$ . הנקודה $D$ נמצאת ברביע הראשון כך ש־ $ABCD$ הוא מלבן. נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $C$ . ד. מצאו את הערך של $t$ שבעבורו היקף המלבן $ABCD$ הוא מינימלי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

\begin{aligned}P(t) &= 2(t - 2) + \frac{12(t - 2)}{t - 8} \\ \quad t > 8\end{aligned}

\begin{aligned}P'(t) &= 2 + \frac{12(t - 8) - 12(t - 2)}{(t - 8)^2} \\ &= 2 - \frac{72}{(t - 8)^2}\end{aligned}

\begin{aligned}(t - 8)^2 &= 36 \Rightarrow t \\ &= 14\end{aligned}

$t = 2$ מחוץ לתחום

8 < t < 14: P' < 0; \ t > 14: P' > 0

ירידה ואז עלייה: מינימום

$t = 14$ , וההיקף המינימלי הוא $48$ .

תרגיל 6

הנקודה $A$ היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ . הנקודה $C$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום $x > 8$ . מן הנקודה $C$ העבירו אנך לציר ה־ $x$ החותך אותו בנקודה $B$ . הנקודה $D$ נמצאת ברביע הראשון כך ש־ $ABCD$ הוא מלבן. נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $C$ . ה. האם ייתכן שהיקף המלבן $ABCD$ הוא $50$ ? נמקו את תשובתכם.

אכן: ההיקף המינימלי הוא $48$ , וההיקף גדל בלי גבול, ולכן הוא מקבל גם את הערך $50$
בכן, אבל רק בנקודה אחת: $t = 14$
גלא: ההיקף המקסימלי הוא $48$
דלא: ההיקף המינימלי הוא $52$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כן: ההיקף המינימלי הוא $48$ , וההיקף גדל בלי גבול, ולכן הוא מקבל גם את הערך $50$

הפתרון:

\begin{aligned}P_{\min} &= P(14) \\ &= 2 \cdot 12 + 2 \cdot 12 \\ &= 48 < 50\end{aligned}

t \to 8^+ \text{ או } t \to \infty: P \to \infty

ההיקף מקבל כל ערך מעל $48$

\begin{aligned}P &= 50 \Rightarrow t \\ &= 12 \ \text{או} \ t \\ &= 17\end{aligned}

כן: ההיקף המינימלי הוא $48$ , וההיקף $50$ מתקבל ב־ $t = 12$ וב־ $t = 17$ .

לפתור את השאלה באתר

מבנה הבחינה

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — התפלגות נורמלית: הבחינה הפסיכומטרית

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 2 — מתאם ורגרסיה: טמפרטורה וצריכת מים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

שאלה 3 — הסתברות: מחזור והתנדבות ביישוב

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 4 — משולש חסום במעגל במערכת צירים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 5 — דלתון במערכת צירים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 6 — פונקציה רציונלית עם פרמטר

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

תרגיל 8

שאלה 7 — פונקציית שורש

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 8 — בעיית קיצון: מלבן מתחת לגרף

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

לפתור את הבחינה כמו ביום הבגרות