בגרות במתמטיקה 35471 קיץ 2025

שאלה 1 — התפלגות נורמלית: קפיצה לרוחק וקפיצה לגובה

בבית ספר מסוים נערכה תחרות קפיצה לרוחק. התוצאות שהשיגו המשתתפים בתחרות התפלגו נורמלית. מרחק הקפיצה הממוצע היה $4.6$ מטרים. $69.2\%$ מן המשתתפים קפצו למרחק קטן מ־ $4.8$ מטרים.

תרגיל 1

א. מצאו את סטיית התקן של מרחק הקפיצה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4

הפתרון:

\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.692 \Rightarrow z \\ &= 0.5\end{aligned}

בטבלה: $\Phi(0.5) = 0.6915$

\begin{aligned}\frac{4.8 - 4.6}{\sigma} &= 0.5 \Rightarrow \sigma \\ &= 0.4\end{aligned}

סטיית התקן היא $0.4$ מטר.

תרגיל 2

המשתתפים שמרחק הקפיצה שלהם היה גדול מ־ $5.24$ מטרים זכו במדליה. ב. מהו אחוז המשתתפים שזכו במדליה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.48

הפתרון:

\begin{aligned}z &= \frac{5.24 - 4.6}{0.4} \\ &= 1.6\end{aligned}

\begin{aligned}P(X > 5.24) &= 1 - \Phi(1.6) \\ &= 1 - 0.9452 \\ &= 0.0548\end{aligned}

$5.48\%$ מן המשתתפים זכו במדליה.

תרגיל 3

המשתתפים שמרחק הקפיצה שלהם היה גדול מ־ $5.24$ מטרים זכו במדליה. נתון כי $11$ משתתפים זכו במדליה. ג. על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה משתתפים התחרו בקפיצה לרוחק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 200

הפתרון:

N = \frac{11}{0.0548} \approx 200.7

$11$ הם $5.48\%$ מן המשתתפים

N \approx 200

מספר המשתתפים הוא מספר שלם

בערך $200$ משתתפים.

תרגיל 4

בבית הספר נערכה גם תחרות קפיצה לגובה. גם בתחרות זו התוצאות שהשיגו המשתתפים התפלגו נורמלית. גובה הקפיצה הממוצע היה $1.5$ מטרים, וסטיית התקן הייתה $0.2$ מטר. אלון השתתף בשתי התחרויות. התוצאה שלו בקפיצה לרוחק הייתה $5$ מטרים ובקפיצה לגובה $1.75$ מטרים. ד. באיזו מן התחרויות, קפיצה לרוחק או קפיצה לגובה, הייתה התוצאה של אלון מדורגת במקום גבוה יותר בהשוואה למשתתפים האחרים? נמקו את תשובתכם.

אהדירוג זהה: בשתי התחרויות הוא מעל הממוצע
בבקפיצה לגובה: ציון התקן שלו שם $1.25$ , ובקפיצה לרוחק $1$
גבקפיצה לרוחק: $5$ מטרים יותר מ־ $1.75$ מטרים
דבקפיצה לרוחק: ציון התקן שלו שם $1.25$ , ובקפיצה לגובה $1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב בקפיצה לגובה: ציון התקן שלו שם $1.25$ , ובקפיצה לרוחק $1$

הפתרון:

\begin{aligned}z_{\text{רוחק}} &= \frac{5 - 4.6}{0.4} \\ &= 1\end{aligned}

\begin{aligned}z_{\text{גובה}} &= \frac{1.75 - 1.5}{0.2} \\ &= 1.25 > 1\end{aligned}

בקפיצה לגובה: ציון תקן גבוה יותר הוא אחוזון גבוה יותר. המלכודת: להשוות את המטרים עצמם.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 2 — מתאם ורגרסיה: שטח הדירה ומחירה

מתווך דירות רצה לבדוק את הקשר הליניארי בין שטח הדירות שנמכרו בחודש האחרון בשכונה מסוימת (המשתנה $x$ ) לבין המחיר שבו הן נמכרו (המשתנה $y$ ). בטבלה שלפניכם מופיעים הנתונים של $5$ דירות שבדק המתווך.

	שטח הדירה (מ״ר) – המשתנה x	מחיר הדירה (במיליוני שקלים) – המשתנה y
דירה 1	80	1
דירה 2	88	1.8
דירה 3	96	2.7
דירה 4	110	3.4
דירה 5	116	4.6

תרגיל 1

א (1). מצאו את הממוצע של שטח הדירות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 98

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{80 + 88 + 96 + 110 + 116}{5} \\ &= \frac{490}{5} \\ &= 98\end{aligned}

הממוצע הוא $98$ מ״ר.

תרגיל 2

א (2). מצאו את סטיית התקן של שטח הדירות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13.387

הפתרון:

x - \bar{x}: \ -18, -10, -2, 12, 18

\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{324 + 100 + 4 + 144 + 324}{5}} \\ &= \sqrt{179.2} \approx 13.387\end{aligned}

סטיית התקן היא כ־ $13.39$ מ״ר.

תרגיל 3

המתווך חישב את הממוצע ואת סטיית התקן של המשתנה $y$ , ומצא כי $\bar{y} = 2.7$ , $S_y = 1.249$ . ב. מצאו את מקדם המתאם $r$ בין שני המשתנים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.983

הפתרון:

y - \bar{y}: \ -1.7, -0.9, 0, 0.7, 1.9

\begin{aligned}\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) &= 30.6 + 9 + 0 + 8.4 + 34.2 \\ &= 82.2 \Rightarrow \text{cov} \\ &= 16.44\end{aligned}

r = \frac{16.44}{13.387 \cdot 1.249} \approx 0.983

$r \approx 0.983$ , מתאם חיובי חזק מאוד.

תרגיל 4

המתווך חישב את הממוצע ואת סטיית התקן של המשתנה $y$ , ומצא כי $\bar{y} = 2.7$ , $S_y = 1.249$ . ג. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי $y$ על פי $x$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 0.0917 $x +$ -6.29

הפתרון:

b = \frac{16.44}{179.2} \approx 0.0917

y - 2.7 = 0.0917(x - 98) \Rightarrow y \approx 0.0917x - 6.29

ישר הרגרסיה: $y \approx 0.0917x - 6.29$ .

תרגיל 5

המתווך חישב את הממוצע ואת סטיית התקן של המשתנה $y$ , ומצא כי $\bar{y} = 2.7$ , $S_y = 1.249$ . ד. על פי ישר הרגרסיה, מהו הניבוי למחיר של דירה שהשטח שלה הוא $100$ מ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.883

הפתרון:

y = 2.7 + 0.0917 \cdot (100 - 98) \approx 2.883

הניבוי: כ־ $2.88$ מיליון שקלים.

תרגיל 6

המתווך חישב את הממוצע ואת סטיית התקן של המשתנה $y$ , ומצא כי $\bar{y} = 2.7$ , $S_y = 1.249$ . עקב עליית המחירים במשק, גדל המחיר של כל דירה ב־ $0.2$ מיליון שקל. ה. קבעו בעבור כל אחד מן המדדים $(1)$ – $(2)$ שלפניכם, אם הערך שלו גדל, קטן או לא השתנה. נמקו את קביעותיכם. (1) סטיית התקן של המשתנה $y$ .

אגדלה ב־ $0.2$
בלא השתנתה: הוספת קבוע לכל הנתונים אינה משנה את הפיזור
גגדלה פי $1.2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לא השתנתה: הוספת קבוע לכל הנתונים אינה משנה את הפיזור

הפתרון:

\begin{aligned}y' &= y + 0.2 \Rightarrow y' - \bar{y}' \\ &= y - \bar{y}\end{aligned}

הסטיות מן הממוצע לא השתנו

סטיית התקן לא השתנתה. הממוצע, לעומת זאת, גדל ב־ $0.2$ .

תרגיל 7

המתווך חישב את הממוצע ואת סטיית התקן של המשתנה $y$ , ומצא כי $\bar{y} = 2.7$ , $S_y = 1.249$ . עקב עליית המחירים במשק, גדל המחיר של כל דירה ב־ $0.2$ מיליון שקל. ה. קבעו בעבור כל אחד מן המדדים $(1)$ – $(2)$ שלפניכם, אם הערך שלו גדל, קטן או לא השתנה. נמקו את קביעותיכם. (2) מקדם המתאם $r$ .

אקטן: הקשר בין השטח למחיר נחלש
בלא השתנה: הסטיות מן הממוצעים ושתי סטיות התקן לא השתנו
גגדל: המחירים גדלו

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לא השתנה: הסטיות מן הממוצעים ושתי סטיות התקן לא השתנו

הפתרון:

\begin{aligned}r &= \frac{\text{cov}}{S_x S_y} \\ \ \text{cov}' &= \text{cov} \\ \ S_y' &= S_y\end{aligned}

מקדם המתאם לא השתנה.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 3 — הסתברות: התנדבות בשכבת י״א

חלק מן התלמידים בשכבת י״א בבית ספר מסוים הם בנים והשאר הן בנות. חלק מן התלמידים בשכבה מתנדבים והשאר אינם מתנדבים. $75\%$ מתלמידי השכבה מתנדבים. $\frac{3}{5}$ מן התלמידים שמתנדבים הם בנות. נתון כי מספר הבנות שמתנדבות גדול פי $3$ ממספר הבנות שאינן מתנדבות.

תרגיל 1

א. מהי ההסתברות לבחור באקראי מן השכבה בת שמתנדבת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.45

הפתרון:

0.75 \cdot \frac{3}{5} = 0.45

$\frac{3}{5}$ מן המתנדבים הם בנות

ההסתברות היא $0.45$ .

תרגיל 2

ב. מצאו את אחוז הבנים בשכבה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

\begin{aligned}P(G \cap \bar{V}) &= \frac{0.45}{3} \\ &= 0.15\end{aligned}

בנות שאינן מתנדבות

\begin{aligned}P(G) &= 0.45 + 0.15 \\ &= 0.6 \Rightarrow P(B) \\ &= 0.4\end{aligned}

$40\%$ מתלמידי השכבה הם בנים.

תרגיל 3

בוחרים באקראי תלמיד מן השכבה. ג. ידוע שהתלמיד שנבחר הוא בן. מהי ההסתברות שהוא מתנדב?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

\begin{aligned}P(B \cap V) &= 0.75 - 0.45 \\ &= 0.3\end{aligned}

\begin{aligned}P(V \mid B) &= \frac{0.3}{0.4} \\ &= 0.75\end{aligned}

ההסתברות היא $0.75$ .

תרגיל 4

בוחרים באקראי תלמיד מן השכבה. בכתבה שהכינה דנה לעיתון השכבה היא כתבה: "אחוז המתנדבות מבין הבנות בשכבה גדול מאחוז המתנדבים מבין הבנים בשכבה". ד. האם המשפט שכתבה דנה נכון? נמקו את תשובתכם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}P(V \mid G) &= \frac{0.45}{0.6} \\ &= 0.75\end{aligned}

P(V \mid B) = 0.75

סעיף ג

המשפט לא נכון: בשתי הקבוצות $75\%$ מתנדבים, והאחוזים שווים. המלכודת: $0.45 > 0.3$ — אלה הסתברויות מכל השכבה, לא אחוזים מבין הבנות והבנים.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 4 — משולש ישר זווית במערכת צירים

בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית $ABC$ $(\angle ACB = 90^\circ)$ . הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה־ $y$ . נתון כי שיעורי הקודקוד $A$ הם $(-16, 0)$ , ומשוואת הצלע $CB$ היא $y = -\frac{2}{5}x + 11$ .

תרגיל 1

א. מצאו את משוואת הצלע $AC$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 2.5 $x +$ 40

הפתרון:

\begin{aligned}m_{CB} &= -\frac{2}{5} \Rightarrow m_{AC} \\ &= \frac{5}{2}\end{aligned}

$\angle ACB = 90^\circ$

\begin{aligned}y &= \frac{5}{2}(x + 16) \\ &= \frac{5}{2}x + 40\end{aligned}

$AC$ : $y = \frac{5}{2}x + 40$ .

תרגיל 2

ב. מצאו את שיעורי הקודקוד $C$ .

$C($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $C($ -10 $,$ 15 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{5}{2}x + 40 &= -\frac{2}{5}x + 11 \Rightarrow \frac{29}{10}x \\ &= -29 \Rightarrow x \\ &= -10\end{aligned}

\begin{aligned}y &= 4 + 11 \\ &= 15\end{aligned}

$C(-10, 15)$ .

תרגיל 3

$BE$ הוא תיכון לצלע $AC$ . ג (1). מצאו את אורך הקטע $EC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.078

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{6^2 + 15^2} \\ &= \sqrt{261}\end{aligned}

EC = \frac{\sqrt{261}}{2} \approx 8.078

$E$ אמצע $AC$

$EC = \frac{\sqrt{261}}{2} \approx 8.08$ .

תרגיל 4

$BE$ הוא תיכון לצלע $AC$ . ג (2). מצאו את גודל הזווית $CEB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 53.13

הפתרון:

\begin{aligned}B(0, 11) \\ \quad BC &= \sqrt{10^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{116}\end{aligned}

\begin{aligned}\tan \angle CEB &= \frac{BC}{EC} \\ &= \frac{\sqrt{116}}{\sqrt{261}/2} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

המשולש $BCE$ ישר זווית ב־ $C$

\angle CEB \approx 53.13^\circ

$\angle CEB \approx 53.13^\circ$ .

תרגיל 5

$BE$ הוא תיכון לצלע $AC$ . הנקודה $K$ נמצאת על הקטע $EB$ . נתון: שטח המשולש $AEK$ הוא $18$ . ד. מצאו את אורך הקטע $EK$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.571

הפתרון:

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{\sqrt{261} \cdot \sqrt{116}}{2} \\ &= \frac{174}{2} \\ &= 87\end{aligned}

\begin{aligned}S_{AEB} &= \frac{87}{2} \\ &= 43.5\end{aligned}

התיכון מחלק את המשולש לשניים שווי שטח

\begin{aligned}\frac{EK}{EB} &= \frac{S_{AEK}}{S_{AEB}} \\ &= \frac{18}{43.5}\end{aligned}

לשני המשולשים אותו גובה מ־ $A$

EB = \sqrt{65.25 + 116} \approx 13.463 \Rightarrow EK \approx 5.571

$EK \approx 5.57$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 5 — מעגל, משיק ודמיון

בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $M$ . המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה־ $x$ בנקודה $A$ . הנקודה $B$ נמצאת על המעגל כך ש־ $AB$ הוא קוטר במעגל. דרך הנקודה $B$ העבירו משיק למעגל, החותך את ציר ה־ $x$ בנקודה $C$ . נתון כי משוואת המעגל היא $(x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 100$ .

תרגיל 1

א. מצאו את שיעורי הנקודה $A$ .

$A($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $A($ 13 $,$ 0 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}(x - 5)^2 + 36 &= 100 \Rightarrow x - 5 \\ &= \pm 8\end{aligned}

$y = 0$

x = 13

החלק החיובי של ציר ה־ $x$

$A(13, 0)$ .

תרגיל 2

ב. מצאו את משוואת המשיק $BC$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 1.3333333333333333 $x +$ 16

הפתרון:

\begin{aligned}B &= 2M - A \\ &= (-3, 12)\end{aligned}

$M$ אמצע הקוטר

\begin{aligned}m_{MB} &= \frac{12 - 6}{-3 - 5} \\ &= -\frac{3}{4} \Rightarrow m \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

משיק מאונך לרדיוס

\begin{aligned}y - 12 &= \frac{4}{3}(x + 3) \Rightarrow y \\ &= \frac{4}{3}x + 16\end{aligned}

המשיק: $y = \frac{4}{3}x + 16$ .

תרגיל 3

ג. מצאו את אורך הצלע $AC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

0 = \frac{4}{3}x + 16 \Rightarrow C(-12, 0)

\begin{aligned}AC &= 13 - (-12) \\ &= 25\end{aligned}

$AC = 25$ .

תרגיל 4

הנקודה $D$ נמצאת על המעגל כך ש־ $AB$ חוצה את הזווית $DAC$ . ד (1). הסבירו מדוע $\angle ADB = 90^\circ$ .

$AB$ קוטר במעגל
$D$ על המעגל

$\angle ADB = 90^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle ADB$ נשענת על הקוטר $AB$ — הקודקוד $D$ על המעגל, והצלעות עוברות דרך קצות הקוטר
$\angle ADB = 90^\circ$ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה

הפתרון:

\angle ADB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על הקוטר $AB$

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה.

תרגיל 5

הנקודה $D$ נמצאת על המעגל כך ש־ $AB$ חוצה את הזווית $DAC$ . ד (2). הוכיחו: $\triangle ABC \sim \triangle ADB$ .

$BC$ משיק למעגל בנקודה $B$ , ו־ $AB$ קוטר
$AB$ חוצה את הזווית $DAC$
$\angle ADB = 90^\circ$ (סעיף ד (1))

$\triangle ABC \sim \triangle ADB$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle ABC = 90^\circ$ — משיק למעגל מאונך לרדיוס (לקוטר) בנקודת ההשקה
$\angle ADB = 90^\circ$ — הוכח בסעיף ד (1)
$\angle BAC = \angle DAB$ — $AB$ חוצה את הזווית $DAC$
$\triangle ABC \sim \triangle ADB$ — משפט הדמיון ז״ז

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ABC &= \angle ADB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

משיק מאונך לקוטר; זווית היקפית על קוטר

\angle BAC = \angle DAB

חוצה זווית

\triangle ABC \sim \triangle ADB \ (\text{ז״ז})

ההתאמה: $A \leftrightarrow A$ , $B \leftrightarrow D$ , $C \leftrightarrow B$

שתי זוויות שוות: הזווית הישרה, וחצי הזווית $DAC$ .

תרגיל 6

הנקודה $D$ נמצאת על המעגל כך ש־ $AB$ חוצה את הזווית $DAC$ . ה. מצאו פי כמה גדול שטח המשולש $ABC$ משטח המשולש $ADB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5625

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 2r \\ &= 20 \\ \quad AC &= 25\end{aligned}

\begin{aligned}k &= \frac{AC}{AB} \\ &= \frac{25}{20} \\ &= 1.25\end{aligned}

היתר $AC$ מתאים ליתר $AB$

\begin{aligned}\frac{S_{ABC}}{S_{ADB}} &= k^2 \\ &= 1.5625\end{aligned}

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון

פי $1.5625 = \frac{25}{16}$ . המלכודת: לענות $1.25$ , יחס הדמיון.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 6 — חקירת פונקציה רציונלית

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 + 1} + 1$ , המוגדרת לכל $x$ .

תרגיל 1

א. מצאו את משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה־ $x$ של הפונקציה $f(x)$ .

$y =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 2

הפתרון:

x \to \pm\infty: \ \frac{x^2 - 9}{x^2 + 1} \to 1

יחס המקדמים המובילים

f(x) \to 1 + 1 = 2

האסימפטוטה: $y = 2$ .

תרגיל 2

ב (1). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה.

$($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 0 $,$ -8 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x^2 + 1) - 2x(x^2 - 9)}{(x^2 + 1)^2} \\ &= \frac{20x}{(x^2 + 1)^2}\end{aligned}

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0; \ x < 0: f' < 0 \\ \ x > 0: f' > 0\end{aligned}

\begin{aligned}f(0) &= -9 + 1 \\ &= -8\end{aligned}

מינימום $(0, -8)$ .

תרגיל 3

ב (2). רשמו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $f(x)$ .

אירידה: $x < 0$ ; עלייה: $x > 0$
בירידה: $-2 < x < 2$ ; עלייה: $x < -2$ או $x > 2$
געלייה: $x < 0$ ; ירידה: $x > 0$
דהפונקציה עולה לכל $x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א ירידה: $x < 0$ ; עלייה: $x > 0$

הפתרון:

f'(x) = \frac{20x}{(x^2 + 1)^2}

סימן הנגזרת הוא סימן $x$

ירידה ב־ $x < 0$ , עלייה ב־ $x > 0$ .

תרגיל 4

ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ . (כתבו משמאל לימין.)

$($ ____ $, 0)$ ו־ $($ ____ $, 0)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ -2 $, 0)$ ו־ $($ 2 $, 0)$

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{x^2 - 9}{x^2 + 1} &= -1 \Rightarrow x^2 - 9 \\ &= -x^2 - 1 \Rightarrow x^2 \\ &= 4\end{aligned}

$(-2, 0)$ ו־ $(2, 0)$ .

תרגיל 5

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את התיאור שמתאים לסקיצה.

אמשמאל הגרף מעל הישר $y = 2$ , יורד עד $(0, -8)$ , ועולה ומתקרב ל־ $y = 2$ מעליו
בהגרף יורד עד $(0, -8)$ ועולה בלי גבול
גהגרף עולה עד מקסימום ב־ $(0, -8)$ ויורד, ומתקרב ל־ $y = 2$
דמשמאל הגרף קרוב לישר $y = 2$ מתחתיו, יורד דרך $(-2, 0)$ עד $(0, -8)$ , עולה דרך $(2, 0)$ ומתקרב שוב ל־ $y = 2$ מתחתיו

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד משמאל הגרף קרוב לישר $y = 2$ מתחתיו, יורד דרך $(-2, 0)$ עד $(0, -8)$ , עולה דרך $(2, 0)$ ומתקרב שוב ל־ $y = 2$ מתחתיו

הפתרון:

f(x) - 2 = \frac{-10}{x^2 + 1} < 0

הגרף כולו מתחת לאסימפטוטה

f(-x) = f(x)

הגרף סימטרי סביב ציר ה־ $y$

גרף סימטרי בצורת "עמק": מינימום $(0, -8)$ , חיתוכים $(\pm 2, 0)$ , ומשני הצדדים מתקרב ל־ $y = 2$ מלמטה.

תרגיל 6

הגרפים I–IV

ה (1). קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . נמקו את קביעתכם.

אגרף IV
בגרף III
גגרף II
דגרף I

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף I

הפתרון:

x < 0: f' < 0; \ x > 0: f' > 0; \ f'(0) = 0

מתחומי הירידה והעלייה

גרף I: שלילי משמאל, מתאפס בראשית, וחיובי מימין. המלכודות: גרף II הוא $-f'$ ; בגרפים III ו־IV הנגזרת מתאפסת מחוץ לראשית.

תרגיל 7

ה (2). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , על ידי ציר ה־ $x$ ועל ידי הישרים $x = 2$ ו־ $x = -2$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

S = -\int_{-2}^{0} f'(x)\,dx + \int_0^2 f'(x)\,dx

הנגזרת שלילית משמאל לראשית

\begin{aligned}-(f(0) - f(-2)) + (f(2) - f(0)) &= 8 + 8 \\ &= 16\end{aligned}

$f(\pm 2) = 0$ , $f(0) = -8$

השטח הוא $16$ . המלכודת: $\int_{-2}^{2} f'(x)\,dx = 0$ — החלקים מתחת לציר נספרים בערכם המוחלט.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 7 — פונקציית שורש

נתונה הפונקציה $f(x) = (3x - 9) \cdot \sqrt{15 - x}$ .

תרגיל 1

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x \le$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x \le$ 15

הפתרון:

15 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 15

תחום ההגדרה: $x \le 15$ .

תרגיל 2

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים. (את נקודות החיתוך עם ציר ה־ $x$ כתבו משמאל לימין.)

עם ציר ה־ $y$ : $(0,$ ____ $)$ ; עם ציר ה־ $x$ : $($ ____ $, 0)$ ו־ $($ ____ $, 0)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: עם ציר ה־ $y$ : $(0,$ -34.857 $)$ ; עם ציר ה־ $x$ : $($ 3 $, 0)$ ו־ $($ 15 $, 0)$

הפתרון:

f(0) = -9\sqrt{15} \approx -34.857

\begin{aligned}3x - 9 &= 0 \ \text{או} \ 15 - x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3 \\ \ x &= 15\end{aligned}

$(0, -9\sqrt{15})$ , $(3, 0)$ ו־ $(15, 0)$ .

תרגיל 3

ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגן.

$($ ____ $,$ ____ $)$ ו־ $($ ____ $,$ ____ $)$ (קודם הנקודה הפנימית, אחר כך נקודת הקצה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 11 $,$ 48 $)$ ו־ $($ 15 $,$ 0 $)$ (קודם הנקודה הפנימית, אחר כך נקודת הקצה)

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 3\sqrt{15 - x} - \frac{3x - 9}{2\sqrt{15 - x}} \\ &= \frac{99 - 9x}{2\sqrt{15 - x}}\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 11; \ x < 11: f' > 0 \\ \ 11 < x < 15: f' < 0\end{aligned}

\begin{aligned}f(11) &= 24 \cdot 2 \\ &= 48 \\ \quad f(15) &= 0\end{aligned}

מקסימום $(11, 48)$ ומינימום קצה $(15, 0)$ . המלכודת: לשכוח את נקודת הקצה — ה«כל» שבשאלה רומז עליה.

תרגיל 4

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את התיאור שמתאים לסקיצה.

אהגרף עולה עד $(11, 48)$ ויורד בלי גבול
בהגרף מתחיל ב־ $(3, 0)$ , עולה עד $(11, 48)$ ויורד אל $(15, 0)$
גהגרף יורד מלמעלה דרך $(3, 0)$ עד מינימום ב־ $x = 11$ , ועולה אל $(15, 0)$
דהגרף עולה מלמטה, דרך $(0, -9\sqrt{15})$ ו־ $(3, 0)$ , עד $(11, 48)$ , ויורד אל $(15, 0)$ , שם הוא נגמר

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הגרף עולה מלמטה, דרך $(0, -9\sqrt{15})$ ו־ $(3, 0)$ , עד $(11, 48)$ , ויורד אל $(15, 0)$ , שם הוא נגמר

הפתרון:

x \to -\infty: f(x) \to -\infty

$3x - 9$ שלילי והשורש גדל

\nearrow (3, 0) \nearrow (11, 48) \searrow (15, 0)

הגרף מגיע מלמטה, חותך את הצירים ב־ $(0, -9\sqrt{15})$ וב־ $(3, 0)$ , מגיע למקסימום ויורד לנקודת הקצה $(15, 0)$ .

תרגיל 5

הגרפים I–IV

נתונה הפונקציה $g(x) = f(x + 6)$ , המוגדרת בתחום $x \le 9$ . ה (1). קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקציה $g(x)$ . נמקו את קביעתכם.

אגרף I
בגרף II
גגרף III
דגרף IV

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גרף III

הפתרון:

g(x) = f(x + 6): \text{ הזזה של } 6 \text{ שמאלה}

\begin{aligned}g(0) &= f(6) \\ &= 9 \cdot 3 \\ &= 27 > 0\end{aligned}

הגרף חותך את ציר ה־ $y$ מעל הראשית

\begin{aligned}\text{אפסים: } x &= -3 \\ \ x &= 9; \ \max \text{ ב־} x \\ &= 5\end{aligned}

גרף III: חותך את ציר ה־ $x$ משמאל לראשית ונגמר ב־ $x = 9$ . המלכודות: גרף I הוא $f$ עצמה; גרפים II ו־IV הפוכים בסימן.

תרגיל 6

נתונה הפונקציה $g(x) = f(x + 6)$ , המוגדרת בתחום $x \le 9$ . ה (2). מה הם שיעורי נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה $g(x)$ ?

$($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 5 $,$ 48 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}x + 6 &= 11 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

ההזזה משנה את שיעור ה־ $x$ בלבד

\begin{aligned}g(5) &= f(11) \\ &= 48\end{aligned}

$(5, 48)$ , מקסימום. המלכודת: $(17, 48)$ — הזזה לכיוון ההפוך.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 8 — משיק ובעיית קיצון

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x) = \frac{a}{x - 2}$ , המוגדרת בתחום $x \neq 2$ .‏ $a$ הוא פרמטר שונה מ־ $0$ . הנקודה $A$ היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $y$ . דרך הנקודה $A$ העבירו משיק לגרף הפונקציה $f(x)$ . נתון כי שיפוע המשיק הוא $-1.5$ .

תרגיל 1

א. מצאו את הערך של $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

f'(x) = -\frac{a}{(x - 2)^2}

\begin{aligned}f'(0) &= -\frac{a}{4} \\ &= -1.5 \Rightarrow a \\ &= 6\end{aligned}

שיפוע המשיק ב־ $A$ , שבה $x = 0$

$a = 6$ .

תרגיל 2

הציבו $a = 6$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ב–ג. ב. מצאו את משוואת המשיק.

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -1.5 $x +$ -3

הפתרון:

\begin{aligned}A &= (0, f(0)) \\ &= \left(0, \frac{6}{-2}\right) \\ &= (0, -3)\end{aligned}

y = -1.5x - 3

המשיק: $y = -1.5x - 3$ .

תרגיל 3

הציבו $a = 6$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ב–ג. הנקודה $B$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ , בתחום $x > 2$ . הנקודה $C$ נמצאת על המשיק כך שהקטע $BC$ מקביל לציר ה־ $y$ . נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $B$ . ג (1). הביעו באמצעות $t$ את אורך הקטע $BC$ .

א $\frac{6}{t - 2} + 1.5t - 3$
ב $\frac{6}{t - 2} - 1.5t - 3$
ג $\frac{6}{t - 2} + 1.5t + 3$
ד $1.5t + 3 - \frac{6}{t - 2}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $\frac{6}{t - 2} + 1.5t + 3$

הפתרון:

B\left(t, \frac{6}{t - 2}\right), \quad C(t, -1.5t - 3)

\begin{aligned}BC &= \frac{6}{t - 2} - (-1.5t - 3) \\ &= \frac{6}{t - 2} + 1.5t + 3\end{aligned}

$B$ מעל $C$ : מחסרים את שיעור ה־ $y$ של $C$

$BC = \frac{6}{t - 2} + 1.5t + 3$ . המלכודת: לשכוח שה־ $y$ של $C$ שלילי.

תרגיל 4

הציבו $a = 6$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ב–ג. הנקודה $B$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ , בתחום $x > 2$ . הנקודה $C$ נמצאת על המשיק כך שהקטע $BC$ מקביל לציר ה־ $y$ . נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $B$ . ג (2). מצאו את הערך של $t$ שבעבורו אורך הקטע $BC$ הוא מינימלי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}L'(t) &= -\frac{6}{(t - 2)^2} + 1.5 \\ &= 0 \Rightarrow (t - 2)^2 \\ &= 4\end{aligned}

t = 4

$t > 2$

2 < t < 4: L' < 0; \ t > 4: L' > 0

מינימום

$t = 4$ , ואורך הקטע $BC$ אז $3 + 6 + 3 = 12$ .

לפתור את השאלה באתר

מבנה הבחינה

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — התפלגות נורמלית: קפיצה לרוחק וקפיצה לגובה

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 2 — מתאם ורגרסיה: שטח הדירה ומחירה

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

שאלה 3 — הסתברות: התנדבות בשכבת י״א

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 4 — משולש ישר זווית במערכת צירים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 5 — מעגל, משיק ודמיון

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 6 — חקירת פונקציה רציונלית

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

שאלה 7 — פונקציית שורש

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 8 — משיק ובעיית קיצון

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

לפתור את הבחינה כמו ביום הבגרות