בגרות במתמטיקה 35471 קיץ 2026

שאלה 1 — התפלגות נורמלית: משתלת «עץ ופרח»

במשתלת "עץ ופרח" מגדלים צמחים מסוגים שונים. בשנה מסוימת, אורכי הגבעולים של הצמחים במשתלה התפלגו נורמלית, והאורך הממוצע של הגבעולים היה $64$ ס״מ. צמחים שאורך הגבעול שלהם קטן מ־ $55$ ס״מ נמכרים לחנויות מקומיות. נתון כי בשנה זו $32.6\%$ מן הצמחים במשתלה נמכרו לחנויות מקומיות.

תרגיל 1

א. מצאו את סטיית התקן של אורכי הגבעולים בשנה זו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

\begin{aligned}P(X < 55) &= 0.326 \Rightarrow \Phi(z) \\ &= 0.326\end{aligned}

השטח משמאל ל־ $55$ הוא אחוז הצמחים שנמכרו לחנויות

\begin{aligned}\Phi(-0.45) &= 1 - 0.6736 \\ &= 0.3264 \Rightarrow z \\ &= -0.45\end{aligned}

בטבלה: $\Phi(0.45) = 0.6736$ ; $55$ קטן מן הממוצע, לכן $z$ שלילי

\begin{aligned}\frac{55 - 64}{\sigma} &= -0.45 \Rightarrow \sigma \\ &= \frac{9}{0.45} \\ &= 20\end{aligned}

ציון התקן

סטיית התקן היא $20$ ס״מ. המלכודת: לקחת $z = 0.45$ חיובי ולקבל $\sigma$ שלילית — $55$ נמצא משמאל לממוצע.

תרגיל 2

צמחים שאורך הגבעול שלהם גדול מ־ $80$ ס״מ נשלחים לייצוא. בשנה זו, $9{,}540$ מן הצמחים במשתלה נשלחו לייצוא. ב (1). מצאו את אחוז הצמחים במשתלה שנשלחו לייצוא.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 21.19

הפתרון:

\begin{aligned}z &= \frac{80 - 64}{20} \\ &= 0.8\end{aligned}

ציון התקן של $80$ , עם $\sigma = 20$ מסעיף א

\begin{aligned}P(X > 80) &= 1 - \Phi(0.8) \\ &= 1 - 0.7881 \\ &= 0.2119\end{aligned}

הטבלה נותנת את השטח משמאל; הייצוא הוא מימין

$21.19\%$ מן הצמחים נשלחו לייצוא. המלכודת: לענות $78.81\%$ , השטח משמאל ל־ $80$ .

תרגיל 3

צמחים שאורך הגבעול שלהם גדול מ־ $80$ ס״מ נשלחים לייצוא. בשנה זו, $9{,}540$ מן הצמחים במשתלה נשלחו לייצוא. ב (2). על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה צמחים לא נשלחו לייצוא ולא נמכרו לחנויות מקומיות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20786

הפתרון:

N = \frac{9540}{0.2119} \approx 45{,}021

מספר הצמחים במשתלה: $9{,}540$ הם $21.19\%$ מכולם

\begin{aligned}P(55 < X < 80) &= \Phi(0.8) - \Phi(-0.45) \\ &= 0.7881 - 0.3264 \\ &= 0.4617\end{aligned}

הצמחים שבין שני הגבולות

0.4617 \cdot 45{,}021 \approx 20{,}786

בערך $20{,}786$ צמחים (תוצאה קרובה, כמו $20{,}790$ , מתקבלת כשמקרבים את ערכי הביניים). המלכודת: לחשב את האחוז ולשכוח שהשאלה שואלת כמה צמחים — צריך קודם את מספר הצמחים במשתלה.

תרגיל 4

בשנה שלאחר מכן, אורכי הגבעולים של הצמחים במשתלה התפלגו נורמלית, וסטיית התקן הייתה $25$ ס״מ. גם בשנה זו צמחים שאורך הגבעול שלהם קטן מ־ $55$ ס״מ נמכרו לחנויות מקומיות. בשנה זו גידלו במשתלה $40{,}000$ צמחים סך הכול. $4{,}000$ מן הצמחים נמכרו לחנויות מקומיות. ג. מצאו את האורך הממוצע של גבעולי הצמחים בשנה זו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 87

הפתרון:

\begin{aligned}P(X < 55) &= \frac{4000}{40{,}000} \\ &= 0.1\end{aligned}

אחוז הצמחים שנמכרו לחנויות

\Phi(z) = 0.1 \Rightarrow z \approx -1.28

בטבלה: $\Phi(1.28) \approx 0.9$

\begin{aligned}\frac{55 - \mu}{25} &= -1.28 \Rightarrow \mu \\ &= 55 + 32 \\ &= 87\end{aligned}

האורך הממוצע הוא $87$ ס״מ. המלכודת: לפתור $\frac{55 - \mu}{25} = 1.28$ ולקבל ממוצע קטן מ־ $55$ — אבל רק $10\%$ מן הצמחים קצרים מ־ $55$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 2 — מתאם ורגרסיה: הוצאות על פרסום והכנסות

בחברת שיווק בדקו את הקשר בין ההוצאות על פרסום (המשתנה $x$ ) ובין ההכנסות (המשתנה $y$ ) של $5$ חברות א׳–ה׳ בחודש מסוים. הנתונים מוצגים בטבלה שלפניכם.

החברה	ההוצאות על פרסום (באלפי שקלים), המשתנה x	ההכנסות (באלפי שקלים), המשתנה y
א׳	10	16
ב׳	15	17
ג׳	20	20
ד׳	25	34
ה׳	30	68

תרגיל 1

א (1). חשבו את ממוצע ההוצאות על פרסום של $5$ החברות בחודש זה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{10 + 15 + 20 + 25 + 30}{5} \\ &= \frac{100}{5} \\ &= 20\end{aligned}

ממוצע ההוצאות הוא $20$ אלף שקלים.

תרגיל 2

א (2). חשבו את סטיית התקן של ההוצאות על פרסום של $5$ החברות בחודש זה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.071

הפתרון:

x - \bar{x}: \ -10, \ -5, \ 0, \ 5, \ 10

הסטיות מן הממוצע

\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{100 + 25 + 0 + 25 + 100}{5}} \\ &= \sqrt{50} \\ &= 5\sqrt{2} \approx 7.07\end{aligned}

מחלקים במספר החברות, $5$

סטיית התקן היא $\sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7.07$ אלף שקלים. המלכודת: לחלק ב־ $4$ במקום ב־ $5$ .

תרגיל 3

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של $5$ החברות בחודש זה היה $31$ אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה $8\sqrt{6}$ אלף שקלים. ב. מצאו את מקדם המתאם $r$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.873

הפתרון:

y - \bar{y}: \ -15, \ -14, \ -11, \ 3, \ 37

הסטיות של ההכנסות מן הממוצע $31$

\begin{aligned}\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) &= 150 + 70 + 0 + 15 + 370 \\ &= 605\end{aligned}

\begin{aligned}r &= \frac{605}{5 \cdot \sqrt{50} \cdot 8\sqrt{6}} \\ &= \frac{121}{\sqrt{19200}} \approx 0.873\end{aligned}

$r = \frac{\text{cov}}{S_x S_y}$ , ו־ $\text{cov} = \frac{605}{5} = 121$

$r \approx 0.873$ — מתאם חיובי חזק. המלכודת: לשכוח לחלק את סכום המכפלות ב־ $5$ ולקבל $r > 1$ .

תרגיל 4

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של $5$ החברות בחודש זה היה $31$ אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה $8\sqrt{6}$ אלף שקלים. ג (1). מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי $y$ על פי $x$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 2.42 $x +$ -17.4

הפתרון:

\begin{aligned}b &= \frac{\text{cov}}{S_x^2} \\ &= \frac{121}{50} \\ &= 2.42\end{aligned}

השיפוע; זה גם $r \cdot \frac{S_y}{S_x}$

y - 31 = 2.42(x - 20)

הישר עובר בנקודת הממוצעים $(20, 31)$

y = 2.42x - 17.4

ישר הרגרסיה: $y = 2.42x - 17.4$ . המלכודת: לחשב שיפוע $\frac{S_y}{S_x}$ בלי $r$ .

תרגיל 5

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של $5$ החברות בחודש זה היה $31$ אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה $8\sqrt{6}$ אלף שקלים. ג (2). על פי ישר הרגרסיה, מהו הניבוי להכנסות החודשיות בחברה שההוצאות החודשיות שלה על פרסום הן $24$ אלף שקלים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40.68

הפתרון:

\begin{aligned}y &= 2.42 \cdot 24 - 17.4 \\ &= 58.08 - 17.4 \\ &= 40.68\end{aligned}

הניבוי: $40.68$ אלף שקלים, כלומר $40{,}680$ שקלים.

תרגיל 6

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של $5$ החברות בחודש זה היה $31$ אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה $8\sqrt{6}$ אלף שקלים. בחודש שלאחר מכן גדלו ההכנסות של כל אחת מן החברות ב־ $15\%$ (ההוצאות על פרסום של כל אחת מן החברות לא השתנו). ד. לפניכם שלושה היגדים I–III. קבעו עבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם. I. בחודש שבו גדלו ההכנסות הייתה סטיית התקן של ההכנסות $10\sqrt{6}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}y' &= 1.15y \Rightarrow S_{y'} \\ &= 1.15 \cdot 8\sqrt{6} \\ &= 9.2\sqrt{6}\end{aligned}

כפל כל הנתונים במספר כופל את סטיית התקן באותו מספר

9.2\sqrt{6} \neq 10\sqrt{6}

ההיגד לא נכון: סטיית התקן החדשה היא $9.2\sqrt{6}$ . המלכודת: להוסיף $15\%$ לפי $8 + 2 = 10$ — הגדלה ב־ $15\%$ היא כפל ב־ $1.15$ .

תרגיל 7

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של $5$ החברות בחודש זה היה $31$ אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה $8\sqrt{6}$ אלף שקלים. בחודש שלאחר מכן גדלו ההכנסות של כל אחת מן החברות ב־ $15\%$ (ההוצאות על פרסום של כל אחת מן החברות לא השתנו). ד. לפניכם שלושה היגדים I–III. קבעו עבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם. II. בחודש שבו גדלו ההכנסות, שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי $y$ על פי $x$ – לא השתנה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\text{cov}' &= 1.15 \cdot \text{cov} \Rightarrow b' \\ &= \frac{1.15 \cdot 121}{50} \\ &= 2.783\end{aligned}

השונות המשותפת גדלה פי $1.15$ , ו־ $S_x$ לא השתנתה

ההיגד לא נכון: השיפוע גדל פי $1.15$ , ל־ $2.783$ . מקדם המתאם $r$ הוא שלא השתנה — לא השיפוע.

תרגיל 8

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של $5$ החברות בחודש זה היה $31$ אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה $8\sqrt{6}$ אלף שקלים. בחודש שלאחר מכן גדלו ההכנסות של כל אחת מן החברות ב־ $15\%$ (ההוצאות על פרסום של כל אחת מן החברות לא השתנו). ד. לפניכם שלושה היגדים I–III. קבעו עבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם. III. הנקודה $(20, 35.65)$ נמצאת על ישר הרגרסיה לניבוי $y$ על פי $x$ בחודש שבו גדלו ההכנסות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x}' &= 20 \\ \quad \bar{y}' &= 1.15 \cdot 31 \\ &= 35.65\end{aligned}

הממוצעים בחודש החדש

(\bar{x}', \bar{y}') = (20, 35.65)

ישר הרגרסיה עובר תמיד בנקודת הממוצעים

ההיגד נכון: $(20, 35.65)$ היא נקודת הממוצעים של החודש החדש.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 3 — הסתברות: פלפלים במשק חקלאי

במשק חקלאי מסוים מגדלים שני סוגים של פלפלים: פלפלים גדולים ופלפלים קטנים. מספר הפלפלים הגדולים גדול פי $4$ ממספר הפלפלים הקטנים. בוחרים באקראי פלפל אחד מבין כל הפלפלים במשק החקלאי.

תרגיל 1

א. מהי ההסתברות שהפלפל שנבחר הוא פלפל קטן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2

הפתרון:

\begin{aligned}k + 4k &= 5k \Rightarrow P(\text{קטן}) \\ &= \frac{k}{5k} \\ &= 0.2\end{aligned}

נסמן ב־ $k$ את מספר הפלפלים הקטנים

ההסתברות היא $0.2$ . המלכודת: $\frac{1}{4}$ — היחס בין הקטנים לגדולים, לא החלק של הקטנים מכל הפלפלים.

תרגיל 2

הפלפלים הגדולים במשק החקלאי הם אדומים או צהובים, והפלפלים הקטנים הם אדומים או ירוקים. $0.6$ מן הפלפלים הגדולים הם אדומים. $0.75$ מן הפלפלים הקטנים הם אדומים. בוחרים באקראי פלפל אחד מבין כל הפלפלים במשק החקלאי. ב. מהי ההסתברות שהפלפל שנבחר הוא פלפל גדול צהוב?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.32

הפתרון:

\begin{aligned}P(\text{גדול}) &= 0.8 \\ \quad P(\text{צהוב} \mid \text{גדול}) &= 1 - 0.6 \\ &= 0.4\end{aligned}

הגדולים שאינם אדומים הם צהובים

0.8 \cdot 0.4 = 0.32

ההסתברות היא $0.32$ . המלכודת: לענות $0.4$ , ההסתברות לצהוב מבין הגדולים בלבד.

תרגיל 3

הפלפלים הגדולים במשק החקלאי הם אדומים או צהובים, והפלפלים הקטנים הם אדומים או ירוקים. $0.6$ מן הפלפלים הגדולים הם אדומים. $0.75$ מן הפלפלים הקטנים הם אדומים. בוחרים באקראי פלפל אחד מבין כל הפלפלים במשק החקלאי. ג (1). מהי ההסתברות שהפלפל שנבחר הוא פלפל אדום?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.63

הפתרון:

\begin{aligned}0.8 \cdot 0.6 + 0.2 \cdot 0.75 &= 0.48 + 0.15 \\ &= 0.63\end{aligned}

אדום גדול או אדום קטן

ההסתברות היא $0.63$ .

תרגיל 4

הפלפלים הגדולים במשק החקלאי הם אדומים או צהובים, והפלפלים הקטנים הם אדומים או ירוקים. $0.6$ מן הפלפלים הגדולים הם אדומים. $0.75$ מן הפלפלים הקטנים הם אדומים. בוחרים באקראי פלפל אחד מבין כל הפלפלים במשק החקלאי. ג (2). ידוע שנבחר פלפל אדום. מהי ההסתברות שפלפל זה הוא פלפל גדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.7619

הפתרון:

\begin{aligned}P(\text{גדול} \mid \text{אדום}) &= \frac{0.48}{0.63} \\ &= \frac{16}{21} \approx 0.762\end{aligned}

הסתברות מותנית

ההסתברות היא $\frac{16}{21} \approx 0.762$ . המלכודת: $0.6$ — זו ההסתברות לאדום בהינתן גדול, ההפך.

תרגיל 5

הפלפלים הגדולים במשק החקלאי הם אדומים או צהובים, והפלפלים הקטנים הם אדומים או ירוקים. $0.6$ מן הפלפלים הגדולים הם אדומים. $0.75$ מן הפלפלים הקטנים הם אדומים. בוחרים באקראי פלפל אחד מבין כל הפלפלים במשק החקלאי. כל הפלפלים במשק החקלאי נשלחים לשני בתי אריזה א׳ ו־ב׳. לבית אריזה א׳ נשלחים כל הפלפלים האדומים, ולבית אריזה ב׳ נשלחים כל הפלפלים הצהובים וכל הפלפלים הירוקים. ד. האם אחוז הפלפלים הגדולים בבית אריזה א׳ גדול או קטן מאחוז הפלפלים הגדולים בבית אריזה ב׳? נמקו את תשובתכם.

אגדול: בבית אריזה א׳ כ־ $76.2\%$ מן הפלפלים גדולים, ובבית אריזה ב׳ כ־ $32\%$
בגדול: בבית אריזה א׳ $60\%$ מן הפלפלים גדולים, ובבית אריזה ב׳ $40\%$
גקטן: בבית אריזה א׳ כ־ $76.2\%$ מן הפלפלים גדולים, ובבית אריזה ב׳ כ־ $86.5\%$
דהאחוזים שווים: בשני בתי האריזה $80\%$ מן הפלפלים גדולים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג קטן: בבית אריזה א׳ כ־ $76.2\%$ מן הפלפלים גדולים, ובבית אריזה ב׳ כ־ $86.5\%$

הפתרון:

\text{א׳}: \ \frac{0.48}{0.63} = \frac{16}{21} \approx 0.762

בבית אריזה א׳ כל האדומים; החלק הגדול מהם — סעיף ג (2)

\begin{aligned}\text{ב׳}: \ P(\text{צהוב}) + P(\text{ירוק}) &= 0.32 + 0.2 \cdot 0.25 \\ &= 0.37\end{aligned}

הצהובים כולם גדולים, הירוקים כולם קטנים

\frac{0.32}{0.37} = \frac{32}{37} \approx 0.865 > 0.762

אחוז הגדולים בבית אריזה א׳ קטן מאחוזם בבית אריזה ב׳. המלכודת: להשוות $0.32$ — ההסתברות לגדול צהוב מכל הפלפלים — במקום החלק של הגדולים בתוך בית האריזה.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 4 — משולש שווה שוקיים במערכת צירים

בסרטוט שלפניכם משולש שווה שוקיים $ABC$ $(AB = AC)$ . הקודקוד $B$ נמצא על החלק השלילי של ציר ה־ $x$ . הנקודה $D$ נמצאת על ציר ה־ $x$ כך ש־ $CD$ מאונך ל־ $AC$ . נתון כי הנקודה $E(4, 15)$ היא אמצע הצלע $AC$ , וכי משוואת הישר $CD$ היא $y = -2x + 38$ .

תרגיל 1

א (1). מצאו את משוואת הישר $AC$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 0.5 $x +$ 13

הפתרון:

\begin{aligned}m_{CD} &= -2 \Rightarrow m_{AC} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים $-1$

\begin{aligned}y - 15 &= \frac{1}{2}(x - 4) \Rightarrow y \\ &= \frac{1}{2}x + 13\end{aligned}

הישר עובר ב־ $E$ , אמצע $AC$

הישר $AC$ : $y = \frac{1}{2}x + 13$ . המלכודת: שיפוע $2$ — ההופכי בלי החלפת הסימן.

תרגיל 2

א (2). מצאו את שיעורי הקודקוד $C$ .

$C($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $C($ 10 $,$ 18 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{1}{2}x + 13 &= -2x + 38 \Rightarrow \frac{5}{2}x \\ &= 25 \Rightarrow x \\ &= 10\end{aligned}

$C$ הוא נקודת החיתוך של $AC$ ו־ $CD$

\begin{aligned}y &= -2 \cdot 10 + 38 \\ &= 18\end{aligned}

$C(10, 18)$ .

תרגיל 3

ב (1). מצאו את אורך הצלע $AB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13.416

הפתרון:

\begin{aligned}A &= (2 \cdot 4 - 10, \ 2 \cdot 15 - 18) \\ &= (-2, 12)\end{aligned}

$E$ אמצע $AC$

\begin{aligned}AC &= \sqrt{12^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{180} \\ &= 6\sqrt{5}\end{aligned}

מרחק בין שתי נקודות

\begin{aligned}AB &= AC \\ &= 6\sqrt{5} \approx 13.42\end{aligned}

המשולש שווה שוקיים

$AB = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \approx 13.42$ .

תרגיל 4

ב (2). מצאו את שיעורי הקודקוד $B$ .

$B($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $B($ -8 $,$ 0 $)$

הפתרון:

B(x, 0): \ (x + 2)^2 + 12^2 = 180

$B$ על ציר ה־ $x$ ו־ $AB^2 = 180$

\begin{aligned}(x + 2)^2 &= 36 \Rightarrow x \\ &= 4 \ \text{או} \ x \\ &= -8\end{aligned}

x = -8

$B$ על החלק השלילי של ציר ה־ $x$

$B(-8, 0)$ . המלכודת: לקחת $x = 4$ , הפתרון שעל החלק החיובי.

תרגיל 5

ג. מצאו את גודל הזווית $ABD$ ואת גודל הזווית $CBD$ .

$\angle ABD =$ ____ $^\circ$ , $\angle CBD =$ ____ $^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\angle ABD =$ 63.43 $^\circ$ , $\angle CBD =$ 45 $^\circ$

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{12 - 0}{-2 + 8} \\ &= 2 \Rightarrow \tan \angle ABD \\ &= 2 \Rightarrow \angle ABD \approx 63.43^\circ\end{aligned}

הזווית בין הישר לכיוון החיובי של ציר ה־ $x$

\begin{aligned}m_{BC} &= \frac{18 - 0}{10 + 8} \\ &= 1 \Rightarrow \angle CBD \\ &= 45^\circ\end{aligned}

$\angle ABD \approx 63.43^\circ$ ו־ $\angle CBD = 45^\circ$ . בדיקה: $\angle ABC = 63.43^\circ - 45^\circ = 18.43^\circ$ , וזו זווית בסיס של משולש שווה שוקיים.

תרגיל 6

ד. חשבו את שטח המשולש $ABC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 54

הפתרון:

\begin{aligned}M &= \left(\frac{-8 + 10}{2}, \frac{0 + 18}{2}\right) \\ &= (1, 9)\end{aligned}

השוקיים הן $AB$ ו־ $AC$ , הבסיס $BC$ ; $M$ אמצע הבסיס

\begin{aligned}AM &= \sqrt{3^2 + 3^2} \\ &= 3\sqrt{2} \\ \quad BC &= \sqrt{18^2 + 18^2} \\ &= 18\sqrt{2}\end{aligned}

במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם הגובה

\begin{aligned}S &= \frac{BC \cdot AM}{2} \\ &= \frac{18\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}}{2} \\ &= 54\end{aligned}

שטח המשולש הוא $54$ . המלכודת: לקחת את $AC$ כבסיס ואת $BE$ כגובה — $E$ הוא אמצע שוק, ו־ $BE$ אינו מאונך ל־ $AC$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 5 — משולש חסום במעגל ומשיק

בסרטוט שלפניכם משולש $ABC$ החסום במעגל. הצלע $CB$ היא קוטר במעגל. הצלע $AB$ מקבילה לציר ה־ $y$ . המשך הצלע $CB$ חותך את ציר ה־ $x$ בנקודה $D$ . דרך הנקודה $C$ העבירו משיק למעגל, החותך את ציר ה־ $x$ בנקודה $F$ .

תרגיל 1

א (1). הסבירו מדוע הצלע $AC$ מקבילה לציר ה־ $x$ .

$CB$ קוטר במעגל
$AB$ מקבילה לציר ה־ $y$

$AC$ מקבילה לציר ה־ $x$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle CAB = 90^\circ$ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
$AC \perp AB$ — הזווית בין הצלעות היא $90^\circ$
$AC$ מקבילה לציר ה־ $x$ — ישר המאונך לישר המקביל לציר ה־ $y$ מקביל לציר ה־ $x$

הפתרון:

\angle CAB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על הקוטר $CB$

AC \perp AB, \ AB \parallel \text{ציר } y

AC \parallel \text{ציר } x

הזווית ההיקפית $\angle CAB$ נשענת על הקוטר, ולכן $AC \perp AB$ ; ו־ $AB$ אנכית, לכן $AC$ אופקית.

תרגיל 2

א (2). הוכיחו כי $\triangle ABC \sim \triangle CFD$ .

$CB$ קוטר, $CF$ משיק למעגל בנקודה $C$
$D$ על המשך $CB$ , ו־ $F$ , $D$ על ציר ה־ $x$
$AC$ מקבילה לציר ה־ $x$ (סעיף א (1))

$\triangle ABC \sim \triangle CFD$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle CAB = 90^\circ$ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
$\angle FCD = 90^\circ$ — משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ו־ $CD$ מונח על הקוטר
$\angle ACB = \angle CDF$ — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים ( $AC$ וציר ה־ $x$ )
$\triangle ABC \sim \triangle CFD$ — משפט הדמיון ז״ז

הפתרון:

\begin{aligned}\angle CAB &= \angle FCD \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זווית היקפית על קוטר; משיק מאונך לרדיוס

\angle ACB = \angle CDF

מתחלפות, $AC \parallel FD$

\triangle ABC \sim \triangle CFD \ (\text{ז״ז})

ההתאמה: $A \leftrightarrow C$ , $B \leftrightarrow F$ , $C \leftrightarrow D$

שתי זוויות שוות: הזווית הישרה, והזווית המתחלפת. המלכודת: התאמת הקודקודים — $A$ מתאים ל־ $C$ , כי שם הזוויות הישרות.

תרגיל 3

נתון כי $D(8, 0)$ , וכי משוואת המשיק $CF$ היא $y = \frac{4}{3}x + 31$ . ב. מצאו את אורך הצלע $FD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 31.25

הפתרון:

\begin{aligned}0 &= \frac{4}{3}x + 31 \Rightarrow x \\ &= -\frac{93}{4} \\ &= -23.25\end{aligned}

$F$ על ציר ה־ $x$

\begin{aligned}FD &= 8 - (-23.25) \\ &= 31.25\end{aligned}

שתי הנקודות על ציר ה־ $x$

$FD = 31.25$ .

תרגיל 4

נתון כי $D(8, 0)$ , וכי משוואת המשיק $CF$ היא $y = \frac{4}{3}x + 31$ . ג (1). מצאו את משוואת הצלע $CD$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -0.75 $x +$ 6

הפתרון:

\begin{aligned}m_{CF} &= \frac{4}{3} \Rightarrow m_{CD} \\ &= -\frac{3}{4}\end{aligned}

$CD \perp CF$ : הקוטר מאונך למשיק

\begin{aligned}y - 0 &= -\frac{3}{4}(x - 8) \Rightarrow y \\ &= -\frac{3}{4}x + 6\end{aligned}

הישר עובר ב־ $D(8, 0)$

$CD$ : $y = -\frac{3}{4}x + 6$ .

תרגיל 5

נתון כי $D(8, 0)$ , וכי משוואת המשיק $CF$ היא $y = \frac{4}{3}x + 31$ . ג (2). מצאו את אורך הצלע $CD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{4}{3}x + 31 &= -\frac{3}{4}x + 6 \Rightarrow \frac{25}{12}x \\ &= -25 \Rightarrow x \\ &= -12\end{aligned}

$C$ : חיתוך המשיק והישר $CD$

C(-12, 15)

\begin{aligned}CD &= \sqrt{20^2 + 15^2} \\ &= 25\end{aligned}

$CD = 25$ .

תרגיל 6

נתון כי $D(8, 0)$ , וכי משוואת המשיק $CF$ היא $y = \frac{4}{3}x + 31$ . נתון כי יחס הדמיון בין המשולש $ABC$ ובין המשולש $CFD$ הוא $\frac{8}{25}$ . ד. חשבו את היקף המשולש $ABC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

\begin{aligned}CF &= \sqrt{(-12 + 23.25)^2 + 15^2} \\ &= \sqrt{351.5625} \\ &= 18.75\end{aligned}

\begin{aligned}P_{CFD} &= 18.75 + 31.25 + 25 \\ &= 75\end{aligned}

\begin{aligned}P_{ABC} &= \frac{8}{25} \cdot 75 \\ &= 24\end{aligned}

יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון

היקף המשולש $ABC$ הוא $24$ (הצלעות $6$ , $8$ , $10$ ). המלכודת: להכפיל ב־ $\left(\frac{8}{25}\right)^2$ — זה יחס השטחים.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 6 — חקירת פונקציה רציונלית

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{72 - 18x}{x^2 + 9} - 1$ , המוגדרת לכל $x$ .

תרגיל 1

א. מצאו את משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה־ $x$ של הפונקציה $f(x)$ .

$y =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -1

הפתרון:

x \to \pm\infty: \ \frac{72 - 18x}{x^2 + 9} \to 0

מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה

f(x) \to -1

האסימפטוטה: $y = -1$ . המלכודת: $y = 0$ — שוכחים את ה־ $-1$ שמחוץ לשבר.

תרגיל 2

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים. (את נקודות החיתוך עם ציר ה־ $x$ כתבו משמאל לימין.)

עם ציר ה־ $y$ : $(0,$ ____ $)$ ; עם ציר ה־ $x$ : $($ ____ $, 0)$ ו־ $($ ____ $, 0)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: עם ציר ה־ $y$ : $(0,$ 7 $)$ ; עם ציר ה־ $x$ : $($ -21 $, 0)$ ו־ $($ 3 $, 0)$

הפתרון:

\begin{aligned}f(0) &= \frac{72}{9} - 1 \\ &= 7\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{72 - 18x}{x^2 + 9} &= 1 \Rightarrow x^2 + 18x - 63 \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}(x + 21)(x - 3) &= 0 \Rightarrow x \\ &= -21 \\ \ x &= 3\end{aligned}

$(0, 7)$ , $(-21, 0)$ ו־ $(3, 0)$ .

תרגיל 3

ג (1). מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגן.

$($ ____ $,$ ____ $)$ ו־ $($ ____ $,$ ____ $)$ (משמאל לימין)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ -1 $,$ 8 $)$ ו־ $($ 9 $,$ -2 $)$ (משמאל לימין)

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-18(x^2 + 9) - 2x(72 - 18x)}{(x^2 + 9)^2} \\ &= \frac{18(x^2 - 8x - 9)}{(x^2 + 9)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}x^2 - 8x - 9 &= (x - 9)(x + 1) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1 \\ \ x &= 9\end{aligned}

x < -1: f' > 0; \ -1 < x < 9: f' < 0; \ x > 9: f' > 0

טבלת סימנים

\begin{aligned}f(-1) &= \frac{90}{10} - 1 \\ &= 8 \\ \quad f(9) &= \frac{-90}{90} - 1 \\ &= -2\end{aligned}

מקסימום $(-1, 8)$ ומינימום $(9, -2)$ . המלכודת: סימן במונה — $-18x \cdot 2x$ עם המינוס שלפני המכפלה נותן $+36x^2$ .

תרגיל 4

ג (2). מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $f(x)$ .

אעלייה: $-1 < x < 9$ ; ירידה: $x < -1$ או $x > 9$
בעלייה: $x < -1$ או $x > 9$ ; ירידה: $-1 < x < 9$
געלייה: $x > -1$ ; ירידה: $x < -1$
דעלייה: $x < -21$ או $x > 3$ ; ירידה: $-21 < x < 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב עלייה: $x < -1$ או $x > 9$ ; ירידה: $-1 < x < 9$

הפתרון:

f'(x) = \frac{18(x - 9)(x + 1)}{(x^2 + 9)^2}

המכנה חיובי תמיד

f' > 0 \Leftrightarrow x < -1 \ \text{או} \ x > 9

עלייה ב־ $x < -1$ וב־ $x > 9$ , ירידה ב־ $-1 < x < 9$ . המלכודת: לקחת את נקודות החיתוך עם ציר ה־ $x$ ( $-21$ ו־ $3$ ) כגבולות התחומים.

תרגיל 5

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את התיאור שמתאים לסקיצה.

אמשמאל הגרף קרוב לישר $y = -1$ מעליו, חותך את ציר ה־ $x$ ב־ $-21$ , עולה עד $(-1, 8)$ , יורד דרך $(0, 7)$ ו־ $(3, 0)$ עד $(9, -2)$ , ואז עולה ומתקרב ל־ $y = -1$ מתחתיו
בהגרף עולה עד $(-1, 8)$ , יורד עד $(9, -2)$ , ואחר כך ממשיך לרדת בלי אסימפטוטה
גהגרף כולו מעל ציר ה־ $x$ , עם מקסימום $(-1, 8)$ ומינימום $(9, -2)$
דמשמאל הגרף קרוב לישר $y = -1$ מתחתיו, יורד עד $(-1, 8)$ , עולה עד $(9, -2)$ , ואז יורד ומתקרב ל־ $y = -1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א משמאל הגרף קרוב לישר $y = -1$ מעליו, חותך את ציר ה־ $x$ ב־ $-21$ , עולה עד $(-1, 8)$ , יורד דרך $(0, 7)$ ו־ $(3, 0)$ עד $(9, -2)$ , ואז עולה ומתקרב ל־ $y = -1$ מתחתיו

הפתרון:

x < -21: \ -1 < f(x) < 0

כש־ $x < 4$ המונה $72 - 18x$ חיובי, ולכן $f(x) > -1$

x > 4: \ f(x) < -1

המונה שלילי: אחרי המינימום הגרף מתקרב לאסימפטוטה מלמטה

(-21, 0) \nearrow (-1, 8) \searrow (0, 7), (3, 0), (9, -2) \nearrow y \to -1

סדר הנקודות על הגרף

הסקיצה: אסימפטוטה $y = -1$ בשני הצדדים — מעליה משמאל, מתחתיה מימין; מקסימום $(-1, 8)$ , מינימום $(9, -2)$ , חיתוכים $(-21, 0)$ , $(0, 7)$ , $(3, 0)$ .

תרגיל 6

נתונה הפונקציה $g(x) = |f(x)|$ , המוגדרת לכל $x$ . ה (1). מצאו את משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה־ $x$ של הפונקציה $g(x)$ .

$y =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 1

הפתרון:

f(x) \to -1 \Rightarrow |f(x)| \to 1

הערך המוחלט הופך את הגבול לחיובי

האסימפטוטה של $g$ : $y = 1$ .

תרגיל 7

הגרפים I–IV

נתונה הפונקציה $g(x) = |f(x)|$ , המוגדרת לכל $x$ . ה (2). קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקציה $g(x)$ . נמקו את קביעתכם.

אגרף III
בגרף I
גגרף II
דגרף IV

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף IV

הפתרון:

y \to 1

האסימפטוטה $y = 1$ (הקו המקווקו): נשארים גרפים III ו־IV

\begin{aligned}g(-21) &= g(3) \\ &= 0\end{aligned}

ל־ $g$ שתי נקודות על ציר ה־ $x$ , אחת משמאל ואחת מימין לציר ה־ $y$

\begin{aligned}\max: (-1, 8) \\ \ g(0) &= 7 < 8\end{aligned}

המקסימום משמאל לציר ה־ $y$ : זה גרף IV

גרף IV. המלכודות: גרפים I ו־II מתקרבים לציר ה־ $x$ ולא ל־ $y = 1$ ; בגרף III המקסימום מימין לציר ה־ $y$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 7 — פונקציית שורש עם פרמטר

נתונה הפונקציה $f(x) = (a - x) \cdot \sqrt{3x - 6}$ .‏ $a$ הוא פרמטר.

תרגיל 1

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x \ge$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x \ge$ 2

הפתרון:

3x - 6 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2

מתחת לשורש ריבועי — ביטוי אי־שלילי

תחום ההגדרה: $x \ge 2$ .

תרגיל 2

נתון כי הנקודה $(5, 9)$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ . ב. מצאו את הערך של $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}f(5) &= (a - 5)\sqrt{9} \\ &= 3(a - 5) \\ &= 9\end{aligned}

\begin{aligned}a - 5 &= 3 \Rightarrow a \\ &= 8\end{aligned}

$a = 8$ .

תרגיל 3

הציבו $a = 8$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ . (כתבו משמאל לימין.)

$($ ____ $, 0)$ ו־ $($ ____ $, 0)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 2 $, 0)$ ו־ $($ 8 $, 0)$

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= (8 - x)\sqrt{3x - 6} \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}8 - x &= 0 \ \text{או} \ 3x - 6 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 8 \\ \ x &= 2\end{aligned}

שני הפתרונות בתחום ההגדרה

$(2, 0)$ ו־ $(8, 0)$ . המלכודת: לשכוח את $x = 2$ , שבו השורש מתאפס.

תרגיל 4

הציבו $a = 8$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. ד. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגן.

$($ ____ $,$ ____ $)$ ו־ $($ ____ $,$ ____ $)$ (קודם הנקודה הפנימית, אחר כך נקודת הקצה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 4 $,$ 9.798 $)$ ו־ $($ 2 $,$ 0 $)$ (קודם הנקודה הפנימית, אחר כך נקודת הקצה)

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= -\sqrt{3x - 6} + (8 - x) \cdot \frac{3}{2\sqrt{3x - 6}} \\ &= \frac{-2(3x - 6) + 3(8 - x)}{2\sqrt{3x - 6}} \\ &= \frac{36 - 9x}{2\sqrt{3x - 6}}\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4; \quad f'(3) > 0 \\ \ f'(5) < 0\end{aligned}

עלייה ואז ירידה: מקסימום

f(4) = 4\sqrt{6} \approx 9.80

\begin{aligned}f(2) &= 0 \\ \ f \nearrow \text{ אחרי } 2\end{aligned}

בקצה התחום הפונקציה עולה: מינימום קצה

מקסימום $(4, 4\sqrt{6})$ , בערך $(4, 9.80)$ , ומינימום קצה $(2, 0)$ . המלכודת: לשכוח את נקודת הקצה, ש"כל נקודות הקיצון" כוללות.

תרגיל 5

הציבו $a = 8$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את התיאור שמתאים לסקיצה.

אהגרף מתחיל ב־ $(2, 0)$ , יורד עד מינימום ב־ $x = 4$ , ועולה דרך $(8, 0)$
בהגרף מוגדר לכל $x$ , עם מקסימום ב־ $(4, 4\sqrt{6})$ ושתי נקודות חיתוך עם ציר ה־ $x$
גהגרף מתחיל ב־ $(2, 0)$ , עולה עד $(4, 4\sqrt{6})$ , יורד וחותך את ציר ה־ $x$ ב־ $(8, 0)$ , וממשיך לרדת
דהגרף מתחיל ב־ $(2, 0)$ , עולה עד $(4, 4\sqrt{6})$ , ויורד ומתקרב לציר ה־ $x$ בלי לחתוך אותו

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הגרף מתחיל ב־ $(2, 0)$ , עולה עד $(4, 4\sqrt{6})$ , יורד וחותך את ציר ה־ $x$ ב־ $(8, 0)$ , וממשיך לרדת

הפתרון:

x \ge 2: \ (2, 0) \nearrow (4, 4\sqrt{6}) \searrow (8, 0) \searrow

תחום, קיצון וחיתוכים

x > 8: \ f(x) < 0, \ f(x) \to -\infty

הגורם $8 - x$ שלילי והשורש גדל

הסקיצה: חצי "כיפה" מ־ $(2, 0)$ דרך המקסימום $(4, 4\sqrt{6})$ אל $(8, 0)$ , ומשם ירידה בלי גבול.

תרגיל 6

הגרפים I–IV

הציבו $a = 8$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת בתחום $x > 2$ . ו (1). קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . נמקו את קביעתכם.

אגרף I
בגרף II
גגרף IV
דגרף III

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א גרף I

הפתרון:

x \to 2^+: \ f'(x) = \frac{36 - 9x}{2\sqrt{3x - 6}} \to +\infty

המונה חיובי והמכנה שואף ל־ $0$

2 < x < 4: f' > 0; \ x > 4: f' < 0

$f$ עולה ואז יורדת: הנגזרת חיובית ואז שלילית, ומתאפסת פעם אחת בלבד

גרף I: מתחיל גבוה ליד $x = 2$ , חותך את ציר ה־ $x$ פעם אחת (ב־ $x = 4$ ) ונשאר שלילי. המלכודות: גרף II הוא $-f'$ ; גרפים III ו־IV מתאפסים פעמיים, ול־ $f$ יש קיצון פנימי אחד.

תרגיל 7

הציבו $a = 8$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת בתחום $x > 2$ . ו (2). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , על ידי ציר ה־ $x$ ועל ידי הישר $x = 20$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 97.98

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Leftrightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

השטח בין $x = 4$ ל־ $x = 20$ , והנגזרת שלילית שם

\begin{aligned}S &= -\int_4^{20} f'(x)\,dx \\ &= f(4) - f(20)\end{aligned}

הפונקציה $f$ היא פונקציה קדומה של $f'$

\begin{aligned}f(20) &= (8 - 20)\sqrt{54} \\ &= -12 \cdot 3\sqrt{6} \\ &= -36\sqrt{6}\end{aligned}

\begin{aligned}S &= 4\sqrt{6} + 36\sqrt{6} \\ &= 40\sqrt{6} \approx 97.98\end{aligned}

השטח הוא $40\sqrt{6} \approx 97.98$ . המלכודת: לחשב $\int_2^{20}$ — בין $2$ ל־ $4$ הנגזרת חיובית, וחלק זה אינו מוגבל על ידי הישר $x = 20$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 8 — בעיית קיצון: גינה ציבורית

בסרטוט שלפניכם מתוארת גינה ציבורית המחולקת לשני מתחמים. מתחם $ABCD$ ובו דשא, ומתחם $BFGH$ ובו מתקנים לילדים. כל אחד מן המתחמים הוא בצורת מלבן. נסמן ב־ $x$ את אורך הצלע $AB$ . נתון כי אורך הצלע $GF$ הוא $7$ מטרים, וכי אורך הצלע $BF$ גדול ב־ $2$ מטרים מאורך הצלע $AB$ . את המתחם $ABCD$ הקיפו בגדר שאורכה $32$ מטרים.

תרגיל 1

א (1). הביעו באמצעות $x$ את אורך הצלע $AD$ .

א $AD = 32 - 2x$
ב $AD = 32 - x$
ג $AD = 16 - 2x$
ד $AD = 16 - x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $AD = 16 - x$

הפתרון:

\begin{aligned}2x + 2 \cdot AD &= 32 \Rightarrow AD \\ &= 16 - x\end{aligned}

היקף המלבן $ABCD$ הוא אורך הגדר

$AD = 16 - x$ . המלכודת: $32 - x$ — שוכחים שכל צלע מופיעה פעמיים בהיקף.

תרגיל 2

א (2). הביעו באמצעות $x$ את שטח המתחם $ABCD$ .

א $x(16 - x) + 7(x + 2)$
ב $x(16 - x) = 16x - x^2$
ג $7(x + 2)$
ד $x(32 - x) = 32x - x^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x(16 - x) = 16x - x^2$

הפתרון:

\begin{aligned}S_{ABCD} &= AB \cdot AD \\ &= x(16 - x)\end{aligned}

השטח: $16x - x^2$ מ״ר.

תרגיל 3

ב. הביעו באמצעות $x$ את היחס בין שטח המתחם $ABCD$ ובין שטח המתחם $BFGH$ .

א $\frac{x(16 - x)}{7x}$
ב $\frac{x(16 - x)}{7(x + 2)}$
ג $\frac{x(16 - x)}{2(x + 2) + 14}$
ד $\frac{7(x + 2)}{x(16 - x)}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\frac{x(16 - x)}{7(x + 2)}$

הפתרון:

\begin{aligned}S_{BFGH} &= BF \cdot GF \\ &= 7(x + 2)\end{aligned}

$BF = x + 2$

\frac{S_{ABCD}}{S_{BFGH}} = \frac{16x - x^2}{7x + 14}

היחס: $\frac{16x - x^2}{7(x + 2)}$ . המלכודת: להפוך את סדר היחס — "בין $ABCD$ ובין $BFGH$ " שם את $ABCD$ במונה.

תרגיל 4

ג. מצאו את הערך של $x$ שבעבורו היחס בין שטח המתחם $ABCD$ ובין שטח המתחם $BFGH$ הוא מקסימלי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}R(x) &= \frac{16x - x^2}{7x + 14} \\ \quad 0 < x < 16\end{aligned}

אורכים חיוביים

\begin{aligned}R'(x) &= \frac{(16 - 2x)(7x + 14) - 7(16x - x^2)}{(7x + 14)^2} \\ &= \frac{-7(x^2 + 4x - 32)}{(7x + 14)^2}\end{aligned}

\begin{aligned}x^2 + 4x - 32 &= (x + 8)(x - 4) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

הפתרון $-8$ מחוץ לתחום

x < 4: R' > 0; \ x > 4: R' < 0

עלייה ואז ירידה: מקסימום

$x = 4$ מטרים (היחס אז $\frac{48}{42} = \frac{8}{7}$ ). המלכודת: לגזור את המונה ואת המכנה בנפרד.

לפתור את השאלה באתר

מבנה הבחינה

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — התפלגות נורמלית: משתלת «עץ ופרח»

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 2 — מתאם ורגרסיה: הוצאות על פרסום והכנסות

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

תרגיל 8

שאלה 3 — הסתברות: פלפלים במשק חקלאי

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 4 — משולש שווה שוקיים במערכת צירים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 5 — משולש חסום במעגל ומשיק

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 6 — חקירת פונקציה רציונלית

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

שאלה 7 — פונקציית שורש עם פרמטר

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

שאלה 8 — בעיית קיצון: גינה ציבורית

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

לפתור את הבחינה כמו ביום הבגרות