בגרות במתמטיקה 35471 קיץ 2026, מועד ב׳

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — התפלגות נורמלית: מספר הצעדים היומי

במדינה מסוימת נערך מחקר ארצי בתחום הבריאות. במחקר נבדק מספר הצעדים היומי שהולך כל אחד מן המשתתפים. נמצא כי מספר הצעדים היומי מתפלג נורמלית, וסטיית התקן היא $800$ . נמצא כי $37.5\%$ מן המשתתפים במחקר הולכים פחות מ־ $6{,}944$ צעדים ביום.

תרגיל 1

א. מצאו את ממוצע מספר הצעדים היומי של המשתתפים במחקר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7200

הפתרון:

\begin{aligned}P(X < 6{,}944) &= 0.375 \Rightarrow \Phi(z) \\ &= 0.375\end{aligned}

השטח משמאל ל־ $6{,}944$ הוא חלק המשתתפים שהולכים פחות

\begin{aligned}1 - 0.375 &= 0.625 \approx \Phi(0.32) \\ &= 0.6255 \Rightarrow z \\ &= -0.32\end{aligned}

בטבלה; $6{,}944$ נמצא משמאל לממוצע, לכן $z$ שלילי

\begin{aligned}\frac{6{,}944 - \mu}{800} &= -0.32 \Rightarrow \mu \\ &= 6{,}944 + 256 \\ &= 7{,}200\end{aligned}

ציון התקן

הממוצע הוא $7{,}200$ צעדים ביום. המלכודת: לקחת $z = 0.32$ חיובי ולקבל ממוצע קטן מ־ $6{,}944$ — אבל פחות ממחצית המשתתפים הולכים פחות מ־ $6{,}944$ .

תרגיל 2

משרד הבריאות ממליץ ללכת יותר מ־ $8{,}400$ צעדים ביום. ב. מצאו את אחוז המשתתפים במחקר שמקיימים את ההמלצה הזאת.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.68

הפתרון:

\begin{aligned}z &= \frac{8{,}400 - 7{,}200}{800} \\ &= 1.5\end{aligned}

ציון התקן של $8{,}400$ , עם $\mu = 7{,}200$ מסעיף א

\begin{aligned}P(X > 8{,}400) &= 1 - \Phi(1.5) \\ &= 1 - 0.9332 \\ &= 0.0668\end{aligned}

הטבלה נותנת את השטח משמאל; ההמלצה היא מימין

$6.68\%$ מן המשתתפים מקיימים את ההמלצה. המלכודת: לענות $93.32\%$ , השטח משמאל ל־ $8{,}400$ .

תרגיל 3

נמצא כי $14{,}722$ מן המשתתפים במחקר הולכים יותר מ־ $7{,}200$ צעדים ביום ופחות מ־ $8{,}400$ צעדים ביום. ג. על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה אנשים סך הכול השתתפו במחקר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 34000

הפתרון:

\begin{aligned}P(7{,}200 < X < 8{,}400) &= \Phi(1.5) - \Phi(0) \\ &= 0.9332 - 0.5 \\ &= 0.4332\end{aligned}

$7{,}200$ הוא הממוצע, ולכן ציון התקן שלו $0$

N = \frac{14{,}722}{0.4332} \approx 33{,}984 \approx 34{,}000

$14{,}722$ משתתפים הם $43.32\%$ מכולם; עם $0.433$ מתקבל בדיוק $34{,}000$

במחקר השתתפו בערך $34{,}000$ אנשים. המלכודת: לחלק ב־ $0.9332$ , כאילו כל מי שהולך פחות מ־ $8{,}400$ צעדים נספר.

תרגיל 4

במחקר נבדק גם מספר שעות השינה ביממה של כל אחד מן המשתתפים במחקר. נמצא כי גם מספר שעות השינה ביממה מתפלג נורמלית. ממוצע שעות השינה ביממה של המשתתפים במחקר הוא $7$ שעות. שרית השתתפה במחקר. מספר שעות השינה של שרית ביממה הוא $9.28$ , ומספר הצעדים היומי שלה הוא $8{,}416$ . ציון התקן של מספר הצעדים היומי של שרית זהה לציון התקן של מספר שעות השינה שלה ביממה. ד. מצאו את סטיית התקן של מספר שעות השינה ביממה של המשתתפים במחקר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

\begin{aligned}z &= \frac{8{,}416 - 7{,}200}{800} \\ &= \frac{1{,}216}{800} \\ &= 1.52\end{aligned}

ציון התקן של מספר הצעדים של שרית

\begin{aligned}\frac{9.28 - 7}{\sigma} &= 1.52 \Rightarrow \sigma \\ &= \frac{2.28}{1.52} \\ &= 1.5\end{aligned}

אותו ציון תקן בשעות השינה

סטיית התקן של שעות השינה היא $1.5$ שעות. המלכודת: להשוות את ההפרשים עצמם ( $1{,}216$ ו־ $2.28$ ) במקום את ציוני התקן.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 2 — מתאם ורגרסיה: שטח ירוק וזיהום אוויר

חוקר סביבה בדק ב־ $6$ ערים שונות את הקשר בין גודל השטח הירוק (פארקים וגינות) לנפש בעיר (המשתנה $x$ ) ובין רמת זיהום האוויר בעיר (המשתנה $y$ ). החוקר קבע את רמת זיהום האוויר בכל עיר על פי מדד איכות האוויר AQI (מדד מספרי של כמות המזהמים באוויר). הנתונים מוצגים בדיאגרמת הפיזור שלפניכם. נסמן ב־ $r$ את מקדם המתאם בין $x$ ל־ $y$ .

דיאגרמת הפיזור

תרגיל 1

א. לפניכם ארבעה היגדים I–IV. קבעו איזה היגד נכון. נמקו את קביעתכם.

אI. $0 < r < 1$
בIV. אי אפשר לקבוע את טווח הערכים של $r$
גII. $r = -1$
דIII. $-1 < r < 0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד III. $-1 < r < 0$

הפתרון:

x \nearrow \Rightarrow y \searrow

בדיאגרמה: ככל שהשטח הירוק גדל, רמת הזיהום קטנה — מתאם שלילי

(15, 30), (15, 20)

הנקודות אינן על ישר אחד, ולכן $r \neq -1$

היגד III נכון: $-1 < r < 0$ . המלכודת: לבחור ב־II כי הנקודות "יורדות" — מתאם $-1$ פירושו שכל הנקודות על ישר אחד, ושתי נקודות עם $x = 15$ כבר שוללות זאת.

תרגיל 2

ב (1). חשבו את ממוצע גודל השטח הירוק לנפש ב־ $6$ הערים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{5 + 10 + 15 + 15 + 20 + 25}{6} \\ &= \frac{90}{6} \\ &= 15\end{aligned}

קוראים את ערכי $x$ מן הדיאגרמה; ב־ $x = 15$ יש שתי ערים

הממוצע הוא $15$ מ״ר לנפש. המלכודת: לספור את $x = 15$ פעם אחת בלבד ולחלק ב־ $5$ .

תרגיל 3

ב (2). חשבו את ממוצע רמת זיהום האוויר ב־ $6$ הערים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{y} &= \frac{50 + 40 + 30 + 20 + 30 + 10}{6} \\ &= \frac{180}{6} \\ &= 30\end{aligned}

ממוצע רמת הזיהום הוא $30$ .

תרגיל 4

נתון כי משוואת ישר הרגרסיה לניבוי $y$ על פי $x$ היא: $y = -1.8x + b$ . ג (1). מצאו את הערך של $b$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 57

הפתרון:

30 = -1.8 \cdot 15 + b

ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים $(\bar{x}, \bar{y}) = (15, 30)$

\begin{aligned}b &= 30 + 27 \\ &= 57\end{aligned}

$b = 57$ . המלכודת: להציב נקודה מן הדיאגרמה, כמו $(5, 50)$ — ישר הרגרסיה לא עובר בהכרח בנקודות הנתונים.

תרגיל 5

נתון כי משוואת ישר הרגרסיה לניבוי $y$ על פי $x$ היא: $y = -1.8x + b$ . ג (2). על פי ישר הרגרסיה, מהו הניבוי לרמת זיהום האוויר בעיר שגודל השטח הירוק שלה הוא $18$ מ״ר לנפש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24.6

הפתרון:

\begin{aligned}\hat{y} &= -1.8 \cdot 18 + 57 \\ &= -32.4 + 57 \\ &= 24.6\end{aligned}

הניבוי הוא $24.6$ .

תרגיל 6

ד. חשבו את סטיית התקן של גודל השטח הירוק ב־ $6$ הערים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.455

הפתרון:

x - \bar{x}: \ -10, \ -5, \ 0, \ 0, \ 5, \ 10

הסטיות מן הממוצע $15$

\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{100 + 25 + 0 + 0 + 25 + 100}{6}} \\ &= \sqrt{\frac{125}{3}} \approx 6.455\end{aligned}

מחלקים במספר הערים, $6$

סטיית התקן היא $\sqrt{\frac{125}{3}} \approx 6.455$ מ״ר לנפש. המלכודת: לחלק ב־ $5$ במקום ב־ $6$ .

תרגיל 7

נתון כי משוואת ישר הרגרסיה לניבוי $y$ על פי $x$ היא: $y = -1.8x + b$ . החוקר מצא כי סטיית התקן של רמת זיהום האוויר היא $S_y = \sqrt{\frac{500}{3}}$ . ה. היעזרו במשוואת ישר הרגרסיה לניבוי $y$ על פי $x$ ומצאו את מקדם המתאם $r$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.9

הפתרון:

-1.8 = r \cdot \frac{S_y}{S_x}

שיפוע ישר הרגרסיה

\begin{aligned}r &= -1.8 \cdot \frac{\sqrt{125/3}}{\sqrt{500/3}} \\ &= -1.8 \cdot \sqrt{\frac{1}{4}} \\ &= -0.9\end{aligned}

$r = -0.9$ : מתאם שלילי חזק. המלכודת: להפוך את המנה, $\frac{S_x}{S_y}$ במקום $\frac{S_y}{S_x}$ , ולקבל $-3.6$ — מקדם מתאם לא יכול להיות קטן מ־ $-1$ .

תרגיל 8

נתון כי משוואת ישר הרגרסיה לניבוי $y$ על פי $x$ היא: $y = -1.8x + b$ . החוקר גילה שהייתה תקלה במכשיר המדידה, וכי למעשה רמת זיהום האוויר בכל אחת מ־ $6$ הערים הייתה גבוהה ב־ $4$ מרמת הזיהום שנמדדה. החוקר תיקן את הנתונים בהתאם לכך. ו (1). האם שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי $y$ על פי $x$ לאחר תיקון הנתונים גדל, קטן או לא השתנה? נמקו את תשובתכם.

אהשיפוע לא השתנה
בהשיפוע נעשה גדול יותר
גהשיפוע נעשה קטן יותר

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א השיפוע לא השתנה

הפתרון:

\begin{aligned}y' &= y + 4 \Rightarrow \bar{y}' \\ &= \bar{y} + 4 \\ \ S_{y'} &= S_y \\ \ r' &= r\end{aligned}

הוספת קבוע מזיזה את כל הנקודות למעלה, ולא משנה את הפיזור ולא את המתאם

\begin{aligned}r' \cdot \frac{S_{y'}}{S_x} &= r \cdot \frac{S_y}{S_x} \\ &= -1.8\end{aligned}

השיפוע לא השתנה. המלכודת: לחשוב ש"גבוה ב־ $4$ " משנה את השיפוע — הוא משנה רק את נקודת החיתוך עם ציר ה־ $y$ .

תרגיל 9

נתון כי משוואת ישר הרגרסיה לניבוי $y$ על פי $x$ היא: $y = -1.8x + b$ . החוקר גילה שהייתה תקלה במכשיר המדידה, וכי למעשה רמת זיהום האוויר בכל אחת מ־ $6$ הערים הייתה גבוהה ב־ $4$ מרמת הזיהום שנמדדה. החוקר תיקן את הנתונים בהתאם לכך. ו (2). כתבו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי $y$ על פי $x$ לאחר תיקון הנתונים של רמת זיהום האוויר.

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -1.8 $x +$ 61

הפתרון:

(\bar{x}, \bar{y}') = (15, 34)

הממוצע של רמת הזיהום גדל ב־ $4$

\begin{aligned}34 &= -1.8 \cdot 15 + b' \Rightarrow b' \\ &= 61\end{aligned}

השיפוע לא השתנה (סעיף ו (1))

$y = -1.8x + 61$ . המלכודת: להוסיף $4$ לשיפוע במקום לקבוע החופשי.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 3 — הסתברות: בדיקות איכות של מחשבים

במפעל מסוים מייצרים מחשבים. כל המחשבים שיוצרו במחזור ייצור מסוים נבדקו בשתי בדיקות איכות כדי לוודא שהם תקינים. בבדיקה הראשונה נמצא ש־ $80\%$ מן המחשבים הם תקינים. אם מחשב נמצא תקין בבדיקה הראשונה, ההסתברות שבבדיקה השנייה הוא יימצא תקין היא $0.9$ . אם מחשב לא נמצא תקין בבדיקה הראשונה, ההסתברות שבבדיקה השנייה הוא יימצא תקין היא $0.35$ . בחרו באקראי מחשב שיוצר במחזור הייצור.

תרגיל 1

א. מהי ההסתברות שבדיוק באחת הבדיקות המחשב נמצא תקין?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.15

הפתרון:

P = 0.8 \cdot 0.1 + 0.2 \cdot 0.35

תקין רק בראשונה, או תקין רק בשנייה

= 0.08 + 0.07 = 0.15

ההסתברות היא $0.15$ . המלכודת: לחבר $0.8 + 0.35$ — אלה הסתברויות של מאורעות שאינם "בדיוק אחת".

תרגיל 2

ב. מהי ההסתברות שלפחות באחת הבדיקות המחשב נמצא תקין?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.87

הפתרון:

\begin{aligned}P(\text{אף אחת}) &= 0.2 \cdot 0.65 \\ &= 0.13\end{aligned}

המאורע המשלים: לא תקין בשתי הבדיקות

1 - 0.13 = 0.87

ההסתברות היא $0.87$ . אפשר גם: $0.15 + 0.8 \cdot 0.9 = 0.15 + 0.72 = 0.87$ .

תרגיל 3

רק מחשב שנמצא תקין בשתי הבדיקות מועבר למכירה. בחרו באקראי מחשב שיוצר במחזור הייצור. ג. ידוע שהמחשב שנבחר נמצא תקין לפחות באחת הבדיקות. מהי ההסתברות שמחשב זה הועבר למכירה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.8276

הפתרון:

\begin{aligned}P(\text{שתיהן}) &= 0.8 \cdot 0.9 \\ &= 0.72\end{aligned}

הועבר למכירה: תקין בשתי הבדיקות

\begin{aligned}P &= \frac{0.72}{0.87} \\ &= \frac{24}{29} \approx 0.828\end{aligned}

הסתברות מותנית: מחלקים בהסתברות של "לפחות אחת" מסעיף ב

ההסתברות היא $\frac{24}{29} \approx 0.828$ . המלכודת: לענות $0.72$ ולשכוח את התנאי.

תרגיל 4

רק מחשב שנמצא תקין בשתי הבדיקות מועבר למכירה. נתון כי במחזור ייצור זה ייצרו $250$ מחשבים. ד. מצאו את מספר המחשבים שהועברו למכירה במחזור ייצור זה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 180

הפתרון:

0.72 \cdot 250 = 180

$180$ מחשבים הועברו למכירה.

תרגיל 5

רק מחשב שנמצא תקין בשתי הבדיקות מועבר למכירה. נתון כי במחזור ייצור זה ייצרו $250$ מחשבים. מבין המחשבים שייצרו במחזור ייצור זה, בוחרים באקראי שני מחשבים זה אחר זה (הוצאה ללא החזרה). ה. מהי ההסתברות שבדיוק מחשב אחד הועבר למכירה? (בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4048

הפתרון:

250 - 180 = 70

מחשבים שלא הועברו למכירה

\begin{aligned}P &= \frac{180}{250} \cdot \frac{70}{249} + \frac{70}{250} \cdot \frac{180}{249} \\ &= \frac{25{,}200}{62{,}250} \approx 0.405\end{aligned}

ללא החזרה: במכנה השני $249$

ההסתברות היא בערך $0.405$ . המלכודת: לחשב כאילו יש החזרה, $2 \cdot 0.72 \cdot 0.28 = 0.4032$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 4 — מעגל ומשיק במערכת צירים

בסרטוט שלפניכם מעגל. מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה־ $x$ . הנקודה $A$ נמצאת על המעגל. המשך הקטע $MA$ חותך את ציר ה־ $y$ בנקודה $B$ . נתון: $B(0, 18)$ , $A(-16, 6)$ .

תרגיל 1

א (1). מצאו את משוואת הישר $AB$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 0.75 $x +$ 18

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{18 - 6}{0 - (-16)} \\ &= \frac{12}{16} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

y = \frac{3}{4}x + 18

$B(0, 18)$ על ציר ה־ $y$

$y = 0.75x + 18$ .

תרגיל 2

א (2). מצאו את משוואת המעגל.

$(x -$ ( ____ ) $)^2 + y^2 =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(x -$ ( -24 ) $)^2 + y^2 =$ 100

הפתרון:

\begin{aligned}0 &= \frac{3}{4}x + 18 \Rightarrow x \\ &= -24 \Rightarrow M(-24, 0)\end{aligned}

המרכז $M$ על הישר $AB$ ועל ציר ה־ $x$

\begin{aligned}R^2 &= MA^2 \\ &= 8^2 + 6^2 \\ &= 100\end{aligned}

$(x + 24)^2 + y^2 = 100$ . המלכודת: לחפש את המרכז באמצע הקטע $AB$ — $M$ הוא נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה־ $x$ .

תרגיל 3

דרך הנקודה $A$ מעבירים משיק למעגל החותך את ציר ה־ $y$ בנקודה $D$ . ב. מצאו את שיעורי הנקודה $D$ .

$D($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D($ 0 $,$ -15.333 $)$

הפתרון:

m_{AD} = -\frac{4}{3}

המשיק מאונך לרדיוס $MA$ , ששיפועו $\frac{3}{4}$

\begin{aligned}y - 6 &= -\frac{4}{3}(x + 16) \Rightarrow y \\ &= -\frac{4}{3}x - \frac{46}{3}\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= -\frac{46}{3} \\ &= -15\frac{1}{3}\end{aligned}

$D\left(0, -\frac{46}{3}\right)$ , בערך $(0, -15.33)$ .

תרגיל 4

דרך הנקודה $A$ מעבירים משיק למעגל החותך את ציר ה־ $y$ בנקודה $D$ . הנקודה $C$ נמצאת על המעגל כך ש־ $AC$ הוא קוטר במעגל. ג. הראו כי $BD = CD$ .

$M(-24, 0)$ מרכז המעגל, ורדיוס המעגל $10$ (סעיף א)
$B(0, 18)$ , $A(-16, 6)$ , ו־ $A$ על הקטע $MB$
$DA$ משיק למעגל בנקודה $A$
$AC$ קוטר במעגל

$BD = CD$

להציג את התשובה והפתרון

$AC = 20$ — קוטר שווה לשני רדיוסים
$AB = \sqrt{16^2 + 12^2} = 20$ — נוסחת המרחק בין שתי נקודות
$A$ אמצע הקטע $BC$ — $C$ , $M$ , $A$ , $B$ על ישר אחד, ו־ $AB = AC$
$DA \perp BC$ — משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, והרדיוס $MA$ מונח על $BC$
$BD = CD$ — נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= 2R \\ &= 20 \\ \quad AB &= \sqrt{16^2 + 12^2} \\ &= 20\end{aligned}

$A$ אמצע $BC$

DA \perp MA

משיק מאונך לרדיוס, ו־ $MA$ על $BC$

\begin{aligned}BD &= 18 + \frac{46}{3} \\ &= \frac{100}{3} \\ \quad CD &= \sqrt{32^2 + \left(\frac{28}{3}\right)^2} \\ &= \frac{100}{3}\end{aligned}

בדיקה בחישוב: $C(-32, -6)$

$DA$ הוא האנך האמצעי של $BC$ , ולכן $BD = CD = \frac{100}{3}$ . אפשר גם לחשב את שני המרחקים ישירות, אחרי שמוצאים $C = 2M - A = (-32, -6)$ .

תרגיל 5

דרך הנקודה $A$ מעבירים משיק למעגל החותך את ציר ה־ $y$ בנקודה $D$ . ד. חשבו את גודל הזווית $ABD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 53.13

הפתרון:

\begin{aligned}\cos\angle ABD &= \frac{18 - 6}{BA} \\ &= \frac{12}{20} \\ &= 0.6\end{aligned}

$BD$ על ציר ה־ $y$ ; במשולש ישר הזווית שקודקודיו $B$ , $A$ ו־ $(0, 6)$

\angle ABD = \cos^{-1} 0.6 \approx 53.13^\circ

$\angle ABD \approx 53.13^\circ$ . אפשר גם: $\tan\angle ABD = \frac{16}{12}$ . המלכודת: לענות $36.87^\circ$ , הזווית בין $AB$ לציר ה־ $x$ .

תרגיל 6

דרך הנקודה $A$ מעבירים משיק למעגל החותך את ציר ה־ $y$ בנקודה $D$ . הנקודה $C$ נמצאת על המעגל כך ש־ $AC$ הוא קוטר במעגל. הנקודה $K$ נמצאת על הקטע $CD$ . נתון כי שטח המשולש $MCK$ הוא $90$ . ה. מצאו את אורך הקטע $CK$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 22.5

הפתרון:

\begin{aligned}S_{MCD} &= \frac{|(-8)(-\frac{46}{3}) - (-6)(24)|}{2} \\ &= \frac{400}{3}\end{aligned}

$\overrightarrow{MC} = (-8, -6)$ , $\overrightarrow{MD} = \left(24, -\frac{46}{3}\right)$

\begin{aligned}h &= \frac{2 S_{MCD}}{CD} \\ &= \frac{800/3}{100/3} \\ &= 8\end{aligned}

הגובה מ־ $M$ לישר $CD$ , משותף ל־ $MCK$ ול־ $MCD$

\begin{aligned}\frac{CK \cdot 8}{2} &= 90 \Rightarrow CK \\ &= 22.5\end{aligned}

$CK = 22.5$ . המלכודת: לחפש את הגובה מ־ $M$ כמו $MC = 10$ — $MC$ אינו מאונך ל־ $CD$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 5 — טרפז ישר זווית במערכת צירים

בסרטוט שלפניכם טרפז ישר זווית $ABCD$ $(\angle ABC = 90^\circ$ , $AD \parallel BC)$ . הקודקוד $B$ נמצא על החלק השלילי של ציר ה־ $x$ . נתון: $A(0, 4)$ , אורך הצלע $AB$ הוא $5$ .

תרגיל 1

א. מצאו את שיעורי הקודקוד $B$ .

$B($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $B($ -3 $,$ 0 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}B(b, 0): \ b^2 + 4^2 &= 25 \Rightarrow b \\ &= \pm 3\end{aligned}

$AB = 5$

b < 0 \Rightarrow B(-3, 0)

$B$ על החלק השלילי של ציר ה־ $x$

$B(-3, 0)$ .

תרגיל 2

ב. מצאו את משוואת הצלע $BC$ .

$y =$ ____ $x +$ ( ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -0.75 $x +$ ( -2.25 )

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4 - 0}{0 - (-3)} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

m_{BC} = -\frac{3}{4}

$\angle ABC = 90^\circ$ : $BC \perp AB$

\begin{aligned}y &= -\frac{3}{4}(x + 3) \\ &= -\frac{3}{4}x - \frac{9}{4}\end{aligned}

$y = -0.75x - 2.25$ .

תרגיל 3

נתון כי משוואת האלכסון $AC$ היא $y = -\frac{1}{3}x + 4$ . ג. מצאו את אורך הצלע $BC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

\begin{aligned}-\frac{1}{3}x + 4 &= -\frac{3}{4}x - \frac{9}{4} \Rightarrow \frac{5}{12}x \\ &= -\frac{25}{4} \Rightarrow x \\ &= -15\end{aligned}

$C$ הוא נקודת החיתוך של $AC$ ו־ $BC$

\begin{aligned}C(-15, 9) \\ \quad BC &= \sqrt{12^2 + 9^2} \\ &= 15\end{aligned}

$BC = 15$ .

תרגיל 4

נתון כי משוואת האלכסון $AC$ היא $y = -\frac{1}{3}x + 4$ . הנקודה $M$ היא נקודת החיתוך של אלכסוני הטרפז. ד. הוכיחו: $\triangle DMA \sim \triangle BMC$ .

$ABCD$ טרפז, $AD \parallel BC$
$M$ נקודת החיתוך של האלכסונים $AC$ ו־ $BD$

$\triangle DMA \sim \triangle BMC$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle DAM = \angle BCM$ — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים ( $AD \parallel BC$ , והחותך $AC$ )
$\angle ADM = \angle CBM$ — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים ( $AD \parallel BC$ , והחותך $BD$ )
$\triangle DMA \sim \triangle BMC$ — משפט הדמיון ז״ז

הפתרון:

\begin{aligned}\angle DAM &= \angle BCM \\ \quad \angle ADM &= \angle CBM\end{aligned}

זוויות מתחלפות, $AD \parallel BC$

\triangle DMA \sim \triangle BMC \ (\text{ז״ז})

ההתאמה: $D \leftrightarrow B$ , $M \leftrightarrow M$ , $A \leftrightarrow C$

שתי זוגות של זוויות מתחלפות שוות (אפשר גם להשתמש בזוויות הקודקודיות שליד $M$ ). המלכודת: התאמת הקודקודים — $A$ מתאים ל־ $C$ , לא ל־ $B$ .

תרגיל 5

נתון כי משוואת האלכסון $AC$ היא $y = -\frac{1}{3}x + 4$ . הנקודה $M$ היא נקודת החיתוך של אלכסוני הטרפז. נתון כי אורך הקטע $AD$ הוא $3$ . ה. מצאו פי כמה גדול שטח המשולש $BMC$ משטח המשולש $DMA$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{BC}{DA} \\ &= \frac{15}{3} \\ &= 5\end{aligned}

יחס הדמיון, מסעיפים ג ו־ד

\begin{aligned}\frac{S_{BMC}}{S_{DMA}} &= k^2 \\ &= 25\end{aligned}

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון

שטח המשולש $BMC$ גדול פי $25$ . המלכודת: לענות $5$ , יחס הדמיון עצמו.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 6 — פונקציה רציונלית עם פרמטר

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{4x^2}{x^2 - 9} + a$ .‏ $a$ הוא פרמטר.

תרגיל 1

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x \neq$ ____ , $x \neq$ ____ (מהקטן לגדול)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x \neq$ -3 , $x \neq$ 3 (מהקטן לגדול)

הפתרון:

x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 3

המכנה לא מתאפס

תחום ההגדרה: $x \neq -3$ ו־ $x \neq 3$ .

תרגיל 2

ב. הוכיחו כי הפונקציה $f(x)$ היא זוגית.

$f(x) = \frac{4x^2}{x^2 - 9} + a$
תחום ההגדרה: $x \neq \pm 3$ (סעיף א)

$f(-x) = f(x)$ לכל $x$ בתחום

להציג את התשובה והפתרון

אם $x$ בתחום, גם $-x$ בתחום — התחום $x \neq \pm 3$ סימטרי ביחס ל־ $x = 0$
$f(-x) = \frac{4(-x)^2}{(-x)^2 - 9} + a$ — מציבים $-x$ במקום $x$
$\frac{4(-x)^2}{(-x)^2 - 9} + a = \frac{4x^2}{x^2 - 9} + a$ — $(-x)^2 = x^2$
$f(-x) = f(x)$ — הגדרת פונקציה זוגית: תחום סימטרי ו־ $f(-x) = f(x)$

הפתרון:

\begin{aligned}f(-x) &= \frac{4(-x)^2}{(-x)^2 - 9} + a \\ &= \frac{4x^2}{x^2 - 9} + a \\ &= f(x)\end{aligned}

$(-x)^2 = x^2$ ; התחום סימטרי

$f$ זוגית לכל ערך של $a$ . המלכודת: לשכוח לבדוק שהתחום סימטרי.

תרגיל 3

נתון כי גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את ציר ה־ $x$ בנקודה שבה $x = \sqrt{3}$ . ג. מצאו את הערך של $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}f(\sqrt{3}) &= \frac{4 \cdot 3}{3 - 9} + a \\ &= -2 + a \\ &= 0\end{aligned}

a = 2

$a = 2$ .

תרגיל 4

הציבו $a = 2$ בפונקציה $f(x)$ וענו על הסעיפים ד–ו. ד (1). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים.

עם ציר ה־ $y$ : $(0,$ ____ $)$ ; עם ציר ה־ $x$ : $($ ____ $, 0)$ ו־ $($ ____ $, 0)$ (משמאל לימין)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: עם ציר ה־ $y$ : $(0,$ 2 $)$ ; עם ציר ה־ $x$ : $($ -1.732 $, 0)$ ו־ $($ 1.732 $, 0)$ (משמאל לימין)

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= \frac{4x^2}{x^2 - 9} + 2 \\ &= \frac{6x^2 - 18}{x^2 - 9}\end{aligned}

מכנה משותף

\begin{aligned}f(0) &= \frac{-18}{-9} \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}6x^2 - 18 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm\sqrt{3}\end{aligned}

הפונקציה זוגית: $-\sqrt{3}$ מתאים ל־ $\sqrt{3}$ מסעיף ג

$(0, 2)$ , $(-\sqrt{3}, 0)$ ו־ $(\sqrt{3}, 0)$ ; $\sqrt{3} \approx 1.732$ .

תרגיל 5

הציבו $a = 2$ בפונקציה $f(x)$ וענו על הסעיפים ד–ו. ד (2). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה.

$($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 0 $,$ 2 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{8x(x^2 - 9) - 4x^2 \cdot 2x}{(x^2 - 9)^2} \\ &= \frac{-72x}{(x^2 - 9)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

x < 0: f' > 0; \ x > 0: f' < 0

טבלת סימנים סביב $x = 0$ (בין $-3$ ל־ $3$ )

מקסימום $(0, 2)$ . המלכודת: להכריז על $x = \pm 3$ כנקודות קיצון — שם הפונקציה אינה מוגדרת.

תרגיל 6

הציבו $a = 2$ בפונקציה $f(x)$ וענו על הסעיפים ד–ו. ד (3). מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $f(x)$ .

אעלייה: $0 < x < 3$ או $x > 3$ ; ירידה: $x < -3$ או $-3 < x < 0$
בעלייה: $-3 < x < 3$ ; ירידה: $x < -3$ או $x > 3$
געלייה: $x < -3$ או $-3 < x < 0$ ; ירידה: $0 < x < 3$ או $x > 3$
דעלייה: $x < -\sqrt{3}$ או $0 < x < \sqrt{3}$ ; ירידה: $-\sqrt{3} < x < 0$ או $x > \sqrt{3}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג עלייה: $x < -3$ או $-3 < x < 0$ ; ירידה: $0 < x < 3$ או $x > 3$

הפתרון:

f'(x) = \frac{-72x}{(x^2 - 9)^2}

המכנה חיובי בכל התחום, ולכן הסימן של $f'$ הפוך לסימן של $x$

x < 0, \ x \neq -3: \ f' > 0; \quad x > 0, \ x \neq 3: \ f' < 0

עלייה: $x < -3$ ו־ $-3 < x < 0$ ; ירידה: $0 < x < 3$ ו־ $x > 3$ . המלכודת: לחבר את תחומי העלייה ל־ $x < 0$ — $x = -3$ אינו בתחום, והם שני תחומים נפרדים.

תרגיל 7

הציבו $a = 2$ בפונקציה $f(x)$ וענו על הסעיפים ד–ו. ד (4). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$ .

אנכיות: $x =$ ____ , $x =$ ____ (מהקטן לגדול) ; אופקית: $y =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אנכיות: $x =$ -3 , $x =$ 3 (מהקטן לגדול) ; אופקית: $y =$ 6

הפתרון:

x = \pm 3

המכנה מתאפס והמונה $6x^2 - 18 = 36 \neq 0$

x \to \pm\infty: \ \frac{4x^2}{x^2 - 9} \to 4 \Rightarrow f(x) \to 4 + 2 = 6

אסימפטוטות אנכיות $x = -3$ ו־ $x = 3$ , ואסימפטוטה אופקית $y = 6$ . המלכודת: לשכוח את $a = 2$ ולענות $y = 4$ .

תרגיל 8

הציבו $a = 2$ בפונקציה $f(x)$ וענו על הסעיפים ד–ו. ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . יש לבחור את התיאור שמתאים לסקיצה.

אבין $x = -3$ ל־ $x = 3$ הגרף עולה עד $(0, 2)$ ויורד, חותך את ציר ה־ $x$ ב־ $\pm\sqrt{3}$ ושואף ל־ $-\infty$ ליד האסימפטוטות; משמאל ומימין לתחום זה הגרף מעל הישר $y = 6$ ומתקרב אליו
בהגרף מוגדר לכל $x$ : הוא עולה עד המקסימום $(0, 2)$ ויורד, חותך את ציר ה־ $x$ ב־ $\pm\sqrt{3}$ , ומשני הצדדים מתקרב לישר $y = 6$ מלמעלה
גבין $x = -3$ ל־ $x = 3$ הגרף יורד עד $(0, 2)$ ועולה, ושואף ל־ $+\infty$ ליד האסימפטוטות; משמאל ומימין לתחום זה הגרף מתחת לישר $y = 6$ , חותך את ציר ה־ $x$ ב־ $\pm\sqrt{3}$ ומתקרב לישר $y = 6$
דבין $x = -3$ ל־ $x = 3$ הגרף עולה עד $(0, 2)$ ויורד, חותך את ציר ה־ $x$ ב־ $\pm\sqrt{3}$ ושואף ל־ $-\infty$ ליד האסימפטוטות; משמאל ומימין לתחום זה הגרף מתחת לישר $y = 6$ ומתקרב אליו

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א בין $x = -3$ ל־ $x = 3$ הגרף עולה עד $(0, 2)$ ויורד, חותך את ציר ה־ $x$ ב־ $\pm\sqrt{3}$ ושואף ל־ $-\infty$ ליד האסימפטוטות; משמאל ומימין לתחום זה הגרף מעל הישר $y = 6$ ומתקרב אליו

הפתרון:

f(x) - 6 = \frac{36}{x^2 - 9}

הפרש מן האסימפטוטה האופקית

|x| > 3: \ f(x) > 6; \quad |x| < 3: \ f(x) < 6

לכן הענפים החיצוניים מעל $y = 6$

x \to 3^-: f \to -\infty; \quad x \to 3^+: f \to +\infty

וכך גם ליד $x = -3$ , בזכות הזוגיות

הסקיצה: ענף אמצעי בצורת קשת עם מקסימום $(0, 2)$ , חיתוכים $(\pm\sqrt{3}, 0)$ , ושואף ל־ $-\infty$ ליד $x = \pm 3$ ; שני ענפים חיצוניים מעל $y = 6$ , שיורדים מ־ $+\infty$ ומתקרבים ל־ $y = 6$ . הגרף סימטרי ביחס לציר ה־ $y$ .

תרגיל 9

הציבו $a = 2$ בפונקציה $f(x)$ וענו על הסעיפים ד–ו. נתונה הפונקציה $g(x) = f(x - 7)$ . ו (1). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $g(x)$ .

אנכיות: $x =$ ____ , $x =$ ____ (מהקטן לגדול) ; אופקית: $y =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אנכיות: $x =$ 4 , $x =$ 10 (מהקטן לגדול) ; אופקית: $y =$ 6

הפתרון:

g(x) = f(x - 7)

הזזה של הגרף של $f$ ב־ $7$ ימינה

\begin{aligned}x - 7 &= \pm 3 \Rightarrow x \\ &= 4 \\ \ x &= 10\end{aligned}

האסימפטוטות האנכיות זזות

y = 6

הזזה אופקית לא משנה את האסימפטוטה האופקית

$x = 4$ , $x = 10$ ו־ $y = 6$ . המלכודת: להזיז שמאלה ( $x = -10$ , $x = -4$ ) — $f(x - 7)$ מזיז ימינה.

תרגיל 10

הציבו $a = 2$ בפונקציה $f(x)$ וענו על הסעיפים ד–ו. נתונה הפונקציה $g(x) = f(x - 7)$ . ו (2). האם הפונקציה $g(x)$ היא זוגית? נמקו את תשובתכם.

אלא
בכן

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לא

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 4 \\ \ x &= 10\end{aligned}

תחום ההגדרה של $g$ אינו סימטרי ביחס ל־ $x = 0$

g(-4) \text{ מוגדרת}, \ g(4) \text{ לא}

$g(-4) = f(-11)$ , ו־ $4$ אינו בתחום

לא: הגרף של $g$ סימטרי ביחס לישר $x = 7$ , ולא ביחס לציר ה־ $y$ . המלכודת: לחשוב שהזזה שומרת על הזוגיות.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 7 — פונקציית שורש

נתונה הפונקציה $f(x) = 2x - 4\sqrt{5x - 16}$ .

תרגיל 1

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x \ge$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x \ge$ 3.2

הפתרון:

5x - 16 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3.2

מתחת לשורש — ביטוי אי־שלילי

תחום ההגדרה: $x \ge 3.2$ .

תרגיל 2

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ .

$($ ____ $, 0)$ ו־ $($ ____ $, 0)$ (משמאל לימין)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 4 $, 0)$ ו־ $($ 16 $, 0)$ (משמאל לימין)

הפתרון:

\begin{aligned}2x &= 4\sqrt{5x - 16} \Rightarrow x \\ &= 2\sqrt{5x - 16}\end{aligned}

\begin{aligned}x^2 &= 4(5x - 16) \Rightarrow x^2 - 20x + 64 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4 \\ \ x &= 16\end{aligned}

מעלים בריבוע; $x \ge 0$ , אז אין פתרון זר

\begin{aligned}f(4) &= 8 - 4 \cdot 2 \\ &= 0 \\ \quad f(16) &= 32 - 4 \cdot 8 \\ &= 0\end{aligned}

בדיקה

$(4, 0)$ ו־ $(16, 0)$ .

תרגיל 3

ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגן.

$($ ____ $,$ ____ $)$ ו־ $($ ____ $,$ ____ $)$ (קודם הנקודה הפנימית, אחר כך נקודת הקצה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 8.2 $,$ -3.6 $)$ ו־ $($ 3.2 $,$ 6.4 $)$ (קודם הנקודה הפנימית, אחר כך נקודת הקצה)

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 2 - \frac{4 \cdot 5}{2\sqrt{5x - 16}} \\ &= 2 - \frac{10}{\sqrt{5x - 16}}\end{aligned}

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow \sqrt{5x - 16} \\ &= 5 \Rightarrow x \\ &= 8.2\end{aligned}

\begin{aligned}f'(4) &= 2 - \frac{10}{2} < 0 \\ \quad f'(13) &= 2 - \frac{10}{7} > 0\end{aligned}

ירידה ואז עלייה: מינימום

\begin{aligned}f(8.2) &= 16.4 - 4 \cdot 5 \\ &= -3.6 \\ \quad f(3.2) &= 6.4\end{aligned}

בקצה התחום הפונקציה יורדת: מקסימום קצה

מינימום $(8.2, -3.6)$ ומקסימום קצה $(3.2, 6.4)$ . המלכודת: לשכוח את נקודת הקצה, ש"כל נקודות הקיצון" כוללות.

תרגיל 4

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . יש לבחור את התיאור שמתאים לסקיצה.

אהגרף מתחיל ב־ $(3.2, 0)$ , עולה עד מקסימום ב־ $(8.2, 3.6)$ , ואז יורד, חותך את ציר ה־ $x$ ב־ $(16, 0)$ ושואף ל־ $-\infty$
בהגרף מוגדר לכל $x$ : הוא יורד עד $(8.2, -3.6)$ ואז עולה, וחותך את ציר ה־ $x$ ב־ $(4, 0)$ וב־ $(16, 0)$
גהגרף מתחיל ב־ $(3.2, 6.4)$ , יורד דרך $(4, 0)$ עד $(8.2, -3.6)$ , ואז עולה ומתקרב לציר ה־ $x$ מתחתיו, בלי לחתוך אותו שוב
דהגרף מתחיל ב־ $(3.2, 6.4)$ , יורד דרך $(4, 0)$ עד $(8.2, -3.6)$ , ואז עולה דרך $(16, 0)$ בלי גבול

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הגרף מתחיל ב־ $(3.2, 6.4)$ , יורד דרך $(4, 0)$ עד $(8.2, -3.6)$ , ואז עולה דרך $(16, 0)$ בלי גבול

הפתרון:

(3.2, 6.4) \searrow (4, 0) \searrow (8.2, -3.6) \nearrow (16, 0) \nearrow

סדר הנקודות על הגרף, מסעיפים א–ג

f(x) = 2x - 4\sqrt{5x - 16} \to +\infty

$2x$ גדל מהר יותר מ־ $\sqrt{5x - 16}$

הסקיצה: מתחילה בנקודת הקצה $(3.2, 6.4)$ , יורדת דרך $(4, 0)$ עד המינימום $(8.2, -3.6)$ , ועולה דרך $(16, 0)$ בלי גבול.

תרגיל 5

הגרפים I–IV

פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת בתחום $x > 3.2$ . ה (1). קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .

אגרף I
בגרף III
גגרף II
דגרף IV

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א גרף I

הפתרון:

x \to 3.2^+: \ f'(x) = 2 - \frac{10}{\sqrt{5x - 16}} \to -\infty

המכנה שואף ל־ $0$

3.2 < x < 8.2: f' < 0; \ x > 8.2: f' > 0; \ x \to \infty: f' \to 2

$f$ יורדת ואז עולה; $\frac{10}{\sqrt{5x - 16}} \to 0$

גרף I: מתחיל ב־ $-\infty$ ליד $x = 3.2$ , עולה, חותך את ציר ה־ $x$ פעם אחת ( $x = 8.2$ ) ומתקרב לישר חיובי. המלכודות: גרף II הוא $-f'$ ; גרף III חיובי כולו וגרף IV שלילי כולו, אבל $f'$ מחליפה סימן.

תרגיל 6

פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת בתחום $x > 3.2$ . ה (2). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , על ידי ציר ה־ $x$ ועל ידי הישרים $x = 4$ ו־ $x = 13$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.2

הפתרון:

f'(8.2) = 0

בין $4$ ל־ $13$ הנגזרת מחליפה סימן: שני חלקים

\begin{aligned}\int_4^{8.2} -f'(x)\,dx &= f(4) - f(8.2) \\ &= 0 - (-3.6) \\ &= 3.6\end{aligned}

מתחת לציר ה־ $x$

\begin{aligned}\int_{8.2}^{13} f'(x)\,dx &= f(13) - f(8.2) \\ &= (26 - 28) + 3.6 \\ &= 1.6\end{aligned}

$f(13) = 26 - 4\sqrt{49} = -2$

\begin{aligned}S &= 3.6 + 1.6 \\ &= 5.2\end{aligned}

השטח הוא $5.2$ . המלכודת: לחשב $\int_4^{13} f'(x)\,dx = f(13) - f(4) = -2$ — החלק שמתחת לציר נספר בשלילה.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 8 — בעיית קיצון: מתחם ציבורי

אדריכלית נוף תכננה מתחם ציבורי. המתחם מורכב משלושה חלקים המחוברים זה לזה: מבואה – המלבן $ABCD$ ; שביל גישה – המלבן $BEFC$ ; גן פסלים – הריבוע $EGHK$ . הנקודות $G$ , $E$ , $B$ , $A$ נמצאות על ישר אחד, כמתואר בסרטוט. אורך הקטע $AG$ הוא $8$ מטרים. אורך הצלע $EG$ גדול פי $2$ מאורך הצלע $AB$ . נסמן ב־ $x$ את אורך הצלע $AB$ .

תרגיל 1

א. הביעו באמצעות $x$ את אורך הצלע $BE$ .

א $BE = 8 - x$
ב $BE = 6 - 3x$
ג $BE = 8 - 2x$
ד $BE = 8 - 3x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $BE = 8 - 3x$

הפתרון:

\begin{aligned}AB + BE + EG &= AG \Rightarrow x + BE + 2x \\ &= 8\end{aligned}

$EG = 2x$

BE = 8 - 3x

$BE = 8 - 3x$ . המלכודת: לשכוח את $AB$ ולענות $8 - 2x$ .

תרגיל 2

נתון כי שטח המבואה הוא $1$ מ״ר. ב (1). הביעו באמצעות $x$ את אורך הצלע $AD$ .

א $AD = 1 - x$
ב $AD = \frac{2}{x}$
ג $AD = \frac{1}{x}$
ד $AD = \frac{1}{8 - 3x}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $AD = \frac{1}{x}$

הפתרון:

\begin{aligned}AB \cdot AD &= 1 \Rightarrow x \cdot AD \\ &= 1\end{aligned}

שטח המלבן $ABCD$

AD = \frac{1}{x}

$AD = \frac{1}{x}$ .

תרגיל 3

נתון כי שטח המבואה הוא $1$ מ״ר. ב (2). הביעו באמצעות $x$ את השטח הכולל של המתחם.

א $S(x) = 4x^2 + 8 - 3x - 2$
ב $S(x) = 2x^2 + \frac{8}{x} - 2$
ג $S(x) = 4x^2 + \frac{8}{x} - 2$
ד $S(x) = 4x^2 + \frac{8}{x} - 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $S(x) = 4x^2 + \frac{8}{x} - 2$

הפתרון:

\begin{aligned}S_{BEFC} &= BE \cdot BC \\ &= (8 - 3x) \cdot \frac{1}{x} \\ &= \frac{8}{x} - 3\end{aligned}

$BC = AD = \frac{1}{x}$

\begin{aligned}S_{EGHK} &= (2x)^2 \\ &= 4x^2\end{aligned}

\begin{aligned}S(x) &= 1 + \frac{8}{x} - 3 + 4x^2 \\ &= 4x^2 + \frac{8}{x} - 2\end{aligned}

$S(x) = 4x^2 + \frac{8}{x} - 2$ , בתחום $0 < x < \frac{8}{3}$ . המלכודת: לשכוח את שטח המבואה ( $1$ מ״ר).

תרגיל 4

נתון כי שטח המבואה הוא $1$ מ״ר. ג. מצאו את הערך של $x$ שבעבורו השטח הכולל של המתחם הוא מינימלי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}S'(x) &= 8x - \frac{8}{x^2} \\ &= 0 \Rightarrow x^3 \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

בתחום $0 < x < \frac{8}{3}$

\begin{aligned}S'(0.5) &= 4 - 32 < 0 \\ \quad S'(2) &= 16 - 2 > 0\end{aligned}

ירידה ואז עלייה: מינימום

$x = 1$ מטר; השטח המינימלי הוא $S(1) = 4 + 8 - 2 = 10$ מ״ר.

תרגיל 5

נתון כי שטח המבואה הוא $1$ מ״ר. ד. האם ייתכן שהשטח הכולל של המתחם הוא $9$ מ״ר? נמקו את תשובתכם.

אלא
בכן

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לא

הפתרון:

\begin{aligned}S_{\min} &= S(1) \\ &= 4 + 8 - 2 \\ &= 10\end{aligned}

המינימום מסעיף ג הוא המינימום המוחלט בתחום: נקודת הקיצון היחידה

9 < 10

לא: השטח הכולל הוא לפחות $10$ מ״ר.

לפתור את השאלה באתר

מבנה הבחינה

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — התפלגות נורמלית: מספר הצעדים היומי

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 2 — מתאם ורגרסיה: שטח ירוק וזיהום אוויר

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

תרגיל 8

תרגיל 9

שאלה 3 — הסתברות: בדיקות איכות של מחשבים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 4 — מעגל ומשיק במערכת צירים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 5 — טרפז ישר זווית במערכת צירים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 6 — פונקציה רציונלית עם פרמטר

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

תרגיל 8

תרגיל 9

תרגיל 10

שאלה 7 — פונקציית שורש

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 8 — בעיית קיצון: מתחם ציבורי

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

לפתור את הבחינה כמו ביום הבגרות