בגרות במתמטיקה 35472 חורף 2025

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — סדרות: סדרה הנדסית וסדרה חשבונית

נתונה סדרה הנדסית $A$ שהמנה שלה היא $q$ , ובה $10$ איברים. האיבר השישי בסדרה הוא פי $81$ מן האיבר השני בסדרה.

תרגיל 1

א. מצאו את שני הערכים של $q$ . (מהערך הקטן לגדול.)

$q_1 =$ ____ , $q_2 =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $q_1 =$ -3 , $q_2 =$ 3

הפתרון:

a_1 q^5 = 81 \cdot a_1 q

האיבר השישי והאיבר השני

q^4 = 81

$a_1 \neq 0$ , $q \neq 0$

\begin{aligned}q &= -3 \\ \quad q &= 3\end{aligned}

$q = -3$ או $q = 3$ .

תרגיל 2

נתון כי סכום שני האיברים האמצעיים בסדרה $A$ הוא $1{,}944$ , וכי כל איבריה הם חיוביים. ב. מצאו את האיבר הראשון בסדרה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

q = 3

כל האיברים חיוביים

\begin{aligned}a_5 + a_6 &= a_1 \cdot 3^4 + a_1 \cdot 3^5 \\ &= 324a_1 \\ &= 1944\end{aligned}

בסדרה $10$ איברים: האיברים האמצעיים הם החמישי והשישי

a_1 = 6

האיבר הראשון הוא $6$ .

תרגיל 3

נתון כי סכום שני האיברים האמצעיים בסדרה $A$ הוא $1{,}944$ , וכי כל איבריה הם חיוביים. נתונה סדרה חשבונית $B$ . סכום הסדרה $A$ גדול פי $11$ מסכום הסדרה $B$ . ג. מצאו את סכום הסדרה $B$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16104

הפתרון:

\begin{aligned}S_A &= \frac{6\,(3^{10} - 1)}{3 - 1} \\ &= 3 \cdot 59048 \\ &= 177144\end{aligned}

סכום סדרה הנדסית

\begin{aligned}S_B &= \frac{177144}{11} \\ &= 16104\end{aligned}

סכום הסדרה $B$ הוא $16{,}104$ .

תרגיל 4

נתון כי סכום שני האיברים האמצעיים בסדרה $A$ הוא $1{,}944$ , וכי כל איבריה הם חיוביים. נתונה סדרה חשבונית $B$ . סכום הסדרה $A$ גדול פי $11$ מסכום הסדרה $B$ . בסדרה $B$ יש $33$ איברים. נתון כי האיבר השני בסדרה $B$ גדול פי $46$ מן ההפרש שלה. ד. מצאו את הפרש הסדרה $B$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}b_1 + d &= 46d \Rightarrow b_1 \\ &= 45d\end{aligned}

\begin{aligned}S_{33} &= \frac{33}{2}\left(2 \cdot 45d + 32d\right) \\ &= 33 \cdot 61d \\ &= 2013d\end{aligned}

סכום סדרה חשבונית

\begin{aligned}2013d &= 16104 \Rightarrow d \\ &= 8\end{aligned}

סעיף ג

הפרש הסדרה $B$ הוא $8$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 2 — תיבה, וקטורים ומערכת צירים

בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה $BCC'B'$ . נקודה $P$ נמצאת על המקצוע $DD'$ ומקיימת $\overrightarrow{DP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{DD'}$ . נסמן: $\overrightarrow{AA'} = \underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v}$ , $\overrightarrow{AB} = \underline{u}$ .

תרגיל 1

א. הביעו את הווקטורים $\overrightarrow{AP}$ ו־ $\overrightarrow{MP}$ באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ו־ $\underline{w}$ .

א $\overrightarrow{AP} = \underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$ , $\overrightarrow{MP} = -\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \frac{1}{6}\underline{w}$
ב $\overrightarrow{AP} = \underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$ , $\overrightarrow{MP} = \underline{u} - \frac{1}{2}\underline{v} + \frac{1}{6}\underline{w}$
ג $\overrightarrow{AP} = \underline{v} + \frac{2}{3}\underline{w}$ , $\overrightarrow{MP} = -\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} + \frac{1}{6}\underline{w}$
ד $\overrightarrow{AP} = \underline{u} + \frac{1}{3}\underline{w}$ , $\overrightarrow{MP} = -\underline{v} + \frac{1}{2}\underline{u} - \frac{1}{6}\underline{w}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\overrightarrow{AP} = \underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$ , $\overrightarrow{MP} = -\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \frac{1}{6}\underline{w}$

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{AP} &= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DP} \\ &= \underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}\end{aligned}

$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = \underline{v}$ , $\overrightarrow{DP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{DD'} = \frac{1}{3}\underline{w}$

\begin{aligned}\overrightarrow{AM} &= \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC'} \\ &= \underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} + \frac{1}{2}\underline{w}\end{aligned}

$M$ אמצע האלכסון $BC'$

\begin{aligned}\overrightarrow{MP} &= \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AM} \\ &= -\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \frac{1}{6}\underline{w}\end{aligned}

$\overrightarrow{AP} = \underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$ , $\overrightarrow{MP} = -\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \frac{1}{6}\underline{w}$ .

תרגיל 2

נתון: $|\underline{v}| = 6$ , $|\underline{w}| = |\underline{u}| = 18$ . ב (1). הוכיחו כי הווקטור $\overrightarrow{AP}$ מאונך לווקטור $\overrightarrow{MP}$ .

$\overrightarrow{AP} = \underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$ , $\overrightarrow{MP} = -\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \frac{1}{6}\underline{w}$
$|\underline{v}| = 6$ , $|\underline{w}| = |\underline{u}| = 18$ , $\underline{u} \cdot \underline{v} = \underline{u} \cdot \underline{w} = \underline{v} \cdot \underline{w} = 0$

$\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{MP}$

להציג את התשובה והפתרון

$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}|\underline{v}|^2 - \frac{1}{18}|\underline{w}|^2$ — פתיחת סוגריים; המכפלות של וקטורים מאונכים מתאפסות
$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{MP} = 18 - 18 = 0$ — מציבים $|\underline{v}|^2 = 36$ , $|\underline{w}|^2 = 324$
$\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{MP}$ — מכפלה סקלרית אפס של וקטורים שונים מאפס

הפתרון:

\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{MP} = -\underline{u} \cdot \underline{v} + \tfrac{1}{2}\underline{v}^2 - \tfrac{1}{6}\underline{v} \cdot \underline{w} - \tfrac{1}{3}\underline{u} \cdot \underline{w} + \tfrac{1}{6}\underline{v} \cdot \underline{w} - \tfrac{1}{18}\underline{w}^2

= 0 + 18 - 0 - 0 + 0 - 18 = 0

בתיבה המקצועות מאונכים זה לזה

המכפלה הסקלרית היא $0$ : $\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{MP}$ .

תרגיל 3

נתון: $|\underline{v}| = 6$ , $|\underline{w}| = |\underline{u}| = 18$ . ב (2). חשבו את שטח המשולש $APM$ . (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 78.46

הפתרון:

\begin{aligned}|\overrightarrow{AP}|^2 &= 36 + \tfrac{1}{9} \cdot 324 \\ &= 72 \Rightarrow AP \\ &= 6\sqrt{2}\end{aligned}

\begin{aligned}|\overrightarrow{MP}|^2 &= 324 + \tfrac{1}{4} \cdot 36 + \tfrac{1}{36} \cdot 324 \\ &= 342 \Rightarrow MP \\ &= \sqrt{342}\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{AP \cdot MP}{2} \\ &= \frac{\sqrt{72 \cdot 342}}{2} \\ &= 18\sqrt{19} \approx 78.46\end{aligned}

הזווית $APM$ ישרה (סעיף ב (1))

שטח המשולש $APM$ : $18\sqrt{19} \approx 78.46$ .

תרגיל 4

נתון: $|\underline{v}| = 6$ , $|\underline{w}| = |\underline{u}| = 18$ . נתון: $D(0, 0, 0)$ . הקודקוד $A$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $y$ והקודקוד $D'$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $z$ . ג (1). מצאו את שיעורי הקודקודים $C'$ , $B$ , $C$ .

$C($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$ , $B($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$ , $C'($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $C($ 0 $,$ 18 $,$ 0 $)$ , $B($ 6 $,$ 18 $,$ 0 $)$ , $C'($ 0 $,$ 18 $,$ 18 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}DA &= BC \\ &= 6 \\ \quad DC &= AB \\ &= 18 \\ \quad DD' &= AA' \\ &= 18\end{aligned}

מקצועות נגדיים בתיבה שווים

A(6, 0, 0), \quad C(0, 18, 0), \quad D'(0, 0, 18)

\begin{aligned}B &= A + \overrightarrow{DC} \\ &= (6, 18, 0) \\ \quad C' &= C + \overrightarrow{DD'} \\ &= (0, 18, 18)\end{aligned}

$C(0, 18, 0)$ , $B(6, 18, 0)$ , $C'(0, 18, 18)$ .

תרגיל 5

נתון: $|\underline{v}| = 6$ , $|\underline{w}| = |\underline{u}| = 18$ . נתון: $D(0, 0, 0)$ . הקודקוד $A$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $y$ והקודקוד $D'$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $z$ . ג (2). מצאו את שיעורי הנקודה $M$ .

$M($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $M($ 3 $,$ 18 $,$ 9 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}M &= \frac{B + C'}{2} \\ &= \left(\frac{6 + 0}{2}, \frac{18 + 18}{2}, \frac{0 + 18}{2}\right) \\ &= (3, 18, 9)\end{aligned}

$M$ אמצע האלכסון $BC'$

$M(3, 18, 9)$ .

תרגיל 6

נתון: $|\underline{v}| = 6$ , $|\underline{w}| = |\underline{u}| = 18$ . נתון: $D(0, 0, 0)$ . הקודקוד $A$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $y$ והקודקוד $D'$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $z$ . ד. מצאו את גודל הזווית $PMB$ . (במעלות, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 84.11

הפתרון:

\begin{aligned}P &= \left(0, 0, \tfrac{1}{3} \cdot 18\right) \\ &= (0, 0, 6)\end{aligned}

$DP = \frac{1}{3}DD'$

\begin{aligned}\overrightarrow{MP} &= (-3, -18, -3) \\ \quad \overrightarrow{MB} &= (3, 0, -9)\end{aligned}

\begin{aligned}\cos\angle PMB &= \frac{-9 + 0 + 27}{\sqrt{342} \cdot \sqrt{90}} \\ &= \frac{18}{\sqrt{30780}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{95}}\end{aligned}

\angle PMB \approx 84.11^\circ

$\angle PMB \approx 84.11^\circ$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 3 — דעיכה וגדילה: גלגל ים ומזרן ים

אמיר קנה גלגל ים ומזרן ים. ביום הקנייה נפח הגלגל היה $4{,}900$ סמ״ק ונפח המזרן היה $9{,}800$ סמ״ק. עקב איבוד אוויר, נפח הגלגל ונפח המזרן קטנו באחוז קבוע בכל יום (כל אחד מהם באחוז אחר). כעבור $7$ ימים מיום הקנייה היה נפח הגלגל שווה לנפח המזרן.

תרגיל 1

א. קבעו בעבור כל אחת מן הטענות $I$ – $II$ אם היא נכונה או לא נכונה. I. כעבור $6$ ימים מיום הקנייה היה נפח הגלגל גדול מנפח המזרן. II. כעבור $8$ ימים מיום הקנייה היה נפח הגלגל גדול מנפח המזרן.

אI נכונה, II לא נכונה
בI לא נכונה, II נכונה
גשתי הטענות לא נכונות
דשתי הטענות נכונות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב I לא נכונה, II נכונה

הפתרון:

\begin{aligned}4900\,q_1^{\,7} &= 9800\,q_2^{\,7} \Rightarrow \left(\frac{q_2}{q_1}\right)^7 \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

$q_1$ : הגלגל, $q_2$ : המזרן

\frac{q_2}{q_1} < 1

המזרן מתרוקן מהר יותר

\begin{aligned}\frac{9800\,q_2^{\,t}}{4900\,q_1^{\,t}} &= 2\left(\frac{q_2}{q_1}\right)^t \\ &= 2^{1 - t/7}\end{aligned}

היחס בין נפח המזרן לנפח הגלגל

\begin{aligned}t &= 6: \ 2^{1/7} > 1 \\ \qquad t &= 8: \ 2^{-1/7} < 1\end{aligned}

I לא נכונה: כעבור $6$ ימים נפח המזרן עדיין גדול. II נכונה: כעבור $8$ ימים נפח הגלגל גדול.

תרגיל 2

נתון כי נפח הגלגל קטן ב־ $4\%$ בכל יום. ב. מצאו את האחוז שבו נפח המזרן קטן בכל יום. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13.05

הפתרון:

4900 \cdot 0.96^7 = 9800\,q^7

q = 0.96 \cdot \sqrt[7]{0.5} \approx 0.86949

(1 - 0.86949) \cdot 100 \approx 13.05

נפח המזרן קטן בכ־ $13.05\%$ בכל יום.

תרגיל 3

נתון כי נפח הגלגל קטן ב־ $4\%$ בכל יום. כעבור $t$ ימים מיום הקנייה היה נפח המזרן $\frac{1}{3}$ מנפח הגלגל. ג. מצאו את הערך של $t$ . (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18.09

הפתרון:

9800 \cdot q^t = \frac{1}{3} \cdot 4900 \cdot 0.96^t

\begin{aligned}\left(\frac{q}{0.96}\right)^t &= \frac{1}{6} \Rightarrow 0.5^{t/7} \\ &= \frac{1}{6}\end{aligned}

$\frac{q}{0.96} = \sqrt[7]{0.5}$

t = \frac{7\log 6}{\log 2} \approx 18.09

$t \approx 18.09$ ימים.

תרגיל 4

נתון כי נפח הגלגל קטן ב־ $4\%$ בכל יום. כעבור $t$ ימים מיום הקנייה היה נפח המזרן $\frac{1}{3}$ מנפח הגלגל. לאחר כמה שבועות החליט אמיר לנפח את המזרן. במהלך הניפוח גדל נפח המזרן בכל דקה ב־ $23\%$ . בסיום הניפוח היה נפח המזרן גדול פי $7.5$ מן הנפח שלו בתחילת הניפוח. ד. מצאו את מספר הדקות שנמשך ניפוח המזרן. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9.73

הפתרון:

V_0 \cdot 1.23^n = 7.5\,V_0

n = \frac{\log 7.5}{\log 1.23} \approx 9.73

הניפוח נמשך כ־ $9.73$ דקות.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 4 — פונקציה מעריכית

הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מקסימום אחת בלבד ושיעור ה־ $x$ שלה חיובי. לפניכם שני גרפים, $I$ ו־ $II$ , אחד מהם מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .

הגרפים I–II

תרגיל 1

א. קבעו איזה מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , ונמקו את קביעתכם.

אגרף II: הוא עובר מחיובי לשלילי משמאל לציר ה־ $y$
בשני הגרפים מתאימים: לשניהם שתי נקודות חיתוך עם ציר ה־ $x$
גגרף II: הוא חיובי בקצה הימני של הסרטוט
דגרף I: הוא עובר מחיובי לשלילי רק מימין לציר ה־ $y$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף I: הוא עובר מחיובי לשלילי רק מימין לציר ה־ $y$

הפתרון:

f' : + \to -

מקסימום של $f$

x_{\max} > 0

הנתון

\text{I}: \ - \to + \ (x < 0), \quad + \to - \ (x > 0)

גרף I: המעבר היחיד מחיובי לשלילי הוא מימין לציר ה־ $y$ . בגרף II המעבר מחיובי לשלילי הוא משמאל לציר ה־ $y$ : מקסימום ב־ $x$ שלילי.

תרגיל 2

נתון: $f(x) = (x^2 - 2) \cdot e^{-2x + 1}$ . ב (1). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ . (מהקטנה ל־ $x$ לגדולה; בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ -1.414 $,$ 0 $)$ , $($ 1.414 $,$ 0 $)$

הפתרון:

e^{-2x + 1} > 0

חזקה של בסיס חיובי

\begin{aligned}x^2 - 2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm\sqrt{2} \approx \pm 1.414\end{aligned}

נקודות החיתוך: $(-\sqrt{2}, 0)$ , $(\sqrt{2}, 0)$ .

תרגיל 3

נתון: $f(x) = (x^2 - 2) \cdot e^{-2x + 1}$ . ב (2). מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגן. (מהקטנה ל־ $x$ לגדולה; את $y$ בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ -1 $,$ -20.086 $)$ , $($ 2 $,$ 0.1 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 2x \cdot e^{-2x + 1} - 2(x^2 - 2)\,e^{-2x + 1} \\ &= -2(x^2 - x - 2)\,e^{-2x + 1}\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

\begin{aligned}f'(x) &= -2(x + 1)(x - 2)\,e^{-2x + 1} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1 \\ \ x &= 2\end{aligned}

x < -1: f' < 0, \quad -1 < x < 2: f' > 0, \quad x > 2: f' < 0

(-1, -e^3) \approx (-1, -20.086): \ \min, \qquad \left(2, \tfrac{2}{e^3}\right) \approx (2, 0.100): \ \max

מינימום ב־ $(-1, -e^3)$ , מקסימום ב־ $\left(2, \frac{2}{e^3}\right)$ .

תרגיל 4

הגרפים I–IV

נתון: $f(x) = (x^2 - 2) \cdot e^{-2x + 1}$ . ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף III
בגרף IV
גגרף I
דגרף II

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף II

הפתרון:

x \to -\infty: f \to \infty, \qquad x \to \infty: f \to 0

\min(-1, -e^3), \ \max\left(2, \tfrac{2}{e^3}\right), \ (\pm\sqrt{2}, 0)

סעיף ב

f(0) = -2e < 0

גרף II: יורד מ־ $+\infty$ אל מינימום עמוק ב־ $x = -1$ , עולה אל מקסימום נמוך ב־ $x = 2$ , ומתקרב לציר ה־ $x$ מלמעלה. גרף I הוא $-f$ , גרף III הוא $f(-x)$ , וגרף IV הוא $|f|$ . (בגרפים הציר האנכי מכווץ.)

תרגיל 5

נתון: $f(x) = (x^2 - 2) \cdot e^{-2x + 1}$ . נתונה הפונקציה $g(x) = 7 \cdot e^{-2x + 1}$ המוגדרת לכל $x$ . ד (1). הסבירו מדוע הפונקציה $g(x)$ חיובית לכל $x$ .

אכי $e^{-2x + 1} > 0$ לכל $x$ , ו־ $7 > 0$
בכי $-2x + 1 > 0$ לכל $x$ , ולכן החזקה חיובית
גכי $g(0) = 7e > 0$ , ו־ $g$ יורדת לכל $x$
דכי $e > 1$ , ולכן $e^{-2x + 1} > 1$ לכל $x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כי $e^{-2x + 1} > 0$ לכל $x$ , ו־ $7 > 0$

הפתרון:

e^{-2x + 1} > 0

חזקה של בסיס חיובי חיובית לכל מעריך

g(x) = 7 \cdot e^{-2x + 1} > 0

$g(x) > 0$ לכל $x$ .

תרגיל 6

נתון: $f(x) = (x^2 - 2) \cdot e^{-2x + 1}$ . נתונה הפונקציה $g(x) = 7 \cdot e^{-2x + 1}$ המוגדרת לכל $x$ . ד (2). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם גרף הפונקציה $g(x)$ . (מהקטנה ל־ $x$ לגדולה; הנקודות הן $(x_1, 7e^{k_1})$ ו־ $(x_2, 7e^{k_2})$ .)

$x_1 =$ ____ , $k_1 =$ ____ , $x_2 =$ ____ , $k_2 =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x_1 =$ -3 , $k_1 =$ 7 , $x_2 =$ 3 , $k_2 =$ -5

הפתרון:

(x^2 - 2)\,e^{-2x + 1} = 7\,e^{-2x + 1}

מחלקים ב־ $e^{-2x + 1} > 0$

\begin{aligned}x^2 &= 9 \Rightarrow x \\ &= \pm 3\end{aligned}

\begin{aligned}g(-3) &= 7e^{7} \approx 7676.43 \\ \qquad g(3) &= 7e^{-5} \approx 0.047\end{aligned}

נקודות החיתוך: $(-3, 7e^7)$ , $(3, 7e^{-5})$ .

תרגיל 7

נתון: $f(x) = (x^2 - 2) \cdot e^{-2x + 1}$ . נתונה הפונקציה $g(x) = 7 \cdot e^{-2x + 1}$ המוגדרת לכל $x$ . דרך כל אחת מן הנקודות שמצאתם בסעיף ד העבירו אנך לציר ה־ $x$ . ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$ , על ידי ציר ה־ $x$ ועל ידי האנכים. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3838.19

הפתרון:

\begin{aligned}S &= \int_{-3}^{3} 7e^{-2x + 1}\,dx \\ &= \left[-\frac{7}{2}e^{-2x + 1}\right]_{-3}^{3}\end{aligned}

$g > 0$ (סעיף ד (1))

S = \frac{7}{2}\left(e^{7} - e^{-5}\right) \approx 3838.19

השטח: $\frac{7}{2}\left(e^7 - e^{-5}\right) \approx 3838.19$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{12x}{(\ln x)^2}$ .

תרגיל 1

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

א $x \neq 1$
ב $x > 0$ , $x \neq 1$
ג $x > 1$
ד $x > 0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x > 0$ , $x \neq 1$

הפתרון:

x > 0

תחום ההגדרה של $\ln x$

(\ln x)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1

המכנה שונה מ־ $0$

תחום ההגדרה: $x > 0$ , $x \neq 1$ .

תרגיל 2

א (2). מצאו את משוואת האסימפטוטה האנכית לציר ה־ $x$ של הפונקציה $f(x)$ .

$x =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x =$ 1

הפתרון:

x \to 1: \ (\ln x)^2 \to 0^+, \quad 12x \to 12 \Rightarrow f(x) \to \infty

האסימפטוטה: $x = 1$ .

תרגיל 3

א (3). האם לגרף הפונקציה $f(x)$ יש נקודות חיתוך עם הצירים? נמקו את תשובתכם.

אכן: בראשית הצירים, כי $f(0) = 0$
בכן: עם ציר ה־ $y$ בלבד, כי $12x$ מתאפס
גכן: עם ציר ה־ $x$ בנקודה שבה $x = 1$
דלא: $x = 0$ אינו בתחום, ו־ $12x > 0$ בתחום

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לא: $x = 0$ אינו בתחום, ו־ $12x > 0$ בתחום

הפתרון:

x > 0

תחום ההגדרה: $x = 0$ אינו בתחום, ולכן אין חיתוך עם ציר ה־ $y$

\begin{aligned}f(x) &= 0 \iff 12x \\ &= 0 \iff x \\ &= 0\end{aligned}

אין חיתוך עם ציר ה־ $x$

לא: לגרף אין נקודות חיתוך עם הצירים.

תרגיל 4

ב (1). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה. (בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 7.389 $,$ 22.167 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{12(\ln x)^2 - 12x \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^4} \\ &= \frac{12(\ln x - 2)}{(\ln x)^3}\end{aligned}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= e^2\end{aligned}

1 < x < e^2: f' < 0, \quad x > e^2: f' > 0

מינימום

\begin{aligned}f(e^2) &= \frac{12e^2}{4} \\ &= 3e^2 \approx 22.167\end{aligned}

מינימום ב־ $(e^2, 3e^2) \approx (7.389, 22.167)$ .

תרגיל 5

ב (2). מצאו את תחומי העלייה של הפונקציה $f(x)$ .

א $0 < x < 1$ , $x > e^2$
ב $x > e^2$ בלבד
ג $0 < x < 1$ , $1 < x < e^2$
ד $1 < x < e^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $0 < x < 1$ , $x > e^2$

הפתרון:

0 < x < 1: \ \frac{(-)}{(-)} > 0

$\ln x - 2 < 0$ , $(\ln x)^3 < 0$

1 < x < e^2: \ \frac{(-)}{(+)} < 0, \qquad x > e^2: \ \frac{(+)}{(+)} > 0

$f(x)$ עולה ב־ $0 < x < 1$ וב־ $x > e^2$ .

תרגיל 6

הגרפים I–IV

ג. קבעו איזה מן הגרפים $I$ – $IV$ שבסוף השאלה מתאר את הפונקציה $f(x)$ .

אגרף I: עולה מראשית הצירים אל האסימפטוטה
בגרף III: יש לו מקסימום מימין לאסימפטוטה
גגרף II: יש לו מינימום מימין לאסימפטוטה
דגרף IV: חיובי משני צדי האסימפטוטה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף IV: חיובי משני צדי האסימפטוטה

הפתרון:

f(x) = \frac{12x}{(\ln x)^2} > 0

בכל התחום

x \to 0^+: f \to 0, \qquad x \to 1: f \to \infty

\min(e^2, 3e^2)

סעיף ב

גרף IV: עולה מראשית הצירים אל האסימפטוטה $x = 1$ , ומימינה יורד אל המינימום $(e^2, 3e^2)$ ועולה. בגרפים I, II ו־III יש ענף שלילי.

תרגיל 7

$g(x)$ היא פונקציה שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . נגזרת הפונקציה $g(x)$ מקיימת $g'(x) = f(x) - c$ , $c$ הוא פרמטר. ד (1). מצאו בעבור $c = 4$ כמה נקודות קיצון יש לפונקציה $g(x)$ , וקבעו את סוגן (אם יש כאלה). נמקו את תשובתכם.

אאין נקודות קיצון, כי $f(x) > 4$ לכל $x$ בתחום
בנקודת קיצון אחת, מקסימום, בקטע $0 < x < 1$
גנקודת קיצון אחת, מינימום, בקטע $0 < x < 1$
דשלוש נקודות קיצון: שני מינימומים ומקסימום אחד

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג נקודת קיצון אחת, מינימום, בקטע $0 < x < 1$

הפתרון:

g'(x) = f(x) - 4

0 < x < 1: \ f(x) \nearrow, \quad f \to 0 \ (x \to 0^+), \quad f \to \infty \ (x \to 1^-)

$f$ עולה ומקבלת את הערך $4$ פעם אחת: $g'$ עוברת משלילי לחיובי

x > 1: \ f(x) \ge 3e^2 \approx 22.17 > 4 \Rightarrow g' > 0

המינימום של $f$ (סעיף ב)

לפונקציה $g(x)$ נקודת קיצון אחת, מינימום, בקטע $0 < x < 1$ .

תרגיל 8

$g(x)$ היא פונקציה שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . נגזרת הפונקציה $g(x)$ מקיימת $g'(x) = f(x) - c$ , $c$ הוא פרמטר. ד (2). רשמו ערך כלשהו של $c$ שבעבורו יש לפונקציה $g(x)$ שלוש נקודות קיצון. נמקו את תשובתכם. (בחרו ערך מתאים.)

א $c = 3e^2$
ב $c = 0$
ג $c = 22$
ד $c = 30$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $c = 30$

הפתרון:

\begin{aligned}g'(x) &= 0 \iff f(x) \\ &= c\end{aligned}

c > 3e^2 \approx 22.17

הישר $y = c$ חותך את הענף השמאלי פעם אחת ואת הענף הימני פעמיים

c = 30 > 22.17

למשל $c = 30$ : $f(x) = 30$ בשלוש נקודות, ובכל אחת $g'$ מחליפה סימן.

לפתור את השאלה באתר

בגרות במתמטיקה 35472, חורף 2025 — פתרון מלא

מבנה הבחינה

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — סדרות: סדרה הנדסית וסדרה חשבונית

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 2 — תיבה, וקטורים ומערכת צירים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 3 — דעיכה וגדילה: גלגל ים ומזרן ים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 4 — פונקציה מעריכית

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

תרגיל 8

לפתור את הבחינה כמו ביום הבגרות