בגרות במתמטיקה 35472 חורף 2026

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — סדרות: יריד ספרים

יריד ספרים ביישוב מסוים נמשך $7$ ימים. כמות הספרים שנמכרו בכל יום ביריד הייתה גדולה פי $2$ מכמות הספרים שנמכרו ביום שלפניו. ידוע כי בשלושת הימים הראשונים של היריד נמכרו $420$ ספרים סך הכול.

תרגיל 1

א. מצאו כמה ספרים נמכרו ביום הראשון של היריד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

\begin{aligned}a_1 + 2a_1 + 4a_1 &= 7a_1 \\ &= 420\end{aligned}

סדרה הנדסית שמנתה $2$

a_1 = 60

ביום הראשון נמכרו $60$ ספרים.

תרגיל 2

כל ספר ביריד נמכר ב־ $50$ שקלים. ב. מצאו את סך כל ההכנסות ממכירת הספרים במשך $7$ ימי היריד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 381000

הפתרון:

\begin{aligned}S_7 &= \frac{60\,(2^7 - 1)}{2 - 1} \\ &= 60 \cdot 127 \\ &= 7620\end{aligned}

סכום סדרה הנדסית

7620 \cdot 50 = 381000

ההכנסות: $381{,}000$ שקלים.

תרגיל 3

כל ספר ביריד נמכר ב־ $50$ שקלים. לאחר שהסתיים יריד הספרים החליט מנהל היריד לתרום מחצית מכל ההכנסות שהתקבלו ביריד. מנהל היריד פרס את התרומה לכמה חודשים. בחודש הראשון הוא תרם $4{,}315$ שקלים, ובכל חודש שלאחר מכן הוא תרם $315$ שקלים יותר מבחודש שלפניו. ג. מצאו לכמה חודשים פרס מנהל היריד את התרומה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

\begin{aligned}S_n &= \frac{381000}{2} \\ &= 190500\end{aligned}

מחצית ההכנסות

\frac{n}{2}\left(2 \cdot 4315 + (n - 1) \cdot 315\right) = 190500

סכום סדרה חשבונית

315n^2 + 8315n - 381000 = 0

\begin{aligned}n &= \frac{-8315 + \sqrt{8315^2 + 4 \cdot 315 \cdot 381000}}{2 \cdot 315} \\ &= \frac{-8315 + 23435}{630} \\ &= 24\end{aligned}

$n$ טבעי וחיובי

התרומה נפרסה על $24$ חודשים.

תרגיל 4

כל ספר ביריד נמכר ב־ $50$ שקלים. לאחר שהסתיים יריד הספרים החליט מנהל היריד לתרום מחצית מכל ההכנסות שהתקבלו ביריד. מנהל היריד פרס את התרומה לכמה חודשים. בחודש הראשון הוא תרם $4{,}315$ שקלים, ובכל חודש שלאחר מכן הוא תרם $315$ שקלים יותר מבחודש שלפניו. ד. מצאו מהו סכום הכסף שתרם מנהל היריד סך הכול בשני החודשים האמצעיים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15875

הפתרון:

\text{החודשים האמצעיים: } 12 \text{ ו־} 13

מתוך $24$ חודשים

\begin{aligned}b_{12} + b_{13} &= (4315 + 11 \cdot 315) + (4315 + 12 \cdot 315) \\ &= 7780 + 8095\end{aligned}

= 15875

בשני החודשים האמצעיים נתרמו $15{,}875$ שקלים.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 2 — מנסרה ישרה, וקטורים

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $C'D'$ , והנקודה $P$ מקיימת $\overrightarrow{AP} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AA'}$ . נסמן: $\overrightarrow{AA'} = \underline{w}$ , $\overrightarrow{AD} = \underline{v}$ , $\overrightarrow{AB} = \underline{u}$ .

תרגיל 1

א. הביעו באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ו־ $\underline{w}$ את הווקטורים $\overrightarrow{CM}$ ו־ $\overrightarrow{PM}$ .

א $\overrightarrow{CM} = \underline{w} + \frac{1}{2}\underline{u}$ , $\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}$
ב $\overrightarrow{CM} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{v}$ , $\overrightarrow{PM} = \underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}$
ג $\overrightarrow{CM} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u}$ , $\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{3}{4}\underline{w}$
ד $\overrightarrow{CM} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u}$ , $\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\overrightarrow{CM} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u}$ , $\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}$

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{CM} &= \overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{C'M} \\ &= \underline{w} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C'D'} \\ &= \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u}\end{aligned}

$\overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{BA} = -\underline{u}$

\begin{aligned}\overrightarrow{PM} &= \overrightarrow{PA'} + \overrightarrow{A'D'} + \overrightarrow{D'M} \\ &= \frac{1}{4}\underline{w} + \underline{v} + \frac{1}{2}\underline{u}\end{aligned}

$\overrightarrow{PA'} = \frac{1}{4}\underline{w}$

$\overrightarrow{CM} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u}$ , $\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}$ .

תרגיל 2

נתון: $|\underline{u}| = 8$ , $|\underline{v}| = 10$ , $\angle DAB = 60^\circ$ . ב. מצאו את הערך של כל אחת מן המכפלות הסקלריות האלה: $\underline{u} \cdot \underline{w}$ , $\underline{v} \cdot \underline{w}$ , $\underline{u} \cdot \underline{v}$ .

$\underline{u} \cdot \underline{w} =$ ____ , $\underline{v} \cdot \underline{w} =$ ____ , $\underline{u} \cdot \underline{v} =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\underline{u} \cdot \underline{w} =$ 0 , $\underline{v} \cdot \underline{w} =$ 0 , $\underline{u} \cdot \underline{v} =$ 40

הפתרון:

\underline{w} \perp \underline{u}, \quad \underline{w} \perp \underline{v}

מנסרה ישרה: המקצוע הצדדי מאונך לבסיס

\begin{aligned}\underline{u} \cdot \underline{v} &= 8 \cdot 10 \cdot \cos 60^\circ \\ &= 40\end{aligned}

$\underline{u} \cdot \underline{w} = 0$ , $\underline{v} \cdot \underline{w} = 0$ , $\underline{u} \cdot \underline{v} = 40$ .

תרגיל 3

נתון: $|\underline{u}| = 8$ , $|\underline{v}| = 10$ , $\angle DAB = 60^\circ$ . נתון: נפח המנסרה הוא $480\sqrt{3}$ . ג. מצאו את הערך של $|\underline{w}|$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}S_{ABCD} &= 8 \cdot 10 \cdot \sin 60^\circ \\ &= 40\sqrt{3}\end{aligned}

שטח מקבילית

\begin{aligned}40\sqrt{3} \cdot |\underline{w}| &= 480\sqrt{3} \Rightarrow |\underline{w}| \\ &= 12\end{aligned}

נפח מנסרה ישרה: שטח הבסיס כפול הגובה

$|\underline{w}| = 12$ .

תרגיל 4

נתון: $|\underline{u}| = 8$ , $|\underline{v}| = 10$ , $\angle DAB = 60^\circ$ . נתון: נפח המנסרה הוא $480\sqrt{3}$ . ד. הוכיחו כי $\overrightarrow{PM}$ מאונך ל־ $\overrightarrow{CM}$ .

$\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}$ , $\overrightarrow{CM} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u}$
$|\underline{u}| = 8$ , $|\underline{w}| = 12$ , $\underline{u} \cdot \underline{v} = 40$ , $\underline{u} \cdot \underline{w} = \underline{v} \cdot \underline{w} = 0$

$\overrightarrow{PM} \perp \overrightarrow{CM}$

להציג את התשובה והפתרון

$\overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{CM} = -\frac{1}{4}|\underline{u}|^2 - \frac{1}{2}\underline{u} \cdot \underline{v} + \frac{1}{4}|\underline{w}|^2$ — פתיחת סוגריים; המכפלות עם $\underline{w}$ של $\underline{u}$ ו־ $\underline{v}$ מתאפסות
$\overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{CM} = -16 - 20 + 36 = 0$ — מציבים $|\underline{u}|^2 = 64$ , $\underline{u} \cdot \underline{v} = 40$ , $|\underline{w}|^2 = 144$
$\overrightarrow{PM} \perp \overrightarrow{CM}$ — מכפלה סקלרית אפס של וקטורים שונים מאפס

הפתרון:

\overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{CM} = -\tfrac{1}{4}\underline{u}^2 + \tfrac{1}{2}\underline{u} \cdot \underline{w} - \tfrac{1}{2}\underline{u} \cdot \underline{v} + \underline{v} \cdot \underline{w} - \tfrac{1}{8}\underline{u} \cdot \underline{w} + \tfrac{1}{4}\underline{w}^2

= -16 + 0 - 20 + 0 - 0 + 36 = 0

המכפלה הסקלרית היא $0$ : $\overrightarrow{PM} \perp \overrightarrow{CM}$ .

תרגיל 5

נתון: $|\underline{u}| = 8$ , $|\underline{v}| = 10$ , $\angle DAB = 60^\circ$ . נתון: נפח המנסרה הוא $480\sqrt{3}$ . ה (1). הראו כי $\left|\overrightarrow{PM}\right| = \sqrt{165}$ .

$\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}$
$|\underline{u}| = 8$ , $|\underline{v}| = 10$ , $|\underline{w}| = 12$ , $\underline{u} \cdot \underline{v} = 40$ , $\underline{u} \cdot \underline{w} = \underline{v} \cdot \underline{w} = 0$

$\left|\overrightarrow{PM}\right| = \sqrt{165}$

להציג את התשובה והפתרון

$\left|\overrightarrow{PM}\right|^2 = \frac{1}{4}|\underline{u}|^2 + |\underline{v}|^2 + \frac{1}{16}|\underline{w}|^2 + \underline{u} \cdot \underline{v}$ — ריבוע של סכום וקטורים; המכפלות עם $\underline{w}$ מתאפסות
$\left|\overrightarrow{PM}\right|^2 = 16 + 100 + 9 + 40 = 165$ — מציבים את הנתונים
$\left|\overrightarrow{PM}\right| = \sqrt{165}$ — אורך הוא מספר חיובי

הפתרון:

\left|\overrightarrow{PM}\right|^2 = \tfrac{1}{4} \cdot 64 + 100 + \tfrac{1}{16} \cdot 144 + 2 \cdot \tfrac{1}{2}\,\underline{u} \cdot \underline{v}

= 16 + 100 + 9 + 40 = 165

$\left|\overrightarrow{PM}\right| = \sqrt{165}$ .

תרגיל 6

נתון: $|\underline{u}| = 8$ , $|\underline{v}| = 10$ , $\angle DAB = 60^\circ$ . נתון: נפח המנסרה הוא $480\sqrt{3}$ . ה (2). חשבו את שטח המשולש $PMC$ . (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 81.24

הפתרון:

\begin{aligned}\left|\overrightarrow{CM}\right|^2 &= 144 + \tfrac{1}{4} \cdot 64 \\ &= 160 \Rightarrow CM \\ &= 4\sqrt{10}\end{aligned}

$\underline{u} \perp \underline{w}$

\begin{aligned}S &= \frac{PM \cdot CM}{2} \\ &= \frac{\sqrt{165} \cdot 4\sqrt{10}}{2} \\ &= 10\sqrt{66} \approx 81.24\end{aligned}

הזווית $PMC$ ישרה (סעיף ד)

שטח המשולש $PMC$ : $10\sqrt{66} \approx 81.24$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 3 — דעיכה: טמפרטורת ריבות

יעל הכינה שתי ריבות – ריבת תות וריבת שזיפים. היא מדדה את הטמפרטורה ההתחלתית של כל אחת מן הריבות באותו הזמן, ואז הכניסה אותן מייד למקרר. הטמפרטורה של הריבות נמדדה במעלות צלזיוס. הטמפרטורה ההתחלתית של ריבת התות הייתה גבוהה מזו של ריבת השזיפים. בכל דקה ירדה הטמפרטורה של כל אחת מן הריבות באחוז קבוע (כל אחת באחוז שונה). נתון כי לאחר זמן מסוים מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת השזיפים גבוהה מזו של ריבת התות.

תרגיל 1

א. האם האחוז שבו ירדה בכל דקה הטמפרטורה של ריבת התות היה גדול מן האחוז שבו ירדה בכל דקה הטמפרטורה של ריבת השזיפים? נמקו את תשובתכם.

אכן: ריבת התות התחילה חמה יותר והפכה לקרה יותר
בלא: ריבת התות חמה יותר, ולכן היא מתקררת לאט יותר
גאי אפשר לדעת בלי לדעת את הטמפרטורות ההתחלתיות
דלא: שתי הריבות יורדות באותו מספר מעלות בכל דקה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כן: ריבת התות התחילה חמה יותר והפכה לקרה יותר

הפתרון:

\begin{aligned}T_1(t) &= T_1 q_1^t \\ \quad T_2(t) &= T_2 q_2^t \\ \quad T_1 > T_2\end{aligned}

$1$ : תות, $2$ : שזיפים

q_1 \ge q_2 \Rightarrow T_1 q_1^t > T_2 q_2^t \ \text{לכל } t

אחוז ירידה קטן או שווה שומר על הסדר

\Rightarrow q_1 < q_2

בזמן מסוים ריבת השזיפים חמה יותר

כן: אחוז הירידה של ריבת התות גדול יותר.

תרגיל 2

נתון שהטמפרטורה ההתחלתית של ריבת התות הייתה $42$ מעלות, ובכל דקה היא ירדה ב־ $4\%$ . ב. מצאו כעבור כמה זמן מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת התות $15$ מעלות. (בדקות, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25.22

הפתרון:

42 \cdot 0.96^t = 15

t = \frac{\log(15 / 42)}{\log 0.96} \approx 25.22

כעבור כ־ $25.22$ דקות.

תרגיל 3

נתון שהטמפרטורה ההתחלתית של ריבת התות הייתה $42$ מעלות, ובכל דקה היא ירדה ב־ $4\%$ . לאחר $6$ דקות מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת השזיפים $88\%$ מן הטמפרטורה ההתחלתית שלה. ג. מצאו בכמה אחוזים ירדה הטמפרטורה של ריבת השזיפים בכל דקה. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.11

הפתרון:

\begin{aligned}q^6 &= 0.88 \Rightarrow q \\ &= \sqrt[6]{0.88} \approx 0.97892\end{aligned}

(1 - 0.97892) \cdot 100 \approx 2.11

הטמפרטורה של ריבת השזיפים ירדה בכ־ $2.11\%$ בכל דקה.

תרגיל 4

נתון שהטמפרטורה ההתחלתית של ריבת התות הייתה $42$ מעלות, ובכל דקה היא ירדה ב־ $4\%$ . לאחר $6$ דקות מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת השזיפים $88\%$ מן הטמפרטורה ההתחלתית שלה. לאחר $10$ דקות מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת השזיפים $31$ מעלות. ד. מצאו כעבור כמה זמן מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של שתי הריבות זהה. (בדקות, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.64

הפתרון:

T_2 \cdot 0.97892^{10} = 31 \Rightarrow T_2 \approx 38.36

הטמפרטורה ההתחלתית של ריבת השזיפים

42 \cdot 0.96^t = 38.36 \cdot 0.97892^t

t = \frac{\log(42 / 38.36)}{\log(0.97892 / 0.96)} \approx 4.64

כעבור כ־ $4.64$ דקות.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 4 — פונקציה מעריכית זוגית

הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש רק נקודת מינימום אחת ושתי נקודות מקסימום. לפניכם שני גרפים, $I$ – $II$ . אחד מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . בסרטוט של כל אחד מן הגרפים $I$ – $II$ מופיעות כל נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה־ $x$ .

הגרפים I–II

תרגיל 1

א. קבעו איזה מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . נמקו את קביעתכם.

אגרף I: שני מעברים מחיובי לשלילי ואחד משלילי לחיובי
בגרף II: הוא עובר משלילי לחיובי פעמיים
גשני הגרפים מתאימים: לשניהם שלוש נקודות חיתוך עם ציר ה־ $x$
דגרף II: הוא עובר דרך ראשית הצירים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א גרף I: שני מעברים מחיובי לשלילי ואחד משלילי לחיובי

הפתרון:

f' : + \to -

מקסימום של $f$

f' : - \to +

מינימום של $f$

+ \to - \to + \to -

שני מקסימומים ומינימום אחד: הסימנים של גרף I משמאל לימין

גרף I. בגרף II הסימנים הפוכים: הוא מתאר שני מינימומים ומקסימום אחד.

תרגיל 2

נתון: $f(x) = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}$ . ב. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ .

$($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 0 $,$ 0 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}6x^2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

המכנה חיובי תמיד

נקודת החיתוך: $(0, 0)$ .

תרגיל 3

נתון: $f(x) = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}$ . ג. הוכיחו כי הפונקציה $f(x)$ היא זוגית.

$f(x) = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}$ מוגדרת לכל $x$

$f(x)$ זוגית

להציג את התשובה והפתרון

$(-x)^2 = x^2$ — חזקה זוגית של מספר נגדי
$f(-x) = \frac{6(-x)^2}{e^{(-x)^2 + 2}} = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}$ — הצבה של $-x$
$f(-x) = f(x)$ לכל $x$ — השוואה לנוסחת הפונקציה
$f(x)$ זוגית — הגדרת פונקציה זוגית, ותחום ההגדרה סימטרי

הפתרון:

\begin{aligned}f(-x) &= \frac{6(-x)^2}{e^{(-x)^2 + 2}} \\ &= \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}} \\ &= f(x)\end{aligned}

$f(-x) = f(x)$ לכל $x$ : הפונקציה זוגית.

תרגיל 4

נתון: $f(x) = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}$ . ד. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגן. (מהקטנה ל־ $x$ לגדולה; את $y$ בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ -1 $,$ 0.299 $)$ , $($ 0 $,$ 0 $)$ , $($ 1 $,$ 0.299 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{12x - 12x^3}{e^{x^2 + 2}} \\ &= \frac{12x(1 - x)(1 + x)}{e^{x^2 + 2}}\end{aligned}

$\left(e^{x^2 + 2}\right)' = 2x\,e^{x^2 + 2}$

\begin{aligned}f' &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1 \\ 0 \\ 1\end{aligned}

(\pm 1, 6e^{-3}) \approx (\pm 1, 0.299): \ \max, \qquad (0, 0): \ \min

הסימנים: $+, -, +, -$

מקסימום ב־ $\left(\pm 1, \frac{6}{e^3}\right)$ , מינימום ב־ $(0, 0)$ .

תרגיל 5

הגרפים I–IV

נתון: $f(x) = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}$ . ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף I
בגרף III
גגרף II
דגרף IV

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף III

הפתרון:

\begin{aligned}f \ge 0 \\ \quad f(-x) &= f(x)\end{aligned}

סעיפים ב–ג

\max(\pm 1, 0.299), \ \min(0, 0)

סעיף ד

x \to \pm\infty: f \to 0

האסימפטוטה $y = 0$

גרף III: סימטרי, נוגע בראשית, שתי פסגות ב־ $x = \pm 1$ , ומתקרב לציר ה־ $x$ בשני הצדדים. גרף I הפוך, בגרף II הפסגות רחוקות, וגרף IV אינו סימטרי.

תרגיל 6

נתון: $f(x) = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}$ . ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ ועל ידי ציר ה־ $x$ . (בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.597

הפתרון:

\begin{aligned}f' &= 0 \ \text{ב־} \ x \\ &= -1 \\ 0 \\ 1\end{aligned}

השטחים הסגורים: בין $-1$ ל־ $0$ ובין $0$ ל־ $1$

\begin{aligned}\int_0^1 f'(x)\,dx &= f(1) - f(0) \\ &= \frac{6}{e^3}\end{aligned}

$f' > 0$ בקטע

\begin{aligned}\int_{-1}^0 |f'(x)|\,dx &= f(-1) - f(0) \\ &= \frac{6}{e^3}\end{aligned}

$f' < 0$ בקטע, והפונקציה זוגית

S = \frac{12}{e^3} \approx 0.597

השטח: $\frac{12}{e^3} \approx 0.597$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית עם פרמטר

נתונה הפונקציה $f(x) = ax \cdot (2 - \ln x)$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ־ $0$ .

תרגיל 1

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x >$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x >$ 0

הפתרון:

x > 0

תחום ההגדרה של $\ln x$

תחום ההגדרה: $x > 0$ .

תרגיל 2

א (2). מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ . (הנקודה היא $(e^k, 0)$ .)

$k =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $k =$ 2

הפתרון:

ax \neq 0 \ (x > 0, \ a \neq 0)

\begin{aligned}2 - \ln x &= 0 \Rightarrow x \\ &= e^2\end{aligned}

נקודת החיתוך: $(e^2, 0)$ .

תרגיל 3

נתון כי בנקודה שבה $x = e^3$ , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ הוא $-8$ . ב. מצאו את הערך של $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= a(2 - \ln x) + ax \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) \\ &= a(1 - \ln x)\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

\begin{aligned}f'(e^3) &= a(1 - 3) \\ &= -2a \\ &= -8 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

$a = 4$ .

תרגיל 4

נתון כי בנקודה שבה $x = e^3$ , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ הוא $-8$ . הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ד. ג (1). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה. (בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 2.718 $,$ 10.873 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 4(1 - \ln x) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= e\end{aligned}

x < e: f' > 0, \quad x > e: f' < 0

מקסימום

\begin{aligned}f(e) &= 4e(2 - 1) \\ &= 4e \approx 10.873\end{aligned}

מקסימום ב־ $(e, 4e) \approx (2.718, 10.873)$ .

תרגיל 5

הגרפים I–IV

נתון כי בנקודה שבה $x = e^3$ , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ הוא $-8$ . הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ד. ג (2). קבעו איזה מן הגרפים $I$ – $IV$ שבסוף השאלה מתאר את הפונקציה $f(x)$ . נמקו את קביעתכם.

אגרף I: יש לו מקסימום, והוא מתקרב לציר ה־ $x$ מימין
בגרף II: מקסימום ב־ $(e, 4e)$ , ויורד אל $-\infty$
גגרף IV: יוצא מהראשית ויורד אל נקודת מינימום
דגרף III: יש לו מינימום

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף II: מקסימום ב־ $(e, 4e)$ , ויורד אל $-\infty$

הפתרון:

x \to 0^+: \ 4x(2 - \ln x) \to 0

$x\ln x \to 0$

\max(e, 4e), \quad (e^2, 0)

סעיפים א, ג (1)

x > e^2: f < 0, \ f \to -\infty

גרף I נפסל: אינו חוצה את ציר ה־ $x$

גרף II. גרף I אינו חוצה את הציר, וגרפים III ו־IV הם בעלי מינימום (שליליים ליד הראשית).

תרגיל 6

נתון כי בנקודה שבה $x = e^3$ , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ הוא $-8$ . הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ד. נתונה הפונקציה $g(x) = -2f(x) + 37$ . ד (1). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $g(x)$ , וקבעו את סוגה. (בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 2.718 $,$ 15.254 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}g'(x) &= -2f'(x) \\ &= 0 \iff x \\ &= e\end{aligned}

g(e) = -8e + 37 \approx 15.254

x < e: g' < 0, \quad x > e: g' > 0

הכפל ב־ $-2$ הופך את המקסימום למינימום

מינימום ב־ $(e, 37 - 8e) \approx (2.718, 15.254)$ .

תרגיל 7

נתון כי בנקודה שבה $x = e^3$ , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ הוא $-8$ . הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ד. נתונה הפונקציה $g(x) = -2f(x) + 37$ . ד (2). האם גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את גרף הפונקציה $g(x)$ ? נמקו את תשובתכם.

אכן: $f$ מקבלת את כל הערכים, ולכן יש פתרון ל־ $f = g$
בכן: בנקודה $x = e$ , שבה לשתי הפונקציות יש קיצון
גלא: $g$ חיובית ו־ $f$ שלילית בכל התחום
דלא: הערך הגדול ביותר של $f$ הוא $4e < \frac{37}{3}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לא: הערך הגדול ביותר של $f$ הוא $4e < \frac{37}{3}$

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= -2f(x) + 37 \iff f(x) \\ &= \frac{37}{3} \approx 12.33\end{aligned}

f(x) \le 4e \approx 10.87 < 12.33

המקסימום של $f$ (סעיף ג (1))

לא. הגרפים אינם נחתכים.

לפתור את השאלה באתר

בגרות במתמטיקה 35472, חורף 2026 — פתרון מלא

מבנה הבחינה

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — סדרות: יריד ספרים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 2 — מנסרה ישרה, וקטורים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 3 — דעיכה: טמפרטורת ריבות

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 4 — פונקציה מעריכית זוגית

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית עם פרמטר

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

לפתור את הבחינה כמו ביום הבגרות