בגרות במתמטיקה 35472 קיץ 2025

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — סדרות: סדרה חשבונית וסדרה הנדסית

נתונה סדרה חשבונית $A$ , ובה $57$ איברים: $a_1 , a_2 , a_3 , \ldots$ . נתון: $a_2 + a_4 = a_6$ . האיבר האחרון בסדרה $A$ הוא $171$ .

תרגיל 1

א. מצאו את הפרש הסדרה ואת $a_1$ .

$d =$ ____ ; $a_1 =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $d =$ 3 ; $a_1 =$ 3

הפתרון:

\begin{aligned}(a_1 + d) + (a_1 + 3d) &= a_1 + 5d \Rightarrow a_1 \\ &= d\end{aligned}

$a_2 + a_4 = a_6$

\begin{aligned}a_{57} &= a_1 + 56d \\ &= 57d \\ &= 171 \Rightarrow d \\ &= 3\end{aligned}

האיבר האחרון הוא $a_{57}$

\begin{aligned}a_1 &= d \\ &= 3\end{aligned}

הפרש הסדרה $d = 3$ , ו־ $a_1 = 3$ .

תרגיל 2

נתונה סדרה הנדסית אין־סופית $B$ שאיבריה הם: $b_1 , b_2 , b_3 , \ldots$ . נתון: $b_1 = a_6$ , $3 \cdot b_3 = a_8$ . ב. מצאו את המנה של הסדרה $B$ (מצאו את שתי האפשרויות). (הערך השלילי ראשון.)

$q =$ ____ או $q =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $q =$ -0.667 או $q =$ 0.667

הפתרון:

\begin{aligned}a_6 &= 3 + 5 \cdot 3 \\ &= 18 \\ \quad a_8 &= 3 + 7 \cdot 3 \\ &= 24\end{aligned}

\begin{aligned}b_1 &= 18 \\ \quad b_3 &= \frac{24}{3} \\ &= 8\end{aligned}

\begin{aligned}q^2 &= \frac{b_3}{b_1} \\ &= \frac{8}{18} \\ &= \frac{4}{9} \Rightarrow q \\ &= \pm\frac{2}{3}\end{aligned}

$q = -\frac{2}{3}$ או $q = \frac{2}{3}$ .

תרגיל 3

נתונה סדרה הנדסית אין־סופית $B$ שאיבריה הם: $b_1 , b_2 , b_3 , \ldots$ . נתון: $b_1 = a_6$ , $3 \cdot b_3 = a_8$ . נתון כי הסדרה $B$ אינה עולה ואינה יורדת. ג. מצאו את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה $B$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -21.6

הפתרון:

q = -\frac{2}{3}

סדרה שאינה עולה ואינה יורדת: מנה שלילית

\begin{aligned}b_2 &= 18 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \\ &= -12\end{aligned}

האיברים $b_2 , b_4 , b_6 , \ldots$ הם סדרה הנדסית שמנתה $q^2 = \frac{4}{9}$

\begin{aligned}S &= \frac{-12}{1 - \frac{4}{9}} \\ &= -12 \cdot \frac{9}{5} \\ &= -21.6\end{aligned}

סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדת

סכום האיברים במקומות הזוגיים הוא $-21.6$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 2 — פירמידה, וקטורים

בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCE$ . הנקודה $D$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה $M$ נמצאת על $ED$ כך ש־ $\overrightarrow{EM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{ED}$ . המקצוע $AE$ הוא גובה בפירמידה. נתון: $\angle BAC = 90^\circ$ . נסמן: $\overrightarrow{AB} = \underline{u}$ , $\overrightarrow{AC} = \underline{v}$ , $\overrightarrow{AE} = \underline{w}$ .

תרגיל 1

א. הביעו באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ו־ $\underline{w}$ את הווקטורים $\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{ED}$ ו־ $\overrightarrow{AM}$ .

א $\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{u} - \underline{v}$ , $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$
ב $\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$ , $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$
ג $\overrightarrow{ED} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u} - \frac{1}{2}\underline{v}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$ , $\overrightarrow{AM} = -\frac{1}{3}\underline{u} - \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{5}{3}\underline{w}$
ד $\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$ , $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{6}\underline{u} + \frac{1}{6}\underline{v} + \frac{2}{3}\underline{w}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$ , $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{BC} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} \\ &= \underline{v} - \underline{u}\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{AD} &= \frac{1}{2}\left(\underline{u} + \underline{v}\right) \\ \quad \overrightarrow{ED} &= \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AE} \\ &= \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}\end{aligned}

$D$ אמצע $BC$

\begin{aligned}\overrightarrow{AM} &= \overrightarrow{AE} + \frac{2}{3}\overrightarrow{ED} \\ &= \underline{w} + \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} - \frac{2}{3}\underline{w} \\ &= \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}\end{aligned}

$\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$ , $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$ .

תרגיל 2

נתון: $|\underline{w}| = |\underline{v}| = |\underline{u}| = 12$ . ב (1). הוכיחו כי $\overrightarrow{AM}$ מאונך ל־ $\overrightarrow{ED}$ .

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$ , $\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$
$AE \perp ABC$ , $\angle BAC = 90^\circ$
$|\underline{w}| = |\underline{v}| = |\underline{u}| = 12$

$\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{ED}$

להציג את התשובה והפתרון

$\underline{u} \cdot \underline{v} = \underline{u} \cdot \underline{w} = \underline{v} \cdot \underline{w} = 0$ — שלושת המקצועות $AB$ , $AC$ ו־ $AE$ מאונכים זה לזה
$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{ED} = \frac{1}{6}|\underline{u}|^2 + \frac{1}{6}|\underline{v}|^2 - \frac{1}{3}|\underline{w}|^2$ — פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית
$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{ED} = 24 + 24 - 48 = 0$ — מציבים $|\underline{u}|^2 = |\underline{v}|^2 = |\underline{w}|^2 = 144$
$\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{ED}$ — מכפלה סקלרית אפס של וקטורים שונים מאפס

הפתרון:

\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{ED} = \frac{1}{3}\left(\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}\right)

= \frac{1}{3}\left(\frac{144}{2} + \frac{144}{2} - 144\right) = 0

המכפלות המעורבות מתאפסות: $\angle BAC = 90^\circ$ ו־ $AE$ גובה

המכפלה הסקלרית היא $0$ : $\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{ED}$ .

תרגיל 3

נתון: $|\underline{w}| = |\underline{v}| = |\underline{u}| = 12$ . ב (2). הוכיחו כי $\overrightarrow{AM}$ מאונך למישור $BEC$ .

$\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{ED}$ (סעיף ב (1))
$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$
$|\underline{u}| = |\underline{v}| = 12$ , $\underline{u} \cdot \underline{v} = \underline{u} \cdot \underline{w} = \underline{v} \cdot \underline{w} = 0$

$\overrightarrow{AM}$ מאונך למישור $BEC$

להציג את התשובה והפתרון

$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{1}{3}|\underline{v}|^2 - \frac{1}{3}|\underline{u}|^2$ — פתיחת סוגריים; המכפלות המעורבות מתאפסות
$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} = 48 - 48 = 0$ — מציבים $|\underline{u}|^2 = |\underline{v}|^2 = 144$
$\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{BC}$ — מכפלה סקלרית אפס של וקטורים שונים מאפס
$ED$ ו־ $BC$ הם שני ישרים נחתכים במישור $BEC$ — הנקודה $D$ נמצאת על $BC$ , והנקודה $E$ במישור $BEC$
$\overrightarrow{AM}$ מאונך למישור $BEC$ — ישר המאונך לשני ישרים נחתכים במישור מאונך למישור

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} &= \frac{1}{3}\left(\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}\right) \cdot \left(\underline{v} - \underline{u}\right) \\ &= \frac{1}{3}\left(144 - 144\right) \\ &= 0\end{aligned}

\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{ED}, \quad \overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{BC}

סעיף ב (1), ו־ $ED$ , $BC$ נחתכים ב־ $D$

$\overrightarrow{AM}$ מאונך לשני ישרים נחתכים במישור $BEC$ , ולכן הוא מאונך למישור $BEC$ .

תרגיל 4

נתון: $|\underline{w}| = |\underline{v}| = |\underline{u}| = 12$ . נתון: $A(0 , 0 , 0)$ . הקודקוד $B$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $y$ , והקודקוד $E$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $z$ . ג (1). מה הם שיעורי הנקודות $B$ , $C$ ו־ $E$ ?

$B($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$ , $C($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$ , $E($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $B($ 12 $,$ 0 $,$ 0 $)$ , $C($ 0 $,$ 12 $,$ 0 $)$ , $E($ 0 $,$ 0 $,$ 12 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= AC \\ &= AE \\ &= 12\end{aligned}

אורכי המקצועות

B(12, 0, 0), \quad C(0, 12, 0), \quad E(0, 0, 12)

כל קודקוד על החלק החיובי של ציר אחר

$B(12, 0, 0)$ , $C(0, 12, 0)$ , $E(0, 0, 12)$ .

תרגיל 5

נתון: $|\underline{w}| = |\underline{v}| = |\underline{u}| = 12$ . נתון: $A(0 , 0 , 0)$ . הקודקוד $B$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $y$ , והקודקוד $E$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $z$ . ג (2). מצאו את שיעורי הנקודות $D$ ו־ $M$ .

$D($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$ , $M($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D($ 6 $,$ 6 $,$ 0 $)$ , $M($ 4 $,$ 4 $,$ 4 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}D &= \frac{B + C}{2} \\ &= (6, 6, 0)\end{aligned}

$D$ אמצע $BC$

\begin{aligned}\overrightarrow{AM} &= \frac{1}{3}\left(\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}\right) \\ &= \frac{1}{3}(12, 12, 12) \\ &= (4, 4, 4)\end{aligned}

סעיף א

M(4, 4, 4)

$D(6, 6, 0)$ , $M(4, 4, 4)$ .

תרגיל 6

נתון: $|\underline{w}| = |\underline{v}| = |\underline{u}| = 12$ . נתון: $A(0 , 0 , 0)$ . הקודקוד $B$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $y$ , והקודקוד $E$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $z$ . ד. חשבו את שטח המשולש $AMD$ . (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16.97

הפתרון:

\angle AMD = 90^\circ

$\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{ED}$ (סעיף ב (1)), ו־ $M$ על $ED$

\begin{aligned}AM &= \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} \\ &= 4\sqrt{3} \\ \quad MD &= \sqrt{2^2 + 2^2 + (-4)^2} \\ &= 2\sqrt{6}\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6}}{2} \\ &= 4\sqrt{18} \\ &= 12\sqrt{2} \approx 16.97\end{aligned}

שטח המשולש $AMD$ הוא $12\sqrt{2} \approx 16.97$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 3 — גדילה ודעיכה: צמחים בשתי משתלות

בשתי משתלות – משתלה א׳ ומשתלה ב׳ – החלו לשתול צמחים באותו היום. ביום זה שתלו במשתלה א׳ $600$ צמחים, ובמשתלה ב׳ שתלו $a$ צמחים. מספר הצמחים במשתלה א׳ גדל ב־ $5\%$ בכל שבוע, ומספר הצמחים במשתלה ב׳ גדל ב־ $10\%$ בכל שבוע. כעבור זמן מסוים מתחילת השתילה היה מספר הצמחים במשתלה א׳ שווה למספר הצמחים במשתלה ב׳.

תרגיל 1

א. לפניכם שתי טענות, $I$ – $II$ . קבעו איזו טענה נכונה. נמקו את קביעתכם. I. $a < 600$ II. $a > 600$

אטענה II נכונה: כדי שהמספרים ישתוו, ב׳ צריכה להתחיל גבוה יותר
בטענה II נכונה: משתלה ב׳ גדלה מהר יותר, ולכן התחילה גבוה יותר
גאי אפשר לקבוע בלי לדעת כעבור כמה שבועות המספרים השתוו
דטענה I נכונה: משתלה ב׳ גדלה מהר יותר, ולכן התחילה נמוך יותר

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד טענה I נכונה: משתלה ב׳ גדלה מהר יותר, ולכן התחילה נמוך יותר

הפתרון:

a \cdot 1.1^t = 600 \cdot 1.05^t

השוויון כעבור $t > 0$ שבועות

a = 600 \cdot \left(\frac{1.05}{1.1}\right)^t < 600

$\frac{1.05}{1.1} < 1$

טענה I נכונה: $a < 600$ , כי משתלה ב׳ גדלה מהר יותר, ולכן היא השיגה את משתלה א׳ רק אם התחילה עם פחות צמחים.

תרגיל 2

כעבור $17$ שבועות מתחילת השתילה היה מספר הצמחים במשתלה ב׳ גדול פי $2$ ממספר הצמחים במשתלה א׳. ב. מצאו את הערך של $a$ . (עגלו למספר שלם.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 544

הפתרון:

a \cdot 1.1^{17} = 2 \cdot 600 \cdot 1.05^{17}

a = 1200 \cdot \left(\frac{1.05}{1.1}\right)^{17} \approx 544.16

$a \approx 544$ צמחים.

תרגיל 3

כעבור $17$ שבועות מתחילת השתילה היה מספר הצמחים במשתלה ב׳ גדול פי $2$ ממספר הצמחים במשתלה א׳. כעבור $17$ שבועות מתחילת השתילה, בשתי המשתלות הפסיקו את השתילה והחלו למכור את הצמחים. מאותו היום שבו החלו למכור, קטן מספר הצמחים במשתלה ב׳ בכל שבוע באחוז קבוע. כעבור $5$ שבועות מן היום שבו החלו למכור, היה מספר הצמחים במשתלה ב׳ $53\%$ ממספר הצמחים בתחילת המכירה. ג. מצאו בכמה אחוזים קטן מספר הצמחים במשתלה ב׳ בכל שבוע. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11.92

הפתרון:

q^5 = 0.53

q = \sqrt[5]{0.53} \approx 0.88076

(1 - 0.88076) \cdot 100 \approx 11.92

מספר הצמחים במשתלה ב׳ קטן בכ־ $11.92\%$ בכל שבוע.

תרגיל 4

כעבור $17$ שבועות מתחילת השתילה היה מספר הצמחים במשתלה ב׳ גדול פי $2$ ממספר הצמחים במשתלה א׳. כעבור $17$ שבועות מתחילת השתילה, בשתי המשתלות הפסיקו את השתילה והחלו למכור את הצמחים. מאותו היום שבו החלו למכור, קטן מספר הצמחים במשתלה ב׳ בכל שבוע באחוז קבוע. כעבור $5$ שבועות מן היום שבו החלו למכור, היה מספר הצמחים במשתלה ב׳ $53\%$ ממספר הצמחים בתחילת המכירה. מאותו היום שבו החלו למכור, קטן מספר הצמחים במשתלה א׳ בכל שבוע ב־ $8\%$ . ד. מצאו כעבור כמה זמן מן היום שבו החלו למכור, היה מספר הצמחים במשתלה א׳ שווה למספר הצמחים במשתלה ב׳. (בשבועות, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15.9

הפתרון:

N_B(0) = 2 N_A(0)

בתחילת המכירה (סעיף ב)

N_A(0) \cdot 0.92^t = 2 N_A(0) \cdot 0.88076^t

\begin{aligned}\left(\frac{0.92}{0.88076}\right)^t &= 2 \Rightarrow t \\ &= \frac{\log 2}{\log(0.92 / 0.88076)} \approx 15.90\end{aligned}

כעבור כ־ $15.90$ שבועות מן היום שבו החלו למכור.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 4 — פונקציה מעריכית עם פרמטר

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^{2x}}{x^2 - 4x + a}$ , $a$ הוא פרמטר. לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אנכית שמשוואתה היא $x = 2$ .

תרגיל 1

א. מצאו את הערך של $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}2^2 - 4 \cdot 2 + a &= 0 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

המכנה מתאפס ב־ $x = 2$

e^{4} \neq 0

המונה אינו מתאפס ב־ $x = 2$

$a = 4$ .

תרגיל 2

הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ב–ד. ב (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x \neq$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x \neq$ 2

הפתרון:

x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2

תחום ההגדרה: $x \neq 2$ .

תרגיל 3

הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ב–ד. ב (2). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים (אם יש כאלה).

א $\left(0, -\frac{1}{4}\right)$ בלבד
ב $\left(0, \frac{1}{4}\right)$ ו־ $(2, 0)$
ג $\left(0, \frac{1}{4}\right)$ בלבד
דאין נקודות חיתוך עם הצירים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $\left(0, \frac{1}{4}\right)$ בלבד

הפתרון:

\begin{aligned}f(0) &= \frac{e^0}{4} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

e^{2x} > 0

אין חיתוך עם ציר ה־ $x$

חיתוך עם ציר ה־ $y$ : $\left(0, \frac{1}{4}\right)$ ; אין חיתוך עם ציר ה־ $x$ .

תרגיל 4

הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ב–ד. ב (3). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה. (את $y$ בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 3 $,$ 403.43 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2e^{2x}(x - 2)^2 - e^{2x} \cdot 2(x - 2)}{(x - 2)^4} \\ &= \frac{2e^{2x}(x - 3)}{(x - 2)^3}\end{aligned}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

2 < x < 3: f' < 0, \quad x > 3: f' > 0

מינימום

\begin{aligned}f(3) &= \frac{e^6}{1} \\ &= e^6 \approx 403.43\end{aligned}

מינימום ב־ $(3, e^6) \approx (3, 403.43)$ .

תרגיל 5

הגרפים I–IV

הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ב–ד. ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף III
בגרף II
גגרף I
דגרף IV

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גרף I

הפתרון:

f(x) > 0

מונה חיובי ומכנה $(x - 2)^2$ חיובי

x \to -\infty: f \to 0^+, \quad x \to 2: f \to +\infty

אסימפטוטות $y = 0$ ו־ $x = 2$

x < 2: f' > 0, \quad \min(3, 403.43)

סעיף ב

גרף I: עולה מעל ציר ה־ $x$ מ־ $y = 0$ אל האסימפטוטה $x = 2$ , ומימינה יורד מ־ $+\infty$ אל המינימום $(3, 403.43)$ ועולה שוב. גרף II הוא $-f(x)$ , גרף III הוא שיקופו סביב $x = 2$ (המינימום משמאל לאסימפטוטה), ובגרף IV הפונקציה שלילית משמאל ל־ $x = 2$ .

תרגיל 6

הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ב–ד. נתונה הפונקציה $h(x) = -f(x) + e^8$ שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . ד. כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקציה $h(x)$ עם ציר ה־ $x$ ? נמקו את תשובתכם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}h(x) &= 0 \iff f(x) \\ &= e^8 \approx 2981\end{aligned}

x < 2: \quad 0 \nearrow +\infty

$f$ עולה: פתרון אחד משמאל ל־ $x = 2$

x > 2: \quad +\infty \searrow e^6 \nearrow +\infty, \quad e^6 \approx 403 < e^8

$f$ יורדת עד המינימום ועולה: שני פתרונות מימין ל־ $x = 2$

לגרף $h(x)$ יש $3$ נקודות חיתוך עם ציר ה־ $x$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 5 — גרף הנגזרת, פונקציה לוגריתמית

הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות בתחום $x > 0$ . לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מינימום אחת בלבד ונקודת מקסימום אחת בלבד. נתון כי נקודת המינימום נמצאת מימין לנקודת המקסימום. הגרפים $I$ – $IV$ מופיעים בסוף השאלה.

הגרפים I–IV

תרגיל 1

א. אחד מן הגרפים $I$ – $IV$ שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

אגרף II: הנגזרת חיובית, שלילית ושוב חיובית
בגרף I: הנגזרת שלילית, חיובית ושוב שלילית
גגרף III: הנגזרת מחליפה סימן שלוש פעמים
דגרף IV: הנגזרת אינה שלילית בכל התחום

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א גרף II: הנגזרת חיובית, שלילית ושוב חיובית

הפתרון:

f' > 0 \ \to \ f' < 0

מעבר ראשון: מקסימום של $f$

f' < 0 \ \to \ f' > 0

מעבר שני, מימין: מינימום של $f$

גרף II: הנגזרת מחליפה סימן פעמיים, מחיובי לשלילי ואחר כך משלילי לחיובי, ולכן המקסימום משמאל והמינימום מימין. בגרף I המינימום משמאל, בגרף III יש שלוש נקודות קיצון, ובגרף IV אין אף אחת.

תרגיל 2

נתון כי $f(x) = 3x \cdot (\ln x)^2$ . ב (1). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים (אם יש כאלה).

$($ ____ $, 0)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 1 $, 0)$

הפתרון:

\begin{aligned}3x(\ln x)^2 &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

$x > 0$

x = 0 \notin D

אין חיתוך עם ציר ה־ $y$

נקודת חיתוך אחת: $(1, 0)$ , עם ציר ה־ $x$ בלבד.

תרגיל 3

נתון כי $f(x) = 3x \cdot (\ln x)^2$ . ב (2). מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגן. (הנקודה שבה $x$ קטן יותר ראשונה; מספרים עשרוניים בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 0.135 $,$ 1.624 $)$ , $($ 1 $,$ 0 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 3(\ln x)^2 + 3x \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x} \\ &= 3\ln x\,(\ln x + 2)\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= -2 \ \vee \ \ln x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= e^{-2} \\ \ x &= 1\end{aligned}

\left(e^{-2}, \tfrac{12}{e^2}\right) \approx (0.135, 1.624): \ \max, \qquad (1, 0): \ \min

סימני הנגזרת: $+, -, +$

מקסימום ב־ $\left(e^{-2}, \frac{12}{e^2}\right) \approx (0.135, 1.624)$ , מינימום ב־ $(1, 0)$ .

תרגיל 4

נתון כי $f(x) = 3x \cdot (\ln x)^2$ . ג. קבעו איזה מן הגרפים $I$ – $IV$ שבסוף השאלה מתאר את הפונקציה $f(x)$ .

אגרף III
בגרף I
גגרף IV
דגרף II

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גרף IV

הפתרון:

f(x) = 3x(\ln x)^2 \ge 0

בתחום $x > 0$

x \to 0^+: f \to 0

\max(0.135, 1.624), \ \min(1, 0)

סעיף ב

גרף IV: יוצא מ־ $(0, 0)$ (נקודה ריקה), עולה עד המקסימום, יורד ומשיק לציר ה־ $x$ ב־ $(1, 0)$ , ועולה. בגרפים I , II ו־III יש ערכים שליליים.

תרגיל 5

נתון כי $f(x) = 3x \cdot (\ln x)^2$ . ד. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ ועל ידי ציר ה־ $x$ . (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.62

הפתרון:

e^{-2} < x < 1: f'(x) < 0

השטח הסגור היחיד הוא בין שתי נקודות האפס של $f'$

\begin{aligned}S &= -\int_{e^{-2}}^{1} f'(x)\,dx \\ &= f\left(e^{-2}\right) - f(1)\end{aligned}

$f$ היא פונקציה קדומה של $f'$

= \frac{12}{e^2} - 0 \approx 1.62

השטח: $\frac{12}{e^2} \approx 1.62$ .

לפתור את השאלה באתר

בגרות במתמטיקה 35472, קיץ 2025 — פתרון מלא

מבנה הבחינה

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — סדרות: סדרה חשבונית וסדרה הנדסית

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

שאלה 2 — פירמידה, וקטורים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 3 — גדילה ודעיכה: צמחים בשתי משתלות

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 4 — פונקציה מעריכית עם פרמטר

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 5 — גרף הנגזרת, פונקציה לוגריתמית

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

לפתור את הבחינה כמו ביום הבגרות