בגרות במתמטיקה 35472, קיץ 2026 — פתרון מלא

הבחינה של משרד החינוך, שאלה אחר שאלה, וכל סעיף עם פתרון מלא צעד אחר צעד. אפשר לנסות לבד, ורק אז לפתוח את הפתרון.

© מדינת ישראל, משרד החינוך — שאלון 35472, קיץ 2026. נוסח הבחינה באתר משרד החינוך

לפתור את הבחינה באתרנוסח הבחינה (PDF)

מבנה הבחינה

משך הבחינה
140 דקות
על מה עונים
ענו על שלוש מן השאלות 1–5, ללא הגבלת פרקים (לכל שאלה – 33⅓ נקודות) (בשאלון המודפס כתוב: על שאלה אחת לפחות מכל פרק, ושעתיים; משרד החינוך עדכן את ההנחיות למועד קיץ תשפ״ו, «שאגת הארי»).
המסלול
4 יח״ל, כיתה י״ב

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — סדרות: גלידה בחנות

לקראת חופשת הקיץ החלו בחנות גלידה להכין גלידת שוקולד. בכל יום הכינו בחנות 33 ק״ג גלידת שוקולד יותר מביום שלפניו. הכמות סך הכול של גלידת השוקולד שהכינו בחנות ביום הראשון וביום הרביעי הייתה 149149 ק״ג.

תרגיל 1

א. מצאו כמה קילוגרמים של גלידת שוקולד הכינו בחנות ביום הראשון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 70

הפתרון:

a4=a1+3d=a1+9\begin{aligned}a_4 &= a_1 + 3d \\ &= a_1 + 9\end{aligned}

סדרה חשבונית שהפרשה 33

a1+a1+9=149⇒a1=70\begin{aligned}a_1 + a_1 + 9 &= 149 \Rightarrow a_1 \\ &= 70\end{aligned}

ביום הראשון הכינו 7070 ק״ג.

תרגיל 2

תהליך הכנת גלידת השוקולד נמשך 1616 ימים סך הכול. ב. מצאו כמה קילוגרמים סך הכול של גלידת שוקולד הכינו בחנות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1480

הפתרון:

S16=162(2⋅70+15⋅3)=8⋅185=1480\begin{aligned}S_{16} &= \frac{16}{2}\left(2 \cdot 70 + 15 \cdot 3\right) \\ &= 8 \cdot 185 \\ &= 1480\end{aligned}

סכום סדרה חשבונית

הכינו 1,4801{,}480 ק״ג גלידת שוקולד.

תרגיל 3

תהליך הכנת גלידת השוקולד נמשך 1616 ימים סך הכול. לקראת חופשת הקיץ החלו בחנות להכין גם גלידת וניל. בכל יום הכינו בחנות dd ק״ג גלידת וניל יותר מביום שלפניו. תהליך הכנת גלידת הווניל נמשך 1616 ימים סך הכול. ביום האחרון הכינו בחנות 115115 ק״ג של גלידת וניל. הכמות סך הכול של גלידת הווניל שהכינו בחנות הייתה קטנה ב־480480 ק״ג מן הכמות סך הכול של גלידת השוקולד שהכינו בה. ג. מצאו את הערך של dd.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

S16=1480−480=1000\begin{aligned}S_{16} &= 1480 - 480 \\ &= 1000\end{aligned}
162(b1+115)=1000⇒b1=10\begin{aligned}\frac{16}{2}(b_1 + 115) &= 1000 \Rightarrow b_1 \\ &= 10\end{aligned}

סכום לפי האיבר הראשון והאחרון

b16=b1+15d⇒115=10+15d⇒d=7\begin{aligned}b_{16} &= b_1 + 15d \Rightarrow 115 \\ &= 10 + 15d \Rightarrow d \\ &= 7\end{aligned}

d=7d = 7.

תרגיל 4

תהליך הכנת גלידת השוקולד נמשך 1616 ימים סך הכול. לקראת חופשת הקיץ החלו בחנות להכין גם גלידת וניל. בכל יום הכינו בחנות dd ק״ג גלידת וניל יותר מביום שלפניו. תהליך הכנת גלידת הווניל נמשך 1616 ימים סך הכול. ביום האחרון הכינו בחנות 115115 ק״ג של גלידת וניל. הכמות סך הכול של גלידת הווניל שהכינו בחנות הייתה קטנה ב־480480 ק״ג מן הכמות סך הכול של גלידת השוקולד שהכינו בה. לאחר שהסתיים תהליך הכנת גלידת השוקולד וגלידת הווניל, החלו למכור את שני סוגי הגלידה. המכירה נמשכה 55 ימים, ובמהלכה נמכרה כל הגלידה שהכינו בחנות. כמות הגלידה שנמכרה בכל יום הייתה גדולה פי 22 מן הכמות שנמכרה ביום שלפניו. ד. מצאו כמה קילוגרמים של גלידה נמכרו ביום הראשון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 80

הפתרון:

1480+1000=24801480 + 1000 = 2480

כל הגלידה

c1⋅25−12−1=31 c1=2480\begin{aligned}c_1 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1} &= 31\,c_1 \\ &= 2480\end{aligned}

סכום סדרה הנדסית

c1=80c_1 = 80

ביום הראשון נמכרו 8080 ק״ג.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 2 — פירמידה משולשת, וקטורים

בסרטוט שלפניכם פירמידה ABCSABCS. המקצוע ASAS מאונך למישור הבסיס ABCABC. הנקודה EE היא אמצע המקצוע BSBS. הנקודה FF נמצאת על המקצוע BCBC כך ש־BF→=23BC→\overrightarrow{BF} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}. נסמן: AS→=w‾\overrightarrow{AS} = \underline{w} , AC→=v‾\overrightarrow{AC} = \underline{v} , AB→=u‾\overrightarrow{AB} = \underline{u}.

wvuSACBEF

תרגיל 1

א. הביעו באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v} ו־w‾\underline{w} את הווקטורים האלה: AF→\overrightarrow{AF} , AE→\overrightarrow{AE} , BS→\overrightarrow{BS} , BC→\overrightarrow{BC}.

  1. אAF→=23u‾+13v‾\overrightarrow{AF} = \frac{2}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} , AE→=12u‾+12w‾\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{w} , BS→=w‾−u‾\overrightarrow{BS} = \underline{w} - \underline{u} , BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}
  2. בAF→=13u‾+23v‾\overrightarrow{AF} = \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{2}{3}\underline{v} , AE→=12u‾+12w‾\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{w} , BS→=w‾−u‾\overrightarrow{BS} = \underline{w} - \underline{u} , BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}
  3. גAF→=13u‾+23v‾\overrightarrow{AF} = \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{2}{3}\underline{v} , AE→=u‾+12w‾\overrightarrow{AE} = \underline{u} + \frac{1}{2}\underline{w} , BS→=w‾−u‾\overrightarrow{BS} = \underline{w} - \underline{u} , BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}
  4. דAF→=13u‾+23v‾\overrightarrow{AF} = \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{2}{3}\underline{v} , AE→=12u‾+12w‾\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{w} , BS→=u‾−w‾\overrightarrow{BS} = \underline{u} - \underline{w} , BC→=u‾−v‾\overrightarrow{BC} = \underline{u} - \underline{v}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב AF→=13u‾+23v‾\overrightarrow{AF} = \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{2}{3}\underline{v} , AE→=12u‾+12w‾\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{w} , BS→=w‾−u‾\overrightarrow{BS} = \underline{w} - \underline{u} , BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}

הפתרון:

BC→=BA→+AC→=v‾−u‾BS→=w‾−u‾\begin{aligned}\overrightarrow{BC} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} \\ &= \underline{v} - \underline{u} \\ \quad \overrightarrow{BS} &= \underline{w} - \underline{u}\end{aligned}
AF→=AB→+23BC→=u‾+23(v‾−u‾)=13u‾+23v‾\begin{aligned}\overrightarrow{AF} &= \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} \\ &= \underline{u} + \frac{2}{3}(\underline{v} - \underline{u}) \\ &= \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{2}{3}\underline{v}\end{aligned}
AE→=12(AB→+AS→)=12u‾+12w‾\begin{aligned}\overrightarrow{AE} &= \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AS}\right) \\ &= \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{w}\end{aligned}

EE אמצע BSBS

AF→=13u‾+23v‾\overrightarrow{AF} = \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{2}{3}\underline{v} , AE→=12u‾+12w‾\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{w} , BS→=w‾−u‾\overrightarrow{BS} = \underline{w} - \underline{u} , BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}.

תרגיל 2

נתון: ∣w‾∣=8|\underline{w}| = 8 , ∣u‾∣=∣v‾∣=6|\underline{u}| = |\underline{v}| = 6 , ∠BAC=120∘\angle BAC = 120^\circ. ב. חשבו את נפח הפירמידה. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 41.57

הפתרון:

SABC=12⋅6⋅6⋅sin⁡120∘=93\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin 120^\circ \\ &= 9\sqrt{3}\end{aligned}

שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן

V=13⋅93⋅8=243≈41.57\begin{aligned}V &= \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 8 \\ &= 24\sqrt{3} \approx 41.57\end{aligned}

ASAS הוא גובה הפירמידה

נפח הפירמידה: 243≈41.5724\sqrt{3} \approx 41.57.

תרגיל 3

נתון: ∣w‾∣=8|\underline{w}| = 8 , ∣u‾∣=∣v‾∣=6|\underline{u}| = |\underline{v}| = 6 , ∠BAC=120∘\angle BAC = 120^\circ. ג (1). מצאו את הערך של u‾⋅v‾\underline{u} \cdot \underline{v}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -18

הפתרון:

u‾⋅v‾=6⋅6⋅cos⁡120∘=−18\begin{aligned}\underline{u} \cdot \underline{v} &= 6 \cdot 6 \cdot \cos 120^\circ \\ &= -18\end{aligned}

u‾⋅v‾=−18\underline{u} \cdot \underline{v} = -18.

תרגיל 4

נתון: ∣w‾∣=8|\underline{w}| = 8 , ∣u‾∣=∣v‾∣=6|\underline{u}| = |\underline{v}| = 6 , ∠BAC=120∘\angle BAC = 120^\circ. ג (2). הוכיחו כי AE→\overrightarrow{AE} מאונך ל־AF→\overrightarrow{AF}.

  • AE→=12u‾+12w‾\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{w} , AF→=13u‾+23v‾\overrightarrow{AF} = \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{2}{3}\underline{v}
  • AS⊥ABCAS \perp ABC
  • ∣u‾∣=6|\underline{u}| = 6 , u‾⋅v‾=−18\underline{u} \cdot \underline{v} = -18

AE→⊥AF→\overrightarrow{AE} \perp \overrightarrow{AF}

להציג את התשובה והפתרון
  1. w‾⋅u‾=w‾⋅v‾=0\underline{w} \cdot \underline{u} = \underline{w} \cdot \underline{v} = 0 — ישר המאונך למישור מאונך לכל ישר במישור
  2. AE→⋅AF→=16∣u‾∣2+13u‾⋅v‾\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} = \frac{1}{6}|\underline{u}|^2 + \frac{1}{3}\underline{u} \cdot \underline{v} — פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית
  3. AE→⋅AF→=6−6=0\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} = 6 - 6 = 0 — מציבים ∣u‾∣2=36|\underline{u}|^2 = 36 ו־u‾⋅v‾=−18\underline{u} \cdot \underline{v} = -18
  4. AE→⊥AF→\overrightarrow{AE} \perp \overrightarrow{AF} — מכפלה סקלרית אפס של וקטורים שונים מאפס

הפתרון:

AE→⋅AF→=16u‾2+13u‾⋅v‾+16w‾⋅u‾+13w‾⋅v‾\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} = \frac{1}{6}\underline{u}^2 + \frac{1}{3}\underline{u} \cdot \underline{v} + \frac{1}{6}\underline{w} \cdot \underline{u} + \frac{1}{3}\underline{w} \cdot \underline{v}
=366+−183+0+0=0= \frac{36}{6} + \frac{-18}{3} + 0 + 0 = 0

w‾\underline{w} מאונך לבסיס

המכפלה הסקלרית היא 00: AE→⊥AF→\overrightarrow{AE} \perp \overrightarrow{AF}.

תרגיל 5

נתון: ∣w‾∣=8|\underline{w}| = 8 , ∣u‾∣=∣v‾∣=6|\underline{u}| = |\underline{v}| = 6 , ∠BAC=120∘\angle BAC = 120^\circ. ד (1). מצאו את הערך של ∣AF→∣\left|\overrightarrow{AF}\right|. (בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.464

הפתרון:

∣AF→∣2=19⋅36+49⋅36+2⋅13⋅23⋅(−18)=4+16−8=12\begin{aligned}\left|\overrightarrow{AF}\right|^2 &= \frac{1}{9} \cdot 36 + \frac{4}{9} \cdot 36 + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot (-18) \\ &= 4 + 16 - 8 \\ &= 12\end{aligned}
∣AF→∣=12=23≈3.464\begin{aligned}\left|\overrightarrow{AF}\right| &= \sqrt{12} \\ &= 2\sqrt{3} \approx 3.464\end{aligned}

∣AF→∣=23≈3.464\left|\overrightarrow{AF}\right| = 2\sqrt{3} \approx 3.464.

תרגיל 6

נתון: ∣w‾∣=8|\underline{w}| = 8 , ∣u‾∣=∣v‾∣=6|\underline{u}| = |\underline{v}| = 6 , ∠BAC=120∘\angle BAC = 120^\circ. ד (2). חשבו את שטח המשולש EAFEAF. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.66

הפתרון:

∣AE→∣2=14(36+64)=25⇒AE=5\begin{aligned}\left|\overrightarrow{AE}\right|^2 &= \frac{1}{4}(36 + 64) \\ &= 25 \Rightarrow AE \\ &= 5\end{aligned}

u‾⊥w‾\underline{u} \perp \underline{w}

S=AE⋅AF2=5⋅232=53≈8.66\begin{aligned}S &= \frac{AE \cdot AF}{2} \\ &= \frac{5 \cdot 2\sqrt{3}}{2} \\ &= 5\sqrt{3} \approx 8.66\end{aligned}

הזווית EAFEAF ישרה (סעיף ג (2))

שטח המשולש EAFEAF: 53≈8.665\sqrt{3} \approx 8.66.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 3 — גדילה: משתמשים בכלי בינה מלאכותית

בתחילת שנת 20252025 בדקו חוקרים את מספר האנשים שמשתמשים בשני כלים של בינה מלאכותית, כלי AA וכלי BB. על פי הצפי של החוקרים, מספר המשתמשים בכלי AA יעלה ב־10%10\% בכל שנה. נתון כי בתחילת שנת 20252025 מספר המשתמשים בכלי AA היה 5050 מיליון.

תרגיל 1

א. מצאו מה צפוי להיות מספר המשתמשים בכלי AA בתחילת שנת 20302030 (במיליונים, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 80.53

הפתרון:

50⋅1.15≈80.5350 \cdot 1.1^5 \approx 80.53

חמש שנים של גדילה ב־10%10\%

כ־80.5380.53 מיליון משתמשים.

תרגיל 2

על פי הצפי של החוקרים, מספר המשתמשים בכלי BB יעלה באחוז קבוע בכל שנה. מספר המשתמשים בכלי BB בתחילת שנת 20312031 צפוי להיות גדול פי 33 ממספר המשתמשים בכלי זה בתחילת שנת 20252025. ב. מצאו בכמה אחוזים צפוי לגדול מספר המשתמשים בכלי BB בכל שנה. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20.09

הפתרון:

q6=3q^6 = 3

שש שנים מ־20252025 עד 20312031

q=36≈1.2009q = \sqrt[6]{3} \approx 1.2009
(1.2009−1)⋅100≈20.09(1.2009 - 1) \cdot 100 \approx 20.09

מספר המשתמשים בכלי BB צפוי לגדול בכ־20.09%20.09\% בכל שנה.

תרגיל 3

ציר אופקי: הזמן (בשנים); ציר אנכי: מספר המשתמשים (במיליונים)
tNIII

על פי הצפי של החוקרים, מספר המשתמשים בכלי BB יעלה באחוז קבוע בכל שנה. מספר המשתמשים בכלי BB בתחילת שנת 20312031 צפוי להיות גדול פי 33 ממספר המשתמשים בכלי זה בתחילת שנת 20252025. לפניכם שני גרפים II–IIII המתארים את מספר האנשים שצפויים להשתמש בכלים AA ו־BB מתחילת שנת 20252025 והלאה. ג. איזה מן הגרפים II–IIII מתאר את מספר האנשים שצפויים להשתמש בכלי BB? נמקו את תשובתכם.

  1. אגרף II: אחוז הגדילה בכלי BB גדול יותר, והגרף שלו עוקף את השני
  2. באי אפשר לדעת בלי לדעת את מספר המשתמשים בכלי BB בשנת 20252025
  3. גגרף I: הוא מתחיל גבוה יותר
  4. דגרף I: אחוז הגדילה בכלי BB גדול יותר, ולכן הוא תמיד מעל
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א גרף II: אחוז הגדילה בכלי BB גדול יותר, והגרף שלו עוקף את השני

הפתרון:

qB≈1.2009>qA=1.1q_B \approx 1.2009 > q_A = 1.1

סעיף ב

NB(t)NA(t)=NB(0)NA(0)⋅(1.20091.1)t→∞\frac{N_B(t)}{N_A(t)} = \frac{N_B(0)}{N_A(0)} \cdot \left(\frac{1.2009}{1.1}\right)^t \to \infty

היחס גדל

גרף II: הוא מתחיל נמוך יותר, אבל עולה מהר יותר ועוקף את גרף I.

תרגיל 4

על פי הצפי של החוקרים, מספר המשתמשים בכלי BB יעלה באחוז קבוע בכל שנה. מספר המשתמשים בכלי BB בתחילת שנת 20312031 צפוי להיות גדול פי 33 ממספר המשתמשים בכלי זה בתחילת שנת 20252025. לפניכם שני גרפים II–IIII המתארים את מספר האנשים שצפויים להשתמש בכלים AA ו־BB מתחילת שנת 20252025 והלאה. על פי הצפי של החוקרים, בתחילת שנת 20302030 יהיה מספר המשתמשים בכלי AA גדול ב־3030 מיליון ממספר המשתמשים בכלי BB. ד. מצאו את מספר המשתמשים בכלי BB בתחילת שנת 20252025 (במיליונים, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20.23

הפתרון:

NB(5)=80.53−30=50.53\begin{aligned}N_B(5) &= 80.53 - 30 \\ &= 50.53\end{aligned}

סעיף א

NB(0)⋅356=50.53N_B(0) \cdot 3^{\frac{5}{6}} = 50.53

q5=(36)5q^5 = \left(\sqrt[6]{3}\right)^5

NB(0)=50.5335/6≈50.532.498≈20.23N_B(0) = \frac{50.53}{3^{5/6}} \approx \frac{50.53}{2.498} \approx 20.23

בתחילת 20252025 השתמשו בכלי BB כ־20.2320.23 מיליון אנשים.

תרגיל 5

על פי הצפי של החוקרים, מספר המשתמשים בכלי BB יעלה באחוז קבוע בכל שנה. מספר המשתמשים בכלי BB בתחילת שנת 20312031 צפוי להיות גדול פי 33 ממספר המשתמשים בכלי זה בתחילת שנת 20252025. לפניכם שני גרפים II–IIII המתארים את מספר האנשים שצפויים להשתמש בכלים AA ו־BB מתחילת שנת 20252025 והלאה. על פי הצפי של החוקרים, בתחילת שנת 20302030 יהיה מספר המשתמשים בכלי AA גדול ב־3030 מיליון ממספר המשתמשים בכלי BB. ה. מצאו כעבור כמה זמן מתחילת שנת 20252025 מספר המשתמשים בכלי AA צפוי להיות שווה למספר המשתמשים בכלי BB. (בשנים, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.31

הפתרון:

50⋅1.1t=20.23⋅1.2009t50 \cdot 1.1^t = 20.23 \cdot 1.2009^t
(1.20091.1)t=5020.23\left(\frac{1.2009}{1.1}\right)^t = \frac{50}{20.23}
t=log⁡(50/20.23)log⁡(1.2009/1.1)≈10.31t = \frac{\log(50 / 20.23)}{\log(1.2009 / 1.1)} \approx 10.31

כעבור כ־10.3110.31 שנים.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 4 — פונקציה מעריכית עם פרמטר

נתונה הפונקציה f(x)=(a−4x)⋅e2x−1f(x) = (a - 4x) \cdot e^{2x - 1} , המוגדרת לכל xx. aa הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x) בנקודה שבה x=0x = 0 הוא 16e\frac{16}{e}.

תרגיל 1

א. מצאו את הערך של aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

f′(x)=−4e2x−1+2(a−4x)e2x−1=(2a−4−8x) e2x−1\begin{aligned}f'(x) &= -4e^{2x - 1} + 2(a - 4x)e^{2x - 1} \\ &= (2a - 4 - 8x)\,e^{2x - 1}\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

f′(0)=(2a−4) e−1=16e⇒2a−4=16⇒a=10\begin{aligned}f'(0) &= (2a - 4)\,e^{-1} \\ &= \frac{16}{e} \Rightarrow 2a - 4 \\ &= 16 \Rightarrow a \\ &= 10\end{aligned}

a=10a = 10.

תרגיל 2

הציבו a=10a = 10 בפונקציה f(x)f(x), וענו על סעיפים ב–ו. ב (1). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים. (את yy בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

עם ציר ה־yy: (0,(0 , ____ )) ; עם ציר ה־xx: (( ____ ,0), 0)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: עם ציר ה־yy: (0,(0 , 3.679 )) ; עם ציר ה־xx: (( 2.5 ,0), 0)

הפתרון:

f(0)=10⋅e−1=10e≈3.679\begin{aligned}f(0) &= 10 \cdot e^{-1} \\ &= \frac{10}{e} \approx 3.679\end{aligned}
10−4x=0⇒x=2.5\begin{aligned}10 - 4x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2.5\end{aligned}

e2x−1>0e^{2x - 1} > 0

חיתוך עם ציר ה־yy: (0,10e)\left(0, \frac{10}{e}\right); עם ציר ה־xx: (2.5,0)(2.5, 0).

תרגיל 3

הציבו a=10a = 10 בפונקציה f(x)f(x), וענו על סעיפים ב–ו. ב (2). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגה. (את yy בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

(( ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (( 2 ,, 40.17 ))

הפתרון:

f′(x)=(16−8x) e2x−1=0⇒x=2\begin{aligned}f'(x) &= (16 - 8x)\,e^{2x - 1} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}
x<2:f′>0,x>2:f′<0x < 2: f' > 0, \quad x > 2: f' < 0

מקסימום

f(2)=2e3≈40.17f(2) = 2e^3 \approx 40.17

מקסימום ב־(2,2e3)≈(2,40.17)(2, 2e^3) \approx (2, 40.17).

תרגיל 4

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

הציבו a=10a = 10 בפונקציה f(x)f(x), וענו על סעיפים ב–ו. ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

  1. אגרף II
  2. בגרף I
  3. גגרף III
  4. דגרף IV
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א גרף II

הפתרון:

x→−∞:f→0+x \to -\infty: f \to 0^+

האסימפטוטה y=0y = 0 משמאל

(0,10e), max⁡(2,40.17), (2.5,0)\left(0, \tfrac{10}{e}\right), \ \max(2, 40.17), \ (2.5, 0)

סעיף ב

x→∞:f→−∞x \to \infty: f \to -\infty

גרף II: עולה מעל ציר ה־xx מ־y=0y = 0, דרך (0,3.68)(0, 3.68), עד המקסימום (2,40.17)(2, 40.17), ויורד חד, חוצה את הציר ב־2.52.5. גרף I הפוך, גרף III הוא שיקופו, ובגרף IV המקסימום נמוך ונמצא ב־x=1.5x = 1.5.

תרגיל 5

הציבו a=10a = 10 בפונקציה f(x)f(x), וענו על סעיפים ב–ו. נתונה הפונקציה g(x)=4⋅e2x−1g(x) = 4 \cdot e^{2x - 1} , המוגדרת לכל xx. ד. הסבירו מדוע הפונקציה g(x)g(x) חיובית לכל xx.

  1. אכי 2x−1>02x - 1 > 0 לכל xx
  2. בכי e>1e > 1, ולכן e2x−1>1e^{2x - 1} > 1
  3. גכי g(0)=4e>0g(0) = \frac{4}{e} > 0, ו־gg עולה
  4. דe2x−1>0e^{2x - 1} > 0 ו־4>04 > 0, ולכן המכפלה חיובית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד e2x−1>0e^{2x - 1} > 0 ו־4>04 > 0, ולכן המכפלה חיובית

הפתרון:

e2x−1>0e^{2x - 1} > 0

חזקה של בסיס חיובי חיובית לכל מעריך

g(x)=4⋅e2x−1>0g(x) = 4 \cdot e^{2x - 1} > 0

g(x)>0g(x) > 0 לכל xx.

תרגיל 6

הציבו a=10a = 10 בפונקציה f(x)f(x), וענו על סעיפים ב–ו. נתונה הפונקציה g(x)=4⋅e2x−1g(x) = 4 \cdot e^{2x - 1} , המוגדרת לכל xx. הנקודה AA היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם גרף הפונקציה g(x)g(x). ה. מצאו את שיעורי הנקודה AA. (את yy בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

A(A( ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: A(A( 1.5 ,, 29.56 ))

הפתרון:

(10−4x) e2x−1=4 e2x−1(10 - 4x)\,e^{2x - 1} = 4\,e^{2x - 1}
10−4x=4⇒x=1.5\begin{aligned}10 - 4x &= 4 \Rightarrow x \\ &= 1.5\end{aligned}

מחלקים ב־e2x−1>0e^{2x - 1} > 0

y=4e2≈29.56y = 4e^{2} \approx 29.56

A(1.5,4e2)≈(1.5,29.56)A(1.5, 4e^2) \approx (1.5, 29.56).

תרגיל 7

הציבו a=10a = 10 בפונקציה f(x)f(x), וענו על סעיפים ב–ו. נתונה הפונקציה g(x)=4⋅e2x−1g(x) = 4 \cdot e^{2x - 1} , המוגדרת לכל xx. הנקודה AA היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם גרף הפונקציה g(x)g(x). דרך הנקודה AA העבירו אנך לציר ה־xx. ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x)g(x), על ידי האנך, על ידי ציר ה־xx ועל ידי ציר ה־yy. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14.04

הפתרון:

∫01.54e2x−1 dx=[2e2x−1]01.5\int_0^{1.5} 4e^{2x - 1}\,dx = \left[2e^{2x - 1}\right]_0^{1.5}

g>0g > 0

=2e2−2e−1≈14.78−0.74=14.04= 2e^2 - 2e^{-1} \approx 14.78 - 0.74 = 14.04

השטח: 2e2−2e≈14.042e^2 - \frac{2}{e} \approx 14.04.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 5 — נגזרת וגרף, פונקציה לוגריתמית

נתונה הפונקציה f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x)f'(x) המוגדרות בתחום x>0x > 0. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). כל נקודות הקיצון ונקודות החיתוך עם ציר ה־xx של גרף הנגזרת f′(x)f'(x) מופיעות בסרטוט.

xf'(x)

תרגיל 1

א. לפניכם שני היגדים II–IIII. קבעו בעבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם. I. לפונקציה f(x)f(x) יש בדיוק שלוש נקודות קיצון. II. שיעור ה־xx של נקודת המינימום של הפונקציה f(x)f(x) גדול משיעור ה־xx של נקודת המקסימום שלה.

  1. אI נכון, II לא נכון: לגרף הנגזרת שלוש נקודות מיוחדות
  2. בI לא נכון, II נכון: המינימום של ff הוא בנקודת המינימום של f′f'
  3. גשניהם לא נכונים: f′f' מחליפה סימן פעמיים בלבד
  4. דשניהם נכונים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג שניהם לא נכונים: f′f' מחליפה סימן פעמיים בלבד

הפתרון:

f′<0 → f′>0f' < 0 \ \to \ f' > 0

בנקודת החיתוך הראשונה: מינימום של ff

f′>0 → f′<0f' > 0 \ \to \ f' < 0

בנקודת החיתוך השנייה: מקסימום של ff

xmin⁡<xmax⁡x_{\min} < x_{\max}

המינימום משמאל

שני ההיגדים לא נכונים: ל־ff שתי נקודות קיצון, והמינימום משמאל למקסימום.

תרגיל 2

נתון כי f(x)=14(ln⁡x)2x2f(x) = \frac{14(\ln x)^2}{x^2}. ב (1). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

(( ____ ,0), 0)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (( 1 ,0), 0)

הפתרון:

(ln⁡x)2=0⇒x=1\begin{aligned}(\ln x)^2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}
x=0∉Dx = 0 \notin D

אין חיתוך עם ציר ה־yy

נקודת חיתוך אחת: (1,0)(1, 0), עם ציר ה־xx בלבד.

תרגיל 3

נתון כי f(x)=14(ln⁡x)2x2f(x) = \frac{14(\ln x)^2}{x^2}. ב (2). מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן. (הנקודה שבה xx קטן יותר ראשונה; מספרים עשרוניים בדיוק של שלוש ספרות.)

(( ____ ,, ____ )) , (( ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (( 1 ,, 0 )) , (( 2.718 ,, 1.895 ))

הפתרון:

f′(x)=14⋅2ln⁡x⋅1x⋅x2−(ln⁡x)2⋅2xx4=28ln⁡x (1−ln⁡x)x3\begin{aligned}f'(x) &= 14 \cdot \frac{2\ln x \cdot \frac{1}{x} \cdot x^2 - (\ln x)^2 \cdot 2x}{x^4} \\ &= \frac{28\ln x\,(1 - \ln x)}{x^3}\end{aligned}

נגזרת של מנה

f′(x)=0⇒ln⁡x=0 או ln⁡x=1⇒x=1 x=e\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= 0 \ \text{או} \ \ln x \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= 1 \\ \ x &= e\end{aligned}
(1,0): min⁡,(e,14e2)≈(2.718,1.895): max⁡(1, 0): \ \min, \qquad \left(e, \tfrac{14}{e^2}\right) \approx (2.718, 1.895): \ \max

סימני הנגזרת: −,+,−-, +, -

מינימום ב־(1,0)(1, 0), מקסימום ב־(e,14e2)\left(e, \frac{14}{e^2}\right).

תרגיל 4

נתון כי f(x)=14(ln⁡x)2x2f(x) = \frac{14(\ln x)^2}{x^2}. ב (3). מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x).

  1. אעולה ב־x>1x > 1
  2. בעולה ב־0<x<10 < x < 1 וב־x>ex > e; יורדת ב־1<x<e1 < x < e
  3. גיורדת ב־0<x<e0 < x < e; עולה ב־x>ex > e
  4. דיורדת ב־0<x<10 < x < 1 וב־x>ex > e; עולה ב־1<x<e1 < x < e
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד יורדת ב־0<x<10 < x < 1 וב־x>ex > e; עולה ב־1<x<e1 < x < e

הפתרון:

x3>0: סימן f′=סימן ln⁡x (1−ln⁡x)x^3 > 0: \ \text{סימן } f' = \text{סימן } \ln x\,(1 - \ln x)
0<x<1:(−)(+)<0,1<x<e:(+)(+)>0,x>e:(+)(−)<00 < x < 1: (-)(+) < 0, \quad 1 < x < e: (+)(+) > 0, \quad x > e: (+)(-) < 0

יורדת ב־0<x<10 < x < 1 וב־x>ex > e; עולה ב־1<x<e1 < x < e.

תרגיל 5

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

נתון כי f(x)=14(ln⁡x)2x2f(x) = \frac{14(\ln x)^2}{x^2}. ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

  1. אגרף III
  2. בגרף IV
  3. גגרף I
  4. דגרף II
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף IV

הפתרון:

f(x)≥0f(x) \ge 0

מונה ומכנה אינם שליליים

x→0+:f→∞,x→∞:f→0x \to 0^+: f \to \infty, \quad x \to \infty: f \to 0

אסימפטוטות x=0x = 0 ו־y=0y = 0

min⁡(1,0), max⁡(e,1.895)\min(1, 0), \ \max(e, 1.895)

סעיף ב

גרף IV: יורד מ־+∞+\infty אל (1,0)(1, 0), עולה עד (e,1.895)(e, 1.895), ויורד אל ציר ה־xx. גרף I הפוך, בגרף II המקסימום גבוה יותר ורחוק יותר, וגרף III שלילי משמאל ל־x=1x = 1.

תרגיל 6

נתון כי f(x)=14(ln⁡x)2x2f(x) = \frac{14(\ln x)^2}{x^2}. נתונה הפונקציה g(x)=f(x−4)g(x) = f(x - 4). ד (1). מהו תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x)?

x>x > ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x>x > 4

הפתרון:

x−4>0⇒x>4x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4

הזזה ימינה ב־44

תחום ההגדרה: x>4x > 4.

תרגיל 7

נתון כי f(x)=14(ln⁡x)2x2f(x) = \frac{14(\ln x)^2}{x^2}. נתונה הפונקציה g(x)=f(x−4)g(x) = f(x - 4). ד (2). מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה g(x)g(x), וקבעו את סוגן. (הנקודה שבה xx קטן יותר ראשונה; בדיוק של שלוש ספרות.)

(( ____ ,, ____ )) , (( ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (( 5 ,, 0 )) , (( 6.718 ,, 1.895 ))

הפתרון:

g(x)=f(x−4)g(x) = f(x - 4)

הגרף של ff מוזז 44 יחידות ימינה

(1+4,0)=(5,0): min⁡(e+4,1.895): max⁡\begin{aligned}(1 + 4, 0) &= (5, 0): \ \min \\ \qquad (e + 4, 1.895): \ \max\end{aligned}

סעיף ב (2)

מינימום ב־(5,0)(5, 0), מקסימום ב־(e+4,14e2)≈(6.718,1.895)\left(e + 4, \frac{14}{e^2}\right) \approx (6.718, 1.895).

לפתור את השאלה באתר

לפתור את הבחינה כמו ביום הבגרות

באתר הבחינה נפתרת עם שעון, כל תשובה נבדקת, ואחרי ההגשה כל הפתרונות פתוחים. וכל פרק של השאלון מחכה עם הסברים ותרגול.

לבחינה באתרכל הבחינות והפרקים של שאלון 35472